Stahlstütze verankert an Betonunterzug – Berechnungsbeispiel

Das Beispiel aus CUR/BmS Report 10 bildet die Grundlage für die Ausarbeitung in IDEA StatiCa Connection und 3D Detail. Wir vergleichen jedoch nicht alle Nachweise, teilweise weil das Buch im Jahr 2009 verfasst wurde und die aktuelle EN 1992-4 zu diesem Zeitpunkt noch nicht in Kraft war.

Verbindung unter Druck-, Biege- und Querkraftbeanspruchung

Die Stahlstütze mit dem Querschnitt IPE240 wird auf einem schmalen Fundamentbalken von 450x800 mm² aufgestellt. Auf die Stütze wirken eine axiale Druckkraft, eine Querkraft und ein Biegemoment. In Kombination mit den kurzen Randabständen ergibt sich eine anspruchsvolle Bemessung. Die Aufgabe besteht darin, die verschiedenen Versagensmechanismen zu überprüfen und die erforderliche Bewehrung zu bestimmen, um Betonkegelbruch und Spalten zu verhindern. Die gegebenen Informationen sind nachfolgend dargestellt.

Abb. 1: Berechnungsbeispiel aus CUR10.

Das Modell wird zunächst in der Connection-Anwendung modelliert, wo das Stahlprofil einschließlich Fußplatte und Schweißnähten auf Basis der CBFEM-Berechnung nachgewiesen wird. Die Ankerkräfte und Druckspannungen im Beton werden anschließend verwendet, um die Verankerung gemäß den geltenden Normen EN 1992-4, EN 1992-1-1 und EN 1993-1-8 nachzuweisen, abhängig von der Art des Ankers und dem jeweiligen Versagensmechanismus.

In der Connection-Anwendung werden Berechnungen gemäß EN 1992-4 unter der Annahme von unbewehrtem Beton durchgeführt. Wenn bestimmte Versagensmechanismen dadurch nicht verhindert werden können, ist es erforderlich, Zusatzbewehrung in die Bemessung einzubeziehen. Dies kann durch den Export der Stützenfußplattenverbindung aus Connection in die 3D-Detail-Anwendung erfolgen, in der die Bewehrung explizit in die Berechnung einbezogen wird.

Connection-Modell

Abbildung 2 zeigt die Ausführung der Verbindung. Die Fußplatte hat eine Dicke von 35 mm mit einer Mörtelfuge von 25 mm. Die Anker sind mit Ankerplatten ausgeführt und haben einen Randabstand von 70 mm zur Ankermitte. Die Ankerplatten haben eine maximale Abmessung von 80x80 mm², wodurch eine minimale Betondeckung von 30 mm zwischen Ankerplatte und Betonkante sichergestellt wird.

Die Anker übertragen die Querkraft, und die Ankerlänge wurde mit 350 mm gewählt. Der Betonunterzug wird als unbewehrter, gerissener Beton mit einer Länge von 4 m modelliert.

Abb. 2: Stützenfußplattenverbindung ausgearbeitet in Connection.

*Die genaue Länge des Betonunterzugs und die Lagerungsart können aus dem Berechnungsbeispiel [1] nicht eindeutig abgeleitet werden. Zur Bestimmung der erforderlichen Bewehrung wurde der Unterzug mit einer Länge von 4 m modelliert und an beiden Seiten abgeschnitten. In der Praxis kann der Unterzug länger sein.

Die Spannung-Dehnung-Analyse wird in IDEA StatiCa Connection durchgeführt. Im nächsten Schritt analysieren wir die Ergebnisse.

Connection-Ergebnisse

Das Biegemoment erzeugt Zugkräfte in den linken zwei Ankern. Diese betragen jeweils ca. 114,3 kN, was zu einer Gesamtzugkraft von 228,6 kN führt. Dies stimmt gut mit der Zugkraft von 120,7 kN je Anker überein, die im Beispiel aus dem Buch [1] ermittelt wurde.

Auf der anderen Seite wird die Last über die Fußplatte als Druckkraft in den Beton eingeleitet. IDEA StatiCa überprüft die Druckspannungen im Beton auf Basis einer wirksamen Fläche und der resultierenden Druckkraft. Dabei wird eine Druckfestigkeit von f_jd = 12,6 MPa berechnet, die niedriger ist als der Wert von 18,7 MPa aus dem Berechnungsbeispiel [1]. Dieser Unterschied wird hauptsächlich durch einen niedrigeren Konzentrationsfaktor \(k_j = \frac{A_{c1}}{A_{eff}}.\) erklärt.

Die Normnachweise für Stütze, Schweißnähte, Fußplatte und Druckspannungen im Beton sind erfüllt. Die Anker erfüllen die Anforderungen jedoch nicht, mit einem Ausnutzungsgrad von 960 %.

Abb. 3: Ergebnisse der CBFEM-Berechnung in Connection.

Eine genauere Betrachtung der Ergebnisse zeigt, dass der Nachweis für Stahl unter Zug- und Querkräften sowie das Herausziehen der Anker erfüllt ist. Der maßgebende Nachweis wird jedoch durch den Beton bestimmt, der gemäß drei Mechanismen versagt: Betonkegelversagen, Blow-out-Versagen und Betonkantenversagen. Dies sind drei unterschiedliche Versagensarten, die bei Berechnungen mit unbewehrtem Beton unter dieser Kombination aus Ankerkräften und Randabständen zwangsläufig auftreten.

Da die Abmessungen des Betonunterzugs und der Stützenfußplatte nicht geändert werden können, ist es erforderlich, Bewehrung in die Bemessung einzubeziehen. Diese wird gemäß EN 1992-4 Art. 7.2.1.2 & 7.2.2.2 bestimmt, um die genannten Versagensmechanismen zu vermeiden.

Export nach 3D Detail

Das Connection-Modell wird nach IDEA StatiCa 3D Detail exportiert, damit die Bewehrung explizit in die Analyse einbezogen und Betonversagen verhindert werden kann. Auf diese Weise werden alle Normnachweise sowohl für Anker als auch für Beton abgedeckt.

Über den RC-Check wird das vollständige Modell übertragen, einschließlich Kräfte, Betonblock, Fußplatte und Anker. Der nächste Schritt besteht darin, die Bewehrung zu bemessen und die Randbedingungen korrekt zu definieren. Wie gezeigt wird, sind diese Randbedingungen entscheidend für eine zuverlässige Finite-Elemente-Berechnung.

Abb. 4: Export von Connection nach 3D Detail.

• Betonblock

Das Betonelement wird aus dem Connection-Modell übernommen und kann hier bei Bedarf weiter angepasst werden. Für die Modellierung komplexerer Betonformen siehe diesen Artikel.

• Lagerungen

Beim Export wird automatisch eine Flächenlagerung erstellt. Diese befindet sich an der Unterseite, muss jedoch so angepasst werden, dass an beiden Enden des Unterzugs eine Lagerung vorhanden ist. Es wird davon ausgegangen, dass der Unterzug tatsächlich länger ist und hier abgeschnitten wird. Die Längsbewehrung verläuft dabei durch die Lagerung und liefert Steifigkeit auf Druck & Zug.

• Anker

Die 4xM24-Anker mit Unterlegplatten werden aus dem Connection-Modell übernommen. Lediglich die Dicke der Ankerplatten ist noch festzulegen, da diese nun explizit im Modell berücksichtigt wird. Es wird eine Dicke von 20 mm angenommen, damit die Kräfte ordnungsgemäß übertragen werden können. Alle Ankeroptionen sind in diesem Artikel beschrieben.

Abb. 5: Modellierung des 3D-Detail-Modells mit Lagerungen und Ankerplattendicke.

• Lasten

Die Kräfte in den Ankern und auf der Fußplatte werden automatisch aus IDEA StatiCa Connection exportiert. Dadurch werden die Lasteffekte im 3D-Detail-Modell präzise aufgebracht, ohne dass eine manuelle Eingabe erforderlich ist. Für weitere Informationen zum Export von Kräften siehe diesen Artikel.

• Hauptbewehrung

Der Beton in 3D Detail hat keine Zugfestigkeit, daher muss stets Bewehrung modelliert werden. Ohne Bewehrung können keine zuverlässigen Ergebnisse erzielt werden, da die gesamte Zugenergie vom Stahl aufgenommen werden muss.

Zunächst modellieren wir die Hauptbewehrung unter der Annahme, dass:

• Längsbewehrung Ø16
• Bügel Ø12-250.

Diese Bewehrung kann abweichen, da sie nicht direkt aus dem Berechnungsbeispiel [1] abgeleitet werden kann. Diese Bewehrung steht nicht im Mittelpunkt des Nachweises, ist jedoch erforderlich, um das Modell in 3D Detail korrekt zu berechnen.

Zusatzbewehrung

Der wichtigste Teil dieses Berechnungsbeispiels ist die Bemessung der Zusatzbewehrung zur Verhinderung des Ausbruchs des unbewehrten Betons.

• Zugbewehrung

Bei der Betrachtung des Betonkegelversagens infolge zugbeanspruchter Anker sollte die Bewehrung so bemessen werden, dass sie die vollen Ankerkräfte aufnimmt. In diesem Fall beträgt die Gesamtzugkraft F_t = 2 × 114,3 kN = 228,6 kN. Darauf basierend wird die erforderliche Bewehrung A_s,req bestimmt.

• F_t = 2 × 114,3 = 228,6 kN
• A_s,req = \( \frac{F_t}{f_{yd}} = \frac{228600}{435}\) = 526 mm²

Im Beispiel werden 4 x Ø16-Bügel symmetrisch um die Anker als Bewehrung mit einem Abstand von 70 mm angeordnet. Basierend auf der vorhandenen Bewehrungsfläche und der wirkenden Zugkraft ergibt sich eine Spannung in den Bügeln von ca. 284 N/mm².

• 4Ø16 \(\rightarrow\) A_s = 804 mm².
• σ_s = \( \frac{F_t}{A_s} = \frac{228600}{804} \) = 284 N/mm²

Mit 4Ø16 wird der folgende charakteristische Widerstand gemäß Gleichung 7.31 aus EN1992-4 Art. 7.2.1.9 berechnet:

   \(N_{Rk,re} = \sum_{i=1}^{n_{re}} A_{s,re,i} \cdot f_{yk,re}  = A_{s,re} \cdot f_{yk,re} \) = 804 \(\cdot\) 500 = 402 kN

Der resultierende Bemessungswiderstand erweist sich als ausreichend, um die wirkende Zugkraft in den zwei Ankern aufzunehmen.

 \(N_{Rd} = \frac{N_{Rk}}{\gamma_s} = \frac{402}{1.15} \) ≈ 350 kN > F_t 

Abb. 6: Zusatzbewehrungsentwürfe für Zug, Querkraft und Spalten gemäß EN1992-4.

• Querkraftbewehrung

Neben Zugkräften wirken auch Querkräfte auf die Anker, was zu Betonkantenversagen führt. Die vorgeschriebenen Bügel 4Ø16 wirken auch als Querkraftbewehrung und können die Querkraft von F_v = 37,5 kN problemlos übertragen.

• Spaltbewehrung

Das Beispiel [1] berücksichtigt auch das Betonaufspalten, für das Bewehrung in Richtung der Spaltkraft bemessen werden muss. Für das Aufspalten werden zwei Situationen unterschieden, die in Abbildung 6 als (a) und (b) gekennzeichnet sind. Die zur Verhinderung des Aufspaltens erforderliche Bewehrung wird gemäß Gleichung 7.22 in EN1992-4 Art. 7.2.1.7 berechnet, wobei k₄ für Anker mit Ankerplatten einen Wert von 0,50 hat.

  \(\sum A_{s,\mathrm{re}} = k_4 \, \frac{\sum N_{Ed}}{f_{yk,\mathrm{re}} / \gamma_{Ms,\mathrm{re}}}\)

(a) Der Spaltriss von einem Anker zur Betonkante in Querrichtung. Dieser kann durch die Längsbewehrung aufgenommen werden.

(b) Spaltriss zwischen den Ankern. Dieser kann durch die zusätzlichen Bügel 2Ø16 zwischen den Ankern aufgenommen werden.

Abb. 7: Das 3D-Detail-Modell mit der modellierten Bewehrung.

Für eine korrekte Berechnung in 3D Detail ist es unerlässlich, die Bewehrungsdetaillierungsregeln zu befolgen und einen Vorentwurf der erforderlichen Bewehrung zu erstellen. Dies bildet die Grundlage für zuverlässige Ergebnisse.

Für genaue Abmessungen und Modellierung der Bewehrung wird auf das 3D-Detail-Modell verwiesen, das am Ende der Seite heruntergeladen werden kann.

3D-Detail-Ergebnisse

Sobald das 3D-Detail-Modell einschließlich der Bewehrung aufgebaut ist, kann die CSFM-Berechnung durchgeführt werden. In der Entwurfsphase empfehlen wir, den Netzfaktor auf 3 oder 4 zu erhöhen, um die Berechnung zu beschleunigen. Für den abschließenden Bericht sollte die Berechnung jedoch mit Netzfaktor 1 durchgeführt werden. Die nachfolgende Abbildung zeigt eine Zusammenfassung der Ergebnisse.

Abb. 8: Zusammenfassung der Ergebnisse der CSFM-Berechnung in 3D Detail.

Die GZT-Nachweise sind in der oberen linken Ecke dargestellt und sind erfüllt. Die Spannungen sowohl im Beton als auch in der Bewehrung liegen innerhalb der Bemessungswerte, und die Anker sowie die Bewehrung sind ausreichend verankert. Die Verformungen liegen im erwarteten Bereich, und es treten keine unerwünschten Verformungen oder Stabilitätsprobleme auf.

Ergebnisse für Beton

Bei der Betrachtung der Spannungsverteilung sind Druckspannungen im Beton um die Anker und unterhalb der Fußplatte erkennbar, die lokal -13,3 MPa erreichen. Mithilfe eines Schnitts kann die Spannungsverteilung im Betonelement detaillierter analysiert werden.

Weitere wertvolle Ergebnisse zur Analyse sind die Hauptspannungen und Hauptdehnungen, die unter dem Reiter „Hilfsgrössen" zu finden sind. Insbesondere die Hauptdehnungen ε₁ im Beton sind relevant, da sie Aufschluss darüber geben, wo Zugspannungen auftreten und somit wo Bewehrung zur Aufnahme dieser erforderlich ist.

Abb. 9: Ergebnisse der CSFM-Berechnung für Beton.

Ergebnisse für Stahl – Anker & Bewehrung.

Die Spannungsverteilung in den Ankern entspricht den Erwartungen. Da die Anker mit Ankerplatte keine Kraft durch Verbund übertragen, tritt entlang der Ankerlänge ein nahezu konstanter Spannungswert auf.

Darüber hinaus ist zu erkennen, dass die Zusatzbewehrung die Zugkräfte aus den Ankern aufnehmen kann. Interessanterweise sind jedoch die Spannungen in den 4Ø16-Bügeln niedriger als die zuvor berechneten ca. 284 N/mm².

Dieser Unterschied lässt sich dadurch erklären, dass im CSFM-Modell die gesamte modellierte Bewehrung zur Kraftübertragung beiträgt und die Last auf mehrere Bewehrungsstäbe verteilt wird. Die vorhandenen Ø12-Bügel sind ebenfalls Teil dieses Kraftmechanismus und wirken als Fachwerk, das einen Teil der Zugspannungen aufnimmt. Dies zeigt ein wichtiges Merkmal der Arbeit mit IDEA StatiCa Detail und erklärt, warum die Ergebnisse von einer vereinfachten Handrechnung abweichen können.

In der Praxis empfehlen wir, alle im Modell vorhandenen Bewehrungselemente einzubeziehen, einschließlich der Hauptbewehrung. Dies liefert das realistischste Ergebnis, da diese Bewehrung in der Realität ebenfalls zur Kraftübertragung beiträgt.

Abb. 10: Ergebnisse der CSFM-Berechnung für Stahlbewehrung & Anker.

Um die berechnete Bewehrung dennoch zu überprüfen, kann das Modell geringfügig angepasst werden. Zu diesem Zweck wurden einige mitwirkende Bügel entfernt. Die Ergebnisse hierzu sind in Abbildung 11 dargestellt. In dieser Situation entstehen Spannungen von 259 N/mm² in den Ø16-Bügeln, was näher am berechneten Wert von 284 N/mm² liegt.

Die Handrechnung geht von der Situation mit den schwarzen Pfeilen in Abbildung 11 aus. Die Anker stehen unter Zug und übertragen ihre Kraft über die Ankerplatte. Von dieser Platte aus bildet sich eine Druckdiagonale zur Oberkante der Zusatzbügel. Diese Bügel leiten die Kraft dann nach unten, wodurch eine zweite Druckdiagonale zum nächsten Bügel entsteht, und auf diese Weise werden die Kräfte schließlich zu den Auflagern übertragen.

Abb. 11: Angepasstes 3D-Detail-Modell zum Vergleich mit der Handrechnung.

Ein Teil der Zugkräfte aus den Ankern wird weiterhin über die ersten Bügel mittels einer direkten Druckstrebe übertragen, wie durch den weißen Pfeil in Abbildung 11 angezeigt. Obwohl dieses Verhalten teilweise gemindert werden kann, ist eine weitere Entfernung von Bügeln nicht sinnvoll, da dies andere Versagensmechanismen hervorrufen kann, z. B. Torsion im Träger.

Diese Erkenntnisse zeigen, dass das Verhalten der Verbindung nicht nur durch die Kräfte oder Anker bestimmt wird, sondern auch stark von der Modellierung und den Randbedingungen abhängt. Faktoren wie Trägerlänge, Art der Lagerungen und Bewehrungsmodellierung sind alle wichtig zu bewerten, da sie das Kraftverhalten beeinflussen.

Die Bedeutung der Randbedingungen

Direkte Kraftübertragung zu den Auflagern

Die gewählte Modellierung bestimmt maßgeblich, wie die Kräfte durch den Beton übertragen werden und ob die resultierenden Spannungen repräsentativ für die reale Situation sind. Im Beispiel haben wir bereits gesehen, dass die Kräfte aus den Ankern nicht immer dem in der Handrechnung angenommenen Verlauf folgen. Ein ähnliches Verhalten tritt auf, wenn der Träger zu kurz modelliert und an beiden Enden gelagert wird. In diesem Fall finden die Zugkräfte aus den Ankern einen direkten Weg zum Auflager, ohne die Zusatzbewehrung nennenswert zu beanspruchen (Abbildung 12).

Um einen realistischen Kraftverlauf sicherzustellen, ist es daher erforderlich, im Modell eine ausreichende Länge vorzusehen. Im Berechnungsbeispiel wurde eine Trägerlänge von 4 m gewählt, damit sich die Kräfte realistisch entwickeln können und die Wirkung der Bewehrung korrekt berücksichtigt wird.

Abb. 12: Wenn der Träger zu kurz ist, werden die Ankerkräfte direkt zu den Auflagern abgeleitet.

Falsche Wahl der Lagerungsanordnung

Eine weitere Situation, die auftreten kann, ist, dass das Modell so aufgebaut wird, als ob es sich um einen Fundamentbalken handelt, der vollständig auf dem Boden aufliegt, mit einer Lagerung nur an der Unterseite. In diesem Fall führen die vorhandene Querkraft und das Biegemoment dazu, dass das Betonelement kippt. Um dies zu verhindern, ist es erforderlich, an beiden Enden geeignete Randbedingungen anzuordnen, die der tatsächlichen Lagerungssituation entsprechen.

Abb. 13: Eine Flächenlagerung, die nur den Untergrund simuliert, führt zum Kippen des Betonunterzugs.

Fazit

Dieses Berechnungsbeispiel hat gezeigt, dass die Kombination von IDEA StatiCa Connection und 3D Detail einen zuverlässigen Arbeitsablauf für die Berechnung von Verankerungen in Beton bietet. Indem zunächst die Stahl-Beton-Verbindung in Connection nachgewiesen und das Modell anschließend nach 3D Detail exportiert wird, um Beton mit Bewehrung zu analysieren, werden alle relevanten Versagensmechanismen gemäß dem Eurocode erfasst und nachgewiesen. Die Ergebnisse zeigen, dass sowohl die Anker als auch der Beton die Anforderungen erfüllen, sofern die korrekte Bewehrung angeordnet wird. Diese Methode liefert somit ein praxisnahes und zuverlässiges Bild des tatsächlichen Kraftverlaufs in der Struktur.

Weitere Informationen finden Sie in den nachfolgenden Artikeln; die IDEA StatiCa-Modelle können ebenfalls heruntergeladen werden.

• Theoretischer Hintergrund von 3D Detail
• 10 wichtige Fragen zu 3D Detail
• Bekannte Einschränkungen von 3D Detail

Literatur:

[1] Hordijk, D.A. & Stark, J.W.B. (2009). Column footplate connections - Recommendations for calculation according to the Eurocodes. CUR/BmS report 10, Bouwen met Staal & CUR Bouw & Infra, Zoetermeer/Gouda.