A belső erők bevitele
A 2D elemek belső erőinek bevitele a 2D elem típusától függ:
- Shell-slab – membránerők (nx, ny és nxy), hajlítónyomatékok (mx, my és mxy) és nyíróerők (vx és vy) adhatók meg
- Shell- wall – membránerők (nx, ny és nxy), hajlítónyomatékok (mx, my és mxy) és nyíróerők (vx és vy) adhatók meg
- Slab – csak hajlítónyomatékok (mx, my és mxy) és nyíróerők (vx és vy) adhatók meg
- Wall – csak membránerők (nx, ny és nxy) adhatók meg
- Mélygerenda – csak membránerők (nx, ny és nxy) adhatók meg
| Leírás | |
| mx(y) | Hajlítónyomaték az x (y)-tengely irányában. Pozitív érték húzást okoz a 2D elem alsó felületén. |
| mxy(yx) | Csavarónyomaték az y (x)-tengely körül, az x (y) tengellyel párhuzamos élen hat. Pozitív érték húzási nyírófeszültséget okoz a 2D elem alsó felületén. Mivel a 2D elem minden pontjában érvényes a vízszintes nyírófeszültségek egyenlőségének tétele, a csavarónyomatékok mxy = myx szintén egyenlők a 2D elem minden pontjában. Ezért a programban csak mxy értékét kell megadni. |
| nx(y) | Normálerő az x (y)-tengely irányában. Pozitív érték az x(y) tengely irányában hat és húzást okoz a keresztmetszetben. |
| nxy(yx) | A középsíkban ható normálerő y(x)-tengely irányában, az x(y)-tengellyel párhuzamos élen. Pozitív érték az x(y)-tengely irányában hat. Mivel a 2D elem minden pontjában érvényes a vízszintes nyírófeszültségek egyenlőségének tétele, az nxy = nyx normálerők szintén egyenlők a 2D elem minden pontjában. Ezért a programban csak nxy értékét kell megadni. |
| vx(y) | A középsíkra merőlegesen ható nyíróerő az x(y)-tengellyel párhuzamos élen. Pozitív érték a z-tengely irányában hat. |
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}\]
Az ellenőrzésekhez a következő kombinációtípusokat kell meghatározni:
- Tönkremeneteli határállapot/Rendkívüli – az ehhez a kombinációtípushoz meghatározott belső erő komponensek a 2D elemek ULS ellenőrzéséhez kerülnek felhasználásra:
- Kapacitás N-M-M
- Válasz N-M-M
- Interakció
és a konstruktív előírások ellenőrzése
- Karakterisztikus – az ehhez a kombinációtípushoz meghatározott belső erő komponensek a feszültségkorlátozás ellenőrzéséhez kerülnek felhasználásra (SLS)
- Kvázi-állandó – az ehhez a kombinációtípushoz meghatározott belső erő komponensek a repedésszélesség ellenőrzéséhez kerülnek felhasználásra (SLS)
| Megjegyzés: |
| A vx és vy belső erő komponenseket nem szükséges megadni a Karakterisztikus és Kvázi-állandó kombinációtípusokhoz, mivel ezek az értékek nem kerülnek felhasználásra az ellenőrzések során. |
Az ellenőrzés irányának meghatározása
A 2D elem megfelelő ellenőrzéséhez meg kell határozni az ellenőrzés irányát. Az ellenőrzés iránya minden kombinációtípushoz külön megadható, az alábbi két módszer egyikével:
- Felhasználó által meghatározott irány – a felhasználó az ellenőrzés irányát a 2D elem síkjában az x-tengelyhez viszonyított szögként adja meg. Ez az opció alapértelmezettként van beállítva az ULS kombinációtípushoz, és a szög előre meghatározott értéke 0 fok. Az ellenőrzések a következő irányokban kerülnek elvégzésre:
- Meghatározott irány
- A meghatározott irányra merőleges irány
- A nyomott átló iránya a felső felületen
- A nyomott átló iránya az alsó felületen
- Főfeszültségek iránya – az ellenőrzés iránya automatikusan kerül kiszámításra a 2D elem felső és alsó felületén lévő főfeszültségek iránya alapján. Ez az opció alapértelmezettként van beállítva a Karakterisztikus és Kvázi-állandó kombinációtípusokhoz. Az ellenőrzések a következő irányokban kerülnek elvégzésre:
- A főfeszültségek iránya az alsó felületen
- A főfeszültségek irányára merőleges irány az alsó felületen
- A nyomott átló iránya az alsó felületen
- A főfeszültségek iránya a felső felületen
- A főfeszültségek irányára merőleges irány a felső felületen
- A nyomott átló iránya a felső felületen
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}\]
