CSFM erklärt

In der Praxis werden die Strebe-und-Zugband-Methode (S&T) und die Spannungsfeldmethoden standardmäßig zur Bemessung von Diskontinuitätsbereichen in Stahlbeton- und Spannbetonkonstruktionen verwendet. Das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) wurde durch Erweiterung dieser klassischen Theorien entwickelt, ermöglicht einen hohen Automatisierungsgrad und ist mit der Bemessungsnorm konsistent. Trotz seiner Einfachheit liefert das Verfahren eine sehr realistische Beschreibung des Tragverhaltens einer Betonkonstruktion sowohl im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) als auch im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (GZG). Das CSFM ist in IDEA StatiCa Detail implementiert. 

Abb. 1  a) Wand mit Öffnungen b) Schubwand c) Träger mit ausgeklinkten Enden und Öffnungen d) Brückenpfeiler e) Brückenquerträger 

Standardverfahren zur Bemessung von Querschnitten von Betonkonstruktionen sind in Bereichen anwendbar, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese der ebenen Dehnungsverteilung gilt (B-Bereich). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht gilt, werden als Diskontinuitätsbereiche (D-Bereiche) bezeichnet. Dazu gehören Teile von Konstruktionen, an denen konzentrierte Lasten auftreten oder wo eine plötzliche Querschnittsänderung vorliegt, wie ausgeklinkte Enden (Abb. 1c), wandartige Träger, Wände mit Öffnungen (Abb. 1a, 1b) oder Konsolen und Pfahlkopfplatten. Im Brückenbau sind dies z. B. Pfeilerköpfe (Abb. 1d), Querträger (Abb. 1e), Umlenker usw.

1. Strebe-und-Zugband-Methode

Die grundlegende Annahme bei der Definition eines S&T-Modells ist, dass die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt wird. Ein einfaches Fachwerkmodell besteht aus Elementen, die auf Druck und Zug beansprucht werden und das GZT-Verhalten abbilden. Im Allgemeinen ist dies kein komplexes Problem, und die Definition eines grundlegenden S&T-Modells (Abb. 2a) sollte für einen erfahrenen Ingenieur kein Problem darstellen. Selbst für diese grundlegende Aufgabe kann die korrekte Bewertung des Modells gemäß der Bemessungsnorm jedoch ein mühsamer, manueller und iterativer Prozess sein.

Abb. 2 a) S&T-Modell Option 1 b) S&T-Modell Option 2 c) S&T-Modell Option 

Zugbänder, Knotenbereiche und transversale Zugdehnungen in Druckstreben müssen nachgewiesen werden. Wenn das Modell den Normnachweis nicht erfüllt, muss die S&T-Geometrie angepasst oder ein anderes S&T-Modell gewählt werden (Abb. 2b, 2c). Dies führt häufig dazu, dass der Tragwerksplaner die S&T-Modellgeometrie nur einmal festlegt und nur die Bewehrung nachweist. Dies kann zu erheblichen Fehlern führen. Die Wahl des Modells ist stets eine Frage der Erfahrung. Bei komplexeren Konstruktionsdetails ist die Wahl eines S&T-Modells, das das tatsächliche Tragverhalten der Konstruktion hinreichend genau abbildet, möglicherweise nicht so einfach wie im obigen Fall. Außerdem ist die S&T-Methode ausschließlich für die Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit geeignet. Sie ermöglicht keine Bemessung für Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit (Verformung, Rissbildung), die besonders bei Bauwerken von erheblicher Bedeutung kritische Kriterien darstellen, da sie die Nutzungsdauer der Konstruktion direkt beeinflussen.

2. Kompatibles Spannungsfeldverfahren - CSFM

Das CSFM ist ein modernes nichtlineares Verfahren zur Analyse von D-Bereichen und Elementen, deren Verhalten auf ebenen Spannungszustand vereinfacht werden kann, d. h. ein 2D-Modell.  Es basiert jedoch weiterhin auf einer grundlegenden und sicheren Annahme der Normen: Beton wirkt nicht auf Zug, und alle Zugkräfte müssen durch die Bewehrung übertragen werden. Das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) ist eine Weiterentwicklung der S&T- und Spannungsfeldmethoden und beseitigt deren oben genannte wesentliche Nachteile: Unsicherheiten bei der Modellauswahl, Schwierigkeiten bei der Automatisierung und die Unfähigkeit, Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen.

