In der Praxis werden die Strebe-und-Zugband-Methode (S&T) und die Spannungsfeldverfahren standardmäßig zur Bemessung von Diskontinuitätsbereichen in Stahlbetonstrukturen und Spannbetonstrukturen eingesetzt. Das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) wurde durch die Erweiterung dieser klassischen Theorien entwickelt, ermöglicht einen hohen Automatisierungsgrad und steht im Einklang mit der Bemessungsnorm. Trotz seiner Einfachheit liefert das Verfahren eine sehr realistische Beschreibung des Verhaltens einer Betonstruktur sowohl im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) als auch im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (GZG). Das CSFM ist in IDEA StatiCa Detail implementiert.
Abb. 1 a) Wand mit Öffnungen b) Schubwand c) Träger mit ausgeklinkten Enden und Öffnungen d) Brückenpfeiler e) Brückenquerträger
Standardverfahren zur Bemessung von Querschnitten von Betonstrukturen sind in Bereichen anwendbar, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese der ebenen Dehnungsverteilung gilt (B-Bereich). Die Bereiche, in denen diese Hypothese nicht gilt, werden als Diskontinuitätsbereiche (D-Bereiche) bezeichnet. Dazu zählen Teile von Strukturen, in denen Einzellasten auftreten oder in denen sich der Querschnitt sprunghaft ändert, wie ausgeklinkte Enden (Abb. 1c), wandartige Träger, Wände mit Öffnungen (Abb. 1a, 1b) oder Konsolen und Pfahlkopfplatten. Im Brückenbau sind dies z. B. Pfeilerkappen (Abb. 1d), Querträger (Abb. 1e), Umlenkblöcke usw.
1. Strebe-und-Zugband-Methode
Die grundlegende Annahme bei der Definition eines S&T-Modells ist, dass die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt wird. Ein einfaches Fachwerkmodell besteht aus Elementen, die auf Druck und Zug beansprucht werden und das Verhalten im GZT abbilden. Im Allgemeinen ist dies keine komplexe Aufgabe, und die Definition eines einfachen S&T-Modells (Abb. 2a) sollte für einen erfahrenen Ingenieur kein Problem darstellen. Doch selbst bei dieser einfachen Aufgabe kann die korrekte Bewertung des Modells gemäß der Bemessungsnorm ein mühsamer, manueller und iterativer Prozess sein.
Abb. 2 a) S&T-Modell Variante 1 b) S&T-Modell Variante 2 c) S&T-Modell Variante
Zugbänder, Knotenbereiche und die Querzugdehnung in den Druckstreben müssen nachgewiesen werden. Wenn das Modell den Nachweis nicht erfüllt, muss die S&T-Geometrie angepasst oder ein anderes S&T-Modell gewählt werden (Abb. 2b, 2c). Dies führt oft dazu, dass der Tragwerksplaner die Geometrie des S&T-Modells nur einmal wählt und lediglich die Bewehrungsstäbe nachweist. Das kann zu einem erheblichen Fehler führen. Die Wahl des Modells ist stets eine Frage der Erfahrung. Bei komplexeren Konstruktionsdetails ist es möglicherweise nicht so einfach wie im obigen Fall, ein S&T-Modell zu wählen, das das tatsächliche Verhalten der Struktur ausreichend genau abbildet. Außerdem ist die S&T-Methode ein Verfahren ausschließlich für die Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Sie erlaubt keine Bemessung für die Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit (Verformung, Rissbildung), die insbesondere bei Strukturen von erheblicher Bedeutung maßgebende Kriterien sind, da sie die Nutzungsdauer der Struktur unmittelbar beeinflussen.
