El diseño y la evaluación de elementos de hormigón se realizan normalmente a nivel seccional (elemento 1D) o puntual (elemento 2D). Este procedimiento está descrito en todas las normativas de diseño estructural, por ejemplo, en (EN 1992-1-1 o ACI 318-19), y se utiliza en la práctica cotidiana de la ingeniería estructural. Sin embargo, no siempre se conoce o se respeta que el procedimiento solo es aceptable en zonas donde se aplica la hipótesis de Bernoulli-Navier de distribución plana de deformaciones (denominadas regiones B). Los lugares donde esta hipótesis no se aplica se denominan regiones de discontinuidad o perturbadas (regiones D). En la (Fig. 1) se muestran ejemplos de regiones B y D de elementos 1D. Estas son, por ejemplo, zonas de apoyo, partes donde se aplican cargas concentradas, ubicaciones donde se produce un cambio brusco en la sección transversal, aberturas, etc. Al diseñar estructuras de hormigón, encontramos muchas otras regiones D, como muros, diafragmas de puentes, ménsulas, etc.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]

En el pasado, se utilizaban reglas de diseño semiempíricas para dimensionar las regiones de discontinuidad. Afortunadamente, estas reglas han sido ampliamente superadas en las últimas décadas por los modelos de biela-tirante (Schlaich et al., 1987) y los campos de tensiones (Marti 1985), que están incluidos en los códigos de diseño actuales y son utilizados frecuentemente por los proyectistas hoy en día. Estos modelos son herramientas mecánicamente consistentes y potentes. Cabe señalar que los campos de tensiones pueden ser generalmente continuos o discontinuos, y que los modelos de biela-tirante son un caso especial de campos de tensiones discontinuos.

A pesar de la evolución de las herramientas computacionales en las últimas décadas, los modelos de Biela-y-tirante se siguen utilizando esencialmente como cálculos manuales. Su aplicación para estructuras reales es tediosa y consume mucho tiempo, ya que se requieren iteraciones y es necesario considerar varios casos de carga. Además, este método no es adecuado para verificar criterios de servicio (deformaciones, anchos de fisura, etc.).

El interés de los ingenieros estructurales en una herramienta fiable y rápida para diseñar regiones D llevó a la decisión de desarrollar el nuevo Método del Campo de Tensiones Compatible, un método para el diseño asistido por ordenador de campos de tensiones que permite el diseño y la evaluación automática de elementos de hormigón estructural sometidos a cargas en su plano.

El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) es un método continuo de análisis de campos de tensiones basado en elementos finitos, en el que las soluciones clásicas de campos de tensiones se complementan con consideraciones cinemáticas, es decir, se evalúa el estado de deformación en toda la estructura. Por lo tanto, la resistencia a compresión efectiva del hormigón puede calcularse automáticamente en función del estado de deformación transversal, de manera similar a los análisis de campos de compresión que tienen en cuenta el ablandamiento a compresión (Vecchio y Collins 1986; Kaufmann y Marti 1998) y el método EPSF (Fernández Ruiz y Muttoni 2007). Además, el CSFM considera la rigidización a tracción, proporcionando rigideces realistas a los elementos, y cubre todas las prescripciones de los códigos de diseño (incluidos los aspectos de servicio y capacidad de deformación) que los enfoques anteriores no abordaban de forma consistente. El CSFM utiliza leyes constitutivas uniaxiales comunes proporcionadas por las normativas de diseño para el hormigón y la armadura. Estas son conocidas en la fase de diseño, lo que permite utilizar el método de los coeficientes parciales de seguridad. Por lo tanto, los proyectistas no tienen que proporcionar propiedades de material adicionales, a menudo arbitrarias, como las que típicamente se requieren para los análisis no lineales de elementos finitos, lo que hace que el método sea perfectamente adecuado para la práctica de la ingeniería.

Para fomentar el uso de campos de tensiones asistidos por ordenador por parte de los ingenieros estructurales, estos métodos deben implementarse en entornos de software fáciles de usar. Con este fin, el CSFM ha sido implementado en IDEA StatiCa Detail; un nuevo software comercial fácil de usar desarrollado conjuntamente por la ETH Zúrich y la empresa de software IDEA StatiCa en el marco del proyecto DR-Design Eurostars-10571.

Principales supuestos y limitaciones del CSFM en 2D

El CSFM considera la tensión principal máxima del hormigón en compresión (σ_c₂_r) y las tensiones de la armadura (σ_sr) en las fisuras, mientras que desprecia la resistencia a tracción del hormigón (σ_c₁_r = 0), excepto por su efecto de rigidización sobre la armadura. La consideración de la rigidización a tracción permite simular las deformaciones medias de la armadura (ε_m). Se consideran fisuras ficticias, giratorias y sin tensiones que se abren sin deslizamiento (Fig. 2a), y también se tiene en cuenta el equilibrio en las fisuras junto con las deformaciones medias de la armadura.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}\)

A pesar de su simplicidad, se ha demostrado que supuestos similares producen predicciones precisas para elementos armados sometidos a cargas en el plano (Kaufmann 1998; Kaufmann y Marti 1998) si la armadura proporcionada evita fallos frágiles en la fisuración. Además, la no consideración de ninguna contribución de la resistencia a tracción del hormigón a la carga última es coherente con los principios de los códigos de diseño modernos, que se basan principalmente en la teoría de la plasticidad.

Sin embargo, el CSFM no es adecuado para elementos esbeltos sin armadura transversal, ya que se ignoran los mecanismos relevantes para dichos elementos, como el engranamiento de áridos, las tensiones de tracción residuales en la punta de la fisura y el efecto pasador, todos ellos dependientes directa o indirectamente de la resistencia a tracción del hormigón. Aunque algunas normas de diseño permiten el diseño de dichos elementos basándose en disposiciones semiempíricas, el CSFM no está concebido para este tipo de estructuras potencialmente frágiles.

Hormigón

El modelo de hormigón implementado en el CSFM se basa en las leyes constitutivas de compresión uniaxial prescritas por los códigos de diseño para el diseño de secciones transversales, que solo dependen de la resistencia a compresión. El diagrama parábola-rectángulo (Fig. 2c) se utiliza por defecto en el CSFM, pero los proyectistas también pueden elegir una relación elasto-plástica ideal más simplificada. Al verificar según el código ACI, solo es posible utilizar el diagrama tensión-deformación parábola-rectángulo. Como se ha mencionado anteriormente, la resistencia a tracción se desprecia, al igual que en el diseño clásico de hormigón armado.

La resistencia a compresión efectiva se evalúa automáticamente para el hormigón fisurado en función de la deformación principal de tracción (ε₁) mediante el factor de reducción k_c₂, como se muestra en las Figs. 2c y 2e. La relación de reducción implementada (Fig. 2e) es una generalización de la propuesta del fib Model Code 2010 para verificaciones de cortante, que contiene un valor límite de 0,65 para la relación máxima entre la resistencia efectiva del hormigón y la resistencia a compresión del hormigón, que no es aplicable a otros casos de carga.

El CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón en compresión (es decir, considera una rama infinitamente plástica tras alcanzar la tensión máxima). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan en compresión. Sin embargo, su capacidad última se predice correctamente cuando, además del factor de hormigón fisurado (k_c₂) definido en (Fig. 2e), se considera el aumento de la fragilidad del hormigón a medida que aumenta su resistencia mediante el factor de reducción \( \eta_{fc} \) definido en el fib Model Code 2010 de la siguiente manera:

\[f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

donde:

k_ces el factor de reducción global de la resistencia a compresión

k_c₂ es el factor de reducción debido a la presencia de fisuración transversal

f_c es la resistencia característica del hormigón en probeta cilíndrica (en MPa para la definición de \( \eta_{fc} \)).

También existe una reducción del factor k_c₂ por razones de estabilidad del cálculo. Esta reducción no influye en la resistencia total de los elementos. Tomando el valor f_cd como la resistencia de cálculo del hormigón (valor de cálculo), el valor de k_c₂ se reduce según las siguientes reglas.

σ_c₂_r < 0.11f_cd                                           k_c₂=1.0
0.11f_cd < σ_c₂_r < 0.37f_cd                          k_c₂ es una interpolación lineal entre 1,0 y el valor tomado del
                                                              gráfico mostrado en la Fig. 2f
σ_c₂_r > 0.37f_cd                                           k_c₂ se toma directamente del gráfico de la Fig. 2f

Armadura

Se considera el diagrama tensión-deformación bilineal idealizado para las barras de armadura desnudas, típicamente definido por los códigos de diseño (Fig. 2d). La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura durante la fase de diseño (resistencia y clase de ductilidad). También se puede definir una relación tensión-deformación definida por el usuario.

La rigidización a tracción se tiene en cuenta modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda con el fin de capturar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

Modelo de adherencia

El deslizamiento entre la armadura y el hormigón se introduce en el modelo de elementos finitos considerando la relación constitutiva rígida perfectamente plástica simplificada presentada en la Fig. 2f, siendo f_bd el valor de cálculo (valor mayorado) de la tensión de adherencia última especificada por el código de diseño para las condiciones de adherencia específicas.

Este es un modelo simplificado con el único propósito de verificar las prescripciones de adherencia según los códigos de diseño (es decir, el anclaje de la armadura). La reducción de la longitud de anclaje al utilizar ganchos, lazos y formas similares de barras puede considerarse definiendo una cierta capacidad en el extremo de la armadura, como se describirá más adelante.

Herramientas de diseño para armadura

Flujo de trabajo y objetivos

El objetivo de las herramientas de diseño de armadura en el CSFM es ayudar a los diseñadores a determinar la ubicación y la cantidad necesaria de barras de armadura de manera eficiente. Las siguientes herramientas están disponibles para ayudar / guiar al usuario en este proceso: cálculo lineal y optimización topológica.

