O dimensionamento e a avaliação de elementos de betão são normalmente realizados ao nível seccional (elemento 1D) ou pontual (elemento 2D). Este procedimento está descrito em todas as normas de dimensionamento estrutural, por exemplo, em (EN 1992-1-1 ou ACI 318-19), e é utilizado na prática corrente de engenharia estrutural. No entanto, nem sempre é do conhecimento geral, ou respeitado, que o procedimento só é aceitável em zonas onde se aplica a hipótese de Bernoulli-Navier de distribuição plana de deformações (designadas por regiões B). As zonas onde esta hipótese não se aplica denominam-se regiões de descontinuidade ou perturbadas (regiões D). Exemplos de regiões B e D em elementos 1D são apresentados na (Fig. 1). Estas incluem, por exemplo, zonas de apoio, partes onde são aplicadas cargas concentradas, locais onde ocorre uma variação abrupta da secção transversal, aberturas, etc. No dimensionamento de estruturas de betão, encontramos muitas outras regiões D, tais como paredes, diafragmas de pontes, consolos, etc.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

No passado, eram utilizadas regras de dimensionamento semi-empíricas para o dimensionamento de regiões de descontinuidade. Felizmente, estas regras foram amplamente substituídas, ao longo das últimas décadas, por modelos de escora-e-tirante (Schlaich et al., 1987) e campos de tensões (Marti 1985), que constam das normas de dimensionamento atuais e são frequentemente utilizados pelos projetistas. Estes modelos são ferramentas mecanicamente consistentes e poderosas. Note-se que os campos de tensões podem ser, em geral, contínuos ou descontínuos, e que os modelos de escora-e-tirante constituem um caso particular de campos de tensões descontínuos.

Apesar da evolução das ferramentas computacionais ao longo das últimas décadas, os modelos de Escora-e-Tirante continuam a ser essencialmente utilizados como cálculos manuais. A sua aplicação a estruturas reais é fastidiosa e morosa, uma vez que são necessárias iterações e vários casos de carga têm de ser considerados. Além disso, este método não é adequado para a verificação de critérios de estado de serviço (deformações, larguras de fendas, etc.).

O interesse dos engenheiros estruturais numa ferramenta fiável e rápida para o dimensionamento de regiões D conduziu à decisão de desenvolver o novo Método do Campo de Tensões Compatível, um método de dimensionamento de campos de tensões assistido por computador que permite o dimensionamento e a avaliação automáticos de elementos de betão estrutural sujeitos a carregamento no plano.

O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) é um método de análise de campos de tensões contínuos baseado em elementos finitos, no qual as soluções clássicas de campos de tensões são complementadas com considerações cinemáticas, ou seja, o estado de deformação é avaliado em toda a estrutura. Assim, a resistência efetiva à compressão do betão pode ser calculada automaticamente com base no estado de deformação transversal, de forma semelhante às análises de campos de compressão que têm em conta o amolecimento à compressão (Vecchio e Collins 1986; Kaufmann e Marti 1998) e o método EPSF (Fernández Ruiz e Muttoni 2007). Além disso, o CSFM considera o enrijecimento à tração, conferindo rigidezes realistas aos elementos, e abrange todas as prescrições normativas (incluindo aspetos de estado de serviço e capacidade de deformação) não tratados de forma consistente pelas abordagens anteriores. O CSFM utiliza leis constitutivas uniaxiais correntes, fornecidas pelas normas de dimensionamento para o betão e a armadura. Estas são conhecidas na fase de dimensionamento, o que permite a utilização do método dos coeficientes parciais de segurança. Assim, os projetistas não têm de fornecer propriedades dos materiais adicionais, frequentemente arbitrárias, como as tipicamente exigidas para análises não lineares por elementos finitos, tornando o método perfeitamente adequado para a prática de engenharia.

Para promover a utilização de campos de tensões assistidos por computador por parte dos engenheiros estruturais, estes métodos devem ser implementados em ambientes de software de fácil utilização. Para este efeito, o CSFM foi implementado no IDEA StatiCa Detail; um novo software comercial de fácil utilização desenvolvido conjuntamente pela ETH Zurique e pela empresa de software IDEA StatiCa no âmbito do projeto DR-Design Eurostars-10571.

1.2 Principais pressupostos e limitações do CSFM em 2D

O CSFM considera a tensão principal máxima do betão à compressão (σ_c₂_r) e as tensões na armadura (σ_sr) nas fissuras, desprezando a resistência à tração do betão (σ_c₁_r = 0), exceto pelo seu efeito de enrijecimento na armadura. A consideração do enrijecimento à tração permite simular as deformações médias da armadura (ε_m). São consideradas fissuras fictícias, rotativas e sem tensões, que se abrem sem deslizamento (Fig. 2a), tendo também em conta o equilíbrio nas fissuras em conjunto com as deformações médias da armadura.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Apesar da sua simplicidade, pressupostos semelhantes demonstraram produzir previsões precisas para elementos de betão armado sujeitos a carregamento no plano (Kaufmann 1998; Kaufmann e Marti 1998), desde que a armadura fornecida evite roturas frágeis na fissuração. Além disso, a não consideração de qualquer contribuição da resistência à tração do betão para a carga última é consistente com os princípios das normas de dimensionamento modernas, que se baseiam maioritariamente na teoria da plasticidade.

No entanto, o CSFM não é adequado para elementos esbeltos sem armadura transversal, uma vez que os mecanismos relevantes para tais elementos — como o engrenamento dos agregados, as tensões de tração residuais na ponta da fissura e o efeito de pino — todos eles dependendo direta ou indiretamente da resistência à tração do betão — são desprezados. Embora algumas normas de dimensionamento permitam o dimensionamento de tais elementos com base em disposições semi-empíricas, o CSFM não se destina a este tipo de estruturas potencialmente frágeis.

Betão

O modelo de betão implementado no CSFM baseia-se nas leis constitutivas uniaxiais à compressão prescritas pelas normas de dimensionamento para o dimensionamento de secções transversais, que dependem apenas da resistência à compressão. O diagrama parábola-retângulo (Fig. 2c) é utilizado por defeito no CSFM, mas os projetistas podem também optar por uma relação elasto-plástica ideal mais simplificada. Na verificação segundo a norma ACI, é possível utilizar apenas o diagrama tensão-deformação parábola-retângulo. Como referido anteriormente, a resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

A resistência à compressão efetiva é avaliada automaticamente para o betão fissurado com base na deformação principal de tração (ε₁) através do fator de redução k_c₂, conforme ilustrado nas Fig. 2c e 2e. A relação de redução implementada (Fig. 2e) é uma generalização da proposta do fib Model Code 2010 para verificações ao corte, que contém um valor limite de 0,65 para o rácio máximo entre a resistência efetiva do betão e a resistência à compressão do betão, não sendo aplicável a outros casos de carregamento.

O CSFM em IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, considera um ramo infinitamente plástico após atingir a tensão de pico). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que roturem à compressão. No entanto, a sua capacidade última é corretamente prevista quando, para além do fator do betão fissurado (k_c₂) definido na (Fig. 2e), o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado através do fator de redução \( \eta_{fc} \) definido no fib Model Code 2010 do seguinte modo:

\[f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

onde:

k_cé o fator de redução global da resistência à compressão

k_c₂ é o fator de redução devido à presença de fissuração transversal

f_c é a resistência característica do betão em cilindro (em MPa para a definição de \( \eta_{fc} \)).

Existe também uma redução do fator k_c₂ por razões de estabilidade do cálculo. Esta redução não influencia a resistência total dos elementos. Assumindo o valor f_cd como a resistência fatorada do betão (valor de cálculo), o valor de k_c₂ é reduzido de acordo com as seguintes regras.

σ_c₂_r < 0.11f_cd                                           k_c₂=1.0
0.11f_cd < σ_c₂_r < 0.37f_cd                          k_c₂ é uma interpolação linear entre 1,0 e o valor retirado do
                                                              gráfico apresentado na Fig. 2f
σ_c₂_r > 0.37f_cd                                           k_c₂ é diretamente retirado do gráfico da Fig. 2f

Armadura

É considerado o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para as varões de armadura isolados, tipicamente definido pelas normas de dimensionamento (Fig. 2d). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura durante a fase de dimensionamento (resistência e classe de ductilidade). Pode também ser definida uma relação tensão-deformação definida pelo utilizador.

O enrijecimento à tração é tido em conta através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura isolado, de modo a capturar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

Modelo de aderência

O deslizamento entre a armadura e o betão é introduzido no modelo de elementos finitos considerando a relação constitutiva rígida perfeitamente plástica simplificada apresentada na Fig. 2f, sendo f_bd o valor de cálculo (valor fatorado) da tensão de aderência última especificada pela norma de dimensionamento para as condições de aderência específicas.

Trata-se de um modelo simplificado com o único objetivo de verificar as prescrições de aderência de acordo com as normas de dimensionamento (ou seja, a ancoragem da armadura). A redução do comprimento de ancoragem quando se utilizam ganchos, laços e formas semelhantes de varões pode ser considerada definindo uma determinada capacidade na extremidade da armadura, conforme será descrito adiante.

1.3 Ferramentas de dimensionamento de armadura

Fluxo de trabalho e objetivos

O objetivo das ferramentas de dimensionamento de armadura no CSFM é ajudar os projetistas a determinar a localização e a quantidade necessária de varões de armadura de forma eficiente. As seguintes ferramentas estão disponíveis para auxiliar/orientar o utilizador neste processo: cálculo linear e otimização topológica.

As ferramentas de dimensionamento de armadura consideram modelos constitutivos mais simplificados do que os modelos utilizados para a verificação final da estrutura. Por conseguinte, a definição da armadura nesta etapa deve ser considerada um pré-dimensionamento a confirmar/refinar durante a etapa de verificação final. A utilização das diferentes ferramentas de dimensionamento de armadura será ilustrada no modelo apresentado na Fig. 3, que consiste numa extremidade de uma viga simplesmente apoiada com altura variável sujeita a uma carga uniformemente distribuída.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Análise linear

A análise linear considera propriedades de material linearmente elásticas e despreza a armadura na região de betão. Trata-se, portanto, de um cálculo muito rápido que fornece uma primeira visão sobre as localizações das zonas de tração e compressão. Um exemplo deste cálculo é apresentado na Fig. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Otimização topológica

A otimização topológica é um método que visa encontrar a distribuição ótima de material num dado volume para uma determinada configuração de cargas. A otimização topológica implementada no Idea StatiCa Detail utiliza um modelo de elementos finitos linear. Cada elemento finito pode ter uma densidade relativa de 0 a 100%, representando a quantidade relativa de material utilizado. Estas densidades de elemento são os parâmetros de otimização no problema de otimização. A distribuição de material resultante é considerada ótima para o conjunto de cargas dado se minimizar a energia de deformação total do sistema. Por definição, a distribuição ótima é também a geometria que apresenta a maior rigidez possível para as cargas dadas.

O processo de otimização iterativo começa com uma distribuição de densidade homogénea. O cálculo é realizado para múltiplas frações de volume total (20%, 40%, 60% e 80%), o que permite ao utilizador selecionar o resultado mais prático. A forma resultante é constituída por treliças com escoras e tirantes e representa a forma ótima para os casos de carga dados (Fig. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\% effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

2 Modelo de análise do IDEA StatiCa Detail

2.1 Introdução à implementação pelo Método dos Elementos Finitos

O CSFM considera campos de tensões contínuos no betão (elementos finitos 2D), complementados por elementos discretos de "barra" que representam a armadura (elementos finitos 1D). Assim, a armadura não está difusamente incorporada nos elementos finitos 2D de betão, mas é modelada explicitamente e ligada a eles. No modelo de cálculo considera-se um estado plano de tensões.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Podem ser modeladas tanto paredes e vigas completas, como detalhes (partes) de vigas (região de descontinuidade isolada, também designada por extremidade aparada). No caso de paredes e vigas completas, os apoios devem ser definidos de forma a resultar numa estrutura (externamente) isostática (estaticamente determinada) ou hiperestática (estaticamente indeterminada). A transferência de carga nas extremidades aparadas das vigas é introduzida por meio de uma zona especial de transferência de Saint-Venant, que garante uma distribuição realista de tensões na região de detalhe analisada.

2.2 Apoios e componentes de transmissão de cargas

Para modelar a maioria das situações durante o processo de construção, estão disponíveis no CSFM muitos tipos de apoios (Fig. 7) e componentes utilizados para transferência de cargas (Fig. 8).

Apoios

O apoio pontual pode ser modelado de várias formas para garantir que as tensões não se concentrem num único ponto, mas sejam distribuídas por uma área maior. A primeira opção é um apoio pontual distribuído (Fig. 7a), que distribui uniformemente a carga na extremidade do elemento ao longo da largura especificada.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Vários tipos de apoios:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) pontual distribuído; (b) placa de apoio; (c) apoio linear; (d) apoio em área; (e) suspensão.}}}\]

O apoio em área (Fig. 7d), por outro lado, só pode ser colocado no interior de um volume de betão com um raio efetivo definido. É então ligado por elementos rígidos aos nós da malha de armadura dentro desse raio. Por isso, é necessário definir uma gaiola de armadura em torno do apoio em área.

Para uma modelação mais precisa de alguns cenários reais, existem outras duas opções para o apoio pontual. Em primeiro lugar, existe um apoio pontual com uma placa de apoio de largura e espessura definidas (Fig. 7b). O material da placa de apoio pode ser especificado e toda a placa de apoio é discretizada de forma independente. Em segundo lugar, está disponível um apoio de suspensão (Fig. 7e), que pode ser utilizado para modelar âncoras de elevação ou pinos de elevação.

O apoio linear (Fig. 7c) pode ser definido numa extremidade (especificando o seu comprimento) ou no interior de um elemento (por uma polilinha). É também possível especificar a sua rigidez e/ou comportamento não linear (apoio à compressão/tração ou apenas à compressão).