2. Kompatibles Spannungsfeldverfahren - CSFM
Das CSFM ist ein modernes nichtlineares Verfahren zur Analyse von D-Bereichen und Elementen, deren Verhalten auf einen ebenen Spannungszustand, d. h. ein 2D-Modell, vereinfacht werden kann. Es beruht jedoch weiterhin auf einer grundlegenden und sicheren Annahme der Normen: Beton wirkt nicht auf Zug, und jeder Zug muss von der Bewehrung aufgenommen werden. Das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) ist eine Weiterentwicklung der S&T- und der Spannungsfeldverfahren und beseitigt deren oben genannte wesentliche Nachteile: Unsicherheiten bei der Modellwahl, schwierige Automatisierung und die fehlende Möglichkeit, Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit zu bewerten.
Abb. 3 a) Ebener Dehnungszustand b) Hauptspannung c) CSFM
Das Prinzip des CSFM lässt sich am ebenen Spannungszustand eines ebenen Grundelements einer Stahlbetonstruktur erklären. Abb. 3a zeigt das ebene 2D-Grundelement im ebenen Spannungszustand, wie wir es aus allen Lehrbüchern der Elastizitäts- und Festigkeitslehre kennen. Dies ist der Spannungszustand an einem Punkt der Struktur, der beispielsweise durch eine linear-elastische Berechnung mit der Methode der finiten Elemente (FEM) ermittelt wird. Das Element wird durch eine horizontale Normalspannung σx, eine vertikale Normalspannung σz und eine Schubspannung τxz beansprucht. Aus diesen Spannungen lassen sich die sogenannten Hauptspannungen und ihre durch den Winkel θ definierte Richtung bestimmen (Abb. 3b). Das Element wird dann durch die Hauptzugspannung σ1 und die Hauptdruckspannung σ2 beansprucht.
Wie sieht die Dehnung desselben Elements bei der Analyse mit dem CSFM aus? Die Dehnung ist in Abbildung 3c dargestellt. Der gedrückte Beton tritt in Richtung der Hauptdruckspannung σ2 auf. Dabei entsteht ein Spannungsfeld mit der Spannung σc2. Wie oben erwähnt, ist die grundlegende Annahme, dass der Beton nicht auf Zug wirkt. Daher wird die quer dazu wirkende Hauptzugspannung σ1 nicht vom Beton übertragen, und senkrecht zu dieser Richtung bildet sich ein Riss. Die Spannung σc1r muss daher null sein. Um ein Versagen unseres 2D-Elements zu vermeiden, muss die gesamte Zugspannung von der Bewehrung aufgenommen werden (in Abb. 3c blau dargestellt), die Bestandteil des Berechnungsmodells sein muss.
Wird diese Spannungsanalyse mit dem CSFM kontinuierlich über den gesamten zu lösenden 2D-Bereich durchgeführt, ergibt sich ein kontinuierliches Druckfeld im Beton sowie Zug- und Druckspannungen in der Bewehrung. Eine vereinfachte grafische Darstellung des CSFM-Spannungsfelds zeigt Abbildung 4. Neben der Ausnutzung von Beton und Bewehrung zeigt die Abbildung auch die sich ändernden Richtungen der berechneten Spannungen σc2 entlang der Bereiche.
Abb. 4 Gesamtergebnisse aus IDEA StatiCa Detail
Die Analyse eines Details oder einer Struktur mit dem CSFM basiert auf der Methode der finiten Elemente. Der Beton wird mit 2D-Scheibenelementen modelliert und die Bewehrung mit 1D-Bauteilelementen (Abb. 7). Die Analyse erfolgt nicht in einem Schritt, da es sich um ein nichtlineares Problem handelt. Die Lasten werden während der Berechnung inkrementell aufgebracht, und die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems wird mit dem Newton-Raphson-Verfahren ermittelt.
Die fiktiven verschmierten Risse (ε1 ist der Mittelwert) „bilden sich" senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen, die sich während der nichtlinearen Berechnung ändern kann, da das Element mit jedem Lastinkrement „fortschreitend reißt". Zusammenfassend wird ein fiktiver spannungsfreier, rotierender Riss angesetzt.
