Bază de cunoștințe

Forțe interne pentru secțiuni 2D

Concrete

RCS

EN (Eurocode)

Beam

Acest articol este disponibil și în:

Tradus de AI din engleză

Introducerea forțelor interne

Introducerea forțelor interne ale elementelor 2D depinde de tipul elementului 2D:

Shell-slab – pot fi introduse forțe membranare (n_x, n_y și n_xy), momente încovoietoare (m_x, m_y și m_xy) și forțe tăietoare (v_x și v_y)
Shell- wall – pot fi introduse forțe membranare (n_x, n_y și n_xy), momente încovoietoare (m_x, m_y și m_xy) și forțe tăietoare (v_x și v_y)
Slab – pot fi introduse doar momente încovoietoare (m_x, m_y și m_xy) și forțe tăietoare (v_x și v_y)
Wall – pot fi introduse doar forțe membranare (n_x, n_y și n_xy)
Deep beam – pot fi introduse doar forțe membranare (n_x, n_y și n_xy)

	Descriere
m_x(y)	Moment încovoietor în direcția axei x (y). O valoare pozitivă produce întindere la suprafața inferioară a elementului 2D.
m_xy(yx)	Moment de torsiune în jurul axei y (x) care acționează pe muchia paralelă cu axa x (y). O valoare pozitivă produce tensiuni de forfecare de întindere la suprafața inferioară a elementului 2D. Deoarece în fiecare punct al elementului 2D teorema egalității tensiunilor de forfecare orizontale este valabilă, momentele de torsiune m_xy = m_yx sunt egale în fiecare punct al elementului 2D. Astfel, în program se introduce doar valoarea m_xy.
n_x(y)	Forță normală în direcția axei x (y). Valoarea pozitivă acționează în direcția axei x(y) și produce întindere în secțiune.
n_xy(yx)	Forță normală care acționează în planul median în direcția axei y(x) pe muchia paralelă cu axa x(y). Valoarea pozitivă acționează în direcția axei x(y). Deoarece în fiecare punct al elementului 2D teorema egalității tensiunilor de forfecare orizontale este valabilă, forțele normale n_xy = n_yx sunt egale în fiecare punct al elementului 2D. Astfel, în program se introduce doar valoarea n_xy.
v_x(y)	Forță tăietoare care acționează perpendicular pe planul median pe muchia paralelă cu axa x(y). Valoarea pozitivă acționează în direcția axei z.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}\]

Pentru verificări trebuie definite următoarele tipuri de combinații:

Stare limită ultimă/Accidentală – componentele forțelor interne definite pentru acest tip de combinații sunt utilizate pentru verificările SLU ale elementelor 2D:
- Capacitate N-M-M
- Răspuns N-M-M
- Interacțiune

și verificarea prevederilor de detaliere

Caracteristică – componentele forțelor interne definite pentru acest tip de combinație sunt utilizate pentru verificarea limitării tensiunilor (SLS)
Cvasipermanentă – componentele forțelor interne definite pentru acest tip de combinație sunt utilizate pentru verificarea deschiderii fisurilor (SLS)

Observație:

Componentele forțelor interne v_x și v_y nu trebuie introduse pentru tipurile de combinații Caracteristică și Cvasipermanentă, deoarece aceste valori nu sunt utilizate în verificări.

Determinarea direcției de verificare

Direcția de verificare trebuie determinată pentru verificarea corectă a elementului 2D. Direcția de verificare poate fi introdusă pentru fiecare tip de combinație separat, utilizând următoarele două metode:

Direcție definită de utilizator – utilizatorul definește direcția de verificare ca un unghi față de axa x în planul elementului 2D. Această opțiune este setată implicit pentru tipul de combinație SLU, iar valoarea predefinită a unghiului este 0 grade. Verificările se efectuează în următoarele direcții:
- Direcția definită
- Direcția perpendiculară pe direcția definită
- Direcția diagonalei comprimate la suprafața superioară
- Direcția diagonalei comprimate la suprafața inferioară
Direcția tensiunilor principale – direcția de verificare este calculată automat ca direcție a tensiunilor principale la suprafața superioară și la suprafața inferioară a elementului 2D. Această opțiune este setată implicit pentru tipurile de combinații Caracteristică și Cvasipermanentă. Verificările se efectuează în următoarele direcții:
- Direcția tensiunilor principale la suprafața inferioară
- Direcția perpendiculară pe direcția tensiunilor principale la suprafața inferioară
- Direcția diagonalei comprimate la suprafața inferioară
- Direcția tensiunilor principale la suprafața superioară
- Direcția perpendiculară pe direcția tensiunilor principale la suprafața superioară
- Direcția diagonalei comprimate la suprafața superioară