Az ellenőrzés irányának vizsgálata tönkremeneteli határállapotra
1. vizsgálat
Egy csak hajlítónyomatékokkal terhelt 2D elemnél (mx = 20 kNm/m, my = 10 kNm/m, mxy = 5 kNm/m), ahol a vasalás szöge és az ellenőrzés irányának szöge megváltozik a tönkremeneteli határállapotra – az eredmények a következő grafikonon láthatók:
A vizsgálatból következik:
- Ha a vasalási rudak egymásra merőlegesek, az ellenőrzési eredmények hasonlóak a különböző ellenőrzési irányú szögeknél, nem függnek a meghatározott vasalási szögtől, és az ellenőrzés maximális értéke 0, 45 és 90 fokos szögeknél adódik. Ezért ez az ellenőrzés elvégezhető egy előre meghatározott 0 fokos ellenőrzési szöggel.
- Ha a vasalási rudak nem merőlegesek egymásra, az ellenőrzések eredményei jelentősen eltérnek, és a maximális ellenőrzési érték közelítőleg az átlagos vasalás irányának megfelelő irányban adódik. Ezért ajánlott megváltoztatni az előre meghatározott ellenőrzési irányt, vagy több irányban elvégezni az ellenőrzéseket, ha a vasalási rudak nem merőlegesek egymásra.
2. vizsgálat
Az ortogonális vasalás esetén a hajlítónyomatékok értékei és a szög megváltoztak az ULS szabványellenőrzéshez. Az eredmények a grafikonon láthatók:
A vizsgálatból következik, hogy még a hajlítónyomatékok különböző értékei esetén is a tönkremeneteli határállapot ellenőrzésének maximális értéke 0, 45 és 90 fokos ellenőrzési irányoknál adódik. Ezért az ellenőrzés elvégezhető egy előre meghatározott 0 fokos ellenőrzési szöggel. Hasonló következtetés érvényes a csak normálerővel terhelt, vagy normálerővel és hajlítónyomatékokkal kombináltan terhelt 2D elemekre is.
A belső erők átszámítása az ellenőrzés irányaiba
A meghatározott belső erők a Baumann-féle transzformációs képlettel kerülnek átszámításra az ellenőrzési irányokba, amelyet Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken" c. műve ír le. In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. A számítási eljárás a következő:
- A normálerők kiszámítása a 2D elem mindkét felületén
- A főerők kiszámítása a 2D elem mindkét felületén
- Az átszámított erők kiszámítása minden felületre a meghatározott ellenőrzési irányba
- Az átszámított erők kiszámítása minden felületre a középpontra
- A nyíróerők átszámítása a meghatározott ellenőrzési irányba
A normálerők kiszámítása a 2D elem mindkét felületén
A meghatározott belső erők mindkét felületre a következő képletekkel kerülnek átszámításra:
\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]
\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]
\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]
A belső erők karját (z) meg kell határozni a belső erők átszámításához. A belső erők karja a határalakváltozás módszeréből kerül meghatározásra, a főhajlítónyomaték irányában ható m1 főnyomatékok mindkét felületen. Ha a főnyomatékok egyenlők nullával, vagy ha az egyensúly nem található meg a főnyomatékok irányában, a belső erők karja a következő képlet szerint kerül meghatározásra:
\[z=x\cdot d\]
| Leírás | |
| x | A belső erők karjának kiszámításához szükséges együttható a Nemzeti szabvány beállításaiban van meghatározva. |
| d | A keresztmetszet hatékony magassága, amelyet külön számítanak a 2D elem felső és alsó felületére. Az alsó felület esetén ez a távolság az alsó felületen lévő vasalási rudak súlypontjától a keresztmetszet felső széléig. A felső felület esetén ez a távolság a felső felületen lévő vasalási rudak súlypontjától a keresztmetszet alsó széléig. |
| Megjegyzés: |
| A belső erők karja a Válasz N-M-M ellenőrzésben ellenőrizhető. Csak a hajlítónyomatékokat kell megadni, és az ellenőrzés irányának meg kell felelnie a főnyomaték irányának. |
A következő diagramon a belső erők karjának ellenőrzése látható a hajlítónyomatékokra mx = 20 kNm/m, my = 10 kNm/m, mxy = 5 kNm/m. A főnyomatékok iránya αm1 = 22,5 fokként lett kiszámítva, és a keresztmetszet válasza a belső erők karjának meghatározásához lett kiszámítva.