Das Ergebnis der FEM-Lösung mit dem CSFM ist ein kompatibles Spannungsfeld (d. h. der Beton zerfällt im Modell nicht in einzelne, unabhängig wirkende Druckstreben) und der Dehnungszustand, die über den gesamten betrachteten 2D-Bereich kontinuierlich sind. Dies ist ein wesentlicher Vorteil gegenüber den klassischen S&T-Ansätzen und ermöglicht es, das Berechnungsmodell zu automatisieren und zu verfeinern, wie in den folgenden Absätzen beschrieben.
Abb. 5 Prinzip der Betonerweichung
Die einfache Formulierung des CSFM erlaubt die Verwendung des normgemäßen einachsigen Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms für Beton unter Druck. Bekanntermaßen nimmt die Druckfestigkeit des Betons ab, wenn der Beton durch Querrisse geschädigt wird (Abb. 5). Dieser sogenannte Effekt der Druckerweichung wird im Verfahren berücksichtigt, indem die wirksame Druckfestigkeit des Betons automatisch angesetzt wird.
Anhand des Ausmaßes der Querzugdehnungen ε1 wird der Abminderungsfaktor kc bestimmt und das Spannung-Dehnung-Diagramm des Betons angepasst (Abb. 5). Da das Dehnungsfeld über die gesamte Struktur bekannt ist, kann die wirksame Druckfestigkeit des Betons in einzelnen Schnitten in Abhängigkeit vom lokalen Niveau der Querzugdehnungen ε1 automatisch berechnet werden.
Abb. 6 Prinzip der Zugverfestigung
Darüber hinaus berücksichtigt das CSFM den Versteifungseffekt des gezogenen Betons zwischen den Rissen auf die Bewehrung, die sogenannte Zugverfestigung. Im Berechnungsmodell wird die mittlere Bewehrungsdehnung εm verwendet. Anschließend wird das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung modifiziert (Abb. 6). Dadurch lässt sich die Steifigkeit einer durch Risse geschädigten Stahlbetonstruktur realistisch abbilden. Es gilt jedoch weiterhin, dass die Zugfestigkeit des Betons nicht zur Tragfähigkeit beiträgt. Maßgebend für die Bemessung ist die maximale Spannung in der Bewehrung σsr in den Rissen (Abb. 6).
Das CSFM verwendet gängige einachsige Materialmodelle (Spannung-Dehnung-Diagramme), die in den Bemessungsnormen definiert sind. Zum Nachweis des GZT wird dann das übliche Teilsicherheitskonzept angewendet. Die Einfachheit des Verfahrens macht es für die Ingenieurpraxis geeignet und steht im Einklang mit den Bemessungsnormen.
Obwohl es sich um eine nichtlineare FEM-Analyse handelt, muss der Tragwerksplaner keine zusätzlichen Materialeigenschaften und Betonkennwerte in die Berechnung eingeben, die in der Entwurfsphase möglicherweise gar nicht verfügbar sind und die z. B. für nichtlineare FEM-Analysen auf Grundlage der Bruchmechanik erforderlich sind. Wie bereits angedeutet, besteht ein wesentlicher Vorteil der CSFM-Analyse neben den Grenzzuständen der Tragfähigkeit darin, dass auch Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit: Durchbiegungen, Spannungsbegrenzungen und insbesondere die Rissbreite nachgewiesen werden können.
Abb. 7 Beispiel einer Darstellung des Finite-Elemente-Modells in IDEA StatiCa Detail
(Abb. 7) Das FEM-Modell im CSFM besteht aus mehreren Arten von finiten Elementen:
- 1D-Element mit Dehnsteifigkeit für die Bewehrung
- 2D-Element mit isoparametrischem Ansatz für den Beton
- Endfedern für das Verankerungsmodell der Bewehrung mit Endausbildung
- Spezielles 2D-Element zur Modellierung des Verbunds zwischen Bewehrung und Beton
- Starre und interpolierende Randbedingungen (Multi-Point Constraints, MPC) zwischen Verbundelementen und Beton
Wenn die bemessene Bewehrung ein sprödes Versagen des Elements verhindert, liefert das CSFM nachweislich trotz der einfachen Formulierung sehr gute Vorhersagen des Verhaltens und der Tragfähigkeit der Struktur. Mit anderen Worten: Das Verfahren ist beispielsweise nicht für die Bemessung von Trägern ohne Querkraftbewehrung geeignet, die ein potenziell sprödes Verhalten zeigen. Verifizierungen des Verfahrens, einschließlich Versuchen, sind in [1] angegeben. Eine ausführlichere Beschreibung des Verfahrens würde den Rahmen dieses Beitrags sprengen und ist auch im Theoretischen Hintergrund zu finden.