Abb. 3 a) Ebene Dehnung b) Hauptspannung c) CSFM

Das Prinzip des CSFM lässt sich am ebenen Spannungszustand des grundlegenden ebenen Elements einer Stahlbetonkonstruktion erläutern. Abb. 3a zeigt das grundlegende 2D-Element im ebenen Spannungszustand, wie es aus allen Lehrbüchern der Elastizitäts- und Festigkeitslehre bekannt ist. Dies ist die Spannung an einem Punkt in der Konstruktion, die beispielsweise durch eine linear-elastische Analyse mit der Methode der finiten Elemente (FEM) ermittelt wird. Das Element ist einer horizontalen Normalspannung σ_x, einer vertikalen Normalspannung σ_z und einer Schubspannung τ_xz ausgesetzt. Aus diesen Spannungen können die sogenannten Hauptspannungen und ihre durch den Winkel θ definierte Richtung bestimmt werden (Abb. 3b). Das Element ist dann der Hauptzugspannung σ₁ und der Hauptdruckspannung σ₂ ausgesetzt.

Wie sieht die Dehnung desselben Elements aus, das mit dem CSFM analysiert wird? Die Dehnung ist in Abbildung 3c dargestellt. Der gedrückte Beton erscheint in Richtung der Hauptdruckspannung σ₂. Dabei entsteht ein Spannungsfeld mit der Spannung σ_c2. Wie oben erwähnt, ist die grundlegende Annahme, dass der Beton nicht auf Zug wirkt. Daher wird die transversale Hauptzugspannung σ₁ nicht vom Beton übertragen, und es bildet sich ein Riss senkrecht zur Richtung. Die Spannung σ_c1r muss daher null sein. Um das Versagen unseres 2D-Elements zu vermeiden, müssen alle Zugspannungen durch die Bewehrung übertragen werden (in Abb. 3c blau dargestellt), die Teil des Berechnungsmodells sein muss. 

Wenn diese Spannungsanalyse mit dem CSFM kontinuierlich über den gesamten zu lösenden 2D-Bereich durchgeführt wird, ergibt sich ein kontinuierliches Druckfeld im Beton sowie Zug- und Druckspannungen in der Bewehrung. Eine vereinfachte grafische Darstellung des CSFM-Spannungsfeldes ist in Abbildung 4 gezeigt. Neben den Ausnutzungsgraden von Beton und Bewehrung zeigt die Abbildung auch die variierenden Richtungen der berechneten Spannungen σ_c2 entlang der Bereiche.

Abb. 4 Gesamtergebnisse aus IDEA StatiCa Detail 

Die Analyse eines Details oder einer Konstruktion mit dem CSFM basiert auf der Methode der finiten Elemente. Der Beton wird mit 2D-Wandelementen und die Bewehrung mit 1D-Bauteilelementen modelliert (Abb. 7). Die Analyse wird nicht in einem Schritt durchgeführt, da es sich um ein nichtlineares Problem handelt. Lasten werden während der Berechnung schrittweise aufgebracht, und die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems wird mit dem Newton-Raphson-Verfahren gefunden. 

Die fiktiven verschmierten Risse (ε₁ ist der Mittelwert) bilden sich senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen, die sich während der nichtlinearen Berechnung ändern können, da das Element mit jedem Lastinkrement „fortschreitend reißt". Zusammenfassend wird ein fiktiver spannungsfreier rotierender Riss angenommen. 

Das Ergebnis der FEM-Lösung mit dem CSFM ist ein kompatibles Spannungsfeld (d. h. der Beton zerfällt im Modell nicht in einzelne unabhängig wirkende Druckstreben) und der Dehnungszustand, die über den gesamten zu lösenden 2D-Bereich kontinuierlich sind. Dies ist ein wesentlicher Vorteil gegenüber klassischen S&T-Ansätzen und ermöglicht die Automatisierung und Verfeinerung des Berechnungsmodells, wie in den folgenden Abschnitten beschrieben.

