El diseño y la comprobación de los elementos de hormigón se realizan normalmente a nivel de sección (elemento 1D) o de punto (elemento 2D). Este procedimiento se describe en todas las normas de diseño estructural, p. ej., en (EN 1992-1-1 o ACI 318-19), y se utiliza en la práctica diaria de la ingeniería estructural. Sin embargo, no siempre se conoce o se respeta que el procedimiento solo es aceptable en las zonas donde es válida la hipótesis de Bernoulli-Navier de distribución plana de deformaciones (denominadas regiones B). Los lugares donde esta hipótesis no es aplicable se denominan regiones de discontinuidad o regiones perturbadas (regiones D). En (Fig. 1) se muestran ejemplos de regiones B y D de elementos 1D. Se trata, por ejemplo, de zonas de apoyo, partes donde se aplican cargas concentradas, puntos donde se produce un cambio brusco de sección, aberturas, etc. Al diseñar estructuras de hormigón nos encontramos con muchas otras regiones D, como muros, diafragmas de puentes, ménsulas, etc. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

En el pasado, para dimensionar las regiones de discontinuidad se utilizaban reglas de diseño semiempíricas. Afortunadamente, en las últimas décadas estas reglas han sido sustituidas en gran medida por los modelos de biela-y-tirante (Schlaich et al., 1987) y los campos de tensiones (Marti 1985), que figuran en las normas de diseño vigentes y que los proyectistas utilizan con frecuencia en la actualidad. Estos modelos son herramientas potentes y mecánicamente coherentes. Cabe señalar que los campos de tensiones pueden ser, en general, continuos o discontinuos, y que los modelos de biela-y-tirante son un caso particular de campos de tensiones discontinuos.

A pesar de la evolución de las herramientas de cálculo en las últimas décadas, los modelos de Biela-y-tirante se siguen utilizando esencialmente como cálculos manuales. Su aplicación a estructuras reales es tediosa y requiere mucho tiempo, ya que son necesarias iteraciones y se deben considerar varios casos de carga. Además, este método no es adecuado para verificar los criterios de aptitud al servicio (deformaciones, anchos de fisura, etc.).

El interés de los ingenieros estructurales por disponer de una herramienta fiable y rápida para diseñar regiones D condujo a la decisión de desarrollar el nuevo Método del Campo de Tensiones Compatible, un método de diseño de campos de tensiones asistido por ordenador que permite el diseño y la comprobación automáticos de elementos estructurales de hormigón sometidos a cargas en el plano.

El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) es un método de análisis de campos de tensiones continuos basado en elementos finitos, en el que las soluciones clásicas de campos de tensiones se complementan con consideraciones cinemáticas, es decir, se evalúa el estado de deformación en toda la estructura. Por tanto, la resistencia a compresión efectiva del hormigón puede calcularse automáticamente a partir del estado de deformación transversal, de manera similar a los análisis de campos de compresión que tienen en cuenta el ablandamiento a compresión  (Vecchio y Collins 1986; Kaufmann y Marti 1998) y al método EPSF (Fernández Ruiz y Muttoni 2007). Además, el CSFM considera la rigidización a tracción, lo que proporciona rigideces realistas a los elementos, y abarca todas las prescripciones de las normas de diseño (incluidos los aspectos de aptitud al servicio y capacidad de deformación) que los enfoques anteriores no abordaban de forma coherente. El CSFM utiliza las leyes constitutivas uniaxiales habituales que proporcionan las normas de diseño para el hormigón y la armadura. Estas leyes se conocen en la fase de diseño, lo que permite utilizar el método de los coeficientes parciales de seguridad. Por consiguiente, los proyectistas no tienen que aportar propiedades adicionales de los materiales, a menudo arbitrarias, como las que suelen requerirse en los análisis de elementos finitos no lineales, lo que hace que el método sea perfectamente adecuado para la práctica de la ingeniería.

Para fomentar el uso de campos de tensiones asistidos por ordenador entre los ingenieros estructurales, estos métodos deben implementarse en entornos de software fáciles de usar. Con este fin, el CSFM se ha implementado en IDEA StatiCa Detail, un nuevo software comercial fácil de usar desarrollado conjuntamente por ETH Zurich y la empresa de software IDEA StatiCa en el marco del proyecto DR-Design Eurostars-10571.

El CSFM considera la tensión principal máxima de compresión del hormigón (σ_c2r) y las tensiones de la armadura (σ_sr) en las fisuras, despreciando la resistencia a tracción del hormigón (σ_c1r = 0), salvo por su efecto de rigidización sobre la armadura. La consideración de la rigidización a tracción permite simular las deformaciones medias de la armadura (ε_m). Se consideran fisuras ficticias, rotatorias y libres de tensiones que se abren sin deslizamiento (Fig. 2a), y también se tiene en cuenta el equilibrio en las fisuras junto con las deformaciones medias de la armadura. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

A pesar de su simplicidad, se ha demostrado que hipótesis similares proporcionan predicciones precisas para elementos de hormigón armado sometidos a cargas en el plano (Kaufmann 1998; Kaufmann y Marti 1998), siempre que la armadura dispuesta evite roturas frágiles en la fisuración. Además, no considerar ninguna contribución de la resistencia a tracción del hormigón a la carga última es coherente con los principios de las normas de cálculo modernas, que se basan mayoritariamente en la teoría de la plasticidad.

Sin embargo, el CSFM no es adecuado para elementos esbeltos sin armadura transversal, ya que se desprecian mecanismos relevantes para dichos elementos, como el engranamiento de los áridos, las tensiones residuales de tracción en el extremo de la fisura y el efecto pasador, todos ellos dependientes directa o indirectamente de la resistencia a tracción del hormigón. Aunque algunas normas de cálculo permiten el dimensionamiento de tales elementos mediante disposiciones semiempíricas, el CSFM no está concebido para este tipo de estructuras potencialmente frágiles.

Hormigón

El modelo de hormigón implementado en el CSFM se basa en las leyes constitutivas de compresión uniaxial prescritas por las normas de cálculo para el dimensionamiento de secciones transversales, que solo dependen de la resistencia a compresión. Por defecto, el CSFM utiliza el diagrama parábola-rectángulo (Fig. 2c), pero el proyectista también puede elegir una relación elástica-plástica ideal más simplificada. Al verificar según la norma ACI, solo es posible utilizar el diagrama tensión-deformación parábola-rectángulo. Como se ha mencionado anteriormente, la resistencia a tracción se desprecia, como ocurre en el cálculo clásico de hormigón armado.

La resistencia a compresión efectiva se evalúa automáticamente para el hormigón fisurado a partir de la deformación principal de tracción (ε₁) mediante el factor de reducción k_c2, como se muestra en la Fig. 2c y e. La relación de reducción implementada (Fig. 2e) es una generalización de la propuesta del fib Model Code 2010 para las verificaciones a cortante, que contiene un valor límite de 0,65 para la relación máxima entre la resistencia efectiva del hormigón y la resistencia a compresión del hormigón, el cual no es aplicable a otros casos de carga.

El CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón en compresión (es decir, considera una rama plástica infinita una vez alcanzada la tensión máxima). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan por compresión. Sin embargo, su capacidad última se predice correctamente cuando, además del factor del hormigón fisurado (k_c2) definido en (Fig. 2e), se considera el aumento de la fragilidad del hormigón al aumentar su resistencia mediante el factor de reducción $\eta_{fc}$ definido en el fib Model Code 2010 de la siguiente manera:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

donde:

k_c es el factor de reducción global de la resistencia a compresión

k_c2 es el factor de reducción debido a la presencia de fisuración transversal

f_c es la resistencia característica del hormigón en probeta cilíndrica (en MPa para la definición de $\eta_{fc}$).

También se aplica una reducción del factor k_c2 por razones de estabilidad del cálculo. Esta reducción no influye en la resistencia total de los elementos. Tomando el valor f_cd como la resistencia minorada del hormigón (valor de cálculo), el valor de k_c2 se reduce según las siguientes reglas.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 es una interpolación lineal entre 1,0 y el valor tomado del
                                                              gráfico mostrado en la Fig. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 se toma directamente del gráfico de la Fig. 2f

Armadura

Se considera el diagrama tensión-deformación bilineal idealizado para las barras de armadura desnudas, tal como suele definirse en las normas de cálculo (Fig. 2d). La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura durante la fase de proyecto (resistencia y clase de ductilidad). También se puede definir una relación tensión-deformación personalizada por el usuario.

La rigidización a tracción se tiene en cuenta modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda, con el fin de captar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

Modelo de adherencia

El deslizamiento por adherencia entre la armadura y el hormigón se introduce en el modelo de elementos finitos considerando la relación constitutiva simplificada rígido-perfectamente plástica presentada en la Fig. 2f, siendo f_bd el valor de cálculo (valor minorado) de la tensión de adherencia última especificada por la norma de cálculo para las condiciones de adherencia concretas.

Se trata de un modelo simplificado cuyo único propósito es verificar las prescripciones de adherencia según las normas de cálculo (es decir, el anclaje de la armadura). La reducción de la longitud de anclaje al utilizar ganchos, lazos y formas de barra similares puede considerarse definiendo una determinada capacidad en el extremo de la armadura, como se describirá más adelante. 

Flujo de trabajo y objetivos

El objetivo de las herramientas de cálculo de la armadura del CSFM es ayudar a los proyectistas a determinar de forma eficiente la ubicación y la cantidad necesaria de barras de armadura. Para guiar al usuario en este proceso, se dispone de las siguientes herramientas: el cálculo lineal y la optimización topológica.

Las herramientas de cálculo de la armadura consideran modelos constitutivos más simplificados que los empleados en la verificación final de la estructura. Por tanto, la definición de la armadura en esta fase debe considerarse un predimensionamiento que se confirmará o refinará durante la verificación final. El uso de las distintas herramientas de cálculo de la armadura se ilustrará con el modelo de la Fig. 3, que consiste en un extremo de una viga simplemente apoyada de canto variable sometida a una carga uniformemente distribuida.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Análisis lineal

El análisis lineal considera propiedades del material elásticas lineales y desprecia la armadura en la región de hormigón. Se trata, por tanto, de un cálculo muy rápido que ofrece una primera visión de la ubicación de las zonas traccionadas y comprimidas. En la Fig. 4 se muestra un ejemplo de este cálculo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Optimización topológica

La optimización topológica es un método que busca la distribución óptima de material en un volumen dado para una configuración de carga determinada. La optimización topológica implementada en Idea StatiCa Detail utiliza un modelo de elementos finitos lineal. Cada elemento finito puede tener una densidad relativa de 0 a 100 %, que representa la cantidad relativa de material utilizado. Estas densidades de los elementos son los parámetros de optimización del problema. La distribución de material resultante se considera óptima para el conjunto de cargas dado si minimiza la energía de deformación total del sistema. Por definición, la distribución óptima es también la geometría que presenta la mayor rigidez posible para las cargas dadas.

El proceso iterativo de optimización comienza con una distribución de densidad homogénea. El cálculo se realiza para varias fracciones de volumen total (20 %, 40 %, 60 % y 80 %), lo que permite al usuario seleccionar el resultado más práctico. La forma resultante consiste en celosías con bielas y tirantes y representa la forma óptima para los casos de carga dados (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

El CSFM considera campos de tensiones continuos en el hormigón (elementos finitos 2D), complementados por elementos discretos tipo «barra» que representan la armadura (elementos finitos 1D). Por lo tanto, la armadura no se embebe de forma difusa en los elementos finitos 2D del hormigón, sino que se modela explícitamente y se conecta a ellos. En el modelo de cálculo se considera un estado de tensión plana.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Se pueden modelizar tanto muros y vigas completos, como detalles (partes) de vigas (región de discontinuidad aislada, también denominada extremo recortado). En el caso de muros y vigas completas, los apoyos deben definirse de forma que resulte una estructura (externamente) isostática (estáticamente determinada) o hiperestática (estáticamente indeterminada). La transferencia de carga en los extremos recortados de las vigas se introduce mediante una zona de transferencia de Saint-Venant especial, que garantiza una distribución de tensiones realista en la región de detalle analizada.