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}\]

Analiza direcției de verificare pentru starea limită ultimă

Analiza 1

Pentru un element 2D încărcat doar cu momente încovoietoare (m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m) cu unghiul armăturii și unghiul direcției de verificare modificate pentru starea limită ultimă - rezultatele sunt prezentate în graficul următor:

Analiza implică:

Dacă barele de armătură sunt perpendiculare una față de cealaltă, rezultatele verificărilor sunt similare pentru diferite unghiuri ale direcției de verificare, nu depind de unghiul de armătură definit, iar valoarea maximă a verificării se obține pentru unghiurile de 0, 45 și 90 de grade. Astfel, această verificare poate fi efectuată pentru o direcție predefinită a unghiului de verificare de 0 grade.
Dacă barele de armătură nu sunt perpendiculare una față de cealaltă, rezultatele verificărilor diferă semnificativ, iar valoarea maximă a verificării se obține aproximativ în direcția corespunzătoare direcției medii a armăturii. Prin urmare, se recomandă modificarea direcției predefinite de verificare sau efectuarea verificărilor în mai multe direcții în cazurile în care barele de armătură nu sunt perpendiculare una față de cealaltă.

Analiza 2

Pentru armătura ortogonală, valorile momentelor încovoietoare și unghiul au fost modificate pentru verificarea conform codului la SLU. Rezultatele sunt reprezentate în grafic:

Analiza implică faptul că, chiar și pentru valori diferite ale momentelor încovoietoare, valoarea maximă a verificării la starea limită ultimă se obține pentru direcțiile de verificare de 0, 45 și 90 de grade. Astfel, verificarea poate fi efectuată pentru un unghi de verificare predefinit de 0 grade. O concluzie similară este valabilă pentru elementele 2D încărcate doar cu forță normală sau încărcate cu forță normală combinată cu momente încovoietoare.

Recalcularea forțelor interne în direcțiile de verificare

Forțele interne definite sunt recalculate în direcțiile de verificare utilizând formula de transformare Baumann, descrisă în Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". În : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. Procedura de calcul este următoarea:

Calculul forțelor normale la ambele suprafețe ale elementului 2D
Calculul forțelor principale la ambele suprafețe ale elementului 2D
Calculul forțelor recalculate pentru fiecare suprafață în direcția de verificare definită
Calculul forțelor recalculate pentru fiecare suprafață spre centru
Recalcularea forțelor tăietoare în direcția de verificare definită

Calculul forțelor normale la ambele suprafețe ale elementului 2D

Forțele interne definite sunt recalculate la ambele suprafețe utilizând următoarele formule:

\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]

\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]

\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]

Brațul de pârghie al forțelor interne (z) trebuie determinat pentru recalcularea forțelor interne. Brațul de pârghie al forțelor interne este determinat prin metoda deformației limită la încărcarea cu momentul încovoietor principal în direcțiile momentelor principale m₁ la ambele suprafețe. Dacă momentele principale sunt egale cu zero sau dacă echilibrul nu este găsit în direcția momentelor principale, brațul de pârghie al forțelor interne este determinat conform formulei:

\[z=x\cdot d\]

	Descriere
x	Coeficientul pentru calculul brațului forțelor interne este definit în configurarea codului național.
d	Înălțimea efectivă a secțiunii transversale calculată separat pentru suprafața superioară și cea inferioară a elementului 2D. Pentru suprafața inferioară, reprezintă distanța de la centrul de greutate al barelor de armătură de la suprafața inferioară până la muchia superioară a secțiunii transversale. Pentru suprafața superioară, reprezintă distanța de la centrul de greutate al barelor de armătură de la suprafața superioară până la muchia inferioară a secțiunii transversale.