| Megjegyzés: |
| A belső erők átszámításához szükséges belső erő karok az ellenőrzés irányában és az ellenőrzésekhez szükséges belső erő karok eltérhetnek egymástól, mivel az átszámításhoz szükséges belső erő kar a főnyomatékok irányában főnyomatékokkal terhelt keresztmetszetből kerül meghatározásra, az ellenőrzéshez szükséges belső erő kar pedig az ellenőrzés irányában hajlítónyomatékokkal és normálerőkkel terhelt keresztmetszetből. A belső erő karok értékei minden kombinációtípusra az Átszámított erők táblázatban jelennek meg az Belső erők a keresztmetszetben navigátorban. |
A belső erők kiszámítása mindkét felületen
A 2D elem mindkét felületén a főerők a következő képlettel kerülnek kiszámításra:
\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]
\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]
A főerők iránya a következő képlettel kerül kiszámításra:
\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]
| Megjegyzés: |
| A főerők és a főerők iránya a 2D elem mindkét felületére minden kombinációtípusnál az Átszámított erők táblázatban jelennek meg a Belső erők a keresztmetszetben navigátorban. |
Az átszámított belső erők kiszámítása a felületeken a meghatározott ellenőrzési irányba
A főerők átszámítása az ellenőrzési irányokba minden felületre külön-külön, a Baumann-féle transzformációs képlettel kerül elvégzésre:
\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]
| Leírás | |
| i, j, k, i | Az ellenőrzési irány indexe (belső erők átszámítási iránya) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Pl. az alsó felületre és a j-irányú erő kiszámítására (α2 szög) a képlet: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\] |
| \[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\] | A meghatározott ellenőrzési irány vagy a nyomott rúd iránya és a 2D elem alsó vagy felső felületén lévő főerők iránya közötti szög. Meghatározott ellenőrzési irány α1, low(upp) = α1 – α low(upp) A meghatározott irányra merőleges irány α2, low(upp) = α2 – α low(upp) Az ellenőrzési irány a nyomott rúd irányában α3, low(upp) = α3 – α low(upp) |
| α1 | Az adott kombinációhoz meghatározott ellenőrzési irány |
| α2 | A meghatározott irányra merőleges irány, α2 = α1 + 90 fok |
| α3 | Az ellenőrzési irány a nyomott rúd irányában a 2D elem síkjában. Ez az irány optimalizált az ebben az irányban ható erő minimalizálása érdekében. |
| Megjegyzés: |
Ha az ellenőrzési irány megegyezik a főfeszültségek irányával, a nyomott rúdban ható erők nullák, ezért ez az irány nem kerül figyelembevételre az ellenőrzés során. A nyomott rúd iránya minden feszültségi állapotra, kivéve a hiperbolikus feszültségi állapotot (n1,low(upp) > 0 és n1,low(upp) < 0), a következő képlettel számítható: α3 = 0,5(α1 + α2) A 2D elem mindkét felületére és minden ellenőrzési irányra, beleértve a nyomott rúd irányát is, átszámított belső erők az Átszámított erők táblázatban jelennek meg. |
Az átszámított belső erők transzformációja a keresztmetszet súlypontjába
A 2D elem ellenőrzéséhez az adott irányban ható felületi erőket a keresztmetszet súlypontjába kell átszámítani. Az eredmény az nd,i normálerő és az md,i hajlítónyomaték, amelyek a 2D elem keresztmetszetének súlypontjában hatnak.