Para modelar la mayoría de las situaciones que se dan durante el proceso de construcción, el CSFM dispone de muchos tipos de apoyos (Fig. 7) y de componentes para la transmisión de carga (Fig. 8).

Apoyos

El apoyo puntual puede modelarse de varias maneras para garantizar que las tensiones no se localicen en un solo punto, sino que se distribuyan sobre un área mayor. La primera opción es un apoyo puntual distribuido (Fig. 7a), que distribuye uniformemente la carga en el borde del elemento sobre el ancho especificado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

El apoyo tipo parche (Fig. 7d), en cambio, solo puede colocarse dentro de un volumen de hormigón con un radio efectivo definido. A continuación, se conecta mediante elementos rígidos a los nodos de la malla de armadura situados dentro de ese radio. Por tanto, es necesario definir una jaula de armadura alrededor del apoyo tipo parche.

Para modelar con mayor precisión algunos escenarios reales, existen otras dos opciones de apoyo puntual. En primer lugar, está el apoyo puntual con una placa de apoyo de ancho y espesor definidos (Fig. 7b). Se puede especificar el material de la placa de apoyo, y toda la placa de apoyo se mallará de forma independiente. En segundo lugar, está disponible el apoyo colgante (Fig. 7e), que puede utilizarse para modelar anclajes de izado o pernos de izado.

El apoyo lineal (Fig. 7c) puede definirse en un borde (especificando su longitud) o dentro de un elemento (mediante una polilínea). También es posible especificar su rigidez y/o su comportamiento no lineal (apoyo a compresión/tracción o solo a compresión).

• Consulte las descripciones detalladas en Tipos de apoyos en IDEA StatiCa Detail

Componentes de transmisión de carga

La introducción de cargas en la estructura también puede modelarse de varias maneras. Para las cargas puntuales, puede utilizarse una placa de apoyo (Fig. 8a) de forma similar al apoyo puntual, distribuyendo la carga concentrada sobre un área mayor gracias a una placa de acero de ancho y espesor definidos. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

La carga puntual puede aplicarse directamente sobre la superficie de la estructura con un radio de acción definido (la carga se aplica a los elementos de hormigón) o mediante un dispositivo especial de transmisión denominado carga tipo parche (Fig. 8b y Fig. 9). La carga tipo parche permite transmitir la carga directamente a la armadura definida situada dentro del área del radio efectivo. Para garantizar el correcto funcionamiento de la carga tipo parche, es necesario definir (en las propiedades de la armadura) un grupo de barras que estarán interconectadas con la carga. Cuando no se define la armadura interconectada, el mecanismo de transmisión de carga es el mismo que el de la carga puntual colocada sobre la superficie de un elemento, y la carga se transfiere mediante las restricciones a los elementos de hormigón, no directamente a la armadura. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Los anclajes de izado o los pernos de izado pueden modelarse mediante una carga colgante (Fig. 8c). El usuario puede utilizar un área parcialmente cargada (Fig. 8d), que permite aumentar la capacidad portante del hormigón a compresión según el Eurocódigo (no es posible utilizar este tipo de componente de transmisión de carga cuando se ha establecido ACI). La estructura también puede cargarse con cargas lineales en los bordes, mediante una polilínea general o mediante cargas superficiales. La aplicación Detail es capaz de considerar automáticamente el peso propio en el análisis.

En muchos casos, solo es necesario modelar un detalle (parte) de un elemento estructural, como el apoyo de una viga, una abertura en el centro de la viga, etc. Este enfoque puede dar lugar a configuraciones de apoyo inestables pero admisibles en IDEA StatiCa Detail (incluido el caso de ausencia de apoyos). Sin embargo, en estos casos también es necesario modelar la sección que representa la unión con la región B adyacente, incluidos los esfuerzos internos en esta sección que satisfagan el equilibrio. En determinados casos (por ejemplo, al modelar el apoyo de una viga), el programa puede determinar automáticamente estos esfuerzos internos.

Entre la región B y la región de discontinuidad analizada se crea automáticamente una zona de transferencia de Saint-Venant, con el fin de garantizar una distribución de tensiones realista en la región analizada. El ancho de la zona de transferencia se determina como la mitad del canto de la sección. Dado que la única finalidad de la zona de Saint-Venant es lograr una distribución de tensiones adecuada en el resto del modelo, en la verificación no se muestran los resultados de esta zona ni se consideran en ella criterios de parada.

El borde de la zona de Saint-Venant que representa el extremo recortado de la viga se modela como rígido, es decir, puede girar, pero debe permanecer plano. Para ello, todos los nodos del MEF del borde se conectan a un nodo independiente situado en el centro de inercia de la sección mediante un elemento de cuerpo rígido (RBE2). Los esfuerzos internos del elemento pueden aplicarse entonces en este nodo, como se muestra en la Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

La reducción de la sección transversal se realiza automáticamente en estructuras definidas como una viga o junta de pórtico (definidas por el eje x y una sección transversal). Esta modificación se aplica automáticamente en secciones transversales con alas muy anchas (Fig. 11) y se basa en la hipótesis de que un campo de tensiones de compresión se expandiría desde el muro con un ángulo de 45°, por lo que el ancho reducido mencionado sería el ancho máximo capaz de transmitir cargas

Tenga en cuenta que el método para determinar el ancho efectivo del ala implementado en CSFM es diferente del indicado en 5.3.2.1 de EN 1992-1-1 (2015) o en 9.2.4.4 de ACI 318-19. Además de la geometría, el ancho efectivo del ala según el Eurocódigo depende explícitamente de las luces y de las condiciones de contorno de la estructura.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

En el caso de cartelas situadas en el plano horizontal (Fig. 12), cada cartela se divide en cinco secciones a lo largo de su longitud. Cada una de estas secciones se modela entonces como un muro de espesor constante, igual al espesor real en el centro de la sección correspondiente.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

El modelo de análisis no lineal (inelástico) por elementos finitos se crea mediante varios tipos de elementos finitos utilizados para modelizar el hormigón, la armadura y la adherencia entre ambos. Los elementos de hormigón y de armadura se mallan primero de forma independiente y después se conectan entre sí mediante restricciones multipunto (elementos MPC). Esto permite que la armadura ocupe una posición relativa arbitraria respecto al hormigón. Si se va a calcular la verificación de la longitud de anclaje, se insertan elementos de adherencia y de muelle de extremo de anclaje entre la armadura y los elementos MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Hormigón

El hormigón se modeliza mediante elementos de lámina cuadrilaterales y triangulares, CQUAD4 y CTRIA3. Estos pueden definirse por cuatro o tres nodos, respectivamente. En estos elementos solo se supone un estado de tensión plana, es decir, no se consideran las tensiones ni las deformaciones en la dirección z.

Cada elemento tiene cuatro o tres puntos de integración, situados aproximadamente a 1/4 de su tamaño. En cada punto de integración de cada elemento se calculan las direcciones de las deformaciones principales α₁, α₂. En ambas direcciones se evalúan las tensiones principales σ_c1, σ_c2 y las rigideces E₁, E₂ según el diagrama tensión-deformación del hormigón especificado, conforme a la Fig. 2. Cabe señalar que el efecto del ablandamiento a compresión acopla el comportamiento de la dirección principal de compresión al estado real de la otra dirección principal.

Armadura

Las barras de armadura se modelizan mediante elementos 1D de dos nodos tipo “barra” (CROD), que solo tienen rigidez axial. Estos elementos se conectan a elementos especiales de “adherencia”, desarrollados para modelizar el comportamiento de deslizamiento entre una barra de armadura y el hormigón circundante. A su vez, estos elementos de adherencia se conectan mediante elementos MPC (restricción multipunto) a la malla que representa el hormigón. Este enfoque permite el mallado independiente de la armadura y del hormigón, garantizándose posteriormente su interconexión.

Elementos de adherencia

La longitud de anclaje se verifica incorporando en el modelo de elementos finitos las tensiones tangenciales de adherencia entre los elementos de hormigón (2D) y los elementos de barra de armadura (1D). Para ello, se desarrolló un tipo de elemento finito de “adherencia”.

La definición del elemento de adherencia es similar a la de un elemento de lámina (CQUAD4). También se define mediante 4 nodos, pero, a diferencia de una lámina, solo tiene rigidez no nula a cortante entre los dos nodos superiores y los dos inferiores. En el modelo, los nodos superiores se conectan a los elementos que representan la armadura y los inferiores a los que representan el hormigón. El comportamiento de este elemento se describe mediante la tensión de adherencia, τ_b, como una función bilineal del deslizamiento entre los nodos superiores e inferiores, δ_u, véase la Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

El módulo de rigidez elástica de la relación adherencia-deslizamiento, G_b, se define del siguiente modo:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

donde:

k_g            coeficiente que depende de la superficie de la barra de armadura (por defecto k_g = 0,2)

E_c            módulo de elasticidad del hormigón (se toma E_cm en el caso de EN)

Ø             el diámetro de la barra de armadura

Para verificar la longitud de anclaje se utilizan los valores de cálculo (valores mayorados) de la tensión tangencial última de adherencia, f_bd, proporcionados en las normas de cálculo seleccionadas, EN 1992-1-1 o ACI 318-19. La rigidización de la rama plástica se calcula por defecto como G_b/10⁵.

Muelle de anclaje

La disposición de extremos de anclaje en las barras de armadura (es decir, curvas, ganchos, lazos…), que cumpla las prescripciones de las normas de cálculo, permite reducir la longitud de anclaje básica de las barras (l_b,net) en un determinado factor β (denominado a continuación “coeficiente de anclaje”). El valor de cálculo de la longitud de anclaje (l_b) se calcula entonces del siguiente modo:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

La reducción prevista de l_b,net equivale a la activación de la barra de armadura en su extremo a un porcentaje de su capacidad máxima dado por el coeficiente de reducción del anclaje, como se muestra en la Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

La reducción de la longitud de anclaje se incluye en el modelo de elementos finitos mediante un elemento de muelle en el extremo de la barra (Fig. 15), definido por el modelo constitutivo mostrado en la Fig. 15b. La fuerza máxima transmitida por este muelle (F_au) es:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

donde:

β             el coeficiente de anclaje según el tipo de anclaje,

A_s            la sección transversal de la barra de armadura,

f_yd           el valor de cálculo (valor mayorado) del límite elástico de la armadura.

Los elementos finitos se implementan internamente y el modelo de análisis se genera automáticamente, sin necesidad de que el usuario tenga conocimientos avanzados. Una parte importante de este proceso es el mallado.

Hormigón

Todos los elementos de hormigón se mallan conjuntamente. La aplicación calcula automáticamente un tamaño de elemento recomendado en función del tamaño y la forma de la estructura, teniendo en cuenta el diámetro de la barra de armadura más grande. Además, el tamaño de elemento recomendado garantiza que se generen al menos 4 elementos en las partes delgadas de la estructura, como pilares esbeltos o losas delgadas, para obtener resultados fiables en estas zonas. El número máximo de elementos de hormigón está limitado a 5000, pero este valor es suficiente para obtener el tamaño de elemento recomendado en la mayoría de las estructuras. El proyectista siempre puede seleccionar un tamaño de elemento de hormigón definido por el usuario modificando el multiplicador del tamaño de malla por defecto.

Armadura

La armadura se divide en elementos con una longitud aproximadamente igual al tamaño del elemento de hormigón. Una vez generadas las mallas de armadura y de hormigón, se interconectan mediante elementos de adherencia, como se muestra en la Fig. 13.

Placas de apoyo

Las partes estructurales auxiliares, como las placas de apoyo, se mallan de forma independiente. El tamaño de estos elementos se calcula como 2/3 del tamaño de los elementos de hormigón en la zona de la unión. A continuación, los nodos de la malla de la placa de apoyo se conectan a los nodos del borde de la malla de hormigón mediante elementos de restricción de interpolación (RBE3).