Leia descrições detalhadas em Tipos de apoios no IDEA StatiCa Detail

Componentes de transmissão de cargas

A introdução de cargas na estrutura também pode ser modelada de várias formas. Para cargas pontuais, pode ser utilizada uma placa de apoio (Fig. 8a) de forma semelhante ao apoio pontual, distribuindo a carga concentrada por uma área maior graças a uma chapa de aço com largura e espessura definidas.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Vários tipos de componentes de transferência de carga:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) placa de apoio; (b) carga em área; (c) suspensão; (d) área parcialmente carregada.}}}\]

A carga pontual pode ser aplicada diretamente à superfície da estrutura com um raio de ação definido (a carga é aplicada aos elementos de betão) ou através de um dispositivo de transmissão especial denominado carga em área (Fig. 8b e Fig. 9). A carga em área permite transmitir a carga diretamente à armadura definida localizada dentro da área do raio efetivo. Para garantir o correto funcionamento da carga em área, é necessário definir um grupo de varões que serão interligados com a carga (nas propriedades da armadura). Quando a armadura interligada não está definida, o mecanismo de transferência de carga é o mesmo que para a carga pontual colocada na superfície de um elemento, e a carga é transferida pelas restrições para os elementos de betão, e não diretamente para a armadura.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Carga em área: (a) aplicação da carga; (b) carga transferida através de varões (é definido um grupo de varões para a transferência de carga);}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(c) carga transferida através do betão (não é definido um grupo de varões para a transferência de carga).}}}\]

As âncoras de elevação ou pinos de elevação podem ser modelados por uma carga de suspensão (Fig. 8c). O utilizador pode usar uma área parcialmente carregada (Fig. 8d), que permite aumentar a capacidade resistente do betão à compressão de acordo com o Eurocódigo (não é possível utilizar este tipo de componente de transmissão de carga quando está definida a norma ACI). A estrutura também pode ser carregada com cargas lineares nas extremidades, por polilinha geral ou por cargas superficiais. A aplicação Detail é capaz de considerar automaticamente o peso próprio na análise.

2.3 Transferência de carga nas extremidades rebaixadas de vigas

Em muitos casos, é necessário modelar apenas um detalhe (parte) de um elemento estrutural, como o apoio de uma viga, uma abertura no meio da viga, etc. Esta abordagem pode conduzir a configurações de apoio instáveis, mas admissíveis no IDEA StatiCa Detail (incluindo o caso de ausência de apoios). No entanto, nesses casos, é também necessário modelar a secção que representa a ligação à região B adjacente, incluindo os esforços internos nessa secção que satisfaçam o equilíbrio. Em determinados casos (por exemplo, na modelação do apoio de uma viga), estes esforços internos podem ser determinados automaticamente pelo programa.

Entre a região B e a região de descontinuidade analisada, é criada automaticamente uma zona de transferência de Saint-Venant para garantir uma distribuição realista de tensões na região analisada. A largura da zona de transferência é determinada como metade da altura da secção. Uma vez que o único objetivo da zona de Saint-Venant é obter uma distribuição adequada de tensões no restante do modelo, nenhum resultado desta área é apresentado na verificação e nenhum critério de paragem é considerado aqui.

O bordo da zona de Saint-Venant que representa a extremidade rebaixada da viga é modelado como rígido, ou seja, pode rodar mas deve permanecer plano. Isto é conseguido ligando todos os nós de elementos finitos do bordo a um nó separado no centro de inércia da secção, utilizando um elemento de corpo rígido (RBE2). Os esforços internos do elemento podem então ser aplicados neste nó, conforme ilustrado na Fig. 10.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}\]

2.4 Modificação geométrica de secções transversais

A redução da secção transversal é realizada automaticamente para estruturas definidas como viga ou junta de pórtico (definidas pelo eixo x e uma secção transversal). Esta modificação é aplicada automaticamente em secções transversais com banzos muito largos (Fig. 11) e baseia-se no pressuposto de que um campo de tensões de compressão se expande a partir da parede com um ângulo de 45°, pelo que a largura reduzida acima referida seria a largura máxima capaz de transferir cargas.

Note-se que o método de determinação da largura efetiva do banzo implementado no CSFM é diferente do indicado em 5.3.2.1 da EN 1992-1-1 (2015) ou em 9.2.4.4 da ACI 318-19. Para além da geometria, a largura efetiva do banzo baseada no Eurocódigo é explicitamente influenciada pelos comprimentos dos vãos e pelas condições de apoio da estrutura.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}\]

No caso de mísulas situadas no plano horizontal (Fig. 12), cada mísula é dividida em cinco secções ao longo do seu comprimento. Cada uma destas secções é então modelada como uma parede com espessura constante, igual à espessura real no meio da respetiva secção.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b) FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}\]

2.5 Tipos de elementos do Método dos Elementos Finitos

O modelo de análise por elementos finitos não linear (inelástico) é criado por vários tipos de elementos finitos utilizados para modelar o betão, a armadura e a aderência entre eles. Os elementos de betão e de armadura são primeiro discretizados independentemente e depois ligados entre si através de restrições multiponto (elementos MPC). Isto permite que a armadura ocupe uma posição arbitrária e relativa em relação ao betão. Se for necessário calcular a verificação do comprimento de ancoragem, são inseridos elementos de mola de aderência e de extremidade de ancoragem entre a armadura e os elementos MPC.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

Betão

O betão é modelado com elementos de casca quadrilaterais e trilaterais, CQUAD4 e CTRIA3. Estes podem ser definidos por quatro ou três nós, respetivamente. Assume-se que nestes elementos existe apenas estado plano de tensão, ou seja, as tensões ou deformações na direção z não são consideradas.

Cada elemento possui quatro ou três pontos de integração, colocados aproximadamente a 1/4 da sua dimensão. Em cada ponto de integração de cada elemento, são calculadas as direções das deformações principais α₁, α₂. Em ambas as direções, as tensões principais σ_c₁, σ_c₂ e as rigidezes E₁, E₂ são avaliadas de acordo com o diagrama tensão-deformação do betão especificado, conforme a Fig. 2. Deve notar-se que o impacto do efeito de amolecimento à compressão acopla o comportamento da direção principal de compressão ao estado real da outra direção principal.

Armadura

As armaduras são modeladas por elementos 1D de dois nós do tipo "barra" (CROD), que possuem apenas rigidez axial. Estes elementos são ligados a elementos especiais de "aderência", desenvolvidos para modelar o comportamento de deslizamento entre uma barra de armadura e o betão envolvente. Estes elementos de aderência são posteriormente ligados por elementos MPC (restrições multiponto) à malha que representa o betão. Esta abordagem permite a discretização independente da armadura e do betão, sendo a sua interligação assegurada posteriormente.

Elementos de aderência

O comprimento de ancoragem é verificado através da implementação das tensões de corte de aderência entre os elementos de betão (2D) e os elementos de barra de armadura (1D) no modelo de elementos finitos. Para este efeito, foi desenvolvido um tipo de elemento finito de "aderência".

A definição do elemento de aderência é semelhante à de um elemento de casca (CQUAD4). É também definido por 4 nós, mas ao contrário de uma casca, possui apenas rigidez não nula ao corte entre os dois nós superiores e os dois nós inferiores. No modelo, os nós superiores estão ligados aos elementos que representam a armadura e os nós inferiores aos que representam o betão. O comportamento deste elemento é descrito pela tensão de aderência, τ_b, como uma função bilinear do deslizamento entre os nós superiores e inferiores, δ_u, ver Fig. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

O módulo de rigidez elástica da relação aderência-deslizamento, G_b, é definido da seguinte forma:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

onde:

k_g coeficiente dependente da superfície da barra de armadura (por defeito k_g= 0,2)

E_c módulo de elasticidade do betão (tomado como E_cm no caso do EN)

Ø o diâmetro da barra de armadura

Os valores de cálculo (valores majorados) da tensão de corte de aderência última, f_bd, fornecidos nas normas de dimensionamento selecionadas EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, são utilizados para verificar o comprimento de ancoragem. O endurecimento do ramo plástico é calculado por defeito como G_b/10⁵.

Mola de ancoragem

A existência de extremidades de ancoragem nas barras de armadura (ou seja, dobras, ganchos, laços…), que satisfaz as prescrições das normas de dimensionamento, permite a redução do comprimento de ancoragem básico das barras (l_b,net) por um determinado fator β (designado abaixo por 'coeficiente de ancoragem'). O valor de cálculo do comprimento de ancoragem (l_b) é então calculado da seguinte forma:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

A redução pretendida em l_b,net é equivalente à ativação da barra de armadura na sua extremidade a uma percentagem da sua capacidade máxima dada pelo coeficiente de redução de ancoragem, conforme ilustrado na Fig. 15a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

A redução do comprimento de ancoragem é incluída no modelo de elementos finitos por meio de um elemento de mola na extremidade da barra (Fig. 15), definido pelo modelo constitutivo apresentado na Fig. 15b. A força máxima transmitida por esta mola (F_au) é:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

onde :

β o coeficiente de ancoragem baseado no tipo de ancoragem,

A_s a secção transversal da barra de armadura,

f_yd o valor de cálculo (valor majorado) da tensão de cedência da armadura.

2.6 Malha

Os elementos finitos são implementados internamente e o modelo de análise é gerado automaticamente, sem necessidade de interação proficiente do utilizador. Uma parte importante deste processo é a geração de malha.

Betão

Todos os elementos de betão são discretizados em conjunto. Um tamanho de elemento recomendado é calculado automaticamente pela aplicação com base na dimensão e forma da estrutura, tendo em conta o diâmetro da maior barra de armadura. Além disso, o tamanho de elemento recomendado garante que são gerados no mínimo 4 elementos nas partes mais esbeltas da estrutura, como pilares esbeltos ou lajes delgadas, de modo a assegurar resultados fiáveis nessas zonas. O número máximo de elementos de betão está limitado a 5000, mas este valor é suficiente para fornecer o tamanho de elemento recomendado para a maioria das estruturas. Os projetistas podem sempre selecionar um tamanho de elemento de betão definido pelo utilizador, modificando o multiplicador do tamanho de malha predefinido.

Armadura

A armadura é dividida em elementos com comprimento aproximadamente igual ao tamanho do elemento de betão. Após a geração das malhas de armadura e de betão, estas são interligadas com elementos de aderência, conforme ilustrado na Fig. 13.

Placas de apoio

Partes estruturais auxiliares, como as placas de apoio, são discretizadas de forma independente. O tamanho destes elementos é calculado como 2/3 do tamanho dos elementos de betão na zona de ligação. Os nós da malha da placa de apoio são então ligados aos nós de bordo da malha de betão através de elementos de restrição por interpolação (RBE3).

Cargas e apoios

As cargas distribuídas em área e os apoios distribuídos em área estão ligados apenas à armadura, conforme ilustrado na Fig. 16. Por isso, é necessário definir a armadura em torno deles. A ligação a todos os nós da armadura dentro do raio efetivo é assegurada por elementos RBE3 com peso igual.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Os apoios lineares e as cargas lineares são ligados aos nós da malha de betão através de elementos RBE3, com base na largura especificada ou no raio efetivo. O peso das ligações é inversamente proporcional à distância ao apoio ou ao ponto de aplicação da carga.

Leia mais sobre a interligação entre as cargas individuais e a malha em Descrição geral dos impulsos de carga na aplicação Detail

2.7 Método de solução e algoritmo de controlo de carga

Um algoritmo padrão de Newton-Raphson (NR) completo é utilizado para encontrar a solução de um problema de MEF não linear.

Geralmente, o algoritmo NR não converge frequentemente quando a carga total é aplicada num único passo. Uma abordagem habitual, que também é utilizada aqui, consiste em aplicar a carga sequencialmente em múltiplos incrementos e utilizar o resultado do incremento de carga anterior para iniciar a solução de Newton do incremento seguinte. Para este efeito, foi implementado um algoritmo de controlo de carga sobre o Newton-Raphson. No caso de as iterações NR não convergirem, o incremento de carga atual é reduzido a metade do seu valor e as iterações NR são repetidas.

Um segundo objetivo do algoritmo de controlo de carga é encontrar a carga crítica, que corresponde a determinados "critérios de paragem" – especificamente a deformação máxima no betão, o deslizamento máximo nos elementos de aderência, o deslocamento máximo nos elementos de ancoragem e a deformação máxima nas armaduras. A carga crítica é encontrada pelo método da bissecção. No caso de o critério de paragem ser excedido em qualquer ponto do modelo, os resultados do último incremento de carga são descartados e é calculado um novo incremento com metade do tamanho do anterior. Este processo é repetido até que a carga crítica seja encontrada com uma determinada tolerância de erro.

Para o betão, o critério de paragem foi definido como uma deformação de 5% à compressão (ou seja, cerca de uma ordem de grandeza superior à deformação de rotura real do betão) e 7% à tração nos pontos de integração dos elementos de casca. À tração, o valor foi definido de modo a permitir que a deformação limite na armadura, que normalmente ronda os 5% sem considerar o enrijecimento à tração, seja atingida primeiro. À compressão, o valor foi escolhido entre várias alternativas como aquele que é suficientemente grande para que os efeitos do esmagamento sejam visíveis nos resultados, mas suficientemente pequeno para não causar demasiados problemas de estabilidade numérica.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Para a armadura, o critério de paragem é definido em termos de tensões. Uma vez que são modeladas as tensões na fissura, o critério à tração corresponde à resistência à tração da armadura considerando o coeficiente de segurança. O mesmo valor é utilizado para o critério à compressão.

O critério de paragem nos elementos de aderência e nas molas de ancoragem é α·δu_max, onde δu_max é o deslizamento máximo utilizado nas verificações normativas e α = 10.

