A introdução dos esforços internos
A introdução dos esforços internos de elementos 2D depende do tipo de elemento 2D:
- Shell-slab – podem ser introduzidas forças de membrana (nx, ny e nxy), momentos fletores (mx, my e mxy) e forças de corte (vx e vy)
- Shell- wall – podem ser introduzidas forças de membrana (nx, ny e nxy), momentos fletores (mx, my e mxy) e forças de corte (vx e vy)
- Slab – apenas podem ser introduzidos momentos fletores (mx, my e mxy) e forças de corte (vx e vy)
- Wall – apenas podem ser introduzidas forças de membrana (nx, ny e nxy)
- Viga-parede – apenas podem ser introduzidas forças de membrana (nx, ny e nxy)
| Descrição | |
| mx(y) | Momento fletor na direção do eixo x (y). Um valor positivo provoca tração na superfície inferior do elemento 2D. |
| mxy(yx) | Momento torsor em torno do eixo y (x) atuando na aresta paralela ao eixo x (y). Um valor positivo provoca tensão de corte de tração na superfície inferior do elemento 2D. Uma vez que em cada ponto do elemento 2D o teorema da igualdade das tensões de corte horizontais é válido, os momentos torsores mxy = myx são iguais em cada ponto do elemento 2D. Assim, apenas o valor de mxy é introduzido no programa. |
| nx(y) | Força normal na direção do eixo x (y). Um valor positivo atua na direção do eixo x(y) e provoca tração na secção. |
| nxy(yx) | Força normal atuando no plano médio na direção do eixo y(x) na aresta paralela ao eixo x(y). Um valor positivo atua na direção do eixo x(y). Uma vez que em cada ponto do elemento 2D o teorema da igualdade das tensões de corte horizontais é válido, as forças normais nxy = nyx são iguais em cada ponto do elemento 2D. Assim, apenas o valor de nxy é introduzido no programa. |
| vx(y) | Força de corte atuando perpendicularmente ao plano médio na aresta paralela ao eixo x(y). Um valor positivo atua na direção do eixo z. |
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}\]
Os seguintes tipos de combinações devem ser definidos para as verificações:
- Estado limite último/Acidental – as componentes dos esforços internos definidas para este tipo de combinações são utilizadas nas verificações ULS de elementos 2D:
- Capacidade N-M-M
- Resposta N-M-M
- Interação
e a verificação das disposições de pormenorização
- Característica – as componentes dos esforços internos definidas para este tipo de combinação são utilizadas na verificação da limitação de tensões (SLS)
- Quase-permanente – as componentes dos esforços internos definidas para este tipo de combinação são utilizadas na verificação da largura de fendas (SLS)
| Nota: |
| As componentes dos esforços internos vx e vy não são necessárias para os tipos de combinação Característica e Quase-permanente, uma vez que estes valores não são utilizados nas verificações. |
Determinação da direção de verificação
A direção de verificação deve ser determinada para a correta verificação do elemento 2D. A direção de verificação pode ser introduzida para cada tipo de combinação separadamente, utilizando os dois métodos seguintes:
- Direção definida pelo utilizador – o utilizador define a direção de verificação como um ângulo em relação ao eixo x no plano do elemento 2D. Esta opção está definida por defeito para o tipo de combinação ULS e o valor predefinido do ângulo é 0 graus. As verificações são realizadas nas seguintes direções:
- Direção definida
- Direção perpendicular à direção definida
- Direção da diagonal comprimida na superfície superior
- Direção da diagonal comprimida na superfície inferior
- Direção das tensões principais – a direção de verificação é calculada automaticamente como a direção das tensões principais na superfície superior e na superfície inferior do elemento 2D. Esta opção está definida por defeito para os tipos de combinação Característica e Quase-permanente. As verificações são realizadas nas seguintes direções:
- Direção das tensões principais na superfície inferior
- Direção perpendicular à direção das tensões principais na superfície inferior
- Direção da diagonal comprimida na superfície inferior
- Direção das tensões principais na superfície superior
- Direção perpendicular à direção das tensões principais na superfície superior
- Direção da diagonal comprimida na superfície superior
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}\]
Análise da direção de verificação para o estado limite último
Análise 1
Para um elemento 2D carregado apenas por momentos fletores (mx = 20 kNm/m, my = 10 kNm/m, mxy = 5 kNm/m) com o ângulo da armadura e o ângulo da direção de verificação alterados para o estado limite último - os resultados são apresentados no seguinte gráfico:
A análise permite concluir:
- Se as barras de armadura são perpendiculares entre si, os resultados das verificações são semelhantes para diferentes ângulos de direção de verificação, não dependem do ângulo de armadura definido e o valor máximo da verificação é encontrado para os ângulos 0, 45 e 90 graus. Assim, esta verificação pode ser realizada para uma direção predefinida de ângulo de verificação de 0 graus.
- Se as barras de armadura não são perpendiculares entre si, os resultados das verificações diferem significativamente e o valor máximo de verificação é atingido aproximadamente na direção correspondente à direção média da armadura. Assim, recomenda-se alterar a direção de verificação predefinida ou realizar verificações em mais direções nos casos em que as barras de armadura não são perpendiculares entre si.