Cargas y apoyos

Las cargas localizadas y los apoyos localizados se conectan únicamente a la armadura, como se muestra en la Fig. 16. Por lo tanto, es necesario definir la armadura a su alrededor. La conexión a todos los nodos de la armadura dentro del radio efectivo se garantiza mediante elementos RBE3 con el mismo peso.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Los apoyos lineales y las cargas lineales se conectan a los nodos de la malla de hormigón mediante elementos RBE3, en función del ancho especificado o del radio efectivo. El peso de las conexiones es inversamente proporcional a la distancia al apoyo o al impulso de carga.

• Obtenga más información sobre la interconexión entre las cargas individuales y la malla en Descripción general de los impulsos de carga en la aplicación Detail

Se utiliza un algoritmo estándar de Newton-Raphson (NR) completo para hallar la solución de un problema no lineal del MEF. 

En general, el algoritmo NR no suele converger cuando se aplica la carga completa en un único paso. Un enfoque habitual, que también se emplea aquí, consiste en aplicar la carga de forma secuencial en varios incrementos y utilizar el resultado del incremento de carga anterior para iniciar la solución de Newton del siguiente. Para ello, se implementó un algoritmo de control de carga sobre el método de Newton-Raphson. Si las iteraciones NR no convergen, el incremento de carga actual se reduce a la mitad de su valor y se repiten las iteraciones NR.

Un segundo objetivo del algoritmo de control de carga es hallar la carga crítica, que corresponde a ciertos “criterios de parada”: en concreto, la deformación máxima en el hormigón, el deslizamiento máximo en los elementos de adherencia, el desplazamiento máximo en los elementos de anclaje y la deformación máxima en las barras de armadura. La carga crítica se halla mediante el método de bisección. Si se supera el criterio de parada en cualquier punto del modelo, se descartan los resultados del último incremento de carga y se calcula un nuevo incremento de la mitad del tamaño del anterior. Este proceso se repite hasta hallar la carga crítica con una determinada tolerancia de error.

Para el hormigón, el criterio de parada se fijó en una deformación del 5 % a compresión (es decir, aproximadamente un orden de magnitud superior a la deformación real de fallo del hormigón) y del 7 % a tracción en los puntos de integración de los elementos laminares. A tracción, el valor se estableció para permitir que se alcance primero la deformación límite de la armadura, que suele rondar el 5 % sin tener en cuenta la rigidización a tracción. A compresión, el valor se eligió entre varias alternativas por ser lo bastante grande para que los efectos del aplastamiento sean visibles en los resultados, pero lo bastante pequeño para no causar demasiados problemas de estabilidad numérica.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Para la armadura, el criterio de parada se define en términos de tensiones. Dado que se modelan las tensiones en la fisura, el criterio a tracción corresponde a la resistencia a tracción de la armadura teniendo en cuenta el coeficiente de seguridad. Se utiliza el mismo valor para el criterio a compresión.

El criterio de parada en los elementos de adherencia y los muelles de anclaje es α·δu_max, donde δu_max es el deslizamiento máximo utilizado en las verificaciones normativas y α = 10.

Los resultados se presentan de forma independiente para el hormigón y para los elementos de armadura. Los valores de tensión y deformación en el hormigón se calculan en los puntos de integración de los elementos shell. Sin embargo, como no resulta práctico presentar los datos de esta manera, los resultados se presentan por defecto en los nodos, como el valor máximo de la tensión de compresión de los puntos de integración de Gauss adyacentes en los elementos conectados (Fig. 18). Debe tenerse en cuenta que esta representación puede subestimar localmente los resultados en los bordes comprimidos de los elementos en el caso de que el tamaño del elemento finito sea similar al canto de la zona comprimida.

Fig. 18 - Elemento finito de hormigón con puntos de integración y nodos: presentación de los resultados para el hormigón en los nodos y en los elementos finitos.

Los resultados para los elementos finitos de armadura son constantes para cada elemento (un valor, p. ej., para las tensiones del acero) o lineales (dos valores, para los resultados de adherencia). Para los elementos auxiliares, como los elementos de las placas de apoyo, solo se presentan las deformaciones.

La evaluación de la estructura mediante el CSFM se realiza con dos análisis distintos: uno para las combinaciones de carga de servicio y otro para las combinaciones de carga del estado límite último. El análisis de servicio parte de que el comportamiento último del elemento es satisfactorio y de que las condiciones de plastificación del material no se alcanzarán con los niveles de carga de servicio. Este enfoque permite utilizar modelos constitutivos simplificados (con una rama lineal del diagrama tensión-deformación del hormigón) en el análisis de servicio, lo que mejora la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo. Por ello, se recomienda utilizar el flujo de trabajo que se presenta a continuación, en el que el análisis del estado límite último se realiza como primer paso.

Análisis del estado límite último

Las distintas verificaciones exigidas por cada norma de cálculo se evalúan a partir de los resultados directos que proporciona el modelo. Las verificaciones en ELU se realizan para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones tangenciales de adherencia).

Para garantizar que un elemento estructural tenga un diseño eficiente, se recomienda encarecidamente realizar un análisis preliminar que contemple los siguientes pasos:

• Elegir una selección de las combinaciones de carga más críticas.
• Calcular únicamente las combinaciones de carga del Estado Límite Último (ELU).
• Utilizar una malla gruesa (aumentando el multiplicador del tamaño de malla predeterminado en Configuración (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Un modelo de este tipo se calcula con gran rapidez, lo que permite a los proyectistas revisar de forma eficiente el armado del elemento estructural y repetir el análisis hasta que se cumplan todos los requisitos de verificación para las combinaciones de carga más críticas. Una vez cumplidos todos los requisitos de verificación de este análisis preliminar, se sugiere incluir las combinaciones de carga últimas completas y utilizar un tamaño de malla fino (el tamaño de malla recomendado por el programa). El usuario puede modificar el tamaño de malla mediante el multiplicador, que puede tomar valores de 0,5 a 5 (Fig. 19).

Los resultados y verificaciones básicos (tensión, deformación y utilización, es decir, el valor calculado/valor límite de la norma, así como la dirección de las tensiones principales en el caso de los elementos de hormigón) se muestran mediante distintas gráficas en las que la compresión se representa generalmente en rojo y la tracción en azul. Se pueden resaltar los valores mínimos y máximos globales de toda la estructura, así como los valores mínimos y máximos de cada parte definida por el usuario. En una pestaña independiente del programa se pueden mostrar resultados avanzados, como los valores tensoriales, las deformaciones de la estructura y las cuantías de armadura (efectiva y geométrica) utilizadas para calcular la rigidización a tracción de las barras de armadura. Además, se pueden presentar las cargas y las reacciones de las combinaciones o los casos de carga seleccionados.

Análisis del estado límite de servicio

Las verificaciones en ELS se realizan para la limitación de tensiones, la abertura de fisura y los límites de flecha. Las tensiones se comprueban en el hormigón y en los elementos de armadura según la norma aplicable, de forma similar a lo especificado para el ELU.

El análisis de servicio incluye ciertas simplificaciones de los modelos constitutivos que se utilizan en el análisis del estado límite último. Se supone una adherencia perfecta, es decir, la longitud de anclaje no se verifica en servicio. Además, se desprecia la rama plástica de la curva tensión-deformación del hormigón a compresión, mientras que la rama elástica se considera lineal e infinita. Estas simplificaciones mejoran la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo, y no reducen la generalidad de la solución siempre que las tensiones resultantes en los materiales en servicio queden claramente por debajo de sus puntos de plastificación (como exigen las normas). Por tanto, los modelos simplificados utilizados en servicio solo son válidos si se cumplen todos los requisitos de verificación.

Cálculo del ancho de fisura y rigidización a tracción

Cálculo del ancho de fisura

Existen dos formas de calcular el ancho de fisura: fisuración estabilizada y no estabilizada. Según la cuantía geométrica de armadura en cada parte de la estructura, se determina qué tipo de modelo de cálculo de fisuración se utilizará (TCM para fisuración estabilizada y POM para el modelo de fisuración no estabilizada).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Cálculo del ancho de fisura: (a) cinemática de fisura considerada; (b) proyección de la cinemática de fisura en las direcciones}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{principales de la barra de armadura; (c) ancho de fisura en la dirección de la barra de armadura para fisuración estabilizada; (d) casos con}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fisuración local no estabilizada independientemente de la cantidad de armadura; (e) ancho de fisura en la dirección de la barra de armadura}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{para fisuración no estabilizada.}}}$

Mientras que el CSFM proporciona un resultado directo para la mayoría de las verificaciones (p. ej., capacidad del elemento, deformaciones…), los resultados del ancho de fisura se calculan a partir de los resultados de deformación de la armadura proporcionados directamente por el análisis de EF siguiendo la metodología descrita en la Fig. 20. Se considera una cinemática de fisura sin deslizamiento (apertura de fisura pura) (Fig. 20a), lo cual es coherente con las hipótesis principales del modelo. Las direcciones principales de tensiones y deformaciones definen la inclinación de las fisuras (θ_r = θ_s= θ_e). Según la (Fig. 20b), el ancho de fisura (w) se puede proyectar en la dirección de la barra de armadura (w_b), lo que da lugar a:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

donde θ_b es la inclinación de la barra.

Tenga en cuenta que el programa muestra valores de θ_r y θ_b < π/2. Esto significa que la ecuación anterior es válida para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan cuadrantes diferentes del sistema de coordenadas cartesianas, como se muestra en la Fig. 20, donde la armadura atraviesa los cuadrantes I y III y la fisura los cuadrantes II y IV. Para los casos en que la armadura y la fisura atraviesan los mismos cuadrantes, la ecuación debe modificarse de la siguiente manera:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

La componente w_b se calcula de manera coherente a partir de los modelos de rigidización a tracción, integrando las deformaciones de la armadura. En las regiones con patrones de fisuración totalmente desarrollados, las deformaciones medias calculadas (e_m) a lo largo de las barras de armadura se integran directamente a lo largo de la separación entre fisuras (s_r), como se indica en la (Fig. 20c). Aunque este enfoque para calcular las direcciones de fisura no corresponde a la posición real de las fisuras, sigue proporcionando valores representativos que dan lugar a resultados de ancho de fisura que se pueden comparar con los valores de ancho de fisura exigidos por la normativa en la posición de la barra de armadura.

Se observan situaciones especiales en las esquinas cóncavas de la estructura calculada. En este caso, la esquina predefine la posición de una única fisura que se comporta de manera no estabilizada antes de que se desarrollen fisuras adyacentes adicionales. Estas fisuras adicionales generalmente se desarrollan después del rango de servicio (Mata-Falcón 2015), lo que justifica calcular el ancho de fisura en dicha región como si fuera no estabilizada (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definición de la región en las esquinas cóncavas en la que el ancho de fisura se calcula como si fuera no estabilizada.}}}$$

Rigidización a tracción

La implementación de la rigidización a tracción distingue entre los casos de patrones de fisuración estabilizados y no estabilizados. En ambos casos, el hormigón se considera totalmente fisurado antes de la carga por defecto.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modelo de rigidización a tracción: (a) elemento de tirante a tracción para fisuración estabilizada con distribución de cortante de adherencia,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tensiones del acero y del hormigón, y deformaciones del acero entre fisuras, considerando la separación media entre fisuras); (b) hipótesis de arrancamiento}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{para fisuración no estabilizada con distribución de cortante de adherencia y tensiones y deformaciones del acero alrededor de la fisura; (c) comportamiento}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{resultante del tirante a tracción en términos de tensiones de armadura en las fisuras y deformaciones medias para el acero europeo B500B;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detalle de las ramas iniciales de la respuesta del tirante a tracción.}}}$

Fisuración estabilizada

En patrones de fisuración totalmente desarrollados, la rigidización a tracción se introduce utilizando el Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que ha demostrado proporcionar excelentes predicciones de respuesta a pesar de su simplicidad (Burns 2012). El TCM asume una relación tensión de cortante de adherencia-deslizamiento escalonada, rígida y perfectamente plástica, con τ_b = τ_b0 =2 f_ctm para σ_s ≤ f_y y τ_b =τ_b1 = f_ctm para σ_s > f_y. Tratando cada barra de armadura como un tirante a tracción ­– Fig. 22b y Fig. 22a –, la distribución del cortante de adherencia, las tensiones del acero y del hormigón y, por lo tanto, la distribución de deformaciones entre dos fisuras se pueden determinar para cualquier valor dado de las tensiones (o deformaciones) máximas del acero en las fisuras.