Las herramientas de diseño de armadura consideran modelos constitutivos más simplificados que los modelos utilizados para la verificación final de la estructura. Por lo tanto, la definición de la armadura en este paso debe considerarse un prediseño que debe confirmarse/refinarse durante el paso de verificación final. El uso de las diferentes herramientas de diseño de armadura se ilustrará en el modelo mostrado en la Fig. 3, que consiste en un extremo de una viga simplemente apoyada con canto variable sometida a una carga uniformemente distribuida.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}\]

Análisis lineal

El análisis lineal considera propiedades de material elástico lineal y desprecia la armadura en la región de hormigón. Es, por tanto, un cálculo muy rápido que proporciona una primera visión de las ubicaciones de las zonas de tracción y compresión. Un ejemplo de dicho cálculo se muestra en la Fig. 4.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Optimización topológica

La optimización topológica es un método que tiene como objetivo encontrar la distribución óptima de material en un volumen dado para una determinada configuración de carga. La optimización topológica implementada en Idea StatiCa Detail utiliza un modelo de elementos finitos lineal. Cada elemento finito puede tener una densidad relativa del 0 al 100 %, que representa la cantidad relativa de material utilizado. Estas densidades de elemento son los parámetros de optimización en el problema de optimización. La distribución de material resultante se considera óptima para el conjunto de cargas dado si minimiza la energía de deformación total del sistema. Por definición, la distribución óptima es también la geometría que tiene la mayor rigidez posible para las cargas dadas.

El proceso de optimización iterativo comienza con una distribución de densidad homogénea. El cálculo se realiza para múltiples fracciones de volumen total (20 %, 40 %, 60 % y 80 %), lo que permite al usuario seleccionar el resultado más práctico. La forma resultante consiste en celosías con bielas y tirantes y representa la forma óptima para los casos de carga dados (Fig. 5).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\% effective volume}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}\]

Analysis model of IDEA StatiCa Detail

Introducción a la implementación del Método de los Elementos Finitos

El CSFM considera campos de tensiones continuos en el hormigón (elementos finitos 2D), complementados por elementos discretos de "barra" que representan la armadura (elementos finitos 1D). Por lo tanto, la armadura no está difusamente embebida en los elementos finitos 2D de hormigón, sino que se modela explícitamente y se conecta a ellos. En el modelo de cálculo se considera un estado plano de tensiones.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Se pueden modelar tanto muros y vigas completas, como detalles (partes) de vigas (región de discontinuidad aislada, también denominada extremo recortado). En el caso de muros y vigas completas, los apoyos deben definirse de manera que resulte una estructura (externamente) isostática (estáticamente determinada) o hiperestática (estáticamente indeterminada). La transferencia de carga en los extremos recortados de las vigas se introduce mediante una zona especial de transferencia de Saint-Venant, que garantiza una distribución realista de tensiones en la región de detalle analizada.

Apoyos y componentes de transmisión de cargas

Para modelar la mayoría de las situaciones durante el proceso de construcción, en el CSFM se dispone de muchos tipos de apoyos (Fig. 7) y componentes utilizados para la transmisión de cargas (Fig. 8).

Apoyos

El apoyo puntual puede modelarse de varias formas para garantizar que las tensiones no se localicen en un punto, sino que se distribuyan sobre un área mayor. La primera opción es un apoyo puntual distribuido (Fig. 7a), que distribuye uniformemente la carga en el borde del elemento sobre el ancho especificado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]

El apoyo de parche (Fig. 7d), por otro lado, solo puede colocarse dentro de un volumen de hormigón con un radio efectivo definido. A continuación, se conecta mediante elementos rígidos a los nodos de la malla de armadura dentro de este radio. Por lo tanto, es necesario definir una jaula de armadura alrededor del apoyo de parche.

Para el modelado más preciso de algunos escenarios reales, existen otras dos opciones para el apoyo puntual. En primer lugar, existe el apoyo puntual con una placa de apoyo de anchura y espesor definidos (Fig. 7b). El material de la placa de apoyo puede especificarse y toda la placa de apoyo se malla de forma independiente. En segundo lugar, existe un apoyo colgante disponible (Fig. 7e), que puede utilizarse para modelar anclajes de elevación o pernos de elevación.

El apoyo lineal (Fig. 7c) puede definirse en un borde (especificando su longitud) o dentro de un elemento (mediante una polilínea). También es posible especificar su rigidez y/o comportamiento no lineal (apoyo a compresión/tracción o solo a compresión).

Lea las descripciones detalladas en Tipos de apoyos en IDEA StatiCa Detail

Componentes de transmisión de cargas

La introducción de cargas en la estructura también puede modelarse de varias formas. Para cargas puntuales, se puede utilizar una placa de apoyo (Fig. 8a) de manera similar al apoyo puntual, distribuyendo la carga concentrada sobre un área mayor gracias a una placa de acero con anchura y espesor definidos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}\]

La carga puntual puede aplicarse directamente a la superficie de la estructura con un radio de acción definido (la carga se aplica a los elementos de hormigón) o a través de un dispositivo de transmisión especial denominado carga de parche (Fig. 8b y Fig. 9). La carga de parche permite transmitir la carga directamente a la armadura definida situada dentro del área del radio efectivo. Para garantizar el correcto funcionamiento de la carga de parche, es necesario definir un grupo de barras que se interconectarán con la carga (en las propiedades de la armadura). Cuando no se define la armadura interconectada, el mecanismo de transferencia de carga es el mismo que para la carga puntual colocada en la superficie de un elemento, y la carga se transfiere mediante las restricciones a los elementos de hormigón, no directamente a la armadura.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}\]

Los anclajes de elevación o pernos de elevación pueden modelarse mediante una carga colgante (Fig. 8c). El usuario puede utilizar un área parcialmente cargada (Fig. 8d), que permite aumentar la capacidad portante del hormigón a compresión según el Eurocódigo (no es posible utilizar este tipo de componente de transmisión de carga cuando se establece ACI). La estructura también puede cargarse con cargas lineales en los bordes, mediante una polilínea general o mediante cargas superficiales. La aplicación Detail es capaz de considerar automáticamente el peso propio en el análisis.

Transferencia de carga en los extremos recortados de las vigas

En muchos casos, necesitamos modelar solo algún detalle (parte) de un elemento estructural, como el apoyo de una viga, una abertura en el centro de la viga, etc. Este enfoque puede dar lugar a configuraciones de apoyo que son inestables pero admisibles en IDEA StatiCa Detail (incluido el caso de ningún apoyo). Sin embargo, en tales casos, también es necesario modelar la sección que representa la unión con la región B adyacente, incluyendo las fuerzas internas en esta sección que satisfacen el equilibrio. En ciertos casos (por ejemplo, al modelar el apoyo de una viga), estas fuerzas internas pueden determinarse automáticamente por el programa.

Entre la región B y la región de discontinuidad analizada, se crea automáticamente una zona de transferencia de Saint-Venant para garantizar una distribución realista de tensiones en la región analizada. El ancho de la zona de transferencia se determina como la mitad del canto de la sección. Dado que el único propósito de la zona de Saint-Venant es lograr una distribución adecuada de tensiones en el resto del modelo, no se muestran resultados de esta área en la verificación y no se consideran criterios de parada aquí.

El borde de la zona de Saint-Venant que representa el extremo recortado de la viga se modela como rígido, es decir, puede girar pero debe permanecer plano. Esto se realiza conectando todos los nodos del MEF del borde a un nodo separado en el centro de inercia de la sección mediante un elemento de cuerpo rígido (RBE2). Las fuerzas internas del elemento pueden entonces aplicarse en este nodo, como se muestra en la Fig. 10.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}\]

Modificación geométrica de secciones transversales

La reducción de la sección transversal se realiza automáticamente para estructuras definidas como una viga o nodo de pórtico (definidas por el eje x y una sección transversal). Esta modificación se aplica automáticamente en secciones transversales con alas muy anchas (Fig. 11) y se basa en la suposición de que un campo de tensiones de compresión se expandiría desde el alma en un ángulo de 45°, por lo que el ancho reducido mencionado sería el ancho máximo capaz de transferir cargas

Tenga en cuenta que el método para determinar el ancho eficaz del ala implementado en CSFM es diferente del indicado en 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) o en 9.2.4.4 ACI 318-19. Además de la geometría, el ancho eficaz del ala basado en el Eurocódigo se ve afectado explícitamente por las longitudes de vano y las condiciones de contorno de la estructura.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}\]

En el caso de cartelas situadas en el plano horizontal (Fig. 12), cada cartela se divide en cinco secciones a lo largo de su longitud. Cada una de estas secciones se modela como un muro de espesor constante, igual al espesor real en el punto medio de la sección correspondiente.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b) FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}\]

Tipos de elementos finitos

El modelo de análisis de elementos finitos no lineal (inelástico) se crea mediante varios tipos de elementos finitos utilizados para modelar el hormigón, la armadura y la adherencia entre ellos. Los elementos de hormigón y de armadura se mallan de forma independiente y luego se conectan entre sí mediante restricciones multipunto (elementos MPC). Esto permite que la armadura ocupe una posición arbitraria y relativa con respecto al hormigón. Si se va a calcular la verificación de la longitud de anclaje, se insertan elementos muelle de adherencia y de extremo de anclaje entre la armadura y los elementos MPC.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

Hormigón

El hormigón se modela mediante elementos lámina cuadrilaterales y trilaterales, CQUAD4 y CTRIA3. Estos pueden definirse por cuatro o tres nodos, respectivamente. En estos elementos solo se asume estado plano de tensiones, es decir, no se consideran las tensiones ni las deformaciones en la dirección z.

Cada elemento tiene cuatro o tres puntos de integración que se sitúan aproximadamente a 1/4 de su tamaño. En cada punto de integración de cada elemento se calculan las direcciones de las deformaciones principales α₁, α₂. En ambas direcciones, las tensiones principales σ_c₁, σ_c₂ y las rigideces E₁, E₂ se evalúan según el diagrama tensión-deformación del hormigón especificado, conforme a la Fig. 2. Cabe señalar que el impacto del efecto de ablandamiento a compresión acopla el comportamiento de la dirección principal de compresión al estado real de la otra dirección principal.

Armadura

Las barras se modelan mediante elementos 1D de dos nodos tipo "barra" (CROD), que solo tienen rigidez axial. Estos elementos se conectan a elementos especiales de "adherencia" que se desarrollaron para modelar el comportamiento de deslizamiento entre una barra de armadura y el hormigón circundante. Estos elementos de adherencia se conectan posteriormente mediante elementos MPC (restricción multipunto) a la malla que representa el hormigón. Este enfoque permite el mallado independiente de la armadura y el hormigón, mientras que su interconexión se garantiza posteriormente.

Elementos de adherencia

La longitud de anclaje se verifica implementando las tensiones tangenciales de adherencia entre los elementos de hormigón (2D) y los elementos de barra de armadura (1D) en el modelo de elementos finitos. Con este fin, se desarrolló un tipo de elemento finito de "adherencia".