2.8 Apresentação de resultados

Os resultados são apresentados de forma independente para o betão e para os elementos de armadura. Os valores de tensão e deformação no betão são calculados nos pontos de integração dos elementos de casca. No entanto, como não é prático apresentar os dados dessa forma, os resultados são apresentados por defeito nos nós, como o valor máximo da tensão de compressão dos pontos de integração de Gauss adjacentes nos elementos ligados (Fig. 18). Deve notar-se que esta representação pode subestimar localmente os resultados nas arestas comprimidas dos elementos, no caso em que o tamanho do elemento finito é semelhante à profundidade da zona de compressão.

Fig. 18 - Elemento finito de betão com pontos de integração e nós: apresentação dos resultados para o betão nos nós e nos elementos finitos.

Os resultados para os elementos finitos de armadura são constantes para cada elemento (um valor – por exemplo, para tensões no aço) ou lineares (dois valores – para resultados de aderência). Para elementos auxiliares, como elementos de placas de apoio, apenas são apresentadas as deformações.

3 Verificação do modelo

3.1 Estados limite e cálculo da largura de fendas

A avaliação da estrutura utilizando o CSFM é realizada por duas análises distintas: uma para combinações de ações em estado limite de serviço e outra para estado limite último. A análise em serviço pressupõe que o comportamento último do elemento é satisfatório e que as condições de cedência do material não serão atingidas aos níveis de carga em serviço. Esta abordagem permite a utilização de modelos constitutivos simplificados (com um ramo linear do diagrama tensão-deformação do betão) para a análise em serviço, de forma a melhorar a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo. Por isso, recomenda-se a utilização do fluxo de trabalho apresentado abaixo, no qual a análise em estado limite último é realizada como primeiro passo.

Análise em estado limite último

As diferentes verificações exigidas pelos códigos de dimensionamento específicos são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações ULS são realizadas para a resistência do betão, resistência da armadura e ancoragem (tensões de corte de aderência).

Para garantir um dimensionamento eficiente de um elemento estrutural, recomenda-se vivamente a realização de uma análise preliminar que tenha em conta os seguintes passos:

Selecionar as combinações de ações mais críticas.
Calcular apenas as combinações de ações em Estado Limite Último (ULS).
Utilizar uma malha grosseira (aumentando o multiplicador do tamanho de malha predefinido em Configurações (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Este modelo calculará muito rapidamente, permitindo aos projetistas rever a pormenorização do elemento estrutural de forma eficiente e repetir a análise até que todos os requisitos de verificação sejam satisfeitos para as combinações de ações mais críticas. Uma vez satisfeitos todos os requisitos de verificação desta análise preliminar, sugere-se que sejam incluídas as combinações de ações últimas completas e que se utilize uma malha fina (o tamanho de malha recomendado pelo programa). O utilizador pode alterar o tamanho da malha através do multiplicador, que pode assumir valores entre 0,5 e 5 (Fig. 19).

Os resultados e verificações básicos (tensão, deformação e utilização (ou seja, o valor calculado/valor limite do código), bem como a direção das tensões principais no caso de elementos de betão) são apresentados por meio de diferentes gráficos, em que a compressão é geralmente apresentada a vermelho e a tração a azul. Os valores mínimos e máximos globais para toda a estrutura podem ser destacados, bem como os valores mínimos e máximos para cada parte definida pelo utilizador. Num separador separado do programa, podem ser apresentados resultados avançados, como valores tensoriais, deformações da estrutura e taxas de armadura (efetiva e geométrica) utilizadas para calcular o enrijecimento à tração das armaduras. Além disso, podem ser apresentadas as ações e reações para combinações ou casos de carga selecionados.

Análise em estado limite de serviço

As verificações SLS são realizadas para a limitação de tensões, largura de fendas e limites de deformação. As tensões são verificadas nos elementos de betão e de armadura de acordo com o código aplicável, de forma semelhante à especificada para o ULS.

A análise em serviço contém certas simplificações dos modelos constitutivos utilizados para a análise em estado limite último. Assume-se uma aderência perfeita, ou seja, o comprimento de ancoragem não é verificado em serviço. Além disso, o ramo plástico da curva tensão-deformação do betão à compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo, e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão dos materiais em serviço estejam claramente abaixo dos seus pontos de cedência (conforme exigido pelas normas). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados em serviço só são válidos se todos os requisitos de verificação forem satisfeitos.

Cálculo da largura de fenda e enrijecimento à tração

Cálculo da largura de fenda

Existem duas formas de calcular as larguras de fenda - fissuração estabilizada e não estabilizada. De acordo com a taxa geométrica de armadura em cada parte da estrutura, é decidido qual o tipo de modelo de cálculo de fenda a utilizar (TCM para fissuração estabilizada e POM para o modelo de fissuração não estabilizada).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Enquanto o CSFM fornece um resultado direto para a maioria das verificações (por exemplo, capacidade do elemento, deformações…), os resultados da largura de fenda são calculados a partir dos resultados de deformação da armadura diretamente fornecidos pela análise de elementos finitos, seguindo a metodologia descrita na Fig. 20. É considerada uma cinemática de fenda sem deslizamento (abertura pura de fenda) (Fig. 20a), o que é consistente com as principais hipóteses do modelo. As direções principais de tensões e deformações definem a inclinação das fendas (θ_r = θ_s= θ_e). De acordo com (Fig. 20b), a largura de fenda (w) pode ser projetada na direção da barra de armadura (w_b), resultando em:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

onde θ_b é a inclinação da barra.

Note-se que o programa apresenta valores de θ_r e θ_b < π/2. Isto significa que a equação anterior é válida para os casos em que a armadura e a fenda atravessam quadrantes diferentes do sistema de coordenadas cartesiano, como ilustrado na Fig. 20, onde a armadura atravessa os quadrantes I e III e a fenda os quadrantes II e IV. Para os casos em que a armadura e a fenda atravessam os mesmos quadrantes, a equação deve ser modificada da seguinte forma:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

A componente w_b é calculada de forma consistente com base nos modelos de enrijecimento à tração, integrando as deformações da armadura. Para as regiões com padrões de fissuração completamente desenvolvidos, as deformações médias calculadas (e_m) ao longo das barras de armadura são diretamente integradas ao longo do espaçamento entre fendas (s_r), conforme indicado na (Fig. 20c). Embora esta abordagem para o cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, fornece ainda assim valores representativos que conduzem a resultados de largura de fenda comparáveis com os valores de largura de fenda exigidos pela norma na posição da barra de armadura.

Observam-se situações especiais em cantos côncavos da estrutura calculada. Neste caso, o canto predefine a posição de uma fenda singular que se comporta de forma não estabilizada antes de se desenvolverem fendas adjacentes adicionais. Estas fendas adicionais desenvolvem-se geralmente após o intervalo de serviço (Mata-Falcón 2015), o que justifica o cálculo das larguras de fenda nessa região como se fossem não estabilizadas (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Enrijecimento à tração

A implementação do enrijecimento à tração distingue entre casos de padrões de fissuração estabilizada e não estabilizada. Em ambos os casos, o betão é considerado completamente fendilhado antes da aplicação das cargas, por defeito.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Fissuração estabilizada

Em padrões de fissuração completamente desenvolvidos, o enrijecimento à tração é introduzido utilizando o Modelo de Corda em Tração (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que demonstrou fornecer excelentes previsões de resposta apesar da sua simplicidade (Burns 2012). O TCM assume uma relação tensão de aderência-deslizamento rígida-perfeitamente plástica em degrau com τ_b= τ_b₀ =2 f_ctm para σ_s ≤ f_y e τ_b =τ_b₁ = f_ctm para σ_s> f_y. Tratando cada barra de armadura como uma corda em tração – Fig. 22b e Fig. 22a – a distribuição das tensões de aderência, do aço e do betão e, consequentemente, a distribuição de deformações entre duas fendas pode ser determinada para qualquer valor dado das tensões máximas do aço (ou deformações) nas fendas.

Para s_r = s_r₀, uma nova fenda pode ou não formar-se porque no centro entre duas fendas σ_c₁ = f_ct. Consequentemente, o espaçamento entre fendas pode variar por um fator de dois, ou seja, s_r = λs_r₀, com l = 0,5…1,0. Assumindo um determinado valor para λ, a deformação média da corda (ε_m) pode ser expressa em função das tensões máximas da armadura (ou seja, tensões nas fendas, σ_sr). Para o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para as barras de armadura nuas considerado por defeito no CSFM, obtêm-se as seguintes expressões analíticas de forma fechada (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

onde:
E_sh o módulo de endurecimento do aço E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s módulo de elasticidade da armadura,

Ø diâmetro da barra de armadura,

s_respaçamento entre fendas,

σ_sr tensões da armadura nas fendas,

σ_s tensões reais da armadura,

f_ytensão de cedência da armadura.

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail considera o espaçamento médio entre fendas por defeito ao realizar a análise de campos de tensões assistida por computador. O espaçamento médio entre fendas é considerado como 2/3 do espaçamento máximo entre fendas (λ = 0,67), o que segue as recomendações feitas com base em ensaios de flexão e tração (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Deve notar-se que os cálculos das larguras de fenda consideram um espaçamento máximo entre fendas (λ = 1,0) de forma a obter valores conservadores.

A aplicação do TCM depende da taxa de armadura e, portanto, a atribuição de uma área de betão adequada a atuar em tração entre as fendas a cada barra de armadura é crucial. Foi desenvolvido um procedimento numérico automático para definir a taxa de armadura efetiva correspondente (ρ_eff = A_s/A_c,eff) para qualquer configuração, incluindo armadura inclinada (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Fissuração não estabilizada

As fendas existentes em regiões com taxas geométricas de armadura inferiores a ρ_cr, ou seja, a quantidade mínima de armadura para a qual a armadura é capaz de suportar a carga de fissuração sem ceder, são geradas por ações não mecânicas (por exemplo, retração) ou pela progressão de fendas controladas por outra armadura. O valor desta armadura mínima é obtido da seguinte forma:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

onde:

f_y tensão de cedência da armadura,

f_ct resistência à tração do betão,

n razão modular, n = E_s / E_c .

Para betão e aço de armadura convencionais, ρ_cr é aproximadamente 0,6%.

Para estribos com taxas de armadura inferiores a ρ_cr, a fissuração é considerada não estabilizada e o enrijecimento à tração é implementado por meio do Modelo de Arrancamento (POM) descrito na Fig. 22b. Este modelo analisa o comportamento de uma fenda singular considerando ausência de interação mecânica entre fendas separadas, desprezando a deformabilidade do betão à tração e assumindo a mesma relação tensão de aderência-deslizamento rígida-perfeitamente plástica em degrau utilizada pelo TCM. Isto permite obter a distribuição de deformações da armadura (ε_s) na vizinhança da fenda para qualquer tensão máxima do aço na fenda (σ_sr) diretamente a partir do equilíbrio. Dado que o espaçamento entre fendas é desconhecido para um padrão de fissuração não completamente desenvolvido, a deformação média (ε_m) é calculada para qualquer nível de carga ao longo da distância entre pontos com deslizamento nulo quando a barra de armadura atinge a sua resistência à tração (f_t) na fenda (l_ε,_avg na Fig. 22b), conduzindo às seguintes relações:

Os modelos propostos permitem o cálculo do comportamento da armadura aderente, que é finalmente considerado na análise. Este comportamento (incluindo o enrijecimento à tração) para o aço de armadura europeu mais comum (B500B, com f_t / f_y = 1,08 e ε_u = 5%) é ilustrado nas Fig. 22c-d.

4 Verificações estruturais segundo o Eurocódigo

A avaliação da estrutura utilizando o CSFM é realizada por duas análises distintas: uma para combinações de ações em estado limite de utilização e outra para combinações de ações em estado limite último. A análise de utilização pressupõe que o comportamento último do elemento é satisfatório e que as condições de cedência do material não serão atingidas aos níveis de carga de utilização. Esta abordagem permite a utilização de modelos constitutivos simplificados (com um ramo linear do diagrama tensão-deformação do betão) na análise de utilização, de forma a melhorar a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo.

4.1 Modelos de materiais (EN)

Betão - ULS

O modelo de betão implementado no CSFM baseia-se nas leis constitutivas de compressão uniaxial prescritas pela EN 1992-1-1 para o dimensionamento de secções transversais, que dependem apenas da resistência à compressão. O diagrama parábola-rectângulo especificado na EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 24a) é utilizado por defeito no CSFM, mas os projetistas podem também optar por uma relação elasto-plástica ideal mais simplificada de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Os diagramas tensão-deformação do betão para ULS: a) diagrama parábola-rectângulo; b) diagrama bilinear.}}}\]

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão em compressão (ou seja, após atingir a tensão de pico, considera um ramo plástico com ε_cu₂ (ε_cu₃) com valor de 5%, enquanto a EN 1992-1-1 assume uma deformação última inferior a 0,35%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que colapsam por compressão. No entanto, a capacidade última f_cd de acordo com a EN 1992-1-1 3.1.3 é corretamente prevista quando, para além do fator do betão fendilhado (k_c₂ definido na (Fig. 25)), o aumento da fragilidade do betão com o aumento da resistência é considerado através do fator de redução \(\eta_{fc}\) definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

onde:

α_cc é o coeficiente que tem em conta os efeitos de longa duração na resistência à compressão e os efeitos desfavoráveis resultantes do modo de aplicação da carga. É definido de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). O valor por defeito é 1,0.

k_cé o fator de redução global da resistência à compressão

k_c₂ é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal

f_ck é a resistência característica do betão em cilindro (em MPa para a definição de \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad A lei de amolecimento à compressão.}}}\]

Betão - SLS

A análise em estado limite de utilização contém certas simplificações dos modelos constitutivos utilizados na análise em estado limite último. O ramo plástico do diagrama tensão-deformação do betão em compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo, sem reduzir a generalidade da solução, desde que os limites de tensão nos materiais em estado limite de utilização estejam claramente abaixo dos seus pontos de cedência (conforme exigido pelo Eurocódigo). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados para o estado limite de utilização só são válidos se todos os requisitos de verificação forem satisfeitos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Diagramas tensão-deformação do betão implementados para análise em estado limite de utilização: verificações a curto e longo prazo.}}}\]

Efeitos de longa duração

Na análise em estado limite de utilização, os efeitos de longa duração do betão são considerados utilizando um coeficiente de fluência efetivo infinito (\(\varphi\), assumido por defeito com o valor de 2,5) que modifica o módulo de elasticidade secante do betão (E_cm) de acordo com a EN 1992-1-1, secção 3.1.4 (3) resp. 7.4.3 (5) da seguinte forma:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

Ao considerar os efeitos de longa duração, um incremento de carga com todas as ações permanentes é primeiro calculado considerando o coeficiente de fluência (ou seja, utilizando o módulo de elasticidade efetivo do betão, E_c,eff) e, em seguida, as ações adicionais são calculadas sem o coeficiente de fluência (ou seja, utilizando E_cm). Adicionalmente, para realizar verificações a curto prazo, é efetuado outro cálculo em que todas as ações são calculadas sem o coeficiente de fluência. Ambos os cálculos para verificações a longo e curto prazo estão representados na Fig. 26.