Para s_r = s_r0, es posible que se forme o no una nueva fisura, porque en el centro entre dos fisuras σ_c1 = f_ct. En consecuencia, la separación entre fisuras puede variar en un factor de dos, es decir, s_r = λs_r0, con l = 0.5…1.0. Asumiendo un determinado valor para λ, la deformación media del tirante (ε_m) se puede expresar en función de las tensiones máximas de la armadura (es decir, las tensiones en las fisuras, σ_sr). Para el diagrama tensión-deformación bilineal idealizado de las barras de armadura desnudas considerado por defecto en el CSFM, se obtienen las siguientes expresiones analíticas cerradas (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{para}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{para}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{para}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

donde:
E_sh           el módulo de endurecimiento del acero E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            módulo de elasticidad de la armadura,

Ø            diámetro de la barra de armadura,

s_r                separación entre fisuras,

σ_sr           tensiones de la armadura en las fisuras,

σ_s            tensiones reales de la armadura,

f_y                límite elástico de la armadura.

La implementación de IDEA StatiCa Detail del CSFM considera por defecto la separación media entre fisuras al realizar el análisis de campos de tensión asistido por ordenador. La separación media entre fisuras se considera igual a 2/3 de la separación máxima entre fisuras (λ = 0.67), siguiendo las recomendaciones formuladas sobre la base de ensayos de flexión y tracción (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Cabe señalar que los cálculos del ancho de fisura consideran una separación máxima entre fisuras (λ = 1.0) para obtener valores conservadores.

La aplicación del TCM depende de la cuantía de armadura, por lo que resulta fundamental asignar a cada barra de armadura un área de hormigón efectiva que actúe en tracción entre fisuras. Se ha desarrollado un procedimiento numérico automático para definir la cuantía de armadura efectiva correspondiente (ρ_eff = A_s/A_c,eff) para cualquier configuración, incluida la armadura sesgada (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Área efectiva de hormigón en tracción para fisuración estabilizada: (a) área máxima de hormigón que puede activarse;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) recubrimiento y condición de simetría global; (c) área efectiva resultante.}}}$

Fisuración no estabilizada

Las fisuras existentes en regiones con cuantías geométricas de armadura inferiores a ρ_cr, es decir, la cantidad mínima de armadura para la cual esta es capaz de soportar la carga de fisuración sin plastificar, se generan por acciones no mecánicas (p. ej., retracción) o por la progresión de fisuras controladas por otra armadura. El valor de esta armadura mínima se obtiene de la siguiente manera:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

donde:

f_y              límite elástico de la armadura,

f_ct             resistencia a tracción del hormigón,

n              relación modular, n = E_s / E_c .

Para hormigón convencional y acero de armadura, ρ_cr equivale aproximadamente al 0.6%.

Para estribos con cuantías de armadura inferiores a ρ_cr, la fisuración se considera no estabilizada, y la rigidización a tracción se implementa mediante el Pull-Out Model (POM) descrito en la Fig. 22b. Este modelo analiza el comportamiento de una única fisura considerando que no existe interacción mecánica entre fisuras separadas, despreciando la deformabilidad del hormigón en tracción y asumiendo la misma relación tensión de cortante de adherencia-deslizamiento escalonada, rígida y perfectamente plástica utilizada por el TCM. Esto permite obtener directamente por equilibrio la distribución de deformaciones de la armadura (ε_s) en las proximidades de la fisura para cualquier tensión máxima del acero en la fisura (σ_sr). Dado que la separación entre fisuras es desconocida para un patrón de fisuración no totalmente desarrollado, la deformación media (ε_m) se calcula para cualquier nivel de carga a lo largo de la distancia entre puntos con deslizamiento nulo cuando la barra de armadura alcanza su resistencia a tracción (f_t) en la fisura (l_ε,avg en la Fig. 22b), lo que da lugar a las siguientes relaciones:

Los modelos propuestos permiten calcular el comportamiento de la armadura adherida, que finalmente se considera en el análisis. Este comportamiento (incluyendo la rigidización a tracción) para el acero de armadura europeo más común (B500B, con f_t / f_y = 1.08 y ε_u = 5%) se ilustra en la Fig. 22c-d.

Hormigón - ELU

El modelo de hormigón implementado en el CSFM se basa en las leyes constitutivas de compresión uniaxial prescritas por EN 1992-1-1 para el cálculo de secciones transversales, que solo dependen de la resistencia a compresión. En el CSFM se utiliza por defecto el diagrama parábola-rectángulo especificado en EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 24a), pero los proyectistas también pueden elegir una relación elástica-plástica ideal más simplificada según EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). La resistencia a tracción se desprecia, como en el cálculo clásico de hormigón armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

La implementación del CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón en compresión (es decir, una vez alcanzada la tensión máxima, considera una rama plástica con ε_cu2 (ε_cu3) con un valor del 5%, mientras que EN 1992-1-1 asume una deformación última inferior al 0,35%). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan por compresión. Sin embargo, su capacidad última f_cd según EN 1992-1-1 3.1.3 se predice correctamente cuando, además del factor del hormigón fisurado (k_c2, definido en (Fig. 25)), se considera el aumento de la fragilidad del hormigón a medida que aumenta su resistencia mediante el factor de reducción $\eta_{fc}$ definido en fib Model Code 2010 como sigue:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

donde:

α_cc es el coeficiente que tiene en cuenta los efectos a largo plazo sobre la resistencia a compresión y los efectos desfavorables derivados de la forma en que se aplica la carga. Se define según EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). El valor por defecto es 1,0.

k_c es el factor de reducción global de la resistencia a compresión

k_c2 es el factor de reducción debido a la presencia de fisuración transversal

f_ck es la resistencia característica del hormigón en probeta cilíndrica (en MPa para la definición de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Hormigón - ELS

El análisis de servicio contiene ciertas simplificaciones de los modelos constitutivos que se utilizan en el análisis del estado límite último. Se desprecia la rama plástica de la curva tensión-deformación del hormigón en compresión, mientras que la rama elástica es lineal e infinita. No se considera la ley de ablandamiento a compresión. Estas simplificaciones mejoran la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo y no reducen la generalidad de la solución, siempre que los límites de tensión resultantes del material en servicio se mantengan claramente por debajo de sus puntos de plastificación (como exige el Eurocódigo). Por lo tanto, los modelos simplificados utilizados para el estado límite de servicio solo son válidos si se cumplen todos los requisitos de verificación.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efectos a largo plazo

En el análisis de servicio, los efectos a largo plazo del hormigón se consideran mediante un coeficiente de fluencia infinito efectivo ($\varphi$, con un valor de 2,5 por defecto) que modifica el módulo de elasticidad secante del hormigón (E_cm) según EN 1992-1-1, apartado 3.1.4 (3) y 7.4.3 (5), respectivamente, de la siguiente manera:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Al considerar los efectos a largo plazo, primero se calcula un paso de carga con todas las cargas permanentes considerando el coeficiente de fluencia (es decir, utilizando el módulo de elasticidad efectivo del hormigón, E_c,eff) y, a continuación, se calculan las cargas adicionales sin el coeficiente de fluencia (es decir, utilizando E_cm). Además, para realizar las verificaciones a corto plazo, se efectúa otro cálculo en el que todas las cargas se calculan sin el coeficiente de fluencia. Ambos cálculos, para las verificaciones a largo y a corto plazo, se muestran en la Fig. 26.

Los coeficientes de fluencia los define el usuario en las propiedades del material y deben calcularse según EN 1992-1-1, Fig. 3.1.

Armadura

Por defecto, se considera el diagrama tensión-deformación bilineal idealizado para las barras de armadura desnudas definido en EN 1992-1-1, apartado 3.2.7 (Fig. 27). La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura durante la fase de cálculo (resistencia y clase de ductilidad). Siempre que se conozca, puede considerarse la relación tensión-deformación real de la armadura (laminada en caliente, trabajada en frío, templada y autorrevenida, …). El usuario puede definir el diagrama tensión-deformación de la armadura, pero en este caso no es posible considerar el efecto de rigidización a tracción (no es posible calcular la anchura de fisura). El uso del diagrama tensión-deformación con una rama superior horizontal no permite verificar la durabilidad estructural. Por lo tanto, es necesaria la verificación manual de los requisitos normativos de ductilidad.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

La rigidización a tracción (Fig. 28)  se tiene en cuenta automáticamente modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda, con el fin de captar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

El Método del Campo de Tensiones Compatible es conforme con las normativas de diseño modernas. Como los modelos de cálculo solo utilizan propiedades estándar de los materiales, el formato de coeficientes parciales de seguridad prescrito en las normativas puede aplicarse sin ninguna adaptación. De este modo, las cargas de entrada se mayoran y las propiedades características de los materiales se reducen mediante los respectivos coeficientes de seguridad prescritos en las normativas, exactamente igual que en el análisis convencional del hormigón. Por defecto se establecen los valores de los coeficientes de seguridad de los materiales prescritos en el capítulo 2.4.2.4 de EN 1992-1-1, pero el usuario puede modificarlos en la configuración de la norma y del cálculo (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

El usuario debe definir los coeficientes de seguridad de las cargas en las reglas de combinación para cada combinación no lineal de casos de carga (Fig. 30). Para todas las plantillas implementadas en Idea StatiCa Detail, los coeficientes parciales de seguridad ya están predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Mediante combinaciones de coeficientes parciales de seguridad definidas adecuadamente por el usuario, también es posible calcular con el CSFM utilizando el método del coeficiente global de resistencia (Navrátil et al. 2017), aunque este enfoque se utiliza muy raramente en la práctica del diseño. Algunas guías recomiendan emplear el método del coeficiente global de resistencia para el análisis no lineal. Sin embargo, en los análisis no lineales simplificados (como el CSFM), que solo requieren las propiedades de los materiales utilizadas en los cálculos manuales convencionales, sigue siendo preferible emplear el formato de coeficientes parciales.

Las diferentes verificaciones requeridas por la EN 1992-1-1 se evalúan a partir de los resultados directos proporcionados por el modelo. Las verificaciones en ELU se realizan para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones tangenciales de adherencia).

La resistencia del hormigón a compresión se evalúa como el cociente entre la tensión principal de compresión máxima σ_c = σ_c2 obtenida del análisis por EF y el valor límite σ_c,lim = f_cd. 

La resistencia de la armadura se evalúa tanto a tracción como a compresión como el cociente entre la tensión en la armadura en las fisuras σ_sr y el valor límite especificado σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

donde:

f_yk        límite elástico de la armadura según EN 1992-1-1, apartado 3.2.3,

k          relación entre la resistencia a tracción f_tk y el límite elástico,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             es el coeficiente parcial de seguridad de la armadura

La tensión tangencial de adherencia se evalúa de forma independiente como el cociente entre la tensión de adherencia τ_b calculada mediante el análisis por EF y la resistencia última de adherencia f_bd, según EN 1992-1-1, cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

donde:

f_ctd      es el valor de cálculo de la resistencia a tracción del hormigón según EN 1992-1-1, apartado 3.1.6 (2). Debido a la creciente fragilidad del hormigón de mayor resistencia, f_ctk,0.05 se limita al valor correspondiente a C60/75 según EN 1992-1-1, apartado 8.4.2 (2)

η₁       es un coeficiente relacionado con la calidad de las condiciones de adherencia y con la posición de la barra durante el hormigonado (Fig. 31).

η₁ = 1.0 cuando se obtienen condiciones de adherencia «buenas» y

η₁ = 0.7 para todos los demás casos y para barras en elementos estructurales construidos con encofrados deslizantes, salvo que se pueda demostrar que existen condiciones de adherencia «buenas»

η₂        está relacionado con el diámetro de la barra:

            η₂ = 1.0 para Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 para Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

En IDEA StatiCa Detail, las condiciones de adherencia se tienen en cuenta según la Fig. 31 c) y d). La dirección de hormigonado se puede establecer en la aplicación para cada elemento del proyecto de la siguiente manera.