Es ist klar, dass die Prinzipien des CSFM allgemeingültig sind und seine Anwendung somit nicht auf D-Bereiche beschränkt ist, sondern auch zur Modellierung ganzer Bauteile, z. B. Fertigteilträger, genutzt werden kann, sofern sich das Element auf ein ebenes 2D-Modell vereinfachen lässt. Das Verfahren und seine Implementierung in der Software (IDEA StatiCa Detail) wurden zudem erweitert, sodass nun auch vorgespannte und nachgespannte Bewehrung angegeben werden kann.
3. Beispiel zur Bemessung einer Pfeilerkappe
Die praktische Anwendung des CSFM wird anhand der Bemessung der Brückenpfeilerkappe in Abbildung 8 gezeigt. Es handelt sich um den zweiten Pfeiler einer Durchlaufbrücke mit drei Feldern von 30,0 m, 42,0 m und 30,0 m. Der Kopf des Stahlbetonpfeilers ist in Beton C40/50 ausgeführt und hat eine Dicke (in Längsrichtung der Brücke) von 2,0 m.
Abb. 8 Pfeilerkappe: a) Gesamtbemessung; b) Druckspannung im Beton im GZT; c) Zugspannung in der Bewehrung im GZT; d) Rissbreite im GZG
Am oberen Rand der Pfeilerkappe wurde zunächst ein Querträger mit Bewehrung B500 20xϕ28+20xϕ25 – in den obersten vier Lagen – bemessen. Abbildung 8a zeigt eine Gesamtbemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit mit den Druckspannungen im Beton, den Richtungen der Druckspannungen und den Spannungen in der Bewehrung. Die detailliertere Spannungsverteilung im Beton und in der Bewehrung ist in den Abbildungen 8b und 8c dargestellt. Die Querbewehrung liegt knapp unter der Streckgrenze, und auch die Spannungen im Beton (und die zugehörigen Dehnungen) sind im GZT zufriedenstellend. Das Ergebnis der Rissbreitenberechnung (Abb. 8d) zeigt jedoch, dass die Bemessung im GZG nicht erfüllt ist: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Um die Rissbreitenbegrenzung einzuhalten, muss die Bewehrung des Querträgers auf 20xϕ32+20xϕ28 erhöht werden. Bei wlim = 0,2 mm (z. B. Pfeiler in der Nähe einer Straße mit Sprühnebel aus Tausalz, Expositionsklasse XF2) müsste die Bewehrung des Querträgers sogar auf 24xϕ32+24xϕ28 erhöht werden.
Fazit
Das CSFM eignet sich für die Ingenieurpraxis, da es einfache, in einer Bemessungsnorm definierte Materialmodelle verwendet. Neben den Grenzzuständen der Tragfähigkeit ermöglicht es auch die Bemessung für die Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit. Deren Nachweis war bei der Verwendung von S&T-Modellen bisher kaum vorstellbar. Durch die Implementierung des Verfahrens in IDEA StatiCa Detail lässt sich das Verhalten der Struktur realistisch erfassen, und Diskontinuitätsbereiche sowie größere Baugruppen können effizient und sicher bemessen und nachgewiesen werden.
Das CSFM wurde hauptsächlich durch die Arbeit von Professor Walter Kaufmann entwickelt, Leiter des Lehrstuhls für Baustatik und Konstruktion an der Eidgenössischen Technischen Hochschule (ETH) Zürich. Er und sein Team haben außerdem das Verfahren und seine Software-Implementierung verifiziert.
Literatur
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.