Os coeficientes de fluência são definidos pelo utilizador nas propriedades dos materiais e devem ser calculados de acordo com a EN 1992-1-1, Fig 3.1.

Armadura

Por defeito, é considerado o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para varões de armadura isolados, definido na EN 1992-1-1, secção 3.2.7 (Fig. 27). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura durante a fase de dimensionamento (resistência e classe de ductilidade). Sempre que conhecida, pode ser considerada a relação tensão-deformação real da armadura (laminada a quente, trabalhada a frio, temperada e auto-revenida, …). O diagrama tensão-deformação da armadura pode ser definido pelo utilizador, mas neste caso não é possível assumir o efeito de enrijecimento à tração (não é possível calcular a largura de fenda). A utilização do diagrama tensão-deformação com um ramo superior horizontal não permite a verificação da durabilidade estrutural. Por conseguinte, é necessária a verificação manual dos requisitos normativos de ductilidade.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\)

O enrijecimento à tração (Fig. 28) é automaticamente considerado através da modificação do diagrama tensão-deformação de entrada do varão de armadura isolado, de forma a capturar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Esquema do enrijecimento à tração.}}}\]

4.2 Fatores de segurança

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com os códigos de dimensionamento modernos. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades dos materiais padrão, o formato de coeficientes de segurança parciais prescrito nos códigos de dimensionamento pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as ações de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas utilizando os respetivos coeficientes de segurança prescritos nos códigos de dimensionamento, exatamente como na análise convencional de betão. Os valores dos coeficientes de segurança dos materiais prescritos na EN 1992-1-1 cap. 2.4.2.4 são definidos por defeito, mas o utilizador pode alterar os coeficientes de segurança nas definições de Código e cálculo (Fig. 29).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Os coeficientes de segurança das ações têm de ser definidos pelo utilizador nas regras de Combinação para cada combinação não linear de casos de carga (Fig. 30). Para todos os modelos implementados em Idea StatiCa Detail, os coeficientes de segurança parciais já estão predefinidos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Utilizando combinações de coeficientes de segurança parciais definidas pelo utilizador, os utilizadores podem também calcular com o CSFM usando o método do fator de resistência global (Navrátil, et al. 2017), mas esta abordagem raramente é utilizada na prática de dimensionamento. Algumas diretrizes recomendam a utilização do método do fator de resistência global para análise não linear. No entanto, em análises não lineares simplificadas (como o CSFM), que requerem apenas as propriedades dos materiais utilizadas nos cálculos manuais convencionais, é ainda mais desejável utilizar o formato de segurança parcial.

4.3 Análise do estado limite último

As diferentes verificações exigidas pela EN 1992-1-1 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações ULS são realizadas para a resistência do betão, resistência da armadura e ancoragem (tensões de corte de aderência).

A resistência do betão à compressão é avaliada como a razão entre a tensão principal máxima de compressão σ_c= σ_c₂ obtida pela análise de elementos finitos e o valor limite σ_c,lim = f_cd.

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão como a razão entre a tensão na armadura nas fissuras σ_sr e o valor limite especificado σ_s,lim:

\(σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)

\(σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)

onde:

f_yk tensão de cedência da armadura de acordo com EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k a razão entre a resistência à tração f_tk e a tensão de cedência,
\(k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}\)

γ_sé o coeficiente parcial de segurança para a armadura

A tensão de corte de aderência é avaliada independentemente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise de elementos finitos e a resistência última de aderência f_bd_, de acordo com EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

onde:

f_ctd é o valor de cálculo da resistência à tração do betão de acordo com EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Devido à crescente fragilidade do betão de maior resistência, f_ctk,0.05é limitado ao valor para C60/75 de acordo com EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)

η₁ é um coeficiente relacionado com a qualidade das condições de aderência e a posição da barra durante a betonagem (Fig. 31).

η₁ = 1,0 quando se obtêm condições 'boas' e

η₁ = 0,7 para todos os outros casos e para barras em elementos estruturais construídos com cofragens deslizantes, a menos que se possa demonstrar que existem condições de aderência 'boas'

η₂ está relacionado com o diâmetro da barra:

η₂ = 1,0 para Ø ≤ 32 mm

η₂ = (132 - Ø)/100 para Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}\]

No IDEA StatiCa Detail as condições de aderência são tidas em conta de acordo com a Fig. 31 c) e d). A direção de betonagem pode ser definida na aplicação para cada item do projeto da seguinte forma.

Estas verificações são realizadas em relação aos valores limite apropriados para as respetivas partes da estrutura (ou seja, apesar de se utilizar uma única classe tanto para o betão como para o material da armadura, os diagramas tensão-deformação finais diferirão em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento à tração e amolecimento à compressão).

Existe também a opção de modelar varões lisos. Mais informações podem ser encontradas aqui: Varões lisos no Detail

Força total F_tot e Força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise de elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

\[F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}\]

onde A_s é a área da barra de armadura e σ_s é a tensão na barra.

Ou como a soma da força de ancoragem F_ae da força de aderência F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

onde F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência que pode ser obtida integrando a tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento da barra de armadura l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s é o perímetro da barra de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento do varão tendo em conta a resistência última do varão e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}\]

onde C_s é o perímetro da barra de armadura e l é o comprimento desde o início do varão até ao ponto de interesse.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

onde F_lim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 deve ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem barra reta (ou seja, sem redução na extremidade de ancoragem), dobra, gancho, laço, barra transversal soldada, aderência perfeita e barra contínua. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 32 para armadura longitudinal e na Fig. 33 para estribos. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados estão em conformidade com EN 1992-1-1 secção 8.4.4 Tab. 8.2. Deve notar-se que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução no comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30% do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada e (iii) aderência perfeita.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

Para cumprir com a EN 1992-1-1, a mola de ancoragem deve ser utilizada no cálculo; a mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve usar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e fim da armadura.

4.4 Áreas parcialmente carregadas (PLA)

Ao dimensionar estruturas de betão, encontramos dois grandes grupos de áreas parcialmente carregadas (PLA) - o primeiro compreende apoios, enquanto o outro consiste em zonas de ancoragem. De acordo com as normas atualmente em vigor para o dimensionamento de estruturas de betão armado EN 1992-1-1 cap. 6.7 (Fig. 34), o esmagamento local do betão e as forças de tração transversal devem ser considerados para áreas parcialmente carregadas. Para uma carga uniformemente distribuída numa área, A_c0, a capacidade de compressão do betão pode ser aumentada até três vezes, dependendo da área de distribuição de cálculo A_c1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}\]

A área parcialmente carregada deve ser suficientemente armada com armadura transversal dimensionada para transmitir as forças de fendilhação que ocorrem na zona. Para o dimensionamento da armadura transversal em áreas parcialmente carregadas, é utilizado o método Escora-e-tirante de acordo com o Eurocódigo. Sem a armadura transversal necessária, não é possível considerar o aumento da capacidade de compressão do betão.

Áreas parcialmente carregadas no CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Utilizando o CSFM, é possível dimensionar e verificar estruturas de betão armado incluindo a influência do aumento da resistência à compressão do betão em áreas parcialmente carregadas. Como o CSFM é um modelo de parede (2D) e as áreas parcialmente carregadas constituem uma tarefa espacial (3D), foi necessário encontrar uma solução que combinasse estes dois tipos diferentes de tarefas (Fig. 35). Se a função "áreas parcialmente carregadas" estiver ativada, a geometria do cone admissível é criada de acordo com o Eurocódigo (Fig. 34). Todas as colisões geométricas são resolvidas integralmente em 3D para a geometria especificada do elemento de betão e as dimensões de cada PLA. Subsequentemente, é criado um modelo de cálculo da área parcialmente carregada.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

A modificação do modelo de material revelou-se uma abordagem inadequada, principalmente porque o mapeamento de propriedades para a malha de elementos finitos é problemático. Concluiu-se que uma abordagem independente da malha de elementos finitos constitui uma solução mais adequada. São criadas escoras fictícias absolutamente coerentes para a geometria conhecida do cone de compressão (Fig. 35 e Fig. 37). Estas escoras têm propriedades de material idênticas às do betão utilizado no modelo, incluindo o diagrama tensão-deformação. A forma do cone determina a direção das escoras, que distribui gradualmente a carga sobre a PLA para a área de distribuição de cálculo. A densidade de área das escoras fictícias é variável em cada parte do cone e acrescenta uma área fictícia de betão na direção da carga. Ao nível da área carregada (A_c0), é adicionada uma área fictícia de betão de acordo com o rácio \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\) (onde A_real é a área do apoio assumida no modelo de cálculo 2D), e esta área diminui linearmente até zero em direção à área de distribuição de cálculo (A_c1). Esta solução garante que a tensão de compressão no betão é constante em todo o volume do cone.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}} - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

A resistência da área parcialmente carregada é aumentada de acordo com o rácio entre a área distribuída de cálculo e a área carregada, estabelecido na EN 1992-1-1 (6.7). Deve ter-se em conta que este é um modelo de cálculo que não pode descrever com precisão o estado de tensão numa área parcialmente carregada, cujo fluxo real é muito mais complexo. No entanto, esta solução permite a distribuição correta da carga para todo o modelo, respeitando a capacidade de carga aumentada da área parcialmente carregada. Além disso, introduz corretamente as tensões transversais nesta zona.

Ao utilizar a funcionalidade de áreas parcialmente carregadas para simular o aumento da capacidade de compressão do betão, é necessário efetuar a verificação normativa separadamente de acordo com a EN 1992-1-1, secção 6.7 (2). As forças de tração transversal (forças de fendilhação) transmitidas pela armadura são verificadas automaticamente.

4.5 Análise do estado limite de serviço

As verificações SLS são realizadas para limitação de tensões, largura de fendas e limites de deformação. As tensões são verificadas nos elementos de betão e armadura de acordo com a EN 1992-1-1, de forma semelhante à especificada para o ULS.

Limitação de tensões

A tensão de compressão no betão deve ser limitada de forma a evitar fendas longitudinais. De acordo com a EN 1992-1-1 cláusula 7.2 (2), podem ocorrer fendas longitudinais se o nível de tensão sob a combinação característica de ações exceder o valor k₁f_ck. A tensão de compressão no betão é avaliada como o rácio entre a tensão principal máxima de compressão σ_c = σ_c₂obtida da análise por elementos finitos para os estados limite de serviço e o valor limite σ_c,lim. Então:

\[\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}\]

\[σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]

onde:

f_ck resistência característica à compressão em cilindro do betão,

k₁ =0.6.

Se a tensão no betão sob as ações quase-permanentes for inferior a k₂f_ck de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 7.2(3), pode ser assumida fluência linear. Se a tensão no betão exceder k₂f_ck, deve ser considerada fluência não linear (ver EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4). No IDEA StatiCa Detail apenas pode ser assumida fluência linear de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4 (3) (ver Modelos de material (EN)).

Pode assumir-se que a fendilhação ou deformação inaceitável é evitada se, sob a combinação característica de ações, a tensão de tração na armadura não exceder k₃f_yk (EN 1992-1-1 cláusula 7.2 (5)). A resistência da armadura é avaliada como o rácio entre a tensão na armadura nas fendas σ_s = σ_sr e o valor limite especificado σ_s,lim:

\[\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}\]

\[σ_{s,lim} = k_3\cdot f_{yk}\]

onde:

f_yk tensão de cedência da armadura,

k₃ =0.8.

Deformação

As deformações só podem ser avaliadas para paredes ou vigas isostáticas (estaticamente determinadas) ou hiperestáticas (estaticamente indeterminadas). Nestes casos, é considerado o valor absoluto das deformações (comparado com o estado inicial antes do carregamento), e o valor máximo admissível das deformações deve ser definido pelo utilizador. As deformações nas extremidades aparadas não podem ser verificadas, uma vez que estas são essencialmente estruturas instáveis onde o equilíbrio é satisfeito pela adição de forças nas extremidades, pelo que as deformações são irrealistas. A deformação de curto prazo u_z,st ou de longo prazo u_z,lt pode ser calculada e verificada em relação a valores limite definidos pelo utilizador:

\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]

onde:

u_z deformação de curto ou longo prazo calculada pela análise por elementos finitos,

u_z,lim valor limite da deformação definido pelo utilizador.