Análise 2
Para a armadura ortogonal, os valores dos momentos fletores e o ângulo foram alterados para a verificação normativa ULS. Os resultados são representados no gráfico:
A análise permite concluir que mesmo para diferentes valores de momentos fletores, o valor máximo da verificação do estado limite último é encontrado para as direções de verificação 0, 45 e 90 graus. Assim, a verificação pode ser realizada para um ângulo de verificação predefinido de 0 graus. Uma conclusão semelhante é válida para elementos 2D carregados apenas por força normal ou carregados por força normal combinada com momentos fletores.
Recálculo dos esforços internos para as direções de verificação
Os esforços internos definidos são recalculados para as direções de verificação utilizando a fórmula de transformação de Baumann, descrita em Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. O procedimento de cálculo é o seguinte:
- Cálculo das forças normais em ambas as superfícies do elemento 2D
- Cálculo das forças principais em ambas as superfícies do elemento 2D
- Cálculo das forças recalculadas para cada superfície na direção de verificação definida
- Cálculo das forças recalculadas para cada superfície em relação ao centro
- Recálculo das forças de corte para a direção de verificação definida
Cálculo das forças normais em ambas as superfícies do elemento 2D
Os esforços internos definidos são recalculados para ambas as superfícies utilizando as seguintes fórmulas:
\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]
\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]
\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]
O braço dos esforços internos (z) deve ser determinado para o recálculo dos esforços internos. O braço dos esforços internos é determinado pelo método da deformação limite sob carregamento pelo momento fletor principal nas direções dos momentos principais m1 em ambas as superfícies. Se os momentos principais forem iguais a zero ou se o equilíbrio não for encontrado na direção dos momentos principais, o braço dos esforços internos é determinado de acordo com a fórmula:
\[z=x\cdot d\]
| Descrição | |
| x | O coeficiente para o cálculo do braço dos esforços internos é definido na configuração do código nacional. |
| d | A altura efetiva da secção transversal calculada separadamente para as superfícies superior e inferior do elemento 2D. Para a superfície inferior, é a distância do centroide das barras de armadura na superfície inferior à aresta superior da secção transversal. Para a superfície superior, é a distância do centroide das barras de armadura na superfície superior à aresta inferior da secção transversal. |
| Nota: |
| O braço dos esforços internos pode ser verificado na verificação Resposta N-M-M. Apenas os momentos fletores devem ser introduzidos e a direção de verificação deve corresponder à direção do momento principal. |
No diagrama seguinte, é apresentada uma verificação do braço dos esforços internos para os momentos fletores mx = 20 kNm/m, my = 10 kNm/m, mxy = 5 kNm/m. A direção dos momentos principais foi calculada como αm1 = 22,5 graus e a resposta da secção transversal foi calculada para determinar o braço dos esforços internos.
| Nota: |
| Os braços dos esforços internos para o recálculo dos esforços internos na direção de verificação e os braços dos esforços internos para as verificações podem ser diferentes, porque o braço dos esforços internos para o recálculo é determinado numa secção transversal carregada por momentos principais na direção dos momentos principais, e o braço dos esforços internos para a verificação é determinado numa secção transversal carregada por momentos fletores e forças normais na direção de verificação. Os valores dos braços dos esforços internos para todos os tipos de combinação são apresentados na tabela Forças recalculadas no navegador Esforços internos na secção. |
Cálculo dos esforços internos em ambas as superfícies
As forças principais em ambas as superfícies do elemento 2D são calculadas utilizando a fórmula:
\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]
\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]
E a direção das forças principais é calculada utilizando a fórmula:
\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]
| Nota: |
| As forças principais e a direção das forças principais para ambas as superfícies do elemento 2D são apresentadas para todos os tipos de combinação na tabela Forças recalculadas no navegador Esforços internos na secção. |
Cálculo dos esforços internos recalculados nas superfícies para a direção de verificação definida
O recálculo das forças principais para as direções de verificação é realizado separadamente para cada superfície utilizando a fórmula de transformação de Baumann:
\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]
| Descrição | |
| i, j, k, i | Índice da direção de verificação (direção de recálculo dos esforços internos) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Por exemplo, para a superfície inferior e o cálculo da força na direção j (ângulo α2), a fórmula é: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\] |
| \[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\] | O ângulo entre a direção de verificação definida ou a direção da escora comprimida e a direção das forças principais na superfície inferior ou superior do elemento 2D. Direção de verificação definida α1, low(upp) = α1 – α low(upp) Dir. perpendicular à direção definida α2, low(upp) = α2 – α low(upp) A direção de verificação para a escora comprimida α3, low(upp) = α3 – α low(upp) |
| α1 | Direção de verificação definida para a combinação particular |
| α2 | A direção perpendicular à direção definida, α2 = α1 + 90 graus |
| α3 | Verificar a direção na direção da escora comprimida no plano do elemento 2D. Esta direção é otimizada para minimizar a força nesta direção. |
| Nota: |
Se a direção de verificação for idêntica à direção das tensões principais, as forças na escora comprimida são nulas, pelo que esta direção é ignorada na verificação A direção da escora comprimida para todos os estados de tensão exceto o estado de tensão hiperbólico (n1,low(upp) > 0 e n1,low(upp) < 0) pode ser calculada de acordo com a fórmula: α3 = 0,5(α1 + α2) Os esforços internos recalculados para ambas as superfícies do elemento 2D e todas as direções de verificação, incluindo a direção da escora comprimida, são apresentados na tabela Forças recalculadas |
Transformação dos esforços internos recalculados para o centroide da secção transversal
Para a verificação do elemento 2D, as forças superficiais numa determinada direção devem ser recalculadas para o centroide da secção transversal. O resultado é a força normal nd,i e o momento fletor md,I atuando no centroide da secção transversal do elemento 2D.