La definición del elemento de adherencia es similar a la de un elemento lámina (CQUAD4). También está definido por 4 nodos, pero a diferencia de una lámina, solo tiene rigidez no nula a cortante entre los dos nodos superiores y los dos nodos inferiores. En el modelo, los nodos superiores están conectados a los elementos que representan la armadura y los nodos inferiores a los que representan el hormigón. El comportamiento de este elemento se describe mediante la tensión de adherencia, τ_b, como una función bilineal del deslizamiento entre los nodos superiores e inferiores, δ_u, véase la Fig. 14.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

El módulo de rigidez elástica de la relación adherencia-deslizamiento, G_b, se define como sigue:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

donde:

k_g coeficiente que depende de la superficie de la barra de armadura (por defecto k_g= 0,2)

E_c módulo de elasticidad del hormigón (tomado como E_cm en el caso de EN)

Ø el diámetro de la barra de armadura

Los valores de cálculo (valores mayorados) de la tensión tangencial de adherencia última, f_bd, proporcionados en las normas de cálculo seleccionadas EN 1992-1-1 o ACI 318-19, se utilizan para verificar la longitud de anclaje. El endurecimiento de la rama plástica se calcula por defecto como G_b/10⁵.

Muelle de anclaje

La disposición de extremos de anclaje en las barras de armadura (es decir, dobleces, ganchos, lazos…), que cumple con las prescripciones de las normas de cálculo, permite reducir la longitud de anclaje básica de las barras (l_b,net) por un cierto factor β (denominado a continuación 'coeficiente de anclaje'). El valor de cálculo de la longitud de anclaje (l_b) se calcula entonces como sigue:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

La reducción prevista en l_b,net es equivalente a la activación de la barra de armadura en su extremo a un porcentaje de su capacidad máxima dado por el coeficiente de reducción del anclaje, como se muestra en la Fig. 15a.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

La reducción de la longitud de anclaje se incluye en el modelo de elementos finitos mediante un elemento muelle en el extremo de la barra (Fig. 15), que está definido por el modelo constitutivo mostrado en la Fig. 15b. La fuerza máxima transmitida por este muelle (F_au) es:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

donde :

β el coeficiente de anclaje basado en el tipo de anclaje,

A_s la sección transversal de la barra de armadura,

f_yd el valor de cálculo (valor mayorado) de la resistencia de fluencia de la armadura.

Mallado

Los elementos finitos se implementan internamente y el modelo de análisis se genera automáticamente sin necesidad de una interacción experta del usuario. Una parte importante de este proceso es el mallado.

Hormigón

Todos los elementos de hormigón se mallan conjuntamente. El tamaño de elemento recomendado es calculado automáticamente por la aplicación en función del tamaño y la forma de la estructura, teniendo en cuenta el diámetro de la barra de armadura más grande. Además, el tamaño de elemento recomendado garantiza que se generen un mínimo de 4 elementos en las partes delgadas de la estructura, como columnas esbeltas o losas delgadas, para asegurar resultados fiables en estas zonas. El número máximo de elementos de hormigón está limitado a 5000, pero este valor es suficiente para proporcionar el tamaño de elemento recomendado para la mayoría de las estructuras. Los proyectistas siempre pueden seleccionar un tamaño de elemento de hormigón definido por el usuario modificando el multiplicador del tamaño de malla predeterminado.

Armadura

La armadura se divide en elementos con aproximadamente la misma longitud que el tamaño del elemento de hormigón. Una vez generadas las mallas de armadura y hormigón, se interconectan con elementos de adherencia como se muestra en la Fig. 13.

Placas de apoyo

Las partes estructurales auxiliares, como las placas de apoyo, se mallan de forma independiente. El tamaño de estos elementos se calcula como 2/3 del tamaño de los elementos de hormigón en la zona de unión. Los nodos de la malla de la placa de apoyo se conectan entonces a los nodos del borde de la malla de hormigón mediante elementos de restricción de interpolación (RBE3).

Cargas y apoyos

Las cargas en parche y los apoyos en parche se conectan únicamente a la armadura, como se muestra en la Fig. 16. Por lo tanto, es necesario definir la armadura alrededor de ellos. La conexión a todos los nodos de la armadura dentro del radio efectivo se asegura mediante elementos RBE3 con peso igual.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Los apoyos lineales y las cargas lineales se conectan a los nodos de la malla de hormigón mediante elementos RBE3 en función del ancho especificado o del radio efectivo. El peso de las conexiones es inversamente proporcional a la distancia desde el apoyo o el impulso de carga.

Más información sobre la interconexión entre las cargas individuales y la malla en Descripción general de los impulsos de carga en la aplicación Detail

Método de solución y algoritmo de control de carga

Se utiliza un algoritmo estándar de Newton-Raphson (NR) completo para encontrar la solución a un problema de MEF no lineal.

En general, el algoritmo NR no converge con frecuencia cuando la carga total se aplica en un solo paso. Un enfoque habitual, que también se utiliza aquí, es aplicar la carga secuencialmente en múltiples incrementos y utilizar el resultado del incremento de carga anterior para iniciar la solución de Newton del siguiente. Para este propósito, se implementó un algoritmo de control de carga sobre el Newton-Raphson. En el caso de que las iteraciones NR no converjan, el incremento de carga actual se reduce a la mitad de su valor y se reintenta con las iteraciones NR.

Un segundo propósito del algoritmo de control de carga es encontrar la carga crítica, que corresponde a ciertos "criterios de parada": específicamente la deformación máxima en el hormigón, el deslizamiento máximo en los elementos de adherencia, el desplazamiento máximo en los elementos de anclaje y la deformación máxima en las barras de armadura. La carga crítica se encuentra mediante el método de bisección. En el caso de que el criterio de parada se supere en cualquier punto del modelo, los resultados del último incremento de carga se descartan y se calcula un nuevo incremento de la mitad del tamaño del anterior. Este proceso se repite hasta que la carga crítica se encuentra con una cierta tolerancia de error.

Para el hormigón, el criterio de parada se estableció en una deformación del 5% en compresión (es decir, alrededor de un orden de magnitud mayor que la deformación de rotura real del hormigón) y del 7% en tracción en los puntos de integración de los elementos de lámina. En tracción, el valor se estableció para permitir que primero se alcance la deformación límite en la armadura, que suele ser de alrededor del 5% sin tener en cuenta la rigidización a tracción. En compresión, el valor se eligió entre varias alternativas como uno que es suficientemente grande para que los efectos del aplastamiento sean visibles en los resultados, pero suficientemente pequeño para no causar demasiados problemas de estabilidad numérica.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Para la armadura, el criterio de parada se define en términos de tensiones. Dado que se modelan las tensiones en la fisura, el criterio en tracción corresponde a la resistencia a tracción de la armadura teniendo en cuenta el coeficiente de seguridad. El mismo valor se utiliza para el criterio en compresión.

El criterio de parada en los elementos de adherencia y los muelles de anclaje es α·δu_max, donde δu_max es el deslizamiento máximo utilizado en las verificaciones normativas y α = 10.

Presentación de resultados

Los resultados se presentan de forma independiente para el hormigón y para los elementos de armadura. Los valores de tensión y deformación en el hormigón se calculan en los puntos de integración de los elementos de lámina. Sin embargo, dado que no es práctico presentar los datos de esta manera, los resultados se presentan por defecto en los nodos, como el valor máximo de la tensión de compresión de los puntos de integración de Gauss adyacentes en los elementos conectados (Fig. 18). Cabe señalar que esta representación puede subestimar localmente los resultados en los bordes comprimidos de los elementos en el caso de que el tamaño del elemento finito sea similar al canto de la zona de compresión.

Fig. 18 - Elemento finito de hormigón con puntos de integración y nodos: presentación de los resultados para el hormigón en nodos y en elementos finitos.

Los resultados para los elementos finitos de armadura son constantes para cada elemento (un valor, por ejemplo, para las tensiones del acero) o lineales (dos valores, para los resultados de adherencia). Para los elementos auxiliares, como los elementos de placas de apoyo, solo se presentan las deformaciones.

Model verification

Estados límite y cálculo de la anchura de fisura

La evaluación de la estructura mediante el CSFM se realiza mediante dos análisis diferentes: uno para las combinaciones de carga en estado límite de servicio y otro para las de estado límite último. El análisis de servicio asume que el comportamiento último del elemento es satisfactorio y que las condiciones de plastificación del material no se alcanzarán en los niveles de carga de servicio. Este enfoque permite el uso de modelos constitutivos simplificados (con una rama lineal del diagrama tensión-deformación del hormigón) para el análisis de servicio, con el fin de mejorar la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo. Por lo tanto, se recomienda utilizar el flujo de trabajo presentado a continuación, en el que el análisis del estado límite último se lleva a cabo como primer paso.

Análisis del estado límite último

Las diferentes verificaciones requeridas por los códigos de diseño específicos se evalúan en función de los resultados directos proporcionados por el modelo. Las verificaciones ELU se realizan para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones de cortante de adherencia).

Para garantizar que un elemento estructural tiene un diseño eficiente, se recomienda encarecidamente realizar un análisis preliminar que tenga en cuenta los siguientes pasos:

Elegir una selección de las combinaciones de carga más críticas.
Calcular únicamente las combinaciones de carga del Estado Límite Último (ELU).
Utilizar una malla gruesa (aumentando el multiplicador del tamaño de malla predeterminado en Configuración (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Dicho modelo calculará muy rápidamente, lo que permitirá a los proyectistas revisar el detallado del elemento estructural de forma eficiente y volver a ejecutar el análisis hasta que se cumplan todos los requisitos de verificación para las combinaciones de carga más críticas. Una vez cumplidos todos los requisitos de verificación de este análisis preliminar, se sugiere incluir las combinaciones de carga última completas y utilizar un tamaño de malla fino (el tamaño de malla recomendado por el programa). El usuario puede cambiar el tamaño de malla mediante el multiplicador, que puede alcanzar valores de 0,5 a 5 (Fig. 19).