Largura de fenda

As larguras e orientações das fendas são calculadas apenas para efeitos de longo prazo (usando E_c,eff) para combinações nas quais a avaliação da largura de fenda está ativada. As verificações baseadas em valores limite definidos pelo utilizador de acordo com o Eurocódigo são apresentadas da seguinte forma:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

onde:

w largura de fenda calculada pela análise por elementos finitos,

w_lim valor limite da largura de fenda definido pelo utilizador.

Existem duas formas de calcular as larguras de fenda (fendilhação estabilizada e não estabilizada). No caso geral (fendilhação estabilizada), a largura de fenda é calculada integrando as deformações nos elementos 1D das armaduras. A direção da fenda é então calculada a partir dos três pontos de integração mais próximos (do centro do elemento finito 1D de armadura em questão) dos elementos 2D de betão. Embora esta abordagem para o cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, fornece ainda assim valores representativos que conduzem a resultados de largura de fenda comparáveis com os valores de largura de fenda exigidos pela norma na posição da barra de armadura.

5 Verificações estruturais segundo ACI 318-19

A avaliação da estrutura utilizando o CSFM é realizada por duas análises distintas: uma para combinações de ações em estado limite de utilização e outra para combinações de ações de resistência. A análise de utilização pressupõe que o comportamento sob cargas fatoradas é satisfatório e que as condições de cedência do material não serão atingidas aos níveis de carga de utilização. Esta abordagem permite a utilização de modelos constitutivos simplificados (com um ramo linear do diagrama tensão-deformação do betão) na análise de utilização, de forma a melhorar a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo.

O CSFM está em conformidade com ACI 318-19, capítulo 6.8.1.1. Para que o CSFM satisfaça os requisitos da secção 6.8.1.2 da ACI 318-19, foram realizados extensos ensaios de verificação em diversas universidades. Artigos individuais que resumem os resultados de verificação e validação podem ser encontrados no seguinte link.

Verificações: Detail 2D

5.1 Modelos de materiais (ACI)

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para cálculos de resistência no CSFM baseia-se na curva tensão-deformação parabólico-plástica para betão, baseada na curva tensão-deformação parabólica da Portland Cement Association descrita nas Notas da PCA sobre os Requisitos do Código de Construção ACI 318-99 para Betão Estrutural, Figura 6-8. A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão em compressão (ou seja, após atingir a tensão de pico, considera um ramo plástico com ε_c₀ com valor máximo de 5%, enquanto a ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que colapsam por compressão. No entanto, a resistência é corretamente prevista quando, para além do fator de betão fendilhado (k_c₂ definido na (Fig. 39)), o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado através do fator de redução \(\eta_{fc}\) definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]

\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

onde:

α₁ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido na ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão máxima de compressão por este fator. Isto faz a média da distribuição de tensões na zona comprimida de tal forma que a resistência à compressão resultante é menor ou igual à resistência à compressão calculada utilizando um diagrama tensão-deformação com um ramo plástico decrescente.

Φ_cé o fator de redução de resistência para o betão. O valor predefinido é definido de acordo com a ACI 318-19 Tabela 24.2.1 (b)(f).

k_c₂ é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal.

f'_c é a resistência à compressão em cilindro do betão (em MPa para a definição de \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}\]

k_c₂ é um fator de redução baseado nos mesmos pressupostos que o coeficiente da zona nodal β_n dado na ACI 318-19 Tabela 23.9.2, exceto que no CSFM, a presença de uma tensão principal de tração perpendicular à tensão principal de compressão é verificada para cada elemento finito (não apenas para os nós do modelo Escora e tirante).

Betão – Verificação em Serviço

A análise em estado de serviço contém certas simplificações dos modelos constitutivos utilizados para a análise de resistência. O ramo plástico da curva tensão-deformação do betão em compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão dos materiais resultantes em serviço estejam claramente abaixo dos seus pontos de cedência (conforme exigido pela ACI). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados para verificação em serviço são válidos apenas se todos os requisitos de verificação forem satisfeitos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Efeitos de longa duração

O comportamento de longa duração da estrutura, como deflexões a longo prazo ou cálculo de larguras de fendas causadas por cargas sustentadas, é influenciado pela fluência do betão. A ACI 318-19 no parágrafo 24.2.4.1.3 define o fator dependente do tempo para cargas sustentadas – ξ representando o efeito de fluência para uma duração de carga sustentada especificada.

Na aplicação Detail, o módulo de elasticidade E_c é ajustado para determinar o comportamento de longa duração da estrutura através do fator ξ. O módulo de elasticidade ajustado é designado por E_c,eff – ver Figura 40.

Assumindo que a deformação do elemento é expressa por deformação unitária, pode escrever-se que:

\[\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\]

onde:

ε₀ é a deformação de curta duração (sem influência da fluência) e ε_creep é a deformação causada pela fluência.

Usando a lei de Hooke, podemos escrever:

\[E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}\]

Substituindo \(\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\) e \(\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}\) obtemos:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}\]

A duração da carga sustentada para determinação do fator ξ pode ser definida individualmente para cada combinação de serviço de longa duração.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}\]

As deflexões, tensões e larguras de fendas dependentes do tempo são então calculadas com um modelo de material modificado onde o efeito do refinamento da compressão é automaticamente tido em conta pela natureza da análise por Método dos Elementos Finitos. Não é, portanto, necessário multiplicá-las adicionalmente pelo fator definido em 24.2.4.1.1.

Efeitos de curta duração

Para realizar verificações de curta duração, é efetuado outro cálculo no qual todas as cargas são calculadas sem o fator dependente do tempo para cargas sustentadas. Ambos os cálculos para verificações de longa e curta duração estão representados na Fig. 40.

Armadura

Considera-se um diagrama tensão-deformação perfeitamente elasto-plástico com um ponto de cedência definido para a armadura não pré-esforçada, ver ACI 319-19 CL. 20.2.1. A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura – a resistência e o módulo de elasticidade.

O diagrama tensão-deformação da armadura também pode ser definido pelo utilizador, mas neste caso, não é possível assumir o efeito de enrijecimento à tração (não é possível calcular a largura de fenda).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

onde:

Φ_sé o fator de redução de resistência para a armadura. O valor predefinido é definido de acordo com a ACI 318-19 Tabela 24.2.1.

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s módulo de elasticidade da armadura

10% é selecionado como a deformação limite à qual o cálculo é interrompido. Isto é considerado seguro com base no ASTM A955/A955M-20c Artigo 7.

O enrijecimento à tração (Fig. 43) é automaticamente contabilizado modificando a relação tensão-deformação de entrada da barra de armadura isolada, de forma a capturar a rigidez média das barras embebidas no betão (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

5.2 Fatores de redução de resistência e fatores de ação

Os valores dos fatores de redução de resistência são prescritos na ACI 318-19 Cl. 21.2. Os valores predefinidos para o betão e a armadura são escolhidos com base no pressuposto de que o exemplo típico resolvido na aplicação é controlado pelo corte (com base na Tabela 21.2.1 (b), (f), (g)). No entanto, é possível modelar qualquer tipo de elemento. Portanto, se for avaliado um elemento controlado por compressão ou tração, o utilizador tem a opção de alterar o valor do fator de redução de resistência nas Preferências.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Fatores de ação para combinações de resistência devem ser definidos de acordo com a ACI 318-19 Tabela 5.3.1.

Exceto o indicado no Capítulo 34, as combinações de ações ao nível de serviço não estão definidas na ACI 318-19. Recomenda-se a utilização de regras de combinação baseadas no Apêndice C da ASCE/SEI 7-16. Para todos os modelos, os fatores de ação já estão predefinidos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

5.3 Verificações de resistência

As diferentes verificações exigidas pela ACI 318-19 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são realizadas para a resistência do betão, resistência da armadura e ancoragem (tensões de corte de aderência).

A resistência do betão à compressão é avaliada como a razão entre a tensão principal máxima de compressão f_c (também σ₂ nos resultados auxiliares) obtida pela análise de elementos finitos e o valor limite f'_c,lim.

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão como a razão entre a tensão na armadura nas fissuras f_s e o valor limite especificado f_y,lim.

A tensão de corte de aderência é avaliada independentemente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise de elementos finitos e a resistência de aderência f_bu.

No entanto, a norma ACI não aborda explicitamente a resistência de aderência, mas trabalha com o cálculo do denominado comprimento de desenvolvimento, descrito na Secção 25.4.2. Uma vez que a resistência de aderência é um parâmetro de entrada fundamental para determinar o comprimento de desenvolvimento, ver R25.4.1.1 e ACI Committee 408 1966, a resistência de aderência pode ser calculada da seguinte forma:

Assumamos que, se ancorarmos a barra de armadura num bloco de betão até ao comprimento de desenvolvimento l_d ou superior, a extração da armadura conduzirá à rotura da armadura e não à extração do betão. Isto pode ser expresso pela seguinte fórmula.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}\]

onde:

d_b é o diâmetro da barra de armadura, l_d é o comprimento de desenvolvimento, f_bu é a resistência de aderência, f_y é a tensão de cedência da armadura e A_s é a área da barra de armadura.

A partir do exposto, a fórmula para o cálculo da resistência de aderência pode ser facilmente deduzida:

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

O comprimento de desenvolvimento l_d é então determinado de acordo com a Tabela 25.4.2.3 da ACI 318-19 da seguinte forma:

\[l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}\]

onde:

C = 25 (2,1 para sistema métrico) para barras n.º 6 e menores e arames nervurados, C = 20 (1,7 para sistema métrico) para barras n.º 7 e maiores, λ = 1,0 para betão de peso normal, ψ_t, ψ_e_, ψ_g são determinados de acordo com a Tabela 25.4.2.3 da ACI 318-19.

Apenas é suportada armadura não revestida ou com revestimento de zinco (galvanizada), pelo que ψ_e = 1,0. ψ_g é determinado automaticamente a partir da classe da armadura e ψ_t é automaticamente derivado da posição da armadura no modelo e da direção de betonagem, que pode ser definida na aplicação para cada item do projeto da seguinte forma.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}\]

Estas verificações são realizadas em relação aos valores limite adequados para as respetivas partes da estrutura (ou seja, apesar de existir uma única classe tanto para o betão como para o material de armadura, os diagramas tensão-deformação finais diferirão em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento à tração e amolecimento à compressão).

Existe também a opção de modelar varões lisos. Mais informações podem ser encontradas aqui: Varões lisos em Detail

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise de elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

onde A_s é a área da barra de armadura e f_s é a tensão na barra.

Ou como a soma da força de ancoragem F_ae da força de aderência F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

onde F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência que pode ser obtida integrando a tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento da barra de armadura l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s é o perímetro da barra de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento do varão considerando a resistência do varão e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

onde C_s é o perímetro da barra de armadura e l é o comprimento desde o início do varão até ao ponto de interesse.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

onde F_lim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos adjacentes. F_lim,2 deve ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem barra reta (ou seja, sem redução na extremidade de ancoragem), gancho a 90 graus, gancho a 180 graus, aderência perfeita e barra contínua. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 48 para armadura longitudinal. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados são derivados da comparação da equação da secção ACI 318-19 25.4.3.1 com as equações da secção ACI 318-19 25.4.2.3. Deve notar-se que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução no comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30% do comprimento de ancoragem no caso de ancoragem normalizada e (iii) aderência perfeita.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

O coeficiente de ancoragem para estribos é sempre - β = 1,0.

Para cumprir com a ACI, a mola de ancoragem deve ser utilizada no cálculo; a mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve usar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e fim da armadura.

5.4 Zonas de apoio e ancoragem – Áreas parcialmente carregadas

Ao projetar estruturas de betão, encontramos dois grandes grupos de áreas parcialmente carregadas (APC) – o primeiro compreende os apoios, enquanto o outro consiste nas zonas de ancoragem.

De acordo com as normas atualmente em vigor para o dimensionamento de estruturas de betão armado ACI 318-19 cap. 22.8, o esmagamento local do betão e as forças de tração transversal devem ser considerados para os apoios. Para uma carga uniformemente distribuída numa área, A_c1, a capacidade de compressão do betão pode ser aumentada até duas vezes em função da área de distribuição de cálculo A_c2. Consulte a tabela 22.8.3.2 da ACI 318-19.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}\]

Para as zonas de ancoragem de pós-tensão, deve ser seguida a ACI 318-19 cap. 25.9.

A área parcialmente carregada deve ser suficientemente armada com armadura transversal dimensionada para transmitir as forças de fendilhamento que ocorrem na zona. Sem a armadura transversal necessária, não é possível considerar o aumento da capacidade de compressão do betão.

Áreas parcialmente carregadas no CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Utilizando o CSFM, é possível dimensionar e verificar estruturas de betão armado incluindo a influência do aumento da resistência à compressão do betão em áreas parcialmente carregadas. Como o CSFM é um modelo de parede (2D) e as áreas parcialmente carregadas constituem uma tarefa espacial (3D), foi necessário encontrar uma solução que combinasse estes dois tipos diferentes de tarefas (Fig. 50). Se a função "áreas parcialmente carregadas" estiver ativada, a geometria do cone admissível é criada de acordo com a ACI (Fig. 49). Todas as colisões geométricas são resolvidas integralmente em 3D para a geometria especificada do elemento de betão e as dimensões de cada APC. Subsequentemente, é criado um modelo de cálculo da área parcialmente carregada.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

A modificação do modelo de material revelou-se uma abordagem inadequada, principalmente porque o mapeamento de propriedades para a malha de elementos finitos é problemático. Concluiu-se que uma abordagem independente da malha de elementos finitos constitui uma solução mais adequada. São criadas escoras fictícias absolutamente coerentes para a geometria conhecida do cone de compressão (Fig. 51 e Fig. 52). Estas escoras têm propriedades de material idênticas às do betão utilizado no modelo, incluindo o diagrama tensão-deformação. A forma do cone determina a direção das escoras, que distribuem gradualmente a carga sobre a APC para a área de distribuição de cálculo. A densidade de área das escoras fictícias é variável em cada parte do cone e acrescenta uma área fictícia de betão na direção da carga. Ao nível da área carregada (A_c1), é adicionada uma área fictícia de betão de acordo com o rácio \(\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}\) (onde A_real é a área do apoio assumida no modelo de cálculo 2D), e esta área diminui linearmente até zero em direção à área de distribuição de cálculo (A_c2). Esta solução garante que a tensão de compressão no betão é constante em todo o volume do cone.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}} - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

A resistência da área parcialmente carregada é aumentada de acordo com o rácio entre a área de distribuição de cálculo e a área carregada, conforme estabelecido na ACI 318-19 cap. 22.8. Deve ter-se em conta que se trata de um modelo de cálculo que não descreve com precisão o estado de tensão numa área parcialmente carregada, cujo fluxo real é muito mais complexo. No entanto, esta solução permite a distribuição correta da carga para todo o modelo, respeitando a capacidade de carga aumentada da área parcialmente carregada. Além disso, introduz corretamente tensões transversais nesta zona para dimensionar adequadamente a armadura para as forças de fendilhamento.