Estas verificaciones se realizan con respecto a los valores límite adecuados para las respectivas partes de la estructura (es decir, aunque se disponga de una única calidad tanto para el hormigón como para el material de la armadura, los diagramas tensión-deformación finales diferirán en cada parte de la estructura debido a los efectos de rigidización a tracción y de ablandamiento a compresión).

También existe la opción de modelar barras lisas. Se puede encontrar más información aquí: Barras lisas en Detail

Fuerza total F_tot y fuerza límite F_lim

La fuerza total F_tot es un resultado del análisis por elementos finitos y se puede definir de dos maneras.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

donde A_s es el área de la barra de armadura y σ_s es la tensión en la barra.

O bien como la suma de la fuerza de anclaje F_a y la fuerza de adherencia F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

donde F_a es la fuerza real en el muelle de anclaje y F_bond es la fuerza de adherencia que se puede obtener integrando la tensión de adherencia τ_b a lo largo de la longitud de la barra de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s es el perímetro de la barra de armadura.

La fuerza límite F_lim es la fuerza máxima en el elemento de la barra considerando la resistencia última de la barra y también las condiciones de anclaje (adherencia entre el hormigón y la armadura y ganchos, bucles de anclaje, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

donde C_s es el perímetro de la barra de armadura y l es la longitud desde el inicio de la barra hasta el punto de interés.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

donde F_lim,add es la fuerza adicional calculada a partir del valor del ángulo entre elementos contiguos. F_lim,2 debe ser siempre menor que F_u.

Los tipos de anclaje disponibles en el CSFM incluyen barra recta (es decir, sin reducción por extremo de anclaje), codo, gancho, bucle, barra transversal soldada, adherencia perfecta y barra continua. Todos estos tipos, junto con los respectivos coeficientes de anclaje β, se muestran en la Fig. 32 para la armadura longitudinal y en la Fig. 33 para los estribos. Los valores de los coeficientes de anclaje adoptados están de acuerdo con la EN 1992-1-1, apartado 8.4.4, Tab. 8.2. Cabe señalar que, a pesar de las diferentes opciones disponibles, el CSFM distingue tres tipos de extremos de anclaje: (i) sin reducción de la longitud de anclaje, (ii) una reducción del 30 % de la longitud de anclaje en el caso de un anclaje normalizado y (iii) adherencia perfecta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Para cumplir con la EN 1992-1-1, se debe utilizar el muelle de anclaje en el cálculo. El muelle de anclaje se modifica mediante el coeficiente β, por lo que el usuario debe utilizar uno de los tipos de anclaje disponibles al definir las condiciones de inicio y fin de la armadura. 

Al diseñar estructuras de hormigón, nos encontramos con dos grandes grupos de áreas parcialmente cargadas (PLA): el primero comprende los apoyos, mientras que el segundo consiste en las zonas de anclaje. Según las normas actualmente vigentes para el cálculo de estructuras de hormigón armado, EN 1992-1-1, cap. 6.7 (Fig. 34), en las áreas parcialmente cargadas deben considerarse el aplastamiento local del hormigón y las fuerzas de tracción transversales. Para una carga uniformemente distribuida sobre un área, A_c0, la capacidad a compresión del hormigón puede aumentarse hasta tres veces en función del área de distribución de cálculo A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

El área parcialmente cargada debe estar suficientemente armada con armadura transversal, dimensionada para transmitir las fuerzas de estallido que se producen en dicha área. Para el cálculo de la armadura transversal en áreas parcialmente cargadas se utiliza, según el Eurocódigo, el método de Biela-y-tirante. Sin la armadura transversal necesaria, no es posible considerar el aumento de la capacidad a compresión del hormigón.

Áreas parcialmente cargadas en el CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Mediante el CSFM es posible calcular y evaluar estructuras de hormigón armado incluyendo la influencia del aumento de la resistencia a compresión del hormigón en las áreas parcialmente cargadas. Dado que el CSFM es un modelo de pared (2D) y las áreas parcialmente cargadas constituyen un problema espacial (3D), fue necesario encontrar una solución que combinara estos dos tipos de problemas diferentes (Fig. 35). Si se activa la función de «áreas parcialmente cargadas», se genera la geometría de cono admisible según el Eurocódigo (Fig. 34). Todas las colisiones geométricas se resuelven íntegramente en 3D para la geometría del elemento de hormigón especificada y las dimensiones de cada PLA. Posteriormente, se crea un modelo de cálculo del área parcialmente cargada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

La modificación del modelo de material resultó ser un enfoque inadecuado, principalmente porque la asignación de propiedades a la malla de elementos finitos es problemática. Se determinó que un enfoque independiente de la malla de elementos finitos es una solución más apropiada. Para la geometría conocida del cono de compresión se crean bielas ficticias totalmente coherentes (Fig. 35 y Fig. 37). Estas bielas tienen propiedades de material idénticas a las del hormigón utilizado en el modelo, incluido el diagrama tensión-deformación. La forma del cono determina la dirección de las bielas, que distribuyen gradualmente la carga desde la PLA hasta el área de distribución de cálculo. La densidad superficial de las bielas ficticias es variable en cada parte del cono y aporta un área ficticia de hormigón en la dirección de la carga. A nivel del área cargada (A_c0), se añade un área ficticia de hormigón según la relación $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (donde A_real es el área del apoyo supuesta en el modelo de cálculo 2D), y esta área disminuye linealmente hasta cero hacia el área de distribución de cálculo (A_c1). Esta solución garantiza que la tensión de compresión en el hormigón sea constante en todo el volumen del cono.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

La resistencia del área parcialmente cargada se incrementa según la relación entre el área de distribución de cálculo y el área cargada establecida en EN 1992-1-1  (6.7).  Debe tenerse en cuenta que se trata de un modelo de cálculo que no puede describir con precisión el estado tensional en un área parcialmente cargada, cuyo flujo real es mucho más complicado. Sin embargo, esta solución permite la correcta distribución de la carga a todo el modelo respetando la mayor capacidad de carga del área parcialmente cargada. Además, introduce correctamente las tensiones transversales en esta área.

Al utilizar la función de áreas parcialmente cargadas para simular el aumento de la capacidad a compresión del hormigón, es necesario realizar la verificación normativa por separado según EN 1992-1-1, apartado 6.7 (2). Las fuerzas de tracción transversales (fuerzas de hendimiento) absorbidas por la armadura se verifican automáticamente.

Las comprobaciones en ELS se realizan para la limitación de tensiones, el ancho de fisura y los límites de flecha. Las tensiones se comprueban en los elementos de hormigón y de armadura según la norma EN 1992-1-1, de manera similar a lo especificado para el ELU.

Limitación de tensiones

La tensión de compresión en el hormigón debe limitarse para evitar fisuras longitudinales. Según EN 1992-1-1, cap. 7.2 (2), pueden aparecer fisuras longitudinales si el nivel de tensión bajo la combinación característica de cargas supera el valor k₁f_ck. La tensión del hormigón en compresión se evalúa como el cociente entre la tensión principal de compresión máxima σ_c = σ_c2 obtenida del análisis por elementos finitos para estados límite de servicio y el valor límite σ_c,lim. Entonces:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

donde:

f_ck        resistencia característica a compresión del hormigón sobre probeta cilíndrica,

k₁         =0,6.

Si la tensión en el hormigón bajo las cargas cuasipermanentes es inferior a k₂f_ck según EN 1992-1-1, Cl. 7.2(3), puede suponerse fluencia lineal. Si la tensión en el hormigón supera k₂f_ck, debe considerarse la fluencia no lineal (véase EN 1992-1-1, Cl. 3.1.4). En IDEA StatiCa Detail solo puede suponerse fluencia lineal según EN 1992-1-1, Cl. 3.1.4 (3) (véase Modelos de material (EN)).

Puede suponerse que se evita una fisuración o deformación inaceptable si, bajo la combinación característica de cargas, la tensión de tracción en la armadura no supera k₃f_yk (EN 1992-1-1, cap. 7.2 (5)). La utilización de la armadura se evalúa como el cociente entre la tensión en la armadura en las fisuras σ_s = σ_sr y el valor límite especificado σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

donde:

f_yk        límite elástico de la armadura,

k₃        =0,8.

Flecha

Las flechas solo pueden evaluarse para muros o vigas isostáticas (estáticamente determinadas) o hiperestáticas (estáticamente indeterminadas). En estos casos se considera el valor absoluto de las flechas (en comparación con el estado inicial antes de la carga), y el usuario debe establecer el valor máximo admisible de las flechas. Las flechas en extremos recortados no pueden comprobarse, ya que se trata esencialmente de estructuras inestables en las que el equilibrio se satisface añadiendo fuerzas en los extremos y, por tanto, las flechas no son realistas. La flecha a corto plazo u_z,st o a largo plazo u_z,lt puede calcularse y compararse con los valores límite definidos por el usuario:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

donde:

u_z         flecha a corto o largo plazo calculada mediante análisis por elementos finitos,

u_z,lim    valor límite de la flecha definido por el usuario.

Ancho de fisura

Los anchos y las orientaciones de las fisuras se calculan únicamente para efectos a largo plazo (utilizando E_c,eff) en las combinaciones en las que está activada la evaluación del ancho de fisura. Las verificaciones basadas en valores límite especificados por el usuario de acuerdo con el Eurocódigo se presentan de la siguiente manera:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

donde:

w         ancho de fisura calculado mediante análisis por elementos finitos,

w_lim     valor límite del ancho de fisura definido por el usuario.

Existen dos formas de calcular los anchos de fisura (fisuración estabilizada y no estabilizada). En el caso general (fisuración estabilizada), el ancho de fisura se calcula integrando las deformaciones en los elementos 1D de las barras de armadura. La dirección de la fisura se calcula entonces a partir de los tres puntos de integración más cercanos (desde el centro del elemento finito 1D de armadura considerado) de los elementos 2D de hormigón. Aunque este enfoque para calcular las direcciones de las fisuras no se corresponde con la posición real de las fisuras, proporciona valores representativos que dan lugar a resultados de ancho de fisura comparables con los valores de ancho de fisura exigidos por la norma en la posición de la barra de armadura.

Hormigón - Resistencia

El modelo de hormigón implementado para los cálculos de resistencia en CSFM se basa en la curva tensión-deformación parabólica-plástica para el hormigón, basada en la curva tensión-deformación parabólica de la Portland Cement Association descrita en PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. La resistencia a tracción se desprecia, como en el cálculo clásico de hormigón armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

La implementación de CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón a compresión (es decir, una vez alcanzada la tensión máxima, considera una rama plástica con ε_c0 con un valor máximo del 5 %, mientras que ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 supone una deformación última inferior al 0,3 %). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan por compresión. Sin embargo, la resistencia se predice correctamente cuando, además del factor de hormigón fisurado (k_c2 definido en la (Fig. 39)), se considera el aumento de la fragilidad del hormigón al aumentar su resistencia mediante el factor de reducción $\eta_{fc}$ definido en fib Model Code 2010 de la siguiente manera:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

donde:

α₁ es el factor de reducción de la resistencia a compresión del hormigón definido en ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Al utilizar un diagrama tensión-deformación parábola-rectángulo , es necesario reducir la tensión máxima de compresión por este factor. Esto promedia la distribución de tensiones en la zona comprimida de tal manera que la resistencia a compresión resultante es menor o igual que la resistencia a compresión calculada mediante un diagrama tensión-deformación con una rama plástica descendente.

Φ_c es el factor de reducción de resistencia para el hormigón. El valor por defecto se establece según ACI 318-19 Tabla 24.2.1 (b)(f).

k_c2 es el factor de reducción debido a la presencia de fisuración transversal.

f'_c es la resistencia del hormigón en probeta cilíndrica (en MPa para la definición de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 es un factor de reducción basado en las mismas hipótesis que el coeficiente de zona nodal β_n dado en ACI 318-19 Tabla 23.9.2, salvo que en CSFM la presencia de una tensión principal de tracción perpendicular a la tensión principal de compresión se verifica para cada elemento finito (no solo para los nodos del modelo de Biela y Tirante).

Hormigón – Servicio

El análisis de servicio contiene ciertas simplificaciones de los modelos constitutivos que se utilizan para el análisis de resistencia. La rama plástica de la curva tensión-deformación del hormigón a compresión se desprecia, mientras que la rama elástica es lineal e infinita. No se considera la ley de ablandamiento a compresión. Estas simplificaciones mejoran la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo y no reducen la generalidad de la solución siempre que los límites de tensión resultantes de los materiales en servicio estén claramente por debajo de sus puntos de plastificación (como exige ACI). Por lo tanto, los modelos simplificados utilizados para servicio solo son válidos si se cumplen todos los requisitos de verificación.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efectos a largo plazo

El comportamiento a largo plazo de la estructura, como las flechas a largo plazo o el cálculo de las anchuras de fisura causadas por cargas sostenidas, está influido por la fluencia del hormigón. La norma ACI 318-19 en el apartado 24.2.4.1.3 define el factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas – ξ, que representa el efecto de la fluencia para una duración especificada de la carga sostenida.

En la aplicación Detail, el módulo de elasticidad E_c se ajusta para determinar el comportamiento a largo plazo de la estructura mediante el factor ξ. El módulo de elasticidad ajustado se denomina E_c,eff – véase la Figura 40.

Suponiendo que la deformación del elemento se expresa mediante la deformación unitaria, puede escribirse que:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

donde:

ε₀ es la deformación a corto plazo (sin la influencia de la fluencia) y ε_creep es la deformación causada por la fluencia.

Utilizando la ley de Hooke, podemos escribir:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Sustituyendo $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ y $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ obtenemos:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

La duración de la carga sostenida para la determinación del factor ξ puede establecerse individualmente para cada combinación de servicio a largo plazo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

Las flechas, tensiones y anchuras de fisura dependientes del tiempo se calculan entonces con un modelo de material modificado en el que el efecto del refinamiento por compresión se tiene en cuenta automáticamente por la naturaleza del análisis por elementos finitos. Por lo tanto, no es necesario multiplicarlos además por el factor definido en 24.2.4.1.1.

Efectos a corto plazo

Para realizar las verificaciones a corto plazo, se efectúa otro cálculo en el que todas las cargas se calculan sin el factor dependiente del tiempo para cargas sostenidas. Ambos cálculos, para las verificaciones a largo y a corto plazo, se muestran en la Fig. 40.

Armadura

Se considera un diagrama tensión-deformación perfectamente elastoplástico con un límite elástico definido para la armadura no pretensada, véase ACI 319-19 CL. 20.2.1. La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura: la resistencia y el módulo de elasticidad.

El diagrama tensión-deformación de la armadura también puede ser definido por el usuario, pero en este caso no es posible considerar el efecto de rigidización a tracción (no es posible calcular la anchura de fisura). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

donde:

Φ_s es el factor de reducción de resistencia para la armadura. El valor por defecto se establece según ACI 318-19 Tabla 24.2.1.

f_y es el límite elástico de la armadura

E_s es el módulo de elasticidad de la armadura

Se selecciona el 10 % como deformación límite a la que se detiene el cálculo. Esto se considera seguro según ASTM A955/A955M-20c Artículo 7.

La rigidización a tracción (Fig. 43)  se tiene en cuenta automáticamente modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda para captar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

El Método del Campo de Tensiones Compatible es conforme con los códigos de diseño modernos. Dado que los modelos de cálculo solo utilizan propiedades estándar de los materiales, el formato de coeficientes parciales de seguridad prescrito en los códigos de diseño puede aplicarse sin ninguna adaptación. De este modo, las cargas de entrada se mayoran y las propiedades características de los materiales se reducen mediante los respectivos factores de reducción de resistencia, exactamente igual que en el análisis convencional de hormigón.

Los valores de los factores de reducción de resistencia están prescritos en ACI 318-19 Cl. 21.2. Los valores por defecto para el hormigón y la armadura se eligen partiendo de la hipótesis de que el ejemplo típico resuelto en la aplicación está controlado por cortante (según la Tabla 21.2.1 (b), (f), (g)). Sin embargo, es posible modelar cualquier tipo de elemento. Por lo tanto, si se evalúa un elemento controlado por compresión o por tracción, el usuario tiene la opción de cambiar el valor del factor de reducción de resistencia en las Preferencias.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Los factores de carga para las combinaciones de resistencia se definirán según la Tabla 5.3.1 de ACI 318-19.

Salvo lo indicado en el Capítulo 34, ACI 318-19 no define combinaciones de carga de nivel de servicio. Se recomienda utilizar reglas de combinación basadas en el Apéndice C de ASCE/SEI 7-16. En todas las plantillas, los factores de carga ya están predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Las diferentes verificaciones exigidas por ACI 318-19 se evalúan a partir de los resultados directos proporcionados por el modelo. Se realizan verificaciones de la resistencia del hormigón, de la resistencia de la armadura y del anclaje (tensiones cortantes de adherencia).

La resistencia del hormigón a compresión se evalúa como el cociente entre la tensión principal máxima de compresión f_c (también σ₂ en Resultados auxiliares), obtenida del análisis por EF, y el valor límite f'_c,lim.

La resistencia de la armadura se evalúa tanto a tracción como a compresión como el cociente entre la tensión en la armadura en las fisuras f_s y el valor límite especificado f_y,lim.

La tensión cortante de adherencia se evalúa de forma independiente como el cociente entre la tensión de adherencia τ_b calculada mediante el análisis por EF y la resistencia de adherencia f_bu.

Sin embargo, la norma ACI no aborda de forma explícita la resistencia de adherencia, sino que trabaja con el cálculo de la denominada longitud de desarrollo, que se describe en el apartado 25.4.2. Dado que la resistencia de adherencia es un parámetro de entrada fundamental para determinar la longitud de desarrollo, véanse R25.4.1.1 y ACI Committee 408 1966, la resistencia de adherencia se puede calcular del siguiente modo:

Supongamos que, si se ancla una barra de armadura en un bloque de hormigón con una longitud igual o superior a la longitud de desarrollo l_d, el arrancamiento de la armadura provocará la rotura de la armadura y no el arrancamiento del hormigón. Esto se puede expresar con la siguiente fórmula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

donde:

d_b es el diámetro de la barra de armadura, l_d es la longitud de desarrollo, f_bu es la resistencia de adherencia, f_y es el límite elástico de la armadura y A_s es el área de la barra de armadura.

De lo anterior se puede deducir fácilmente la fórmula para calcular la resistencia de adherencia:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La longitud de desarrollo l_d se determina entonces según la Tabla 25.4.2.3 de ACI 318-19 de la siguiente manera:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

donde:

C = 25 (2,1 en unidades métricas) para barras del n.º 6 y menores y alambres corrugados, C = 20 (1,7 en unidades métricas) para barras del n.º 7 y mayores, λ = 1,0 para hormigón de peso normal, ψ_t, ψ_e, ψ_g se determinan según la Tabla 25.4.2.3 de ACI 318-19. 

Solo se admite armadura sin recubrimiento o con recubrimiento de zinc (galvanizada), por lo que ψ_e = 1,0. ψ_g se determina automáticamente a partir del grado de la armadura y ψ_t se obtiene automáticamente a partir de la posición de la armadura en el modelo y de la dirección de hormigonado, que se puede definir en la aplicación para cada elemento del proyecto del siguiente modo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Estas verificaciones se realizan con respecto a los valores límite adecuados para las partes correspondientes de la estructura (es decir, aunque se disponga de un único grado tanto para el hormigón como para el material de la armadura, los diagramas tensión-deformación finales serán diferentes en cada parte de la estructura debido a los efectos de rigidización a tracción y de ablandamiento a compresión).

También existe la opción de modelizar barras lisas. Puede encontrar más información aquí: Barras lisas en Detail

Fuerza total F_tot y fuerza límite F_lim

La fuerza total F_tot es un resultado del análisis por elementos finitos y se puede definir de dos maneras.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

donde A_s es el área de la barra de armadura y f_s es la tensión en la barra.

O bien como la suma de la fuerza de anclaje F_a y la fuerza de adherencia F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

donde F_a es la fuerza real en el muelle de anclaje y F_bond es la fuerza de adherencia, que se puede obtener integrando la tensión de adherencia τ_b a lo largo de la longitud l de la barra de armadura.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s es el perímetro de la barra de armadura.

La fuerza límite F_lim es la fuerza máxima en el elemento de la barra de armadura considerando la resistencia de la barra y también las condiciones de anclaje (adherencia entre el hormigón y la armadura y ganchos, lazos, etc. de anclaje).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

donde C_s es el perímetro de la barra de armadura y l es la longitud desde el inicio de la barra de armadura hasta el punto de interés.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

donde F_lim,add es la fuerza adicional calculada a partir de la magnitud del ángulo entre elementos contiguos. F_lim,2 debe ser siempre menor que F_u.

Los tipos de anclaje disponibles en CSFM incluyen barra recta (es decir, sin reducción por extremo de anclaje), gancho a 90 grados, gancho a 180 grados, adherencia perfecta y barra continua. Todos estos tipos, junto con los respectivos coeficientes de anclaje β, se muestran en la Fig. 48 para la armadura longitudinal. Los valores adoptados de los coeficientes de anclaje se derivan de la comparación de la ecuación del apartado 25.4.3.1 de ACI 318-19 con las ecuaciones tomadas del apartado 25.4.2.3 de ACI 318-19. Cabe señalar que, a pesar de las diferentes opciones disponibles, CSFM distingue tres tipos de extremos de anclaje: (i) sin reducción de la longitud de anclaje, (ii) una reducción del 30 % de la longitud de anclaje en el caso de un anclaje normalizado y (iii) adherencia perfecta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

El coeficiente de anclaje para los estribos es siempre β = 1,0.

Para cumplir con ACI, se debe utilizar el muelle de anclaje en el cálculo. El muelle de anclaje se modifica mediante el coeficiente β, por lo que el usuario debe utilizar uno de los tipos de anclaje disponibles al definir las condiciones de inicio y de final de la armadura. 

Al diseñar estructuras de hormigón, nos encontramos con dos grandes grupos de áreas parcialmente cargadas (PLA): el primero comprende los apoyos, mientras que el otro consiste en las zonas de anclaje. 

Según las normas vigentes para el cálculo de estructuras de hormigón armado, ACI 318-19 cap. 22.8, para los apoyos deben considerarse el aplastamiento local del hormigón y las fuerzas de tracción transversales. Para una carga uniformemente distribuida sobre un área, A_c1, la capacidad a compresión del hormigón puede aumentarse hasta dos veces en función del área de distribución de cálculo A_c2. Véase la tabla 22.8.3.2 de ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Para las zonas de anclaje postensadas, debe seguirse lo indicado en ACI 318-19 cap. 25.9.

El área parcialmente cargada debe estar suficientemente armada con armadura transversal dimensionada para transmitir las fuerzas de hendimiento que se producen en la zona. Sin la armadura transversal necesaria, no es posible considerar el aumento de la capacidad a compresión del hormigón.

Áreas parcialmente cargadas en CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Con CSFM es posible calcular y verificar estructuras de hormigón armado incluyendo la influencia del aumento de la resistencia a compresión del hormigón en las áreas parcialmente cargadas. Dado que CSFM es un modelo de pared (2D) y las áreas parcialmente cargadas constituyen un problema espacial (3D), fue necesario encontrar una solución que combinara estos dos tipos de problemas distintos (Fig. 50). Si se activa la función de «áreas parcialmente cargadas», se crea la geometría del cono admisible según ACI (Fig. 49). Todas las colisiones geométricas se resuelven completamente en 3D para la geometría especificada del elemento de hormigón y las dimensiones de cada PLA. A continuación, se crea un modelo de cálculo del área parcialmente cargada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

La modificación del modelo de material resultó ser un enfoque inadecuado, principalmente porque la transferencia de propiedades a la malla de elementos finitos es problemática. Se determinó que un enfoque independiente de la malla de elementos finitos es una solución más apropiada. Para la geometría conocida del cono de compresión se crean bielas ficticias absolutamente coherentes (Fig. 51 y Fig. 52). Estas bielas tienen propiedades de material idénticas a las del hormigón utilizado en el modelo, incluido el diagrama tensión-deformación. La forma del cono determina la dirección de las bielas, que distribuye gradualmente la carga desde la PLA hasta el área de distribución de cálculo. La densidad superficial de las bielas ficticias es variable en cada parte del cono y añade un área ficticia de hormigón en la dirección de la carga. A nivel del área cargada (A_c1), se añade un área ficticia de hormigón según la relación $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (donde A_real es el área del apoyo supuesta en el modelo de cálculo 2D), y esta área disminuye linealmente hasta cero hacia el área de distribución de cálculo (A_c2). Esta solución garantiza que la tensión de compresión en el hormigón sea constante en todo el volumen del cono.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

La resistencia del área parcialmente cargada se incrementa según la relación entre el área de distribución de cálculo y el área cargada establecida en ACI 318-19 cap. 22.8.  Debe tenerse presente que se trata de un modelo de cálculo que no puede describir con precisión el estado tensional en un área parcialmente cargada, cuyo flujo real es mucho más complejo. Sin embargo, esta solución permite la correcta distribución de la carga a todo el modelo respetando la mayor capacidad de carga del área parcialmente cargada. Además, introduce correctamente las tensiones transversales en esta zona para dimensionar correctamente la armadura frente a las fuerzas de hendimiento.

La tensión de apoyo admisible de 0,85f_c' se indica en la tabla 22.8.3.2. La densidad se limita de modo que no se supere la capacidad máxima del doble indicada en la fórmula de la tabla 22.8.3.2(b).  

Para las zonas de anclaje, la PLA se utiliza en la aplicación de la misma manera que para los apoyos. Por ello, las zonas locales definidas en el capítulo 25.9 de ACI 318-19 deben verificarse manualmente según ACI 318-19 25.9.3. Por tanto, la PLA se utiliza únicamente para evitar que se supere el criterio de deformación en la zona local y se detenga así prematuramente el cálculo. Por otro lado, según ACI 318-19, Cl. 25.9.4.3.1 (b), la armadura que resiste las tensiones en el plano de estallido y desprendimiento puede verificarse directamente y de forma ventajosa en la aplicación.

Las verificaciones de servicio se realizan para la limitación de tensiones, el ancho de fisura y los límites de flecha. Las tensiones se comprueban en el hormigón y en los elementos de armadura según ACI 318-19, de forma similar a lo especificado para la resistencia.

Limitación de tensiones

Las tensiones admisibles de compresión del hormigón bajo cargas de servicio deben verificarse en los elementos pretensados de Clase U y T. Según la Tabla R24.5.2.1, no se requiere verificar la limitación de tensiones en el hormigón que se supone fisurado. El usuario debe definir la clase del elemento pretensado en la configuración del elemento de cálculo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

La tensión de compresión admisible para elementos sometidos a cargas transitorias se especifica en ACI 318-19 24.5.4.1 como 0,6f_c'. El límite de tensión de compresión de 0,45f_c' se estableció para reducir la probabilidad de fallo de los elementos de hormigón pretensado debido a cargas repetidas. Este límite también pareció razonable para evitar una deformación por fluencia excesiva. Con valores de tensión más altos, las deformaciones por fluencia tienden a aumentar más rápidamente a medida que aumenta la tensión aplicada.

La tensión del hormigón a compresión se evalúa como el cociente entre la tensión principal de compresión máxima f_c = σ_c2 obtenida del análisis por EF para servicio y el valor límite, que se establece según la Tabla 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

En la aplicación, Pretensado más carga sostenida se trata como una combinación a largo plazo, y Pretensado más carga total como una combinación a corto plazo.

Flecha

En función del tipo de combinación seleccionado (a largo o a corto plazo), se evalúa la flecha a largo plazo o a corto plazo. El valor máximo admisible de la flecha debe ser determinado por el usuario y debe considerarse de acuerdo con ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

En la aplicación es posible mostrar por separado las flechas debidas a la carga permanente Δ_DL y a la sobrecarga de uso Δ_LL, así como la flecha total Δ_Tot (permanente+sobrecarga), todo ello mostrando la deformada.

No es posible verificar las flechas en los extremos recortados.

Ancho de fisura

Los anchos de fisura y las orientaciones de las fisuras se calculan para combinaciones de servicio a corto o a largo plazo. Dado que ACI no prescribe directamente límites para los anchos de fisura, el usuario debe especificar un ancho de fisura límite w_lim.

Las verificaciones se presentan de la siguiente manera:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

donde:

w         ancho de fisura a corto o a largo plazo calculado mediante análisis por EF,

w_lim     valor límite del ancho de fisura definido por el usuario.

El método de cálculo de los anchos de fisura utilizado en la aplicación, descrito también con más detalle en este documento, es conforme con ACI 224R-01. Por tanto, es posible utilizar la Tabla 4.1 de ACI 224R-01 para determinar el valor límite de los anchos de fisura.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Existen dos formas de calcular los anchos de fisura (fisuración estabilizada y no estabilizada). En el caso general (fisuración estabilizada), el ancho de fisura se calcula integrando las deformaciones en los elementos 1D de las barras de armadura. La dirección de la fisura se calcula entonces a partir de los tres puntos de integración más cercanos (desde el centro del elemento finito 1D de armadura considerado) de los elementos 2D de hormigón. Aunque este enfoque para calcular las direcciones de las fisuras no se corresponde con la posición real de las fisuras, proporciona valores representativos que dan lugar a resultados de ancho de fisura comparables con los valores de ancho de fisura exigidos por la norma en la posición de la barra de armadura.

Hormigón - Resistencia

El modelo de hormigón implementado para los cálculos de resistencia en CSFM se basa en las hipótesis de equilibrio y compatibilidad de deformaciones del cálculo de resistencia de AASHTO LRFD. De acuerdo con el artículo 5.6.2.1 de AASHTO LRFD (2024), se desprecia la resistencia a tracción del hormigón.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

La implementación de CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón en compresión (es decir, una vez alcanzada la tensión máxima, considera una rama plástica con ε_c0 con un valor máximo del 5 %, mientras que el artículo 5.6.2.1 de AASHTO LRFD (2024) asume una deformación última inferior al 0,3 %). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan por compresión. Sin embargo, la resistencia se predice correctamente cuando, además del factor del hormigón fisurado (k_c2 definido en (Fig. 57)), se considera el aumento de la fragilidad del hormigón al aumentar su resistencia mediante el factor de reducción $\eta_{fc}$ definido en el Model Code 2010 de la fib de la siguiente manera:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

donde:

α₁ es el factor de reducción de la resistencia a compresión del hormigón definido en el artículo 5.6.2.2 de AASHTO LRFD (2024). Cuando se utiliza un diagrama tensión-deformación parábola-rectángulo , es necesario reducir la tensión máxima de compresión mediante este factor. Así se promedia la distribución de tensiones en la zona comprimida de modo que la resistencia a compresión resultante sea menor o igual que la resistencia a compresión calculada con un diagrama tensión-deformación con una rama plástica descendente.

Φ_c es el factor de resistencia del hormigón. El valor por defecto se establece según el artículo 5.5.4.2 de AASHTO LRFD (2024).

k_c2 es el factor de reducción debido a la presencia de fisuración transversal.

f'_c es la resistencia cilíndrica del hormigón (en MPa para la definición de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 es un factor de reducción basado en las mismas hipótesis que el factor de eficiencia del hormigón ν indicado en AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a y en la Tabla 5.8.2.5.3a-1, salvo que en CSFM la presencia de una tensión principal de tracción perpendicular a la tensión principal de compresión se verifica en cada elemento finito (y no solo en los nodos del modelo de Biela y tirante).

Hormigón – Servicio

El análisis en servicio contiene ciertas simplificaciones de los modelos constitutivos que se utilizan para el análisis de resistencia. Se desprecia la rama plástica de la curva tensión-deformación del hormigón en compresión, mientras que la rama elástica es lineal e infinita. No se considera la ley de ablandamiento a compresión. Estas simplificaciones mejoran la estabilidad numérica y la velocidad de cálculo, y no reducen la generalidad de la solución siempre que los límites de tensión resultantes de los materiales en servicio se encuentren claramente por debajo de sus puntos de plastificación (de acuerdo con el enfoque del estado límite de servicio de AASHTO LRFD). Por lo tanto, los modelos simplificados utilizados en servicio solo son válidos si se cumplen todos los requisitos de verificación.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efectos a largo plazo

La ley constitutiva a largo plazo (la curva roja en la Fig. 59) se utiliza para el cálculo del ancho de fisura, la flecha total y la limitación de tensiones de los elementos pretensados cuando se selecciona el efecto a largo plazo en la cinta de opciones superior. En la aplicación Detail de IDEA StatiCa, se utiliza el módulo de elasticidad efectivo para la verificación de los efectos a largo plazo, tal como se indica en AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

donde:
E_c es el módulo de elasticidad definido en el artículo 5.4.2.4 de AASHTO LRFD (2024)
ψ es el coeficiente de fluencia definido en el artículo 5.4.2.3.2 de AASHTO LRFD (2024)

Los factores de fluencia los define el usuario en las propiedades del material.

Efectos a corto plazo

Para realizar las verificaciones a corto plazo, se efectúa otro cálculo en el que todas las cargas se calculan sin el factor de fluencia. Ambos cálculos, para las verificaciones a largo y a corto plazo, se representan en la Fig. 59.

Armadura

Para la armadura no pretensada se considera un diagrama tensión-deformación perfectamente elastoplástico con un límite elástico definido, véase el artículo 5.4.3 de AASHTO LRFD (2024). La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura: la resistencia y el módulo de elasticidad.

El diagrama tensión-deformación de la armadura también puede ser definido por el usuario, pero en ese caso no es posible considerar el efecto de rigidización a tracción (no es posible calcular el ancho de fisura). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

donde:

Φ_s es el factor de resistencia de la armadura. El valor por defecto se establece según el artículo 5.5.4.2 de AASHTO LRFD (2024).

f_y es el límite elástico de la armadura

E_s es el módulo de elasticidad de la armadura

Se selecciona un 10 % como deformación límite a la que se detiene el cálculo. Esto se considera seguro con base en el artículo 7 de ASTM A955/A955M-20c.

La rigidización a tracción (Fig. 61)  se tiene en cuenta automáticamente modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda para captar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

El Método del Campo de Tensiones Compatible cumple con las normas de cálculo modernas. Dado que los modelos de cálculo solo utilizan propiedades estándar de los materiales, el formato de coeficientes parciales de seguridad prescrito en las normas puede aplicarse sin ninguna adaptación. De este modo, las cargas de entrada se mayoran y las propiedades características de los materiales se reducen mediante los factores de resistencia correspondientes, exactamente igual que en el análisis convencional de hormigón.

Los valores de los factores de resistencia están prescritos en el artículo 5.5.4 de AASHTO LRFD (2024). Los valores por defecto para el hormigón y la armadura se han elegido de forma conservadora, partiendo de la hipótesis de que el ejemplo típico a resolver es una región D, un caso habitual para el método SaT. Sin embargo, es posible modelar cualquier tipo de elemento. Por lo tanto, si se evalúa un elemento controlado por compresión o por tracción, el usuario puede modificar el valor del factor de reducción de resistencia en las Preferencias.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Los factores de carga y las combinaciones de carga deben definirse de acuerdo con las AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), artículo 3.4.1 y tablas 3.4.1-1 a 3.4.1-6. AASHTO LRFD especifica explícitamente las combinaciones de carga del estado límite de resistencia (Strength I a Strength V), así como las combinaciones de carga de nivel de servicio (Service I a Service IV), incluidos los factores de carga correspondientes a cada caso.

Para cada plantilla, el programa incluye combinaciones básicas predefinidas que deben completarse en función del elemento que se esté procesando.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Las diferentes verificaciones requeridas por AASHTO se evalúan a partir de los resultados directos proporcionados por el modelo. Se realizan verificaciones de la resistencia del hormigón, de la resistencia de la armadura y del anclaje (tensiones tangenciales de adherencia).

La resistencia del hormigón a compresión se evalúa como el cociente entre la tensión principal de compresión máxima f_c (también σ₂ en Resultados auxiliares), obtenida del análisis por EF, y el valor límite f'_c,lim.

La resistencia de la armadura se evalúa tanto a tracción como a compresión como el cociente entre la tensión en la armadura en las fisuras f_s y el valor límite especificado f_y,lim.

La tensión tangencial de adherencia se evalúa de forma independiente como el cociente entre la tensión de adherencia τ_b calculada mediante el análisis por EF y la resistencia de adherencia f_bu.

Sin embargo, dado que la resistencia de adherencia no está definida explícitamente en AASHTO, su valor debe determinarse mediante las ecuaciones que definen la longitud de desarrollo. De hecho, la resistencia de adherencia es el dato de partida principal para determinar la longitud de desarrollo; véase, por ejemplo, este artículo AASHTO LRFD (2024) Artículo C5.10.8.2 o NCHRP Report 733, Attachment E, página E-9.

El cálculo descrito en AASHTO LRFD (2024) Artículo 5.10.8.2.1 y 5.10.8.2.2 requiere conocer la separación máxima entre ejes de la armadura transversal dentro de l_d, el número de barras o alambres desarrollados a lo largo del plano de hendimiento, el área total de la sección transversal de toda la armadura transversal y otras magnitudes geométricas que no pueden determinarse de forma fiable en el modelo de la aplicación Detail para datos de entrada generales. Por ello, se adoptó un enfoque basado en AASHTO LRFD (2014) Artículo 5.11.2.1.1 de la siguiente manera:

Supongamos que, si anclamos la barra de armadura en un bloque de hormigón en una longitud igual o superior a la longitud de desarrollo l_d, el arrancamiento de la armadura provocará la rotura de la armadura y no el arrancamiento del hormigón. Esto puede expresarse mediante la siguiente fórmula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

donde:

• d_b es el diámetro de la barra de armadura
• l_d es la longitud de desarrollo
• f_bu es la resistencia de adherencia
• f_y es el límite elástico de la armadura
• A_b es el área de la barra de armadura

De lo anterior se puede deducir fácilmente la fórmula para calcular la resistencia de adherencia.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La longitud básica de desarrollo a tracción l_db se determina en AASHTO LRFD (2014) Artículo 5.11.2.1.1 como sigue:

Para barras del n.º 11 y menores:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Para barras del n.º 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Para barras del n.º 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

donde:

• A_b es el área de la barra de armadura (in²)
• f_y es el límite elástico especificado de la armadura (ksi)
• f'_c es la resistencia a compresión especificada del hormigón a 28 días, salvo que se especifique otra edad (ksi)
• d_b es el diámetro de la barra de armadura (in)

A continuación, al multiplicar la longitud básica de desarrollo l_db por los factores descritos en AASHTO LRFD (2014) Artículo 5.11.2.1.2 y 5.11.2.1.3, se determina la longitud de desarrollo l_d como dato de entrada.

Los factores de modificación que reducen la longitud de desarrollo según 5.11.2.1.3 son siempre iguales a 1,0 en la aplicación. El factor de modificación para armadura superior horizontal o casi horizontal es igual a 1,4 para condiciones de adherencia «malas», de acuerdo con la siguiente figura:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

La dirección de hormigonado se puede establecer en la aplicación.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Todos los demás factores determinados en 5.11.2.1.2 son iguales a 1,0, porque solo se admite hormigón de peso normal y solo se admite armadura sin recubrimiento.

La tensión tangencial de adherencia y la resistencia de adherencia de las barras a compresión se calculan de forma análoga a las de las barras a tracción, pero se utilizan las ecuaciones de AASHTO LRFD (2014) Artículo 5.11.2.2.

También existe la opción de modelizar barras lisas. Puede encontrar más información aquí: Barras lisas en Detail

Fuerza total F_tot y fuerza límite F_lim

La fuerza total F_tot es un resultado del análisis por elementos finitos y puede definirse de dos maneras.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

donde A_b es el área de la barra de armadura y f_s es la tensión en la barra.

O bien como la suma de la fuerza de anclaje F_a y la fuerza de adherencia F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

donde F_a es la fuerza real en el muelle de anclaje y F_bond es la fuerza de adherencia, que se puede obtener integrando la tensión de adherencia τ_b a lo largo de la longitud de la barra de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s es el perímetro de la barra de armadura.

La fuerza límite F_lim es la fuerza máxima en el elemento de la barra de armadura, teniendo en cuenta la resistencia de la barra y también las condiciones de anclaje (adherencia entre el hormigón y la armadura, ganchos de anclaje, lazos, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

donde C_s es el perímetro de la barra de armadura y l es la longitud desde el inicio de la barra hasta el punto de interés.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

donde F_lim,add es la fuerza adicional calculada a partir del valor del ángulo entre elementos contiguos. F_lim,2 debe ser siempre inferior a F_u.

Los tipos de anclaje disponibles en CSFM incluyen barra recta (es decir, sin reducción por extremo de anclaje), gancho a 90 grados, gancho a 180 grados, adherencia perfecta y barra continua. Todos estos tipos, junto con los respectivos coeficientes de anclaje β, se muestran en la Fig. 67 para la armadura longitudinal. Los valores de los coeficientes de anclaje adoptados se obtienen de la comparación de la ecuación de la sección AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 y las ecuaciones tomadas de la sección AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Debe tenerse en cuenta que, a pesar de las distintas opciones disponibles, CSFM distingue tres tipos de extremos de anclaje: (i) sin reducción de la longitud de anclaje, (ii) una reducción del 30 % de la longitud de anclaje en el caso de un anclaje normalizado y (iii) adherencia perfecta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

El coeficiente de anclaje para estribos (disponible para el elemento de viga) es siempre β = 1,0.

Para cumplir con AASHTO, debe utilizar el muelle de anclaje en el cálculo. El muelle de anclaje se modifica mediante el coeficiente β, por lo que el usuario debe utilizar uno de los tipos de anclaje disponibles al definir las condiciones de inicio y fin de la armadura. 

En el diseño de estructuras de hormigón, existen dos grandes grupos de áreas parcialmente cargadas (PLA): el primero comprende los apoyos, mientras que el segundo consiste en las zonas de anclaje. 

Según las normas actualmente vigentes para el cálculo de estructuras de hormigón armado, en los apoyos deben considerarse el aplastamiento local del hormigón y las fuerzas de tracción transversales. Para una carga uniformemente distribuida sobre un área, A₁, la capacidad a compresión del hormigón puede aumentarse hasta dos veces, en función del área de distribución de cálculo A₂. Véase el artículo 5.6.5 de AASHTO LRFD (2024).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Para las zonas de anclaje postensadas, debe seguirse el artículo 5.8.4.4 de AASHTO LRFD (2024).

El área parcialmente cargada debe estar suficientemente reforzada con armadura transversal, dimensionada para transmitir las fuerzas de hendimiento que se producen en dicha área. Sin la armadura transversal necesaria, no es posible considerar el aumento de la capacidad a compresión del hormigón.

Áreas parcialmente cargadas en CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Mediante CSFM es posible dimensionar y evaluar estructuras de hormigón armado teniendo en cuenta la influencia del aumento de la resistencia a compresión del hormigón en las áreas parcialmente cargadas. Dado que CSFM es un modelo de pared (2D) y las áreas parcialmente cargadas constituyen un problema espacial (3D), fue necesario encontrar una solución que combinara estos dos tipos de problemas distintos (Fig. 69). Si se activa la función «áreas parcialmente cargadas», se genera la geometría del cono admisible según ACI (Fig. 68). Todas las colisiones geométricas se resuelven íntegramente en 3D para la geometría del elemento de hormigón especificada y las dimensiones de cada PLA. A continuación, se genera un modelo de cálculo del área parcialmente cargada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

La modificación del modelo de material resultó ser un enfoque inadecuado, principalmente porque la asignación de propiedades a la malla de elementos finitos es problemática. Se determinó que un enfoque independiente de la malla de elementos finitos es una solución más apropiada. Para la geometría conocida del cono de compresión se crean bielas ficticias absolutamente coherentes (Fig. 70 y Fig. 71). Estas bielas tienen propiedades de material idénticas a las del hormigón utilizado en el modelo, incluido el diagrama tensión-deformación. La forma del cono determina la dirección de las bielas, que distribuyen gradualmente la carga desde la PLA hasta el área de distribución de cálculo. La densidad superficial de las bielas ficticias es variable en cada parte del cono y añade un área ficticia de hormigón en la dirección de la carga. A la altura del área cargada (A₁), se añade un área ficticia de hormigón según la relación $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (donde A_real es el área del apoyo supuesta en el modelo de cálculo 2D), y esta área disminuye linealmente hasta cero hacia el área de distribución de cálculo (A₂). Esta solución garantiza que la tensión de compresión en el hormigón sea constante en todo el volumen del cono.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

La resistencia del área parcialmente cargada se incrementa según la relación entre el área de distribución de cálculo y el área cargada establecida en el artículo 5.6.5 de AASHTO LRFD (2024).  Debe tenerse presente que se trata de un modelo de cálculo que no puede describir con precisión el estado tensional en un área parcialmente cargada, cuyo flujo real es mucho más complejo. No obstante, esta solución permite una correcta distribución de la carga en todo el modelo, respetando al mismo tiempo la mayor capacidad portante del área parcialmente cargada. Además, introduce correctamente las tensiones transversales en esta zona para dimensionar adecuadamente la armadura frente a las fuerzas de hendimiento.

La tensión de apoyo admisible de 0.85f_c' se indica en el artículo 5.8.4.4 de AASHTO LRFD (2024). La densidad se limita de modo que no se supere la capacidad máxima doble dada por la fórmula 5.6.5-3.  

Para las zonas de anclaje, la PLA se utiliza en la aplicación de la misma manera que para los apoyos. Por ello, las tensiones de compresión en las zonas locales y globales definidas en los artículos 5.8.4.4 y 5.8.4.5 deben verificarse manualmente. Por lo tanto, la PLA solo se utiliza para evitar que se supere el criterio de deformación en la zona local y que, de este modo, el cálculo se detenga prematuramente. Por otro lado, la armadura que resiste las tensiones de estallido, de desconchado en el plano y de tracción de borde en las zonas generales (definidas en el artículo 5.8.4.5) puede verificarse directamente, y con ventaja, en la aplicación.

Las verificaciones de servicio se realizan para la limitación de tensiones, la anchura de fisura y los límites de flecha. Las tensiones se verifican en los elementos de hormigón y de armadura según AASHTO LRFD, de manera similar a lo especificado para la resistencia.

Limitación de tensiones

La tensión de compresión en el hormigón se evalúa únicamente para elementos pretensados (cuando el caso de carga de pretensado está presente en el modelo) como el cociente entre la tensión principal máxima de compresión f_c = σ_c2 obtenida del análisis por EF para el estado de servicio y los valores límite, que se establecen según la Tabla 5.9.2.3.2a-1 de AASHTO LRFD.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

En la aplicación, Pretensado más carga permanente se trata como carga sostenida, y Pretensado, carga permanente y carga transitoria como carga total.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Además, siempre es posible realizar un análisis tanto para efectos a corto plazo como a largo plazo, utilizando modelos de material que tengan en cuenta o no el coeficiente de fluencia; véase la sección «Modelos de material (AASHTO)».

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Flecha

Las flechas instantáneas y las flechas totales se evalúan para cada combinación en la que está activada la evaluación de flechas. 

• Para las flechas instantáneas, se utiliza el módulo de elasticidad E_c según el artículo 5.4.2.4 de AASHTO LRFD (2024). 
• Para las flechas totales, se utiliza el módulo de elasticidad efectivo E_c,eff según el artículo C5.12.5.3.6 de AASHTO LRFD (2024).