Los resultados y verificaciones básicos (tensión, deformación y utilización (es decir, el valor calculado/valor límite del código), así como la dirección de las tensiones principales en el caso de elementos de hormigón) se muestran mediante diferentes gráficos en los que la compresión se presenta generalmente en rojo y la tracción en azul. Los valores mínimos y máximos globales para toda la estructura pueden resaltarse, así como los valores mínimos y máximos para cada parte definida por el usuario. En una pestaña separada del programa, se pueden mostrar resultados avanzados como valores tensoriales, deformaciones de la estructura y tasas de armadura (efectiva y geométrica) utilizadas para calcular la rigidización a tracción de las barras de armadura. Además, se pueden presentar las cargas y reacciones para las combinaciones o casos de carga seleccionados.

Análisis del estado límite de servicio

Las verificaciones ELS se realizan para la limitación de tensiones, la anchura de fisura y los límites de deformación. Las tensiones se comprueban en los elementos de hormigón y armadura según el código aplicable de manera similar a la especificada para el ELU.

El análisis de servicio contiene ciertas simplificaciones de los modelos constitutivos que se utilizan para el análisis del estado límite último. Se asume una adherencia perfecta, es decir, la longitud de anclaje no se verifica en servicio. Además, la rama plástica de la curva tensión-deformación del hormigón en compresión se desprecia, mientras que la rama elástica es lineal e infinita. Estas simplificaciones mejoran la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo, y no reducen la generalidad de la solución siempre que los límites de tensión del material resultante en servicio estén claramente por debajo de sus puntos de plastificación (según lo exigido por las normativas). Por lo tanto, los modelos simplificados utilizados para el servicio solo son válidos si se cumplen todos los requisitos de verificación.

Cálculo del ancho de fisura y rigidización a tracción

Cálculo del ancho de fisura

Hay dos formas de calcular los anchos de fisura: fisuración estabilizada y no estabilizada. Según la cuantía geométrica de armadura en cada parte de la estructura se decide qué tipo de modelo de cálculo de fisuras se utilizará (TCM para fisuración estabilizada y POM para el modelo de fisuración no estabilizada).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Mientras que el CSFM proporciona un resultado directo para la mayoría de las verificaciones (p. ej., capacidad del elemento, flechas…), los resultados del ancho de fisura se calculan a partir de los resultados de deformación de la armadura proporcionados directamente por el análisis de elementos finitos siguiendo la metodología descrita en la Fig. 20. Se considera una cinemática de fisura sin deslizamiento (apertura pura de fisura) (Fig. 20a), lo cual es coherente con las hipótesis principales del modelo. Las direcciones principales de tensiones y deformaciones definen la inclinación de las fisuras (θ_r = θ_s= θ_e). Según la (Fig. 20b), el ancho de fisura (w) puede proyectarse en la dirección de la barra de armadura (w_b), dando lugar a:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

donde θ_b es la inclinación de la barra.

Tenga en cuenta que el programa muestra valores de θ_r y θ_b < π/2. Esto significa que la ecuación anterior es válida para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan cuadrantes diferentes del sistema de coordenadas cartesiano, como se muestra en la Fig. 20, donde la armadura atraviesa los cuadrantes I y III y la fisura los cuadrantes II y IV. Para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan los mismos cuadrantes, la ecuación debe modificarse de la siguiente manera:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

La componente w_b se calcula de forma coherente a partir de los modelos de rigidización a tracción integrando las deformaciones de la armadura. Para las regiones con patrones de fisuración completamente desarrollados, las deformaciones medias calculadas (e_m) a lo largo de las barras de armadura se integran directamente a lo largo de la separación entre fisuras (s_r), como se indica en la (Fig. 20c). Aunque este enfoque para calcular las direcciones de las fisuras no corresponde a la posición real de las fisuras, proporciona valores representativos que conducen a resultados de ancho de fisura comparables con los valores de ancho de fisura requeridos por la normativa en la posición de la barra de armadura.

Se observan situaciones especiales en las esquinas cóncavas de la estructura calculada. En este caso, la esquina predefine la posición de una fisura única que se comporta de forma no estabilizada antes de que se desarrollen fisuras adyacentes adicionales. Estas fisuras adicionales generalmente se desarrollan después del rango de servicio (Mata-Falcón 2015), lo que justifica calcular los anchos de fisura en dicha región como si fueran no estabilizadas (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Rigidización a tracción

La implementación de la rigidización a tracción distingue entre casos de patrones de fisuración estabilizada y no estabilizada. En ambos casos, el hormigón se considera completamente fisurado antes de la carga por defecto.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Fisuración estabilizada

En patrones de fisuración completamente desarrollados, la rigidización a tracción se introduce utilizando el Modelo de Cordón en Tracción (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que ha demostrado proporcionar excelentes predicciones de respuesta a pesar de su simplicidad (Burns 2012). El TCM asume una relación tensión tangencial de adherencia-deslizamiento escalonada, rígida y perfectamente plástica con τ_b= τ_b₀ =2 f_ctm para σ_s ≤ f_y y τ_b =τ_b₁ = f_ctm para σ_s> f_y. Tratando cada barra de armadura como un cordón en tracción – Fig. 22b y Fig. 22a – se puede determinar la distribución de la tensión tangencial de adherencia, las tensiones en el acero y en el hormigón y, por tanto, la distribución de deformaciones entre dos fisuras para cualquier valor dado de las tensiones máximas en el acero (o deformaciones) en las fisuras.

Para s_r = s_r₀, puede o no formarse una nueva fisura porque en el centro entre dos fisuras σ_c₁ = f_ct. En consecuencia, la separación entre fisuras puede variar en un factor de dos, es decir, s_r = λs_r₀, con l = 0,5…1,0. Asumiendo un cierto valor para λ, la deformación media del cordón (ε_m) puede expresarse como función de las tensiones máximas en la armadura (es decir, tensiones en las fisuras, σ_sr). Para el diagrama tensión-deformación bilineal idealizado de las barras de armadura desnudas considerado por defecto en el CSFM, se obtienen las siguientes expresiones analíticas en forma cerrada (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

donde:
E_sh el módulo de endurecimiento del acero E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s módulo de elasticidad de la armadura,

Ø diámetro de la barra de armadura,

s_rseparación entre fisuras,

σ_sr tensiones de la armadura en las fisuras,

σ_s tensiones reales de la armadura,

f_ylímite elástico de la armadura.

La implementación del CSFM en IDEA StatiCa Detail considera la separación media entre fisuras por defecto al realizar el análisis del campo de tensiones asistido por ordenador. La separación media entre fisuras se considera igual a 2/3 de la separación máxima entre fisuras (λ = 0,67), lo que sigue las recomendaciones realizadas sobre la base de ensayos de flexión y tracción (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Cabe señalar que los cálculos del ancho de fisura consideran una separación máxima entre fisuras (λ = 1,0) con el fin de obtener valores conservadores.

La aplicación del TCM depende de la cuantía de armadura y, por tanto, la asignación de un área de hormigón apropiada que trabaje a tracción entre las fisuras a cada barra de armadura es crucial. Se ha desarrollado un procedimiento numérico automático para definir la cuantía de armadura efectiva correspondiente (ρ_eff = A_s/A_c,eff) para cualquier configuración, incluida la armadura inclinada (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Fisuración no estabilizada

Las fisuras existentes en regiones con cuantías geométricas de armadura inferiores a ρ_cr, es decir, la cuantía mínima de armadura para la cual la armadura es capaz de soportar la carga de fisuración sin plastificar, son generadas por acciones no mecánicas (p. ej., retracción) o por la propagación de fisuras controladas por otras armaduras. El valor de esta armadura mínima se obtiene de la siguiente manera:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

donde:

f_y límite elástico de la armadura,

f_ct resistencia a tracción del hormigón,

n relación modular, n = E_s / E_c .

Para hormigón y acero de armadura convencionales, ρ_cr es aproximadamente del 0,6%.

Para estribos con cuantías de armadura inferiores a ρ_cr, la fisuración se considera no estabilizada y la rigidización a tracción se implementa mediante el Modelo de Arrancamiento (POM) descrito en la Fig. 22b. Este modelo analiza el comportamiento de una fisura única sin considerar interacción mecánica entre fisuras separadas, despreciando la deformabilidad del hormigón a tracción y asumiendo la misma relación escalonada, rígida y perfectamente plástica de tensión tangencial de adherencia-deslizamiento utilizada por el TCM. Esto permite obtener la distribución de deformaciones de la armadura (ε_s) en las proximidades de la fisura para cualquier tensión máxima del acero en la fisura (σ_sr) directamente a partir del equilibrio. Dado que la separación entre fisuras es desconocida para un patrón de fisuración no completamente desarrollado, la deformación media (ε_m) se calcula para cualquier nivel de carga sobre la distancia entre puntos con deslizamiento nulo cuando la barra de armadura alcanza su resistencia a tracción (f_t) en la fisura (l_ε,_avg en la Fig. 22b), dando lugar a las siguientes relaciones:

Los modelos propuestos permiten calcular el comportamiento de la armadura adherida, que finalmente se considera en el análisis. Este comportamiento (incluida la rigidización a tracción) para el acero de armadura europeo más común (B500B, con f_t / f_y = 1,08 y ε_u = 5%) se ilustra en la Fig. 22c-d.

Structural verifications according to Eurocode

Assessment of the structure using CSFM is performed by two different analyses: one for serviceability, and one for ultimate limit state load combinations. The serviceability analysis assumes that the ultimate behavior of the element is satisfactory, and the yield conditions of the material will not be reached at serviceability load levels. This approach enables the use of simplified constitutive models (with a linear branch of concrete stress-strain diagram) for serviceability analysis to enhance numerical stability and calculation speed.