A tensão de apoio admissível de 0.85f_c' está indicada na Tabela 22.8.3.2. A densidade é limitada de modo a não exceder a capacidade dupla máxima indicada na fórmula da Tabela 22.8.3.2(b).

Para as zonas de ancoragem, a APC é utilizada na aplicação da mesma forma que para os apoios. Por esse motivo, as zonas locais definidas no capítulo 25.9 da ACI 318-19 devem ser verificadas manualmente de acordo com a ACI 318-19 25.9.3. A APC é, portanto, utilizada apenas para evitar exceder o critério de deformação na zona local e, assim, interromper prematuramente o cálculo. Por outro lado, de acordo com a ACI 318-19, Cl. 25.9.4.3.1 (b), a armadura que resiste às tensões de bursting e spalling no plano pode ser verificada de forma direta e vantajosa na aplicação.

5.5 Verificações em estado limite de utilização

As verificações em estado limite de utilização são realizadas para limitação de tensões, largura de fissuras e limites de deformação. As tensões são verificadas nos elementos de betão e armadura de acordo com ACI 318-19, de forma semelhante à especificada para a Resistência.

Limitação de tensões

As tensões de compressão admissíveis no betão sob carga de serviço devem ser verificadas para elementos pré-esforçados das Classes U e T. Com base na Tabela R24.5.2.1, não é necessária verificação do limite de tensão para betão que se assume estar fendilhado. O utilizador deve definir a classe do elemento pré-esforçado nas definições do elemento de cálculo.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}\]

A tensão de compressão admissível para elementos sujeitos a cargas transitórias é especificada pela ACI 318-19 24.5.4.1 como 0.6f_c'. O limite de tensão de compressão de 0.45f_c' foi estabelecido para reduzir a probabilidade de rotura de elementos de betão pré-esforçado devido a cargas repetidas. Este limite também pareceu razoável para evitar deformações excessivas por fluência. Para valores de tensão mais elevados, as deformações por fluência tendem a aumentar mais rapidamente à medida que a tensão aplicada aumenta.

A tensão de compressão no betão é avaliada como o rácio entre a tensão principal máxima de compressão f_c = σ_c₂obtida da análise por elementos finitos para a utilização e o valor limite, que é definido com base na Tabela 24.5.4.1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}\]

Na aplicação, Pré-esforço mais carga permanente é tratado como combinação de longa duração, e Pré-esforço mais carga total como combinação de curta duração.

Deformação

Com base no tipo de combinação selecionado (longa ou curta duração), é avaliada a deformação de longa ou curta duração, respetivamente. O valor máximo admissível de deformação deve ser determinado pelo utilizador e considerado de acordo com ACI 138-19 24.2.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}\]

Na aplicação, é possível visualizar as deformações devidas à carga permanente Δ_DL e à sobrecarga Δ_LL separadamente, bem como a deformação total Δ_Tot(permanente+variável), exibindo simultaneamente a forma deformada.

As deformações nas extremidades aparadas não podem ser verificadas.

Largura de fissura

As larguras e orientações de fissuras são calculadas para combinações de utilização de curta ou longa duração. Uma vez que a ACI não prescreve diretamente larguras limite de fissura, o utilizador deve especificar uma largura limite de fissura w_lim.

As verificações são apresentadas da seguinte forma:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

onde:

w largura de fissura de curta ou longa duração calculada pela análise por elementos finitos,

w_lim valor limite da largura de fissura definido pelo utilizador.

O método de cálculo das larguras de fissura utilizado na aplicação, também descrito com mais detalhe neste documento, está em conformidade com ACI 224R-01. É, portanto, possível utilizar a Tabela 4.1 da ACI 224R-01 para determinar o valor limite das larguras de fissura.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}\]

Existem duas formas de calcular as larguras de fissura (fendilhação estabilizada e não estabilizada). No caso geral (fendilhação estabilizada), a largura de fissura é calculada integrando as deformações nos elementos 1D das armaduras. A direção da fissura é então calculada a partir dos três pontos de integração mais próximos (do centro do elemento finito 1D de armadura em questão) dos elementos 2D de betão. Embora esta abordagem para o cálculo das direções das fissuras não corresponda à posição real das fissuras, fornece ainda assim valores representativos que conduzem a resultados de largura de fissura comparáveis com os valores de largura de fissura exigidos pela norma na posição da armadura.

6 Verificações estruturais segundo AASHTO

6.1 Modelos de materiais (AASHTO)

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para cálculos de resistência no CSFM baseia-se nas hipóteses de cálculo de resistência do AASHTO LRFD relativas ao equilíbrio e compatibilidade de deformações. De acordo com o Artigo 5.6.2.1 do AASHTO LRFD (2024), a resistência à tração do betão é desprezada.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, após atingir a tensão de pico, considera um ramo plástico com ε_c₀ com valor máximo de 5%, enquanto o AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.6.2.1 assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que entram em rotura por compressão. No entanto, a resistência é corretamente prevista quando, para além do fator do betão fendilhado (k_c₂ definido na (Fig. 57)), o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado através do fator de redução \(\eta_{fc}\) definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]

\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

onde:

α₁ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido no Artigo 5.6.2.2 do AASHTO LRFD (2024). Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão máxima de compressão por este fator. Isto faz a média da distribuição de tensões na zona comprimida de forma a que a resistência à compressão resultante seja inferior ou igual à resistência à compressão calculada com um diagrama tensão-deformação com ramo plástico decrescente.

Φ_cé o fator de resistência para o betão. O valor predefinido é estabelecido de acordo com o Artigo 5.5.4.2 do AASHTO LRFD (2024).

k_c₂ é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal.

f'_c é a resistência à compressão em cilindro do betão (em MPa para a definição de \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}\]

k_c₂ é um fator de redução baseado nas mesmas hipóteses que o fator de eficiência do betão ν indicado no AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a e Tabela 5.8.2.5.3a-1, exceto que no CSFM, a presença de uma tensão principal de tração perpendicular à tensão principal de compressão é verificada para cada elemento finito (não apenas nos nós do modelo Escora e tirante).

Betão – Verificação em Serviço

A análise em serviço contém certas simplificações dos modelos constitutivos utilizados para a análise de resistência. O ramo plástico do diagrama tensão-deformação do betão à compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão dos materiais resultantes em serviço estejam claramente abaixo dos seus pontos de cedência (consistente com a abordagem do estado limite de serviço do AASHTO LRFD). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados para a verificação em serviço só são válidos se todos os requisitos de verificação forem satisfeitos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Efeitos de longa duração

A lei constitutiva de longa duração (a curva vermelha na Fig. 59) é utilizada para o cálculo da largura de fendas, deflexão total e limitação de tensões em elementos pré-esforçados quando o efeito de longa duração é selecionado na barra de ferramentas superior. Na aplicação Detail da IDEA StatiCa, o módulo de elasticidade efetivo é utilizado para a verificação dos efeitos de longa duração, conforme mencionado no AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

\[E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}\]

onde:
E_c é o módulo de elasticidade definido no Artigo 5.4.2.4 do AASHTO LRFD (2024)
ψ é o coeficiente de fluência definido no Artigo 5.4.2.3.2 do AASHTO LRFD (2024)

Os fatores de fluência são definidos pelo utilizador nas propriedades dos materiais.

Efeitos de curta duração

Para realizar verificações de curta duração, é efetuado outro cálculo no qual todas as ações são calculadas sem o fator de fluência. Ambos os cálculos para verificações de longa e curta duração estão representados na Fig. 59.

Armadura

Considera-se um diagrama tensão-deformação perfeitamente elasto-plástico com um ponto de cedência definido para a armadura não pré-esforçada, ver Artigo 5.4.3 do AASHTO LRFD (2024). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura – a resistência e o módulo de elasticidade.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

onde:

Φ_sé o fator de resistência para a armadura. O valor predefinido é estabelecido de acordo com o Artigo 5.5.4.2 do AASHTO LRFD (2024).

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s módulo de elasticidade da armadura

10% é selecionado como a deformação limite à qual o cálculo é interrompido. Este valor é considerado seguro com base no Artigo 7 da ASTM A955/A955M-20c.

O enrijecimento à tração (Fig. 61) é contabilizado automaticamente mediante a modificação da relação tensão-deformação de entrada da barra de armadura isolada, de forma a capturar a rigidez média das barras embebidas no betão (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

6.2 Fatores de resistência e de ação

Os valores dos fatores de resistência são prescritos na AASHTO LRFD (2024), Artigo 5.5.4. Os valores predefinidos para o betão e a armadura são escolhidos de forma conservadora, com base no pressuposto de que o exemplo típico resolvido é uma região D — um caso típico para o método Escora-e-tirante. No entanto, é possível modelar qualquer tipo de elemento. Assim, se for avaliado um elemento controlado por compressão ou por tração, o utilizador tem a opção de alterar o valor do fator de redução de resistência nas Preferências.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Os fatores de ação e as combinações de ações devem ser definidos de acordo com as AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artigo 3.4.1 e Tabelas 3.4.1-1 a 3.4.1-6. A AASHTO LRFD especifica explicitamente as combinações de ações para o estado limite de resistência (Strength I a Strength V), bem como as combinações ao nível de serviço (Service I a Service IV), incluindo os correspondentes fatores de ação para cada caso.

Para cada modelo, o programa inclui combinações básicas predefinidas que requerem complementação em função do elemento a analisar.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

6.3 Estado limite de resistência

As diferentes verificações exigidas pela AASHTO são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são realizadas para a resistência do betão, resistência da armadura e ancoragem (tensões de corte de aderência).

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão como a razão entre a tensão na armadura nas fissuras f_s e o valor limite especificado f_y,lim.

A tensão de corte de aderência é avaliada independentemente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise de elementos finitos e a resistência de aderência f_bu.

No entanto, uma vez que a resistência de aderência não está explicitamente definida na AASHTO, o seu valor deve ser determinado utilizando as equações que definem o comprimento de ancoragem. A resistência de aderência é, de facto, o dado de entrada principal para determinar o comprimento de ancoragem; ver, por exemplo, o artigo AASHTO LRFD (2024) C5.10.8.2 ou o Relatório NCHRP 733, Anexo E, página E-9.

O cálculo descrito nos artigos 5.10.8.2.1 e 5.10.8.2.2 da AASHTO LRFD (2024), que requer o conhecimento do espaçamento máximo entre eixos da armadura transversal dentro de l_d, o número de varões ou fios desenvolvidos ao longo do plano de fendilhamento, a área total da secção transversal de toda a armadura transversal e outras grandezas geométricas que não podem ser determinadas de forma fiável no modelo da aplicação Detail para entradas gerais, foi adotada uma abordagem a partir do artigo 5.11.2.1.1 da AASHTO LRFD (2014) da seguinte forma:

Assumamos que, se ancorarmos o varão de armadura num bloco de betão até ao comprimento de ancoragem l_d ou superior, a extração da armadura conduzirá à rotura da armadura e não à extração do betão. Isto pode ser expresso pela seguinte fórmula.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}\]

onde:

d_b é o diâmetro do varão de armadura
l_d é o comprimento de ancoragem
f_bu é a resistência de aderência
f_y é a tensão de cedência da armadura
A_b é a área do varão de armadura

A partir do exposto, a fórmula para o cálculo da resistência de aderência pode ser facilmente deduzida.

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

O comprimento de ancoragem básico à tração l_db é determinado no artigo 5.11.2.1.1 da AASHTO LRFD (2014) da seguinte forma:

Para varões n.º 11 e menores: \(l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)\)

Para varões n.º 14: \(l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}\)

Para varões n.º 18: \(l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}\)

onde:

A_b é a área do varão de armadura (in²)
f_y é a tensão de cedência especificada da armadura (ksi)
f'_c resistência à compressão especificada do betão aos 28 dias, salvo indicação de outra idade (ksi)
d_b é o diâmetro do varão de armadura (in)

Em seguida, multiplicando o comprimento de ancoragem básico l_db pelos fatores descritos nos artigos 5.11.2.1.2 e 5.11.2.1.3 da AASHTO LRFD (2014), determina-se o comprimento de ancoragem l_d como dado de entrada.

Os fatores de modificação que reduzem o comprimento de ancoragem do artigo 5.11.2.1.3 são sempre iguais a 1,0 na aplicação. O fator de modificação para armadura horizontal superior ou quase horizontal é igual a 1,4 para condições de aderência "deficientes", de acordo com a figura seguinte:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a) b) 'good' bond conditions for all bars; c) d) unhatched zone – 'good' bond conditions, hatched zone – 'poor' bond conditions}}}\]

A direção de betonagem pode ser definida na aplicação.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}\]

Todos os outros fatores determinados no artigo 5.11.2.1.2 são iguais a 1,0 porque apenas betão de peso normal é suportado e apenas armadura não revestida é suportada.