md,i = nlower,i·zs,low + nupper,i·zs,upp
nd,i = nlower,i + nupper,i
| Leírás | |
| nlower,i | Az alsó felületen az ith ellenőrzési irányban átszámított felületi erők, ahol nlower,i = nsurface,low,i. |
| nupper,i | A felső felületen az ith ellenőrzési irányban átszámított belső erők, ahol nupper,i = nsurface,upp,i. |
| zs,low (upp) | A nyomott beton súlypontjának vagy az alsó (felső) felületen lévő vasalás súlypontjának távolsága, ahol z = zs,low + zs,upp |
| Megjegyzés: |
| Ha az alsó és a felső felületen lévő nyomott rudak irányai eltérnek egymástól, az erők súlypontba való átszámításához szükséges virtuális erőket az alsó felületen a felső felületen lévő nyomott rúd irányában, és fordítva kell kiszámítani. |
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}\]
A nyíróerők átszámítása a meghatározott ellenőrzési irányba
A nyíróerők az ellenőrzés irányába a következő képlettel kerülnek átszámításra:
\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]
és a maximális nyíróerő:
\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]
és a következő irányban hat:
\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]
| Leírás | |
| αi | Az ith irányban lévő szög ellenőrzése |
| Megjegyzés: |
| Viszonylag nagy nyíróerőkkel terhelt 2D elem ellenőrzésekor célszerű a 2D elemet a maximális nyíróerő irányában ellenőrizni, ami azt jelenti, hogy a meghatározott irányú ellenőrzés a β szögnek felel meg. |
A belső erők átszámításának összehasonlítása különböző módszerekkel
Erők átszámítása az EN 1992-1-1 szerint
Az EN 1992-1-1-ben leírt módszert számos programban és a gyakorlatban is alkalmazzák a méretezési belső erők kiszámítására. Az EN 1992-1-1 csak merőleges vasalási irányokat vesz figyelembe. A csavarónyomaték hatásával rendelkező méretezési erők kiszámítása a következő folyamatábrán kerül bemutatásra, ahol my³ mx. Hasonló diagram készíthető az my < mx nyomatékokra is.
| Leírás | |
| mxd+, mxd- | Méretezési hajlítónyomaték az x-tengely irányában az alsó (-) vagy a felső (+) felületen lévő vasalás tervezéséhez és ellenőrzéséhez |
myd+ myd- | Méretezési hajlítónyomaték az y-tengely irányában az alsó (-) vagy a felső (+) felületen lévő vasalás tervezéséhez és ellenőrzéséhez |
| mcd+, mcd- | Méretezési hajlítónyomaték a nyomott betonrúdban az alsó (-) vagy a felső (+) felületen, amelyet a betonnak kell felvennie |
Az EN-ben leírt módszerrel kiszámított, átszámított méretezési erők értékei a Slab típusú szerkezeti elemnél a következő táblázatban láthatók:
Az IDEA StatiCa RCS-ben a felső és alsó felületen lévő nyomatékok értékei nem jelennek meg, hanem mindkét felületen a normálerők értékei és a keresztmetszet súlypontjára átszámított nyomatékok értékei.
Az alsó és felső felületen lévő nyomatékok a numerikus kimenetben megjelenő felületi erőkből a következő képlettel számíthatók:
\[{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z\]
A felületi erők és az átszámított nyomatékok értékei a következő táblázatokban láthatók:
A táblázatok azt mutatják, hogy az IDEA Concrete-ben és az EN-ben leírt módszer szerint kiszámított lemezfelületi nyomatékok csak az egyik felületen egyeznek meg. Ez az eltérés a betonrúd eltérő optimalizálásából adódik. Az IDEA StatiCa RCS-ben alkalmazott módszer a nyomott rúd szögét a rúdban ható minimális erő alapján keresi. Az EN-ben leírt módszer az összes irányból érkező negatív erők minimális összegét keresi.
A belső erők kiszámításának összehasonlítása az RFEM és a SCIA Engineer programokkal
Az IDEA Concrete