Modelos de material (EN)

Hormigón - ELU

El modelo de hormigón implementado en el CSFM se basa en las leyes constitutivas de compresión uniaxial prescritas por EN 1992-1-1 para el diseño de secciones transversales, que solo dependen de la resistencia a compresión. El diagrama parábola-rectángulo especificado en EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 24a) se utiliza por defecto en el CSFM, pero los proyectistas también pueden elegir una relación elástica ideal plástica más simplificada según EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). La resistencia a tracción se desprecia, como ocurre en el diseño clásico de hormigón armado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Los diagramas tensión-deformación del hormigón para ELU: a) diagrama parábola-rectángulo; b) diagrama bilineal.}}}\]

La implementación del CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón en compresión (es decir, una vez alcanzada la tensión máxima, considera una rama plástica con ε_cu₂ (ε_cu₃) con un valor del 5%, mientras que EN 1992-1-1 asume una deformación última inferior al 0,35%). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan a compresión. Sin embargo, su capacidad última f_cd según EN 1992-1-1 3.1.3 se predice correctamente cuando, además del factor de hormigón fisurado (k_c₂ definido en (Fig. 25)), se considera el aumento de la fragilidad del hormigón a medida que aumenta su resistencia mediante el factor de reducción \(\eta_{fc}\) definido en el fib Model Code 2010 de la siguiente manera:

\[f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

donde:

α_cc es el coeficiente que tiene en cuenta los efectos a largo plazo sobre la resistencia a compresión y los efectos desfavorables resultantes de la forma en que se aplica la carga. Se determina según EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). El valor por defecto es 1,0.

k_ces el factor de reducción global de la resistencia a compresión

k_c₂ es el factor de reducción debido a la presencia de fisuración transversal

f_ck es la resistencia característica del cilindro de hormigón (en MPa para la definición de \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad La ley de ablandamiento a compresión.}}}\]

Hormigón - ELS

El análisis de servicio contiene ciertas simplificaciones de los modelos constitutivos que se utilizan para el análisis en estado límite último. La rama plástica de la curva tensión-deformación del hormigón en compresión se desprecia, mientras que la rama elástica es lineal e infinita. La ley de ablandamiento a compresión no se considera. Estas simplificaciones mejoran la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo y no reducen la generalidad de la solución siempre que los límites de tensión del material resultante en servicio estén claramente por debajo de sus puntos de fluencia (como exige el Eurocódigo). Por lo tanto, los modelos simplificados utilizados para el estado de servicio solo son válidos si se cumplen todos los requisitos de verificación.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Diagramas tensión-deformación del hormigón implementados para el análisis de servicio: verificaciones a corto y largo plazo.}}}\]

Efectos a largo plazo

En el análisis de servicio, los efectos a largo plazo del hormigón se consideran utilizando un coeficiente de fluencia efectivo infinito (\(\varphi\), tomado como valor de 2,5 por defecto) que modifica el módulo de elasticidad secante del hormigón (E_cm) según EN 1992-1-1, sección 3.1.4 (3) resp. 7.4.3 (5) de la siguiente manera:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

Al considerar los efectos a largo plazo, primero se calcula un paso de carga con todas las cargas permanentes considerando el coeficiente de fluencia (es decir, utilizando el módulo de elasticidad efectivo del hormigón, E_c,eff) y luego las cargas adicionales se calculan sin el coeficiente de fluencia (es decir, utilizando E_cm). Además, para realizar las verificaciones a corto plazo, se realiza otro cálculo en el que todas las cargas se calculan sin el coeficiente de fluencia. Ambos cálculos para las verificaciones a largo y corto plazo se representan en la Fig. 26.

Los factores de fluencia son definidos por el usuario en las propiedades del material y deben calcularse según EN 1992-1-1, Fig 3.1.

Armadura

Por defecto, se considera el diagrama bilineal idealizado tensión-deformación para las barras de armadura desnudas definido en EN 1992-1-1, sección 3.2.7 (Fig. 27). La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura durante la fase de diseño (resistencia y clase de ductilidad). Cuando se conozca, se puede considerar la relación tensión-deformación real de la armadura (laminada en caliente, trabajada en frío, templada y autorrevenida, …). El diagrama tensión-deformación de la armadura puede ser definido por el usuario, pero en este caso, es imposible asumir el efecto de rigidización a tracción (es imposible calcular la anchura de fisura). El uso del diagrama tensión-deformación con una rama superior horizontal no permite la verificación de la durabilidad estructural. Por lo tanto, es necesaria la verificación manual de los requisitos estándar de ductilidad.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Diagrama tensión-deformación de la armadura: a) diagrama bilineal con rama superior inclinada; b) diagrama bilineal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{con rama superior horizontal.}}}\)

La rigidización a tracción (Fig. 28) se tiene en cuenta automáticamente modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda para capturar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Esquema de la rigidización a tracción.}}}\]

Factores de seguridad

El Método del Campo de Tensiones Compatible cumple con los códigos de diseño modernos. Como los modelos de cálculo solo utilizan propiedades de material estándar, el formato de factor de seguridad parcial prescrito en los códigos de diseño puede aplicarse sin ninguna adaptación. De este modo, las cargas de entrada se mayoran y las propiedades características del material se reducen utilizando los respectivos coeficientes de seguridad prescritos en los códigos de diseño, exactamente como en el análisis convencional del hormigón. Los valores de los factores de seguridad del material prescritos en EN 1992-1-1 cap. 2.4.2.4 se establecen por defecto, pero el usuario puede cambiar los factores de seguridad en la Configuración de código y cálculo (Fig. 29).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Los factores de seguridad de carga deben ser definidos por el usuario en las Reglas de combinación para cada combinación no lineal de casos de carga (Fig. 30). Para todas las plantillas implementadas en IDEA StatiCa Detail, los factores de seguridad parciales ya están predefinidos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Mediante el uso de combinaciones de factores de seguridad parciales definidas por el usuario, los usuarios también pueden calcular con el CSFM utilizando el método del factor de resistencia global (Navrátil, et al. 2017), aunque este enfoque rara vez se utiliza en la práctica del diseño. Algunas directrices recomiendan utilizar el método del factor de resistencia global para el análisis no lineal. Sin embargo, en análisis no lineales simplificados (como el CSFM), que solo requieren las propiedades del material utilizadas en los cálculos manuales convencionales, sigue siendo más deseable utilizar el formato de seguridad parcial.

Áreas parcialmente cargadas (PLA)

Al diseñar estructuras de hormigón, nos encontramos con dos grandes grupos de áreas parcialmente cargadas (PLA): el primero comprende los apoyos, mientras que el otro consiste en áreas de anclaje. Según las normas actualmente vigentes para el diseño de estructuras de hormigón armado EN 1992-1-1 cap. 6.7 (Fig. 34), se debe considerar el aplastamiento local del hormigón y las fuerzas de tracción transversales para las áreas parcialmente cargadas. Para una carga uniformemente distribuida sobre un área, A_c0, la capacidad a compresión del hormigón puede incrementarse hasta tres veces dependiendo del área de distribución de cálculo A_c1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}\]

El área parcialmente cargada debe estar suficientemente armada con armadura transversal diseñada para transmitir las fuerzas de estallido que se producen en la zona. Para el diseño de la armadura transversal en áreas parcialmente cargadas, se utiliza el método Biela-y-tirante según el Eurocódigo. Sin la armadura transversal requerida, no es posible considerar el incremento de la capacidad a compresión del hormigón.

Áreas parcialmente cargadas en el CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Usando el CSFM, es posible diseñar y evaluar estructuras de hormigón armado incluyendo la influencia del incremento de la resistencia a compresión del hormigón en áreas parcialmente cargadas. Dado que el CSFM es un modelo de lámina (2D) y las áreas parcialmente cargadas son una tarea espacial (3D), fue necesario encontrar una solución que combine estos dos tipos diferentes de tareas (Fig. 35). Si se activa la función "áreas parcialmente cargadas", la geometría del cono admisible se crea según el Eurocódigo (Fig. 34). Todas las colisiones geométricas se resuelven completamente en 3D para la geometría especificada del elemento de hormigón y las dimensiones de cada PLA. Posteriormente, se crea un modelo computacional del área parcialmente cargada.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

La modificación del modelo de material resultó ser un enfoque inadecuado, principalmente porque la asignación de propiedades a la malla de elementos finitos es problemática. Se determinó que un enfoque independiente de la malla de elementos finitos es una solución más apropiada. Se crean bielas ficticias absolutamente coherentes para la geometría conocida del cono de compresión (Fig. 35 y Fig. 37). Estas bielas tienen propiedades de material idénticas al hormigón utilizado en el modelo, incluido el diagrama tensión-deformación. La forma del cono determina la dirección de las bielas, que distribuye gradualmente la carga sobre la PLA hacia el área de distribución de cálculo. La densidad superficial de las bielas ficticias es variable en cada parte del cono, y añade un área ficticia de hormigón en la dirección de la carga. Al nivel del área cargada (A_c0), se añade un área ficticia de hormigón según la relación \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\) (donde A_real es el área del apoyo asumida en el modelo computacional 2D), y esta área disminuye linealmente hasta cero hacia el área de distribución de cálculo (A_c1). Esta solución garantiza que la tensión de compresión en el hormigón sea constante en todo el volumen del cono.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}} - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

La resistencia del área parcialmente cargada se incrementa según la relación entre el área distribuida de cálculo y el área cargada establecida en EN 1992-1-1 (6.7). Debe recordarse que este es un modelo de cálculo que no puede describir con precisión el estado tensional sobre un área parcialmente cargada cuyo flujo real es mucho más complicado. Sin embargo, esta solución permite la correcta distribución de la carga a todo el modelo respetando la mayor capacidad de carga del área parcialmente cargada. Además, introduce correctamente las tensiones transversales en esta zona.

Al utilizar la función de áreas parcialmente cargadas para simular el incremento de la capacidad a compresión del hormigón, es necesario realizar la verificación normativa por separado según EN 1992-1-1, sección 6.7 (2). Las fuerzas de tracción transversales (fuerzas de hendimiento) transferidas por la armadura se verifican automáticamente.

Análisis del estado límite de servicio

Las evaluaciones del ELS se llevan a cabo para la limitación de tensiones, la anchura de fisura y los límites de deformación. Las tensiones se comprueban en los elementos de hormigón y armadura según EN 1992-1-1 de manera similar a la especificada para el ELU.

Limitación de tensiones

La tensión de compresión en el hormigón deberá limitarse para evitar fisuras longitudinales. Según EN 1992-1-1 cap. 7.2 (2), pueden producirse fisuras longitudinales si el nivel de tensión bajo la combinación característica de cargas supera un valor k₁f_ck. La tensión del hormigón en compresión se evalúa como la relación entre la tensión principal máxima de compresión σ_c = σ_c₂obtenida del análisis por EF para los estados límite de servicio y el valor límite σ_c,lim. Entonces:

\[\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}\]

\[σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]

donde:

f_ck resistencia característica a compresión en cilindro del hormigón,

k₁ =0.6.

Si la tensión en el hormigón bajo las cargas cuasipermanentes es inferior a k₂f_ck según EN 1992-1-1 Cl. 7.2(3), puede asumirse fluencia lineal. Si la tensión en el hormigón supera k₂f_ck, debe considerarse la fluencia no lineal (véase EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4). En IDEA StatiCa Detail solo puede asumirse la fluencia lineal según EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4 (3) (véase Modelos de material (EN)).