A tensão de corte de aderência e a resistência de aderência de varões à compressão são calculadas de forma análoga aos varões à tração, mas são utilizadas as equações do artigo 5.11.2.2 da AASHTO LRFD (2014).

Existe também a opção de modelar varões lisos. Mais informações podem ser encontradas aqui: Varões lisos em Detail

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise de elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

\[F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}\]

onde A_b é a área do varão de armadura e f_s é a tensão no varão.

Ou como a soma da força de ancoragem F_ae da força de aderência F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

onde F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência que pode ser obtida integrando a tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento do varão de armadura l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s é o perímetro do varão de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento do varão considerando a resistência do varão e também as condições de ancoragem (aderência entre betão e armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

onde C_s é o perímetro do varão de armadura e l é o comprimento desde o início do varão até ao ponto de interesse.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

onde F_lim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 deve ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem varão reto (ou seja, sem redução na extremidade de ancoragem), gancho a 90 graus, gancho a 180 graus, aderência perfeita e varão contínuo. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 67 para armadura longitudinal. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados são derivados da comparação da equação da secção 5.11.2.1 da AASHTO LRFD (2014) e das equações retiradas da secção 5.11.2.4.1 da AASHTO LRFD (2014). Deve notar-se que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução no comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30% do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada, e (iii) aderência perfeita.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

O coeficiente de ancoragem para estribos (disponível para elemento de viga) é sempre - β = 1,0.

Para cumprir com a AASHTO, a mola de ancoragem deve ser utilizada no cálculo. A mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve usar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e fim da armadura.

6.4 Resistência das zonas de apoio e ancoragem – Áreas parcialmente carregadas

De acordo com as normas atualmente em vigor para o dimensionamento de estruturas de betão armado, o esmagamento local do betão e as forças de tração transversal devem ser considerados para os apoios. Para uma carga uniformemente distribuída numa área, A₁, a capacidade de compressão do betão pode ser aumentada até duas vezes em função da área de distribuição de cálculo A₂. Ver AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.6.5.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}\]

Para as zonas de ancoragem de pós-tensão, deve ser seguido o AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.8.4.4.

Áreas parcialmente carregadas no CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Utilizando o CSFM, é possível dimensionar e verificar estruturas de betão armado incluindo a influência do aumento da resistência à compressão do betão em áreas parcialmente carregadas. Como o CSFM é um modelo de parede (2D) e as áreas parcialmente carregadas constituem uma tarefa espacial (3D), foi necessário encontrar uma solução que combinasse estes dois tipos distintos de tarefas (Fig. 69). Se a função "áreas parcialmente carregadas" estiver ativada, a geometria do cone admissível é criada de acordo com o ACI (Fig. 68). Todas as colisões geométricas são resolvidas integralmente em 3D para a geometria do elemento de betão especificada e as dimensões de cada APC. Subsequentemente, é criado um modelo de cálculo da área parcialmente carregada.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

A modificação do modelo de material revelou-se uma abordagem inadequada, principalmente porque o mapeamento de propriedades para a malha de elementos finitos é problemático. Concluiu-se que uma abordagem independente da malha de elementos finitos constitui uma solução mais adequada. São criadas escoras fictícias absolutamente coerentes para a geometria conhecida do cone de compressão (Fig. 70 e Fig. 71). Estas escoras possuem propriedades de material idênticas às do betão utilizado no modelo, incluindo o diagrama tensão-deformação. A forma do cone determina a direção das escoras, que distribuem gradualmente a carga sobre a APC para a área de distribuição de cálculo. A densidade superficial das escoras fictícias é variável em cada parte do cone e acrescenta uma área fictícia de betão na direção da carga. Ao nível da área carregada (A₁), é adicionada uma área fictícia de betão de acordo com o rácio \(\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}\) (onde A_real é a área do apoio considerada no modelo de cálculo 2D), e esta área diminui linearmente até zero em direção à área de distribuição de cálculo (A₂). Esta solução garante que a tensão de compressão no betão é constante em todo o volume do cone.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}} - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

A resistência da área parcialmente carregada é aumentada de acordo com o rácio entre a área de distribuição de cálculo e a área carregada, conforme estabelecido no AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.6.5. Importa recordar que se trata de um modelo de cálculo que não descreve com precisão o estado de tensão numa área parcialmente carregada, cujo fluxo real é consideravelmente mais complexo. No entanto, esta solução permite a distribuição correta da carga para todo o modelo, respeitando a capacidade de carga aumentada da área parcialmente carregada. Além disso, introduz corretamente tensões transversais nesta zona para o dimensionamento adequado da armadura para forças de fendilhamento.

A tensão de apoio admissível de 0.85f_c' está indicada no AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.8.4.4. A densidade é limitada de modo a não exceder a capacidade dupla máxima indicada na fórmula 5.6.5-3.

Para as zonas de ancoragem, a APC é utilizada da mesma forma que para os apoios na aplicação. Por esse motivo, as tensões de compressão nas zonas local e global definidas nos Artigos 5.8.4.4 e 5.8.4.5 devem ser verificadas manualmente. A APC é, portanto, utilizada apenas para evitar a ultrapassagem do critério de deformação na zona local e, consequentemente, a interrupção prematura do cálculo. Por outro lado, a armadura que resiste às tensões de bursting, spalling no plano e tensões de bordo em zonas gerais (definidas no Artigo 5.8.4.5) pode ser verificada de forma direta e vantajosa na aplicação.

6.5 Estado limite de serviço

As verificações de serviço são realizadas para limitação de tensões, largura de fendas e limites de deformação. As tensões são verificadas em elementos de betão e armadura de acordo com a AASHTO LRFD de forma semelhante à especificada para o Estado Limite Último.

Limitação de tensões

A tensão de compressão no betão é avaliada apenas para elementos pré-esforçados (quando o caso de carga de Pré-esforço está presente no modelo) como a razão entre a tensão principal máxima de compressão f_c = σ_c₂obtida da análise por elementos finitos para a verificação em serviço e os valores limite, que são definidos com base na Tabela 5.9.2.3.2a-1 da AASHTO LRFD.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}\]

Na aplicação, Pré-esforço mais carga permanente é tratado como carga sustentada, e Pré-esforço, carga permanente e carga variável como carga total.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}\]

Além disso, é sempre possível realizar uma análise para efeitos de curto prazo e de longo prazo, utilizando modelos de material que consideram ou não o fator de fluência — consulte a secção "Modelos de material (AASHTO)".

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}\]

Deformação

As deformações instantâneas e as deformações totais são avaliadas para cada combinação em que a avaliação de deformação está ativada.

Para deformações instantâneas, é utilizado o módulo de elasticidade E_c de acordo com o artigo 5.4.2.4 da AASHTO LRFD (2024).
Para deformações totais, é utilizado o módulo de elasticidade efetivo E_c,eff de acordo com o artigo C5.12.5.3.6 da AASHTO LRFD (2024).

Consulte o capítulo 'Modelos de material (AASHTO) - Betão – Serviço' neste documento.

A verificação de deformação é ativada na barra de ferramentas superior. O utilizador define os valores limite de deformação de acordo com o artigo 2.5.2.6.2 da AASHTO LRFD (2024), em função do tipo de elemento em análise.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}\]

As deformações nas extremidades aparadas não podem ser verificadas.

Largura de fenda

As larguras e orientações de fendas são calculadas apenas para efeitos de longo prazo (utilizando E_c,eff de acordo com o artigo C5.12.5.3.6 da AASHTO LRFD (2024)) para combinações em que a avaliação da largura de fenda está ativada. As verificações com base nos valores limite definidos pelo utilizador são as seguintes:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

onde:

w largura de fenda calculada pela análise por elementos finitos,

w_lim valor limite da largura de fenda definido pelo utilizador.

O valor limite w_lim deve ser determinado com base no tipo de elemento e na classe de exposição, de acordo com o artigo 5.6.7 da AASHTO LRFD (2024) e respetivo comentário.

Existem duas formas de calcular as larguras de fendas (fendilhação estabilizada e não estabilizada). No caso geral (fendilhação estabilizada), a largura de fenda é calculada integrando as deformações nos elementos 1D das armaduras. A direção da fenda é então calculada a partir dos três pontos de integração mais próximos (do centro do elemento finito 1D de armadura em causa) dos elementos 2D de betão. Embora esta abordagem para o cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, fornece ainda assim valores representativos que conduzem a resultados de largura de fenda comparáveis com os valores de largura de fenda exigidos pela norma na posição da armadura.

7 Verificações estruturais segundo a norma australiana AS 3600 (2018)

A avaliação da estrutura utilizando o CSFM é realizada por duas análises distintas: uma para combinações de ações em estado limite de utilização e outra para combinações de ações de resistência. A análise de utilização pressupõe que o comportamento sob cargas fatoradas é satisfatório e que as condições de cedência do material não serão atingidas aos níveis de carga de utilização. Esta abordagem permite a utilização de modelos constitutivos simplificados (com um ramo linear do diagrama tensão-deformação do betão) na análise de utilização, de forma a melhorar a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo.

O CSFM é um método de análise estrutural que satisfaz as regras gerais dos capítulos 6.1.1 e 6.1.2 e é definido como (f) análise de tensões não linear no capítulo 6.1.3 - e posteriormente no capítulo 6.6.

A análise pelo CSFM tem em conta todos os efeitos não lineares e inelásticos relevantes (exceto a retração) definidos em 6.6.3.

Para satisfazer os requisitos das secções 6.6.4 e 6.6.5 - mais informações podem ser encontradas na secção C6.6 da AS3600:2018 Sup 1:2022 - foram realizadas verificações e validações do método em diversas universidades. Artigos individuais que resumem os resultados de verificação e validação podem ser encontrados no seguinte link.

Verificações: Detail 2D

Uma vez que o IDEA StatiCa Detail é um programa de dimensionamento prático, a resistência característica fatorada à compressão em cilindro aos 28 dias f'_c é utilizada nos cálculos, conforme descrito no capítulo seguinte.

7.1 Modelos de materiais (AS 3600)

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para cálculos de resistência no CSFM baseia-se na curva tensão-deformação parabólica-plástica. A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, após atingir a tensão de pico, considera um ramo plástico com ε_c₀ com valor máximo de 5%, enquanto a AS 3600 Cl. 8.3.1 assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que entram em colapso por compressão. No entanto, a resistência é corretamente prevista quando, para além do fator do betão fendilhado (k_c₂ definido na (Fig. 77)), o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado através do fator de redução \(\eta_{fc}\) definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

onde:

α₂ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido na AS 3600 Cl. 8.3.1
Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão máxima de compressão por este fator. Isto faz a média da distribuição de tensões na zona comprimida de tal forma que a resistência à compressão resultante é menor ou igual à resistência à compressão calculada utilizando um diagrama tensão-deformação com um ramo plástico decrescente. Uma abordagem análoga é definida para o bloco retangular de tensões no Capítulo 8.1.3.

Φ_sé o fator de redução de tensão para o betão. O valor predefinido é definido de acordo com a AS 3600 Tabela 2.2.3.

β é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal (também referido como k_c₂ neste texto)

f'_c é a resistência cilíndrica do betão (em MPa para a definição de \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 77\qquad The compression softening law.}}}\]

β é um fator de redução baseado nos mesmos princípios que um fator de resistência à compressão efetiva definido no Capítulo 2.2.3. A bibliografia com base na qual este fator é determinado pode ser encontrada (incluindo o contexto da norma AS3600) na AS3600:2018 Sup 1:2022 CL. C2.2.3.

Betão – Verificação em Serviço

A análise em serviço contém certas simplificações dos modelos constitutivos utilizados para a análise de resistência. O ramo plástico da curva tensão-deformação do betão à compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão resultantes nos materiais em serviço estejam claramente abaixo dos seus pontos de cedência (conforme exigido pela AS3600). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados para a verificação em serviço só são válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 78\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Efeitos de longa duração

Na análise em serviço, os efeitos de longa duração do betão são considerados utilizando o coeficiente de fluência de cálculo de acordo com a AS 3600 CL 3.1.8 (φ_cc, assumido com o valor predefinido de 2,5), que modifica o módulo de elasticidade secante do betão (E_c) da seguinte forma:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\varphi_{cc}}\]

Os incrementos de carga são calculados sequencialmente na seguinte ordem: Pré-esforço - Permanente - Variável, utilizando o módulo de elasticidade efetivo apropriado para cada incremento, conforme indicado na Fig. 78. Os fatores de fluência são definidos pelo utilizador nas propriedades dos materiais e devem ser calculados de acordo com a AS 3600 CL 3.1.8.3

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 79\qquad Definition of the design creep factor}}}\]

Efeitos de curta duração

Para realizar verificações de curta duração, é efetuado outro cálculo no qual todas as cargas são calculadas sem o fator dependente do tempo para cargas de longa duração. Ambos os cálculos para verificações de longa e curta duração estão representados na Fig. 78.

Armadura

Considera-se um diagrama tensão-deformação perfeitamente elasto-plástico com um ponto de cedência definido para a armadura não pré-esforçada, ver AS 3600 Secção 3.2. A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura – a resistência e o módulo de elasticidade.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 80 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

onde:

Φ_sé o fator de redução de resistência para a armadura. O valor predefinido é definido de acordo com a AS 3600 Tabela 2.2.3.

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s módulo de elasticidade da armadura

O enrijecimento à tração (Fig. 81) é contabilizado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação de entrada da barra de armadura isolada, de forma a capturar a rigidez média das barras embebidas no betão (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 81\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

7.2 Redução de tensões e fatores de carga

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com os códigos de dimensionamento modernos. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades de materiais padrão, o formato do coeficiente de segurança parcial prescrito nos códigos de dimensionamento pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as ações de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas utilizando os respetivos fatores de redução de tensões, exatamente como na análise convencional de betão.