Abb. 5 Prinzip der Druckerweichung

Die einfache Formulierung des CSFM ermöglicht die Verwendung des standardmäßigen einachsigen parabolisch-rechteckigen Spannung-Dehnung-Diagramms für Beton unter Druck gemäß der Bemessungsnorm. Bekanntlich nimmt die Druckfestigkeit von Beton ab, wenn der Beton durch transversale Risse geschädigt wird (Abb. 5). Dieser sogenannte Druckerweichungseffekt wird in der Methode berücksichtigt, indem die effektive Druckfestigkeit des Betons automatisch in Ansatz gebracht wird. 

Basierend auf dem Niveau der transversalen Zugdehnungen ε₁ wird der Abminderungsfaktor k_c bestimmt und das Spannung-Dehnung-Diagramm des Betons angepasst (Abb. 5). Da das Dehnungsfeld in der gesamten Konstruktion bekannt ist, kann die effektive Druckfestigkeit des Betons in einzelnen Schnitten automatisch in Abhängigkeit vom lokalen Niveau der transversalen Zugdehnungen ε₁ berechnet werden.

Abb. 6 Prinzip der Zugverfestigung

Darüber hinaus berücksichtigt das CSFM den Versteifungseffekt des zugbeanspruchten Betons zwischen den Rissen auf die Bewehrung, die sogenannte Zugverfestigung. Im Berechnungsmodell wird die mittlere Bewehrungsdehnung ε_m verwendet. Anschließend wird das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung modifiziert (Abb. 6). Dies ermöglicht eine realistische Darstellung der Steifigkeit einer durch Risse geschädigten Stahlbetonkonstruktion. Es gilt jedoch weiterhin, dass die Zugfestigkeit des Betons nicht zur Grenztragfähigkeit beiträgt. Die maximale Spannung in der Bewehrung σ_sr in den Rissen ist für die Bemessung maßgebend (Abb. 6).

Das CSFM verwendet gängige einachsige Werkstoffmodelle (Spannung-Dehnung-Diagramme), die in Bemessungsnormen definiert sind. Der Standardansatz, das Teilsicherheitskonzept, wird dann für den GZT-Nachweis verwendet. Die Einfachheit der Methode macht sie für die Ingenieurpraxis geeignet und ist mit den Bemessungsnormen konsistent. 

Obwohl es sich um eine nichtlineare FEM-Analyse handelt, muss der Tragwerksplaner keine zusätzlichen Werkstoffeigenschaften und Betoneigenschaften in die Berechnung eingeben, die zum Zeitpunkt der Bemessung möglicherweise noch nicht verfügbar sind und die z. B. für nichtlineare FEM-Analysen auf Basis der Bruchmechanik erforderlich sind. Wie bereits angedeutet, ist ein wesentlicher Vorteil der CSFM-Analyse neben den Grenzzuständen der Tragfähigkeit die Möglichkeit, Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit nachzuweisen: Durchbiegungen, Spannungsbegrenzungen und insbesondere die Rissbreite.

Abb. 7 Beispiel einer Finite-Elemente-Modelldarstellung in IDEA StatiCa Detail

(Abb. 7) Das FEM-Modell im CSFM besteht aus mehreren Typen von finiten Elementen:

• 1D-Element mit axialer Steifigkeit für die Bewehrung
• 2D-isoparametrisches Element für Beton
• Endfedern für das Bewehrungsverankerungsmodell mit Endausbildung
• Spezielles 2D-Element zur Modellierung des Verbunds zwischen Bewehrung und Beton
• Starre und interpolierende Randbedingungen (Multi-Point Constraints, MPC) zwischen Verbundelementen und Beton

Wenn die bemessene Bewehrung ein Sprödversagen des Elements verhindert, hat sich gezeigt, dass das CSFM trotz der Einfachheit der Formulierung sehr gute Vorhersagen des Tragverhaltens und der Grenztragfähigkeit der Konstruktion liefert. Mit anderen Worten ist die Methode beispielsweise nicht für die Bemessung von Trägern ohne Querkraftbewehrung geeignet, die ein potenziell sprödes Verhalten aufweisen. Verifikationen der Methode, einschließlich Versuchen, sind in [1] angegeben. Eine detailliertere Beschreibung der Methode geht über den Rahmen dieses Beitrags hinaus und ist auch im Theoretischen Hintergrund zu finden.