Observație:

Brațul forțelor interne poate fi verificat în verificarea Răspuns N-M-M. Trebuie introduse doar momentele încovoietoare, iar direcția de verificare trebuie să corespundă cu direcția momentului principal.

În diagrama următoare este prezentată o verificare a brațului de pârghie al forțelor interne pentru momentele încovoietoare m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m. Direcția momentelor principale a fost calculată ca α_m1 = 22,5 grade, iar răspunsul secțiunii transversale a fost calculat pentru a determina brațul de pârghie al forțelor interne.

Observație:

Brațele de pârghie ale forțelor interne pentru recalcularea forțelor interne în direcția de verificare și brațele de pârghie ale forțelor interne pentru verificări pot fi diferite, deoarece brațul de pârghie al forțelor interne pentru recalculare este determinat pe o secțiune transversală încărcată cu momente principale în direcția momentelor principale, iar brațul de pârghie al forțelor interne pentru verificare este determinat pe o secțiune transversală încărcată cu momente încovoietoare și forțe normale în direcția de verificare. Valorile brațelor de pârghie ale forțelor interne pentru toate tipurile de combinații sunt afișate în tabelul Forțe recalculate din navigatorul Forțe interne în secțiune.

Calculul forțelor interne la ambele suprafețe

Forțele principale la ambele suprafețe ale elementului 2D sunt calculate utilizând formula:

\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

Iar direcția forțelor principale este calculată utilizând formula:

\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]

Observație:

Forțele principale și direcția forțelor principale pentru ambele suprafețe ale elementului 2D sunt afișate pentru toate tipurile de combinații în tabelul Forțe recalculate din navigatorul Forțe interne în secțiune.

Calculul forțelor interne recalculate la suprafețe în direcția de verificare definită

Recalcularea forțelor principale în direcțiile de verificare se efectuează separat pentru fiecare suprafață utilizând formula de transformare Baumann:

\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]

	Descriere
i, j, k, i	Indicele direcției de verificare (direcția de recalculare a forțelor interne) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. De ex., pentru suprafața inferioară și calculul forței în direcția j (unghiul α₂), formula este: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\]
\[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\]	Unghiul dintre direcția de verificare definită sau direcția bielei comprimate și direcția forțelor principale la suprafața inferioară sau superioară a elementului 2D. Direcția de verificare definită α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp) Dir. perpendiculară pe direcția definită α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp) Direcția de verificare pentru bielă comprimată α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	Direcția de verificare definită pentru combinația respectivă
α₂	Direcția perpendiculară pe direcția definită, α₂= α₁ + 90 grade
α₃	Direcția de verificare în direcția bielei comprimate în planul elementului 2D. Această direcție este optimizată pentru a minimiza forța în această direcție.

Observație:

Dacă direcția de verificare este identică cu direcția tensiunilor principale, forțele în bielă comprimată sunt zero, astfel această direcție este neglijată în verificare.

Direcția bielei comprimate pentru toate stările de tensiune, cu excepția stării hiperbolice de tensiune (n_1,low(upp) > 0 și n_1,low(upp) < 0), poate fi calculată conform formulei:

α₃ = 0,5(α₁ + α₂)

Forțele interne recalculate pentru ambele suprafețe ale elementului 2D și toate direcțiile de verificare, inclusiv direcția bielei comprimate, sunt afișate în tabelul Forțe recalculate

Transformarea forțelor interne recalculate la centrul de greutate al secțiunii transversale

Pentru verificarea elementului 2D, forțele de suprafață într-o direcție particulară trebuie recalculate la centrul de greutate al secțiunii transversale. Rezultatul este forța normală n_d,i și momentul încovoietor m_d,I care acționează în centrul de greutate al secțiunii transversale a elementului 2D.