Os valores dos fatores de redução de tensões são prescritos na AUS 3600 Cl. 2.2.3. Os valores predefinidos para o betão e a armadura são definidos de acordo com a Tabela 2.2.3

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 82\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Os fatores de carga para combinações de Resistência devem ser definidos de acordo com a AS 3600 Cl. 4.2.2. Os fatores de carga para combinações de Serviceabilidade devem ser determinados de acordo com a Tabela 4.1. Para todos os modelos, os fatores de carga já estão predefinidos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 83\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

7.3 Verificações de resistência e ancoragem

As diferentes verificações exigidas pela AS 3600 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão como a razão entre a tensão na armadura nas fendas f_s e o valor limite especificado f_sy,lim.

A tensão de corte de aderência é avaliada de forma independente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise de elementos finitos e a tensão de aderência última de cálculo f_bu.

Para a determinação da tensão de aderência última de cálculo f_bu, a fórmula C13.1.2.2 definida na AS3600:2018 Sup 1:2022 é considerada na aplicação.

\[f_{bu}=\frac{k_{2}}{k_{1} \cdot k_{3}} \cdot (0.5 \cdot \sqrt{f'_{c}})\]

Onde f'_c ≤ 65 MPa (na fórmula está em MPa), e os fatores k são determinados a partir da AS 3600 Cl. 13.1.2.2 da seguinte forma:

k₃ = 0.7 (valor conservador para toda a armadura)
k₂ = (132 - d_b) / 100 (d_b é o diâmetro do varão em milímetros)
= 1.3 para uma barra horizontal com mais de 300 mm de betão betonado abaixo da barra, ou 1.0 nos restantes casos

k₁ é automaticamente derivado da posição da armadura no modelo e da direção de betonagem que pode ser definida na aplicação para cada item do projeto da seguinte forma.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 84\qquad Direction of concreting}}}\]

O comprimento de ancoragem básico L_sy,tb é calculado de acordo com a fórmula 13.1.2.2 da AS 3600 da seguinte forma:

\[L_{sy,tb}=\frac{0.5\cdot k_{1}\cdot k_{3}\cdot f_{sy}\cdot d_{b}}{k_{2}\cdot \sqrt{f'_{c}}}\ge 29 \cdot k_{1}\cdot d_{b}\]

Como se pode observar na fórmula, o comprimento de ancoragem básico L_sy,tb é limitado inferiormente e, por conseguinte, a tensão de aderência última de cálculo f_bu deve ser limitada da mesma forma na aplicação, pelo que se aplica o seguinte:

\[f_{bu}\le \frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Onde f_sy está em MPa.

A derivação da limitação de f_bu é a seguinte:

\[f_{bu}= \frac{f_{sy}\cdot A_{s}}{ \pi \cdot d_{b} \cdot L_{sy,tb}}=\frac{f_{sy}\cdot \pi \cdot d_{b}^{2}}{4 \cdot \pi \cdot d_{b} \cdot 29 \cdot k{1} \cdot d_{b}} =\frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}} \]

Existe também a opção de modelar varões lisos. Mais informações podem ser encontradas aqui: Varões lisos em Detail

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise de elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

onde A_s é a área do varão de armadura e f_s é a tensão no varão.

Ou como a soma da força de ancoragem F_ae da força de aderência F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

onde F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência que pode ser obtida integrando a tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento do varão de armadura l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s é o perímetro do varão de armadura.

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

onde C_s é o perímetro do varão de armadura e l é o comprimento desde o início do varão até ao ponto de interesse.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 85\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

onde F_lim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos adjacentes. F_lim,2 deve ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem varão reto (ou seja, sem redução na extremidade de ancoragem), gancho normalizado, gancho padrão, aderência perfeita e varão contínuo. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 86 para a armadura longitudinal. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados são derivados da AS 3600 Cl. 13.1.2. Deve notar-se que o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução no comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 50% do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada, e (iii) aderência perfeita.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 86\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) Standard cog; (c) Standard hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

O coeficiente de ancoragem para estribos é sempre - β = 1.0.

Para cumprir a AS 3600, a mola de ancoragem deve ser utilizada no cálculo; a mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve usar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e fim da armadura.

7.4 Verificações em estado limite de serviço

As verificações em estado limite de serviço são realizadas para larguras de fenda e limites de deformação.

Deformação

Com base no tipo de combinação selecionado (longo prazo ou curto prazo), é avaliada a deformação de longo prazo ou de curto prazo. O valor máximo admissível de deformação deve ser determinado pelo utilizador e considerado em conformidade com AS 3600 Cl. 2.3.2.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 87\qquad Maximum allowable deflection values}}}\]

Na aplicação, é possível apresentar as deformações devidas à carga permanente Δ_PL e à sobrecarga Δ_IL separadamente, bem como a deformação total Δ_Tot(permanente + sobrecarga), exibindo simultaneamente a forma deformada.

As deformações nas extremidades aparadas não podem ser verificadas.

Largura de fenda

As larguras de fenda e as orientações das fendas são calculadas para combinações de serviço de curto prazo ou de longo prazo. O método de cálculo direto das larguras de fenda na aplicação está em conformidade com (baseado em) o método indicado em AS 3600 8.6.2.3.

As verificações são apresentadas da seguinte forma:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

onde:

w largura de fenda de curto ou longo prazo calculada por análise de elementos finitos,

w_lim valor limite da largura de fenda definido pelo utilizador.

As larguras máximas de fenda recomendadas podem ser encontradas em AS3600:2018 Sup 1:2022 Tabela C2.3.3.1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 88\qquad Recommended final design crack widths}}}\]

Alternativamente, de acordo com AS3600:2018 Sup 1:2022 Cl. C8.6.1 - Para estruturas sujeitas a cargas de serviço de longo prazo, os valores recomendados para w_lim são os seguintes:

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 89\qquad Recommended values for the limit value of the crack width for beams based on exposure classes}}}\]

Existem duas formas de calcular as larguras de fenda (fendilhação estabilizada e não estabilizada). No caso geral (fendilhação estabilizada), a largura de fenda é calculada integrando as deformações nos elementos 1D das barras de armadura. A direção da fenda é então calculada a partir dos três pontos de integração mais próximos (do centro do elemento finito 1D de armadura em questão) dos elementos 2D de betão. Embora esta abordagem para o cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, fornece ainda assim valores representativos que conduzem a resultados de largura de fenda comparáveis com os valores de largura de fenda exigidos pela norma na posição da barra de armadura.

8 Pré-esforço - descrição do modelo

8 Introdução e modelos de materiais

O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) é um método computacional baseado em tensões planas 2D, no qual o betão é modelado utilizando elementos finitos 2D aos quais são ligados elementos de armadura 1D por restrições. Podem também ser adicionados ao modelo tipos especiais de elementos 1D que representam armadura de pré-esforço aderente, os quais podem ser modelados como pré-tensionados e pós-tensionados.

A armadura de pré-esforço é modelada de forma semelhante à armadura convencional, utilizando elementos lineares que transmitem a força axial. Cada elemento individual de armadura de pré-esforço é caracterizado pela sua área e propriedades do material. Estas propriedades são definidas pela curva material característica de acordo com a norma utilizada (EN 1992-1-1, ACI 318-19, etc.)

EUROCODE

Diagrama tensão-deformação da armadura de pré-esforço: a) Diagrama tensão-deformação conforme definido na EN 1992-1-1; b) deformação inicial para armadura pré-tensionada

ACI

Diagrama tensão-deformação da armadura de pré-esforço: a) Diagrama tensão-deformação; b) deformação inicial para armadura pré-tensionada

Os elementos de armadura são ligados por um modelo de aderência aos elementos 2D do modelo de betão da mesma forma que a armadura de betão clássica.

Ler Tipos de elementos finitos

Os elementos do modelo de aderência permitem a deformação relativa da armadura de pré-esforço e do betão com características não lineares adequadas. Isto modela corretamente a coesão da armadura com o betão e também o modelo de ancoragem da armadura pré-tensionada. As modificações de extremidade da armadura pós-tensionada, por exemplo a placa de ancoragem, são modeladas por um elemento com uma rigidez correspondente à âncora na extremidade da armadura de pré-esforço, e a força de pré-esforço na extremidade é aplicada como uma carga de área no modelo de betão sobre uma área correspondente ao tamanho da placa de ancoragem. O modelo não consegue descrever corretamente o estado de tensão triaxial local na região sub-âncora, pelo que esta região deve ser considerada separadamente.

O enrijecimento à tração da armadura devido às interações com o betão não é considerado na armadura de pré-esforço, uma vez que se assume que o betão na vizinhança da armadura de pré-esforço se encontra em compressão.

Armadura pré-tensionada

A armadura pré-tensionada é pré-esforçada antes da betonagem do elemento; a armadura de pré-esforço é quase sempre disposta em linha reta, pelo que não ocorrem perdas de pré-esforço por atrito. Após atingida a resistência do betão necessária, a armadura é libertada dos blocos de ancoragem, ativando assim a armadura de pré-esforço e transferindo as forças da armadura para o betão. Este efeito é fisicamente equivalente ao arrefecimento da armadura e é modelado por uma deformação inicial semelhante à do carregamento térmico. Obtém-se assim um diagrama tensão-deformação da armadura de pré-esforço conforme ilustrado na figura acima em b). O modelo computacional calcula automaticamente a resposta em deformação da estrutura ao pré-esforço aplicado, determinando assim diretamente as perdas de pré-esforço por deformação elástica do elemento.

Uma vez que a força de pré-esforço é conhecida, e portanto também a tensão de pré-esforço σ_pmo, o diagrama material da armadura é utilizado para a dependência da tensão em relação à deformação e pode ser escrito como:

\[{{σ}_{p}}=~{{f}}({{ε}}-{{ε}_{0}})\]

Assumindo que o pré-esforço na armadura é inferior à tensão de cedência (ou seja, as condições definidas na EN 1992-1-1, capítulo 5.10.3 são satisfeitas), a deformação inicial pode também ser calculada como:

\[{{ε}_{0}}=\frac{{{σ}_{pm0}}}{{{E}_{p}}}\]

ε₀ - deformação inicial devida ao pré-esforço
σ_pm0 - tensão imediatamente antes da libertação
E_p - módulo de elasticidade da armadura de pré-esforço

A armadura pré-tensionada é específica pelo facto de a sua ancoragem nas extremidades ser realizada por vários mecanismos distintos - adesão da armadura e do betão a nível molecular, o atrito gerado na interface entre a superfície da armadura e o betão, o encravamento mecânico da armadura em espiral no betão, e o aumento do diâmetro da armadura de pré-esforço conhecido como mecanismo de cunha ou efeito Hoyer. Os efeitos acima mencionados são incluídos no modelo computacional CSFM através da modificação das propriedades do modelo de ancoragem na região de extremidade da armadura pré-tensionada.

Interação entre a armadura pré-tensionada e o betão: a) armadura em espiral encravada no betão; b) efeito Hoyer

Armadura pós-tensionada

A armadura pós-tensionada é pré-esforçada após a betonagem da estrutura. O dispositivo de pré-esforço apoia-se diretamente na estrutura, eliminando assim as perdas devidas à deformação elástica da estrutura por efeito do pré-esforço. Após atingida a força de pré-esforço desejada, a armadura é ancorada e, em seguida, as bainhas são injetadas, obtendo-se assim a aderência da armadura à estrutura. Na modelação da armadura pós-tensionada, o cálculo é, portanto, dividido em várias fases de carregamento - pré-esforço, aplicação de outras cargas permanentes e aplicação de cargas variáveis.

Malha de elementos finitos de betão com elementos de armadura de pré-esforço 1D associados:

Fase de carregamento "pré-esforço"

Durante o pré-esforço da armadura, a rigidez da armadura não é incorporada na rigidez da estrutura. Nesta fase de carregamento, a rigidez do elemento linear não é considerada no modelo; os elementos de armadura são substituídos por uma carga equivalente correspondente à tensão de pré-esforço e à área da armadura, conforme ilustrado na figura acima. Após atingir a carga total devida ao pré-esforço e a convergência desta fase de carregamento, é lida a deformação do elemento linear específico; com base nessa deformação, determina-se a deformação inicial ε₀ dos elementos lineares individuais da armadura de pré-esforço.

A tensão de pré-esforço pode ser definida manualmente ao longo do comprimento da armadura ou calculada automaticamente com base na geometria da armadura. Se for escolhido o cálculo automático das perdas, são consideradas as perdas por atrito (de acordo com a EN 1992-1-1, 5.10.5.2, ou ACI 318-19, 20.3.2) e o escorregamento da armadura (encravamento das cunhas de ancoragem) durante a ancoragem. Uma vez que toda a armadura de pré-esforço é aplicada numa única fase, as perdas por pré-esforço sucessivo não são consideradas.

Fases de carregamento subsequentes com armadura de pré-esforço ativa

Nas fases de carregamento seguintes (aplicação de outras cargas permanentes e variáveis), segue-se o mesmo procedimento que para a armadura pré-tensionada. É considerada a rigidez total da armadura de pré-esforço, é considerada a aderência entre a armadura e o betão envolvente, e o diagrama tensão-deformação da armadura de pré-esforço é modificado pela deformação inicial ε₀. Esta deformação é diferente para cada elemento e foi obtida na fase de carregamento anterior "pré-esforço". Devido à aderência da armadura ao betão, a variação do pré-esforço devida à deformação elástica da estrutura sob carga externa é corretamente considerada no modelo.

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IDEA StatiCa Detail – Dimensionamento estrutural de descontinuidades em betão

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1 Introdução ao método CSFM