Es ist offensichtlich, dass die Prinzipien des CSFM allgemeiner Natur sind und seine Anwendung daher nicht auf D-Bereiche beschränkt ist, sondern auch zur Modellierung ganzer Bauteile, z. B. Fertigteilträger, verwendet werden kann, sofern das Element auf ein ebenes 2D-Modell vereinfacht werden kann. Die Methode und ihre Implementierung in der Software (IDEA StatiCa Detail) wurden ebenfalls erweitert, mit der Möglichkeit, vorgespannte und nachgespannte Bewehrung zu definieren.

3. Beispiel der Pfeilerkopfbemessung

Die praktische Anwendung des CSFM wird an der Bemessung des Brückenpfeilerkopfes in Abbildung 8 gezeigt. Es handelt sich um den zweiten Pfeiler einer Durchlaufbrücke mit drei Feldern von 30,0 m, 42,0 m und 30,0 m. Der Kopf des Stahlbetonpfeilers ist in Beton C40/50 bemessen, und seine Dicke (in Längsrichtung der Brücke) beträgt 2,0 m.

Abb. 8 Pfeilerkopf: a) Gesamtbemessung; b) Druckspannung im Beton im GZT; c) Zugspannung in der Bewehrung im GZT; d) Rissbreite im GZG

Am oberen Ende des Pfeilerkopfes wurde zunächst ein Querträger mit B500-Bewehrung 20xϕ28+20xϕ25 – die oberen vier Lagen – bemessen. Abbildung 8a zeigt eine Gesamtbemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit mit den Druckspannungen im Beton, den Richtungen der Druckspannungen und den Spannungen in der Bewehrung. Eine detailliertere Spannungsverteilung im Beton und in der Bewehrung ist in den Abbildungen 8b und 8c dokumentiert. Die Querbewehrung liegt knapp unterhalb der Streckgrenze, und auch die Spannungen im Beton (sowie die relativen Dehnungen) sind im GZT zufriedenstellend. Das Ergebnis der Rissbreitenberechnung (Abb. 8d) zeigt jedoch, dass die Bemessung im GZG nicht erfüllt ist: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Um die Grenzzrissbreite einzuhalten, ist es erforderlich, die Bewehrung des Querträgers auf 20xϕ32+20xϕ28 zu erhöhen. Im Fall von w_lim = 0,2 mm (z. B. Pfeiler in der Nähe einer Straße mit Tausalzeintrag, Umgebungseinflussklasse XF2) müsste die Bewehrung des Querträgers sogar auf 24xϕ32+24xϕ28 erhöht werden.

Fazit

Das CSFM eignet sich für die Ingenieurpraxis, da es einfache, in einer Bemessungsnorm definierte Werkstoffmodelle verwendet. Neben den Grenzzuständen der Tragfähigkeit ermöglicht es auch die Bemessung für Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit, für die ein Nachweis bei Verwendung von S&T-Modellen bisher kaum vorstellbar war. Durch die Implementierung der Methode in IDEA StatiCa Detail ist es möglich, das Tragverhalten der Konstruktion realistisch abzubilden sowie Diskontinuitätsbereiche und größere Bauwerke effizient und sicher zu bemessen und nachzuweisen.

Das CSFM wurde hauptsächlich durch die Arbeit von Professor Walter Kaufmann, Leiter des Lehrstuhls für Konstruktives Entwerfen und Tragwerkslehre an der Eidgenössischen Technischen Hochschule (ETH) Zürich, entwickelt. Er und sein Team haben die Methode und ihre softwaretechnische Implementierung ebenfalls verifiziert.

Literatur

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Autor

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.