m_d,i = n_lower,i·z_s,low+ n_upper,i·z_s,upp

n_d,i = n_lower,i + n_upper,i

	Descriere
n_lower,i	Forțe de suprafață recalculate la suprafața inferioară în direcția de verificare i^th, când n_lower,i = n_{surface,low,i}.
n_upper,i	Forțe interne recalculate la suprafața superioară în direcția de verificare i^th, când n_upper,i = n_{surface,upp,i}.
z_{s,low (upp)}	Distanța de la centrul de greutate al betonului comprimat sau centrul de greutate al armăturii la suprafața inferioară (superioară), când z = z_s,low+ z_s,upp

Observație:

Dacă direcțiile bielelor comprimate la suprafața inferioară și la suprafața superioară sunt diferite, pentru recalcularea forțelor la centrul de greutate este necesar să se calculeze forțe virtuale la suprafața inferioară în direcția bielei comprimate de la suprafața superioară și invers.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}\]

Recalcularea forțelor tăietoare în direcția de verificare definită

Forțele tăietoare sunt recalculate în direcția de verificare utilizând formula:

\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]

iar forța tăietoare maximă este:

\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]

și acționează în direcția

\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]

	Descriere
α_i	Unghiul de verificare în direcția i^th

Observație:

La verificarea unui element 2D cu forțe tăietoare relativ mari, este indicat să se verifice elementul 2D în direcția forței tăietoare maxime, ceea ce înseamnă că direcția de verificare definită corespunde unghiului β

Compararea recalculării forțelor interne utilizând diverse metode

Recalcularea forțelor conform EN 1992-1-1

Metoda descrisă în EN 1992-1-1 este utilizată în mai multe programe și în practică pentru calculul forțelor interne de calcul. EN 1992-1-1 ia în considerare doar direcțiile perpendiculare ale armăturii. Calculul forțelor de dimensionare cu influența momentului de torsiune este descris în diagrama de flux următoare, unde m_y³ m_x. O diagramă similară poate fi creată pentru momentele m_y < m_x

	Descriere
m_xd+,m_xd-	Moment încovoietor de dimensionare în direcția axei x pentru proiectarea și verificarea armăturii la suprafața inferioară (-) sau superioară (+)
m_yd+ m_yd-	Moment încovoietor de dimensionare în direcția axei y pentru proiectarea și verificarea armăturii la suprafața inferioară (-) sau superioară (+)
m_cd+,m_cd-	Moment încovoietor de dimensionare în bielă comprimată de beton la suprafața inferioară (-) sau superioară (+), care trebuie preluat de beton

Valorile forțelor de dimensionare recalculate pentru tipul de element = Placă, calculate utilizând metoda descrisă în EN, sunt prezentate în tabelul următor:

În IDEA StatiCa RCS valorile momentelor la suprafața superioară și inferioară nu sunt afișate, ci valorile forțelor normale la ambele suprafețe și valorile momentelor recalculate la centrul de greutate al secțiunii transversale.

Momentele la suprafețele inferioară și superioară pot fi calculate utilizând forțele de suprafață, care sunt afișate în rezultatele numerice, folosind formula:

\[{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z\]

Valorile forțelor de suprafață și ale momentelor recalculate sunt prezentate în tabelele următoare:

Tabelele arată că momentele la suprafețele plăcii calculate în IDEA Concrete și calculate conform metodei descrise în EN corespund doar la o singură suprafață. Această diferență este cauzată de optimizarea diferită a bielei de beton. Metoda utilizată în IDEA StatiCa RCS caută unghiul bielei comprimate la forța minimă în bielă. Metoda descrisă în EN caută suma minimă a forțelor negative din toate direcțiile.

Compararea calculului forțelor interne cu programele RFEM și SCIA Engineer

Pentru a compara rezultatele forțelor interne recalculate în programele IDEA Concrete, RFEM și SCIA Engineer (SEN), a fost pregătit un model simplu de placă cu dimensiunile 6 m x 4 m și grosimea de 200 mm. Placa este rezemată cu reazem liniar la margini și încărcată cu o încărcare uniformă de 10 kN/m².

Pentru simplificarea prezentării, sunt afișate doar valorile forțelor interne recalculate într-o singură secțiune longitudinală. Distanța secțiunii față de marginea plăcii este de 1,5 m. Forțele interne calculate în programul RFEM au fost utilizate ca valori de intrare pentru IDEA Concrete.