Knihovna článků

Vnitřní síly pro 2D průřezy

Beton

RCS

EN (Eurokód)

Beam

Tento článek je dostupný také v dalších jazycích:

Přeloženo pomocí AI z angličtiny

Zadání vnitřních sil

Zadání vnitřních sil 2D prvků závisí na typu 2D elementu:

Shell-slab – lze zadat membránové síly (n_x, n_y a n_xy), ohybové momenty (m_x, m_y a m_xy) a posouvající síly (v_x a v_y)
Shell- wall – lze zadat membránové síly (n_x, n_y a n_xy), ohybové momenty (m_x, m_y a m_xy) a posouvající síly (v_x a v_y)
Slab – lze zadat pouze ohybové momenty (m_x, m_y a m_xy) a posouvající síly (v_x a v_y)
Wall – lze zadat pouze membránové síly (n_x, n_y a n_xy)
vysoký nosník – lze zadat pouze membránové síly (n_x, n_y a n_xy)

	Popis
m_x(y)	Ohybový moment ve směru osy x (y). Kladná hodnota způsobuje tah na spodním povrchu 2D elementu.
m_xy(yx)	Krouticí moment kolem osy y (x) působící na hraně rovnoběžné s osou x (y). Kladná hodnota způsobuje tahové smykové napětí na spodním povrchu 2D elementu. Protože v každém bodě 2D elementu platí věta o rovnosti vodorovných smykových napětí, jsou krouticí momenty m_xy = m_yx v každém bodě 2D elementu také rovny. Proto se do programu zadává pouze hodnota m_xy.
n_x(y)	Normálová síla ve směru osy x (y). Kladná hodnota působí ve směru osy x(y) a způsobuje tah v průřezu.
n_xy(yx)	Normálová síla působící ve střednicové rovině ve směru osy y(x) na hraně rovnoběžné s osou x(y). Kladná hodnota působí ve směru osy x(y). Protože v každém bodě 2D elementu platí věta o rovnosti vodorovných smykových napětí, jsou normálové síly n_xy = n_yx v každém bodě 2D elementu také rovny. Proto se do programu zadává pouze hodnota n_xy.
v_x(y)	Posouvající síla působící kolmo na střednicovou rovinu na hraně rovnoběžné s osou x(y). Kladná hodnota působí ve směru osy z.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}\]

Pro posouzení je nutné definovat následující typy kombinací:

Mezní stav únosnosti/Mimořádná – složky vnitřních sil definované pro tento typ kombinací se používají pro posouzení MSÚ 2D elementů:
- Únosnost N-M-M
- Odezva N-M-M
- Interakce

a posouzení konstrukčních zásad

Charakteristická – složky vnitřních sil definované pro tento typ kombinace se používají pro posouzení omezení napětí (MSP)
Kvazistálá – složky vnitřních sil definované pro tento typ kombinace se používají pro posouzení šířky trhlin (MSP)

Poznámka:

Složky vnitřních sil v_x a v_y není nutné zadávat pro typy kombinací Charakteristická a Kvazistálá, protože tyto hodnoty se při posouzení nepoužívají.

Určení směru posouzení

Pro správné posouzení 2D elementu je nutné určit směr posouzení. Směr posouzení lze zadat pro každý typ kombinace samostatně pomocí následujících dvou metod:

Uživatelsky definovaný směr – uživatel definuje směr posouzení jako úhel vzhledem k ose x v rovině 2D elementu. Tato možnost je nastavena jako výchozí pro typ kombinace MSÚ a předdefinovaná hodnota úhlu je 0 stupňů. Posouzení se provádí v následujících směrech:
- Definovaný směr
- Směr kolmý na definovaný směr
- Směr tlakové diagonály na horním povrchu
- Směr tlakové diagonály na dolním povrchu
Směr hlavních napětí – směr posouzení se vypočítá automaticky jako směr hlavních napětí na horním a dolním povrchu 2D elementu. Tato možnost je nastavena jako výchozí pro typy kombinací Charakteristická a Kvazistálá. Posouzení se provádí v následujících směrech:
- Směr hlavních napětí na dolním povrchu
- Směr kolmý na směr hlavních napětí na dolním povrchu
- Směr tlakové diagonály na dolním povrchu
- Směr hlavních napětí na horním povrchu
- Směr kolmý na směr hlavních napětí na horním povrchu
- Směr tlakové diagonály na horním povrchu

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}\]

Analýza směru posouzení pro mezní stav únosnosti

Analýza 1

Pro 2D element zatížený pouze ohybovými momenty (m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m) se změněným úhlem vyztužení a úhlem směru posouzení pro mezní stav únosnosti jsou výsledky zobrazeny v následujícím grafu:

Z analýzy vyplývá:

Jsou-li pruty výztuže navzájem kolmé, jsou výsledky posouzení pro různé úhly směru posouzení podobné, nezávisí na definovaném úhlu vyztužení a maximální hodnota posouzení se nachází pro úhly 0, 45 a 90 stupňů. Toto posouzení lze tedy provést pro předdefinovaný směr úhlu posouzení 0 stupňů.
Nejsou-li pruty výztuže navzájem kolmé, výsledky posouzení se výrazně liší a maximální hodnota posouzení je dosažena přibližně ve směru odpovídajícím průměrnému směru výztuže. Proto se doporučuje změnit předdefinovaný směr posouzení nebo provádět posouzení ve více směrech v případech, kdy pruty výztuže nejsou navzájem kolmé.

Analýza 2

Pro ortogonální vyztužení byly změněny hodnoty ohybových momentů a úhel pro normové posouzení MSÚ. Výsledky jsou znázorněny v grafu:

Z analýzy vyplývá, že i pro různé hodnoty ohybových momentů se maximální hodnota posouzení mezního stavu únosnosti nachází pro směry posouzení 0, 45 a 90 stupňů. Posouzení lze tedy provést pro předdefinovaný úhel posouzení 0 stupňů. Podobný závěr platí pro 2D elementy zatížené pouze normálovou silou nebo normálovou silou v kombinaci s ohybovými momenty.

Přepočet vnitřních sil do směrů posouzení

Definované vnitřní síly jsou přepočítány do směrů posouzení pomocí Baumannova transformačního vzorce popsaného v Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. Postup výpočtu je následující:

Výpočet normálových sil na obou površích 2D elementu
Výpočet hlavních sil na obou površích 2D elementu
Výpočet přepočítaných sil pro každý povrch do definovaného směru posouzení
Výpočet přepočítaných sil pro každý povrch do středu
Přepočet posouvajících sil do definovaného směru posouzení

Výpočet normálových sil na obou površích 2D elementu

Definované vnitřní síly jsou přepočítány na oba povrchy pomocí následujících vzorců:

\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]

\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]

\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]

Pro přepočet vnitřních sil je nutné určit rameno vnitřních sil (z). Rameno vnitřních sil se určuje metodou mezního přetvoření při zatížení hlavním ohybovým momentem ve směrech hlavních momentů m₁ na obou površích. Jsou-li hlavní momenty rovny nule nebo není-li nalezena rovnováha ve směru hlavních momentů, určí se rameno vnitřních sil podle vzorce:

\[z=x\cdot d\]

	Popis
x	Součinitel pro výpočet ramene vnitřních sil je definován v nastavení národní normy.
d	Účinná výška průřezu vypočítaná samostatně pro horní a dolní povrch 2D elementu. Pro dolní povrch je to vzdálenost od těžiště prutů výztuže na dolním povrchu k horní hraně průřezu. Pro horní povrch je to vzdálenost od těžiště prutů výztuže na horním povrchu k dolní hraně průřezu.

Poznámka:

Rameno vnitřních sil lze ověřit v posouzení Odezva N-M-M. Je nutné zadat pouze ohybové momenty a směr posouzení musí odpovídat směru hlavního momentu.

V následujícím diagramu je zobrazeno ověření ramene vnitřních sil pro ohybové momenty m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m. Směr hlavních momentů byl vypočítán jako α_m1 = 22,5 stupňů a odezva průřezu byla vypočítána pro stanovení ramene vnitřních sil.

Poznámka:

Ramena vnitřních sil pro přepočet vnitřních sil ve směru posouzení a ramena vnitřních sil pro posouzení se mohou lišit, protože rameno vnitřních sil pro přepočet se určuje na průřezu zatíženém hlavními momenty ve směru hlavních momentů a rameno vnitřních sil pro posouzení se určuje na průřezu zatíženém ohybovými momenty a normálovými silami ve směru posouzení. Hodnoty ramen vnitřních sil pro všechny typy kombinací jsou zobrazeny v tabulce Přepočítané síly v navigátoru Vnitřní síly v průřezu.

Výpočet vnitřních sil na obou površích

Hlavní síly na obou površích 2D elementu se vypočítají pomocí vzorce:

\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

Směr hlavních sil se vypočítá pomocí vzorce:

\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]

Poznámka:

Hlavní síly a směr hlavních sil pro oba povrchy 2D elementu jsou zobrazeny pro všechny typy kombinací v tabulce Přepočítané síly v navigátoru Vnitřní síly v průřezu.

Výpočet přepočítaných vnitřních sil na površích do definovaného směru posouzení

Přepočet hlavních sil do směrů posouzení se provádí samostatně pro každý povrch pomocí Baumannova transformačního vzorce:

\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]

	Popis
i, j, k, i	Index směru posouzení (směr přepočtu vnitřních sil) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Např. pro dolní povrch a výpočet síly ve směru j (úhel α₂) platí vzorec: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\]
\[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\]	Úhel mezi definovaným směrem posouzení nebo směrem tlakové vzpěry a směrem hlavních sil na dolním nebo horním povrchu 2D elementu. Definovaný směr posouzení α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp) Směr kolmý na definovaný směr α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp) Směr posouzení pro tlakovou vzpěru α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	Definovaný směr posouzení pro danou kombinaci
α₂	Směr kolmý na definovaný směr, α₂= α₁ + 90 stupňů
α₃	Směr posouzení ve směru tlakové vzpěry v rovině 2D elementu. Tento směr je optimalizován tak, aby minimalizoval sílu v tomto směru.

Poznámka:

Pokud je směr posouzení totožný se směrem hlavních napětí, jsou síly v tlakové vzpěře nulové, a proto je tento směr při posouzení zanedbán.

Směr tlakové vzpěry pro všechny stavy napjatosti kromě hyperbolického stavu napjatosti (n_1,low(upp) > 0 a n_1,low(upp) < 0) lze vypočítat podle vzorce:

α₃ = 0,5(α₁ + α₂)

Přepočítané vnitřní síly pro oba povrchy 2D elementu a všechny směry posouzení včetně směru tlakové vzpěry jsou zobrazeny v tabulce Přepočítané síly

Transformace přepočítaných vnitřních sil do těžiště průřezu

Pro posouzení 2D elementu je nutné přepočítat povrchové síly v daném směru do těžiště průřezu. Výsledkem je normálová síla n_d,i a ohybový moment m_d,i působící v těžišti průřezu 2D elementu.

m_d,i = n_lower,i·z_s,low+ n_upper,i·z_s,upp

n_d,i = n_lower,i + n_upper,i

	Popis
n_lower,i	Přepočítané povrchové síly na dolním povrchu v i-tém směru posouzení, kde n_lower,i = n_{surface,low,i}.
n_upper,i	Přepočítané vnitřní síly na horním povrchu v i-tém směru posouzení, kde n_upper,i = n_{surface,upp,i}.
z_{s,low (upp)}	Vzdálenost těžiště tlačeného betonu nebo těžiště výztuže na dolním (horním) povrchu, kde z = z_s,low+ z_s,upp

Poznámka:

Pokud se směry tlakových vzpěr na dolním a horním povrchu liší, je pro přepočet sil do těžiště nutné vypočítat virtuální síly na dolním povrchu ve směru tlakové vzpěry na horním povrchu a naopak.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}\]

Přepočet posouvajících sil do definovaného směru posouzení

Posouvající síly jsou přepočítány do směru posouzení pomocí vzorce:

\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]

a maximální posouvající síla je:

\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]

a působí ve směru

\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]

	Popis
α_i	Úhel posouzení v i-tém směru

Poznámka:

Při posouzení 2D elementu s relativně velkými posouvajícími silami je vhodné provést posouzení ve směru maximální posouvající síly, což znamená, že definovaný směr posouzení odpovídá úhlu β

Porovnání přepočtu vnitřních sil různými metodami

Přepočet sil podle EN 1992-1-1

Metoda popsaná v EN 1992-1-1 se používá v řadě programů a v praxi pro výpočet návrhových vnitřních sil. EN 1992-1-1 zohledňuje pouze kolmé směry vyztužení. Výpočet dimenzačních sil s vlivem krouticího momentu je popsán v následujícím vývojovém diagramu, kde m_y³ m_x. Podobný diagram lze sestavit pro momenty m_y < m_x

	Popis
m_xd+,m_xd-	Dimenzační ohybový moment ve směru osy x pro návrh a posouzení výztuže na dolním (-) nebo horním (+) povrchu
m_yd+ m_yd-	Dimenzační ohybový moment ve směru osy y pro návrh a posouzení výztuže na dolním (-) nebo horním (+) povrchu
m_cd+,m_cd-	Dimenzační ohybový moment v tlačené betonové vzpěře na dolním (-) nebo horním (+) povrchu, který musí přenést beton

Hodnoty přepočítaných dimenzačních sil pro typ prvku = Slab, vypočítané metodou popsanou v EN, jsou zobrazeny v následující tabulce:

V IDEA StatiCa RCS nejsou zobrazeny hodnoty momentů na horním a dolním povrchu, ale hodnoty normálových sil na obou površích a hodnoty momentů přepočítaných do těžiště průřezu.

Momenty na dolním a horním povrchu lze vypočítat pomocí povrchových sil zobrazených v numerickém výstupu podle vzorce:

\[{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z\]

Hodnoty povrchových sil a přepočítaných momentů jsou zobrazeny v následujících tabulkách:

Z tabulek vyplývá, že momenty na površích desky vypočítané v IDEA Concrete a vypočítané podle metody popsané v EN si odpovídají pouze na jednom povrchu. Tento rozdíl je způsoben odlišnou optimalizací betonové vzpěry. Metoda použitá v IDEA StatiCa RCS hledá úhel tlakové vzpěry při minimální síle ve vzpěře. Metoda popsaná v EN hledá minimální součet záporných sil ze všech směrů.

Porovnání výpočtu vnitřních sil s programy RFEM a SCIA Engineer

Pro porovnání výsledků přepočítaných vnitřních sil v programech IDEA Concrete, RFEM a SCIA Engineer (SEN) byl připraven jednoduchý model desky o rozměrech 6 m x 4 m a tloušťce 200 mm. Deska je podepřena liniovými podporami na okrajích a zatížena rovnoměrným zatížením 10 kN/m².

Pro zjednodušení prezentace jsou zobrazeny pouze hodnoty přepočítaných vnitřních sil v jednom podélném řezu. Vzdálenost řezu od okraje desky je 1,5 m. Vnitřní síly vypočítané v programu RFEM byly použity jako vstupní hodnoty pro IDEA Concrete.