Puede asumirse que se evita una fisuración o deformación inaceptable si, bajo la combinación característica de cargas, la tensión de tracción en la armadura no supera k₃f_yk (EN 1992-1-1 cap. 7.2 (5)). La resistencia de la armadura se evalúa como la relación entre la tensión en la armadura en las fisuras σ_s = σ_sr y el valor límite especificado σ_s,lim:

\[\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}\]

\[σ_{s,lim} = k_3\cdot f_{yk}\]

donde:

f_yk límite elástico de la armadura,

k₃ =0.8.

Deformación

Las deformaciones solo pueden evaluarse para muros o vigas isostáticas (estáticamente determinadas) o hiperestáticas (estáticamente indeterminadas). En estos casos, se considera el valor absoluto de las deformaciones (comparado con el estado inicial antes de la carga), y el usuario debe establecer el valor máximo admisible de las deformaciones. Las deformaciones en los extremos recortados no pueden comprobarse, ya que son esencialmente estructuras inestables donde el equilibrio se satisface añadiendo fuerzas en los extremos, y por tanto las deformaciones no son realistas. Puede calcularse y comprobarse la deformación a corto plazo u_z,st o a largo plazo u_z,lt frente a los valores límite definidos por el usuario:

\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]

donde:

u_z deformación a corto o largo plazo calculada por análisis de EF,

u_z,lim valor límite de la deformación definido por el usuario.

Anchura de fisura

Las anchuras de fisura y las orientaciones de fisura se calculan únicamente para cargas permanentes, ya sea a corto plazo o a largo plazo. Las verificaciones respecto a los valores límite especificados por el usuario según el Eurocódigo se presentan de la siguiente manera:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

donde:

w anchura de fisura a corto o largo plazo calculada por análisis de EF,

w_lim valor límite de la anchura de fisura definido por el usuario.

Existen dos formas de calcular las anchuras de fisura (fisuración estabilizada y no estabilizada). En el caso general (fisuración estabilizada), la anchura de fisura se calcula integrando las deformaciones en los elementos 1D de las barras de armadura. La dirección de la fisura se calcula a partir de los tres puntos de integración más cercanos (desde el centro del elemento finito 1D de armadura dado) de los elementos 2D de hormigón. Aunque este enfoque para calcular las direcciones de las fisuras no corresponde a la posición real de las fisuras, proporciona valores representativos que conducen a resultados de anchura de fisura que pueden compararse con los valores de anchura de fisura requeridos por la normativa en la posición de la barra de armadura.

Structural verifications according to ACI 318-19

Assessment of the structure using the CSFM is performed by two different analyses: one for serviceability, and one for strength load combinations. The serviceability analysis assumes that the behavior under factored loads is satisfactory, and the yield conditions of the material will not be reached at serviceability load levels. This approach enables the use of simplified constitutive models (with a linear branch of concrete stress-strain diagram) for serviceability analysis to enhance numerical stability and calculation speed.

CSFM is in accordance with ACI 318-19, chapter 6.8.1.1. In order for the CSFM to meet the requirements from ACI 318-19 Section 6.8.1.2, a lot of verification testing was done at various universities. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

Verifications: Detail 2D

Modelos de material (ACI)

Hormigón - Resistencia

El modelo de hormigón implementado para los cálculos de resistencia en CSFM se basa en la curva tensión-deformación parabólico-plástica para el hormigón basada en la curva tensión-deformación parabólica de la Portland Cement Association descrita en las Notas de PCA sobre los Requisitos del Código de Construcción ACI 318-99 para Hormigón Estructural, Figura 6-8. La resistencia a tracción se desprecia, como ocurre en el diseño clásico de hormigón armado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}\]

La implementación del CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón en compresión (es decir, una vez alcanzada la tensión máxima, considera una rama plástica con ε_c₀ con un valor máximo del 5%, mientras que ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 asume una deformación última inferior al 0,3%). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan a compresión. Sin embargo, la resistencia se predice correctamente cuando, además del factor de hormigón fisurado (k_c₂ definido en (Fig. 39)), se considera el aumento de la fragilidad del hormigón a medida que aumenta su resistencia mediante el factor de reducción \(\eta_{fc}\) definido en el fib Model Code 2010 de la siguiente manera:

\[f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}\]

\[k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

donde:

α₁ es el factor de reducción de la resistencia a compresión del hormigón definido en ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Al utilizar un diagrama tensión-deformación de parábola-rectángulo, es necesario reducir la tensión de compresión máxima mediante este factor. Esto promedia la distribución de tensiones en la zona de compresión de tal manera que la resistencia a compresión resultante es menor o igual a la resistencia a compresión calculada mediante un diagrama tensión-deformación con una rama plástica decreciente.

Φ_ces el factor de reducción de resistencia para el hormigón. El valor predeterminado se establece según ACI 318-19 Tabla 24.2.1 (b)(f).

k_c₂ es el factor de reducción debido a la presencia de fisuración transversal.

f'_c es la resistencia a compresión del hormigón en probeta cilíndrica (en MPa para la definición de \( \eta_{fc} \)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}\]

k_c₂ es un factor de reducción basado en las mismas hipótesis que el coeficiente de zona nodal β_n dado en ACI 318-19 Tabla 23.9.2, excepto que en CSFM, la presencia de una tensión principal de tracción perpendicular a la tensión principal de compresión se verifica para cada elemento finito (no solo para los nodos del modelo de Biela y tirante).

Hormigón – Aptitud al servicio

El análisis de aptitud al servicio contiene ciertas simplificaciones de los modelos constitutivos que se utilizan para el análisis de resistencia. La rama plástica de la curva tensión-deformación del hormigón en compresión se desprecia, mientras que la rama elástica es lineal e infinita. La ley de ablandamiento a compresión no se considera. Estas simplificaciones mejoran la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo y no reducen la generalidad de la solución siempre que los límites de tensión del material resultante en servicio estén claramente por debajo de sus puntos de plastificación (como exige ACI). Por lo tanto, los modelos simplificados utilizados para la aptitud al servicio solo son válidos si se cumplen todos los requisitos de verificación.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Efectos a largo plazo

El comportamiento a largo plazo de la estructura, como las flechas a largo plazo o el cálculo de las anchuras de fisura causadas por cargas sostenidas, está influenciado por la fluencia del hormigón. ACI 318-19 en el párrafo 24.2.4.1.3 define el factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas – ξ que representa el efecto de la fluencia para una duración de carga sostenida especificada.

En la aplicación Detail, el módulo de elasticidad E_c se ajusta para determinar el comportamiento a largo plazo de la estructura mediante el factor ξ. El módulo de elasticidad ajustado se denomina E_c,eff – véase la Figura 40.

Suponiendo que la deformación del elemento se expresa mediante la deformación unitaria, se puede escribir que:

\[\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\]

donde:

ε₀ es la deformación a corto plazo (sin la influencia de la fluencia) y ε_creep es la deformación causada por la fluencia.

Usando la ley de Hooke, podemos escribir:

\[E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}\]

Sustituyendo \(\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)\) y \(\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}\) obtenemos:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}\]

La duración de la carga sostenida para la determinación del factor ξ puede establecerse individualmente para cada combinación de servicio a largo plazo.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}\]

Las flechas, tensiones y anchuras de fisura dependientes del tiempo se calculan entonces con un modelo de material modificado en el que el efecto del refinamiento de la compresión se tiene en cuenta automáticamente por la naturaleza del análisis de elementos finitos. Por lo tanto, no es necesario multiplicarlos adicionalmente por el factor definido en 24.2.4.1.1.

Efectos a corto plazo

Para realizar las verificaciones a corto plazo, se realiza otro cálculo en el que todas las cargas se calculan sin el factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas. Ambos cálculos para las verificaciones a largo y corto plazo se representan en la Fig. 40.

Armadura

Se considera un diagrama tensión-deformación perfectamente elasto-plástico con un límite elástico definido para la armadura no pretensada, véase ACI 319-19 CL. 20.2.1. La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura: la resistencia y el módulo de elasticidad.

El diagrama tensión-deformación de la armadura también puede ser definido por el usuario, pero en este caso, es imposible asumir el efecto de rigidización a tracción (es imposible calcular la anchura de fisura).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}\]

donde:

Φ_ses el factor de reducción de resistencia para la armadura. El valor predeterminado se establece según ACI 318-19 Tabla 24.2.1.

f_y es la resistencia a la fluencia de la armadura

E_s módulo de elasticidad de la armadura

El 10% se selecciona como la deformación límite en la que se detiene el cálculo. Esto se considera seguro según ASTM A955/A955M-20c Artículo 7.

La rigidización a tracción (Fig. 43) se tiene en cuenta automáticamente modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda para capturar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Factores de reducción de resistencia y de carga

Los valores de los factores de reducción de resistencia están prescritos en ACI 318-19 Cl. 21.2. Los valores predeterminados para el hormigón y la armadura se eligen en base a la suposición de que el ejemplo típico resuelto en la aplicación está controlado por cortante (según la Tabla 21.2.1 (b), (f), (g)). Sin embargo, es posible modelar cualquier tipo de elemento. Por lo tanto, si se evalúa un elemento controlado por compresión o tracción, el usuario tiene la opción de cambiar el valor del factor de reducción de resistencia en las Preferencias.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}\]

Factores de carga para combinaciones de Resistencia deberán definirse según ACI 318-19 Tabla 5.3.1.

Salvo lo indicado en el Capítulo 34, las combinaciones de carga a nivel de servicio no están definidas en ACI 318-19. Se recomienda utilizar reglas de combinación basadas en el Apéndice C de ASCE/SEI 7-16. Para todas las plantillas, los factores de carga ya están predefinidos.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Verificaciones de resistencia

Las diferentes verificaciones requeridas por ACI 318-19 se evalúan en función de los resultados directos proporcionados por el modelo. Las verificaciones se realizan para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones de adherencia por cortante).

La resistencia del hormigón a compresión se evalúa como la relación entre la tensión principal máxima de compresión f_c (también σ₂ en los resultados auxiliares) obtenida del análisis de elementos finitos y el valor límite f'_c,lim.

La resistencia de la armadura se evalúa tanto a tracción como a compresión como la relación entre la tensión en la armadura en las fisuras f_s y el valor límite especificado f_y,lim.

La tensión de adherencia por cortante se evalúa de forma independiente como la relación entre la tensión de adherencia τ_b calculada mediante el análisis de elementos finitos y la resistencia de adherencia f_bu.

Aunque la resistencia de adherencia no está definida explícitamente en ACI 318-19, el cálculo de la longitud de anclaje puede encontrarse en la Sección 25.4.2. Sin embargo, dado que la resistencia de adherencia es la entrada básica para determinar la longitud de anclaje, véase R25.4.1.1 y ACI Committee 408 1966, la resistencia de adherencia puede calcularse de la siguiente manera:

Supongamos que si anclamos la barra de armadura en un bloque de hormigón hasta la longitud de anclaje l_d o mayor, extraer la armadura conducirá a la rotura de la armadura y no a la extracción del hormigón. Esto puede escribirse con la siguiente fórmula.

\[\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}\]

donde:

d_b es el diámetro de la barra de armadura, l_d es la longitud de anclaje, f_bu es la resistencia de adherencia, f_y es el límite elástico de la armadura, y A_s es el área de la barra de armadura.

A partir de lo anterior, la fórmula para calcular la resistencia de adherencia puede derivarse fácilmente:

\[f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }\]

La longitud de anclaje l_d se determina entonces según la Tabla 25.4.2.3 de ACI 318-19 de la siguiente manera:

\[l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}\]

donde:

C = 25 (2,1 para métrico) para barras n.º 6 e inferiores y alambres corrugados, C = 20 (1,7 para métrico) para barras n.º 7 y superiores, λ = 1,0 para hormigón de peso normal, ψ_t, ψ_e_, ψ_g se determinan según la Tabla 25.4.2.3 de ACI 318-19.

Solo se admite armadura sin revestimiento o con revestimiento de zinc (galvanizada), por lo que ψ_e = 1,0. ψ_g se determina automáticamente a partir del grado de la armadura, y ψ_t se deriva automáticamente de la posición de la armadura en el modelo y de la dirección del hormigonado, que puede establecerse en la aplicación para cada elemento del proyecto de la siguiente manera.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}\]

Estas verificaciones se llevan a cabo con respecto a los valores límite apropiados para las partes respectivas de la estructura (es decir, a pesar de tener un único grado tanto para el hormigón como para el material de armadura, los diagramas tensión-deformación finales diferirán en cada parte de la estructura debido a los efectos de rigidización a tracción y ablandamiento a compresión).

También existe la opción de modelar barras lisas. Puede encontrarse más información aquí: Barras lisas en Detail

Fuerza total F_tot y fuerza límite F_lim

La fuerza total F_tot es un resultado del análisis de elementos finitos y puede definirse de dos maneras.

\[F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}\]

donde A_s es el área de la barra de armadura y f_s es la tensión en la barra.

O como suma de la fuerza de anclaje F_ay la fuerza de adherencia F_bond.

\[F_{tot}=F_{a}+F_{bond}\]

donde F_a es la fuerza real en el muelle de anclaje y F_bond es la fuerza de adherencia que puede obtenerse integrando la tensión de adherencia τ_b a lo largo de la longitud de la barra de armadura l.

\[F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx\]

C_s es el perímetro de la barra de armadura.

La fuerza límite F_lim es la fuerza máxima en el elemento de la barra considerando la resistencia de la barra y también las condiciones de anclaje (adherencia entre el hormigón y la armadura y ganchos de anclaje, lazos, etc.).

\[F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)\]

\[F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}\]

\[F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}\]

donde C_s es el perímetro de la barra de armadura, y l es la longitud desde el inicio de la barra hasta el punto de interés.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}\]

\[F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}\]

donde F_lim,add es la fuerza adicional calculada a partir de la magnitud del ángulo entre elementos vecinos. F_lim,2 debe ser siempre inferior a F_u.

Los tipos de anclaje disponibles en CSFM incluyen barra recta (es decir, sin reducción del extremo de anclaje), gancho a 90 grados, gancho a 180 grados, adherencia perfecta y barra continua. Todos estos tipos, junto con los coeficientes de anclaje β respectivos, se muestran en la Fig. 48 para la armadura longitudinal. Los valores de los coeficientes de anclaje adoptados se derivan de la comparación de la ecuación de la sección ACI 318-19 25.4.3.1 y las ecuaciones tomadas de la sección ACI 318-19 25.4.2.3. Cabe señalar que, a pesar de las diferentes opciones disponibles, CSFM distingue tres tipos de extremos de anclaje: (i) sin reducción en la longitud de anclaje, (ii) una reducción del 30% de la longitud de anclaje en el caso de un anclaje normalizado, y (iii) adherencia perfecta.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}\]

El coeficiente de anclaje para los estribos es siempre - β = 1,0.

Para cumplir con ACI, el muelle de anclaje debe utilizarse en el cálculo; el muelle de anclaje se modifica mediante el coeficiente β, por lo que el usuario debe utilizar uno de los tipos de anclaje disponibles al definir las condiciones de inicio y fin de la armadura.

Zonas de apoyo y anclaje – Áreas parcialmente cargadas

Al diseñar estructuras de hormigón, nos encontramos con dos grandes grupos de áreas parcialmente cargadas (APC) – el primero de ellos comprende los apoyos, mientras que el otro consiste en zonas de anclaje.

De acuerdo con las normas actualmente vigentes para el diseño de estructuras de hormigón armado ACI 318-19 cap. 22.8, se deben considerar el aplastamiento local del hormigón y las fuerzas de tracción transversal para los apoyos. Para una carga uniformemente distribuida sobre un área, A_c1, la capacidad a compresión del hormigón puede incrementarse hasta dos veces en función del área de distribución de cálculo A_c2. Véase la tabla 22.8.3.2 de ACI 318-19.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}\]

Para las zonas de anclaje postensadas, se debe seguir el ACI 318-19 cap. 25.9.

El área parcialmente cargada debe estar suficientemente armada con armadura transversal diseñada para transmitir las fuerzas de fisuración que se producen en la zona. Sin la armadura transversal requerida, no es posible considerar el incremento de la capacidad a compresión del hormigón.

Áreas parcialmente cargadas en CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Usando CSFM, es posible diseñar y verificar estructuras de hormigón armado incluyendo la influencia del incremento de la resistencia a compresión del hormigón en áreas parcialmente cargadas. Dado que CSFM es un modelo de lámina (2D) y las áreas parcialmente cargadas son una tarea espacial (3D), fue necesario encontrar una solución que combine estos dos tipos diferentes de tareas (Fig. 50). Si se activa la función "áreas parcialmente cargadas", la geometría del cono admisible se crea según el ACI (Fig. 49). Todas las colisiones geométricas se resuelven completamente en 3D para la geometría especificada del elemento de hormigón y las dimensiones de cada APC. Posteriormente, se crea un modelo computacional del área parcialmente cargada.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

La modificación del modelo de material resultó ser un enfoque inadecuado, principalmente porque la asignación de propiedades a la malla de elementos finitos es problemática. Se determinó que un enfoque independiente de la malla de elementos finitos es una solución más apropiada. Se crean bielas ficticias absolutamente coherentes para la geometría conocida del cono de compresión (Fig. 51 y Fig. 52). Estas bielas tienen propiedades de material idénticas al hormigón utilizado en el modelo, incluido el diagrama tensión-deformación. La forma del cono determina la dirección de las bielas, que distribuye gradualmente la carga sobre el APC hacia el área de distribución de cálculo. La densidad superficial de las bielas ficticias es variable en cada parte del cono, y añade un área ficticia de hormigón en la dirección de la carga. A nivel del área cargada (A_c1), se añade un área ficticia de hormigón según la relación \(\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}\) (donde A_real es el área del apoyo asumida en el modelo computacional 2D), y esta área disminuye linealmente hasta cero hacia el área de distribución de cálculo (A_c2). Esta solución garantiza que la tensión de compresión en el hormigón sea constante en todo el volumen del cono.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}} - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

La resistencia del área parcialmente cargada se incrementa según la relación entre el área distribuida de cálculo y el área cargada establecida en ACI 318-19 cap. 22.8. Debe recordarse que se trata de un modelo de cálculo que no puede describir con precisión el estado tensional sobre un área parcialmente cargada cuyo flujo real es mucho más complejo. Sin embargo, esta solución permite la distribución correcta de la carga en todo el modelo respetando la mayor capacidad de carga del área parcialmente cargada. Además, introduce correctamente tensiones transversales en esta zona para diseñar correctamente la armadura frente a fuerzas de fisuración.

La tensión admisible de apoyo de 0.85f_c' se indica en la Tabla 22.8.3.2. La densidad está limitada de modo que no se supere la capacidad doble máxima indicada en la fórmula de la Tabla 22.8.3.2(b).

Para las zonas de anclaje, el APC se utiliza de la misma manera que para los apoyos en la aplicación. Por ello, las zonas locales definidas en el capítulo 25.9 de ACI 318-19 deben verificarse manualmente según ACI 318-19 25.9.3. El APC se utiliza, por tanto, únicamente para evitar superar el criterio de deformación en la zona local y así detener prematuramente el cálculo. Por otro lado, según ACI 318-19, Cl. 25.9.4.3.1 (b), la armadura que resiste las tensiones de estallido y descascarillado en el plano puede verificarse directa y ventajosamente en la aplicación.

Verificaciones de servicio

Las evaluaciones de servicio se llevan a cabo para la limitación de tensiones, el ancho de fisura y los límites de deformación. Las tensiones se verifican en los elementos de hormigón y armadura según ACI 318-19 de manera similar a la especificada para la Resistencia.

Limitación de tensiones

Las tensiones de compresión admisibles en el hormigón bajo carga de servicio deberán verificarse para elementos pretensados de Clase U y T. Según la Tabla R24.5.2.1, no se requiere verificación de limitación de tensiones para el hormigón que se supone fisurado. El usuario debe establecer la clase del elemento pretensado en la configuración del elemento de diseño.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}\]

La tensión de compresión admisible para elementos sometidos a cargas transitorias está especificada por ACI 318-19 24.5.4.1 como 0.6f_c'. El límite de tensión de compresión de 0.45f_c' se estableció para reducir la probabilidad de fallo de elementos de hormigón pretensado debido a cargas repetidas. Este límite también pareció razonable para evitar deformaciones excesivas por fluencia. A valores más altos de tensión, las deformaciones por fluencia tienden a aumentar más rápidamente a medida que aumenta la tensión aplicada.

La tensión del hormigón en compresión se evalúa como la relación entre la tensión principal máxima de compresión f_c = σ_c₂obtenida del análisis de elementos finitos para servicio y el valor límite, que se establece según la Tabla 24.5.4.1.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}\]

En la aplicación, Pretensado más carga sostenida se trata como una combinación a largo plazo, y Pretensado más carga total como una combinación a corto plazo.

Deformación

En función del tipo de combinación seleccionado (largo plazo o corto plazo), se evalúa la deformación a largo plazo o a corto plazo. El valor máximo admisible de deformación deberá ser determinado por el usuario y deberá considerarse de acuerdo con ACI 138-19 24.2.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}\]

En la aplicación, es posible mostrar las deformaciones debidas a la carga permanente Δ_DL y a la sobrecarga de uso Δ_LL por separado, así como la deformación total Δ_Tot(permanente+variable), todo ello mostrando la forma deformada.

Las deformaciones en los extremos recortados no pueden verificarse.

Ancho de fisura

Los anchos de fisura y las orientaciones de fisura se calculan para combinaciones de servicio a corto plazo o a largo plazo. Dado que ACI no prescribe directamente anchos de fisura límite, el usuario debe especificar un ancho de fisura límite w_lim.

Las verificaciones se presentan de la siguiente manera:

\[\frac{w}{w_{lim}}\]

donde:

w ancho de fisura a corto o largo plazo calculado mediante análisis de elementos finitos,

w_lim valor límite del ancho de fisura definido por el usuario.

El método de cálculo de anchos de fisura utilizado en la aplicación, descrito también con más detalle en este documento, está de acuerdo con ACI 224R-01. Por lo tanto, es posible utilizar la Tabla 4.1 de ACI 224R-01 para determinar el valor límite de los anchos de fisura.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}\]

Existen dos formas de calcular los anchos de fisura (fisuración estabilizada y no estabilizada). En el caso general (fisuración estabilizada), el ancho de fisura se calcula integrando las deformaciones en los elementos 1D de las barras de armadura. La dirección de la fisura se calcula a partir de los tres puntos de integración más cercanos (desde el centro del elemento finito 1D de armadura dado) de los elementos 2D de hormigón. Aunque este enfoque para calcular las direcciones de las fisuras no corresponde a la posición real de las fisuras, proporciona valores representativos que conducen a resultados de ancho de fisura que pueden compararse con los valores de ancho de fisura requeridos por la normativa en la posición de la barra de armadura.

Structural verifications according to Australian standard AS 3600 (2018)

The CSFM is a structural analysis method that satisfies the general rules in Chapters 6.1.1 and 6.1.2 and is defined as (f) non-linear stress analysis in Chapter 6.1.3 - further in Chapter 6.6.

The analysis by CSFM takes into account all relevant non-linear and inelastic effects (except shrinkage) defined in 6.6.3.

In order to satisfy the requirements in Sections 6.6.4 and 6.6.5 - more can be found in AS3600:2018 Sup 1:2022 Section C6.6 - verification and validations of the method were done at various universities. Individual articles summarizing the results of verification and validation can be found at the following link.

Verifications: Detail 2D

Since IDEA StatiCa Detail is a practical design program, factored characteristic compressive cylinder strength at 28 days f'_c is used for calculations as is described in the next chapter.

Prestressing - model description

Introducción y modelos de materiales

El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) es un método computacional basado en tensiones planas 2D en el que el hormigón se modela mediante elementos finitos 2D a los que se conectan elementos de armadura 1D mediante restricciones. También pueden añadirse al modelo tipos especiales de elementos 1D que representan armadura de pretensado adherida, que puede modelarse como pretensada y postensada.

La armadura pretensada se modela de forma similar a la armadura convencional mediante elementos lineales que transmiten la fuerza axial. Cada elemento individual de armadura pretensada se caracteriza por su área y propiedades del material. Estas propiedades vienen dadas por la curva material característica según la normativa utilizada (EN 1992-1-1, ACI 318-19, etc.)

EUROCÓDIGO

Diagrama tensión-deformación de la armadura de pretensado: a) Diagrama tensión-deformación según se define en EN 1992-1-1; b) deformación inicial para armadura pretensada

ACI

Diagrama tensión-deformación de la armadura de pretensado: a) Diagrama tensión-deformación; b) deformación inicial para armadura pretensada

Los elementos de armadura se conectan mediante un modelo de adherencia a los elementos 2D del modelo de hormigón de la misma manera que la armadura de hormigón clásica.

Leer Tipos de elementos finitos

Los elementos del modelo de adherencia permiten la deformación relativa de la armadura pretensada y el hormigón con características no lineales apropiadas. Esto modela correctamente la cohesión de la armadura con el hormigón y también el modelo de anclaje de la armadura pretensada. Las modificaciones en los extremos de la armadura postensada, por ejemplo, la placa de anclaje, se modelan mediante un elemento con una rigidez correspondiente al anclaje en el extremo de la armadura de pretensado, y la fuerza de pretensado en el extremo se aplica como una carga superficial al modelo de hormigón sobre un área del tamaño de la placa de anclaje. El modelo no puede describir correctamente la tensión triaxial local en la región sub-anclaje, y esta región debe considerarse por separado.

La rigidización a tracción de la armadura debida a las interacciones con el hormigón no se considera en la armadura de pretensado porque se asume que el hormigón en las proximidades de la armadura de pretensado está en compresión.

Armadura pretensada

La armadura pretensada se tensa antes del hormigonado del elemento; la armadura de pretensado se traza casi siempre en línea recta, por lo que no se producen pérdidas de pretensado por fricción. Una vez alcanzada la resistencia del hormigón requerida, la armadura se libera de los bloques de anclaje, activando así la armadura pretensada y transfiriendo las fuerzas de la armadura al hormigón. Este efecto es físicamente equivalente al subenfriamiento de la armadura y se modela mediante una deformación inicial similar a la de la carga térmica. Esto da lugar a un diagrama tensión-deformación de la armadura pretensada como se muestra en la figura anterior en b). El modelo computacional calcula automáticamente la respuesta de deformación de la estructura al pretensado aplicado y, por tanto, determina directamente las pérdidas de pretensado por deformación elástica del elemento.

Dado que la fuerza de pretensado es conocida, y por tanto también la tensión de pretensado σ_pmo, el diagrama material de la armadura se utiliza para la dependencia de la tensión respecto a la deformación y puede escribirse como:

\[{{σ}_{p}}=~{{f}}({{ε}}-{{ε}_{0}})\]

Suponiendo que el pretensado en la armadura es inferior al límite elástico (es decir, se cumplen las condiciones definidas en EN 1992-1-1, capítulo 5.10.3), la deformación inicial también puede calcularse como:

\[{{ε}_{0}}=\frac{{{σ}_{pm0}}}{{{E}_{p}}}\]

ε₀ - deformación inicial por pretensado
σ_pm0 - tensión justo antes de la transferencia
E_p - módulo de elasticidad de la armadura de pretensado

La armadura pretensada es específica en que su anclaje en los extremos se logra mediante varios mecanismos diferentes: la adhesión de la armadura y el hormigón a nivel molecular, la fricción generada en la interfaz entre la superficie de la armadura y el hormigón, el empuje mecánico de la armadura en espiral hacia el hormigón, y un aumento del diámetro de la armadura de pretensado conocido como mecanismo de cuña o efecto Hoyer. Los efectos mencionados se incluyen en el modelo computacional CSFM mediante la modificación de las propiedades del modelo de anclaje en la región extrema de la armadura pretensada.

Interacción de la armadura pretensada y el hormigón: a) armadura en espiral empujando hacia el hormigón; b) efecto Hoyer

Armadura postensada

La armadura postensada se tensa después de que la estructura ha sido hormigonada. El dispositivo de pretensado se apoya directamente en la estructura, eliminando así las pérdidas debidas a la deformación elástica de la estructura por el pretensado. Una vez alcanzada la fuerza de pretensado deseada, la armadura se ancla y, a continuación, se inyectan las vainas de los cables, logrando así la adherencia de la armadura con la estructura. Al modelar la armadura postensada, el cálculo se divide por tanto en varios pasos de carga: pretensado, aplicación de otras cargas permanentes y aplicación de cargas variables.

Malla de hormigón de elementos finitos con elementos de armadura de pretensado 1D adjuntos:

Paso de carga "pretensado"

Al pretensar la armadura, la rigidez de la armadura no se incorpora a la rigidez de la estructura. En este paso de carga, la rigidez del elemento lineal no se considera en el modelo; los elementos de armadura se sustituyen por una carga equivalente correspondiente a la tensión de pretensado y el área de la armadura, como se muestra en la figura anterior. Tras alcanzar la carga total del pretensado y la convergencia de este paso de carga, se lee la deformación del elemento lineal específico; a partir de la deformación se determina la deformación inicial ε₀ de los elementos lineales individuales de la armadura de pretensado.

La tensión de pretensado puede definirse manualmente a lo largo de la longitud de la armadura o calcularse automáticamente en función de la geometría de la armadura. Si se elige el cálculo automático de pérdidas, se consideran la pérdida por fricción (según EN 1992-1-1, 5.10.5.2, o ACI 318-19, 20.3.2) y el deslizamiento de la armadura (presión de las cuñas de anclaje) durante el anclaje. Como toda la armadura de pretensado se aplica en un solo paso, no se considera la pérdida por pretensado sucesivo.

Pasos de carga posteriores con la armadura de pretensado activada

En los siguientes pasos de carga (aplicación de otras cargas permanentes y variables) se sigue el mismo procedimiento que para la armadura pretensada. Se considera la rigidez total de la armadura pretensada, se considera la adherencia entre la armadura y el hormigón circundante, y el diagrama tensión-deformación de la armadura pretensada se modifica mediante la deformación inicial ε₀. Esta deformación es diferente para cada elemento y se obtuvo del paso de carga anterior "pretensado". Debido a la adherencia de la armadura y el hormigón, el cambio de pretensado debido a la deformación elástica de la estructura por la carga exterior se considera correctamente en el modelo.

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References

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IDEA StatiCa Detail – Structural design of concrete discontinuities

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Structural design of concrete discontinuities in IDEA StatiCa Detail

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