md,i = nlower,i·zs,low + nupper,i·zs,upp
nd,i = nlower,i + nupper,i
| Descrição | |
| nlower,i | Forças superficiais recalculadas na superfície inferior na iª direção de verificação, quando nlower,i = nsurface,low,i. |
| nupper,i | Esforços internos recalculados na superfície superior na iª direção de verificação, quando nupper,i = nsurface,upp,i. |
| zs,low (upp) | Distância do centroide do betão comprimido ou do centroide da armadura na superfície inferior (superior), quando z = zs,low + zs,upp |
| Nota: |
| Se as direções das escoras comprimidas na superfície inferior e na superfície superior forem diferentes, para o recálculo das forças para o centroide é necessário calcular forças virtuais na superfície inferior na direção da escora comprimida na superfície superior e vice-versa. |
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}\]
Recálculo das forças de corte para a direção de verificação definida
As forças de corte são recalculadas para a direção de verificação utilizando a fórmula:
\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]
e a força de corte máxima é:
\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]
e atua na direção
\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]
| Descrição | |
| αi | Verificar o ângulo na iª direção |
| Nota: |
| Ao verificar um elemento 2D com forças de corte relativamente elevadas, é adequado verificar o elemento 2D na direção da força de corte máxima, o que significa que a direção de verificação definida corresponde ao ângulo β |
Comparação do recálculo dos esforços internos utilizando vários métodos
Recálculo de forças de acordo com a EN 1992-1-1
O método descrito na EN 1992-1-1 é utilizado em vários programas e na prática para calcular os esforços internos de cálculo. A EN 1992-1-1 considera apenas direções de armadura perpendiculares. O cálculo das forças de dimensionamento com a influência do momento torsor é descrito no fluxograma seguinte, onde my³ mx. Um diagrama semelhante pode ser criado para momentos my < mx
| Descrição | |
| mxd+, mxd- | Momento fletor de dimensionamento na direção do eixo x para o dimensionamento e verificação da armadura na superfície inferior (-) ou superior (+) |
myd+ myd- | Momento fletor de dimensionamento na direção do eixo y para o dimensionamento e verificação da armadura na superfície inferior (-) ou superior (+) |
| mcd+, mcd- | Momento fletor de dimensionamento na escora comprimida de betão na superfície inferior (-) ou superior (+), que deve ser resistido pelo betão |
Os valores das forças de dimensionamento recalculadas para o tipo de elemento = Laje, calculados utilizando o método descrito na EN, são apresentados na tabela seguinte:
No IDEA StatiCa RCS os valores dos momentos nas superfícies superior e inferior não são apresentados, mas sim os valores das forças normais em ambas as superfícies e os valores dos momentos recalculados para o centroide da secção transversal.
Os momentos nas superfícies inferior e superior podem ser calculados utilizando as forças superficiais, que são apresentadas na saída numérica, através da fórmula:
\[{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z\]
Os valores das forças superficiais e dos momentos recalculados são apresentados nas tabelas seguintes:
As tabelas mostram que os momentos nas superfícies da laje calculados no IDEA Concrete e calculados de acordo com o método descrito na EN correspondem apenas numa superfície. Esta diferença é causada pela diferente otimização da escora de betão. O método utilizado no IDEA StatiCa RCS procura o ângulo da escora comprimida com a força mínima na escora. O método descrito na EN procura uma soma mínima das forças negativas de todas as direções.
Comparação do cálculo dos esforços internos com os programas RFEM e SCIA Engineer
Para comparar os resultados dos esforços internos recalculados nos programas IDEA Concrete, RFEM e SCIA Engineer (SEN), foi preparado um modelo simples de laje com dimensões 6 m x 4 m e espessura de 200 mm. A laje é apoiada com apoio linear nas arestas e carregada com uma carga uniforme de 10 kN/m2.
Para simplificar a apresentação, apenas são apresentados os valores dos esforços internos recalculados numa secção longitudinal. A distância da secção à aresta da laje é de 1,5 m. Os esforços internos calculados no programa RFEM foram utilizados como valores de entrada para o IDEA Concrete.
A tabela mostra uma boa concordância das forças calculadas nos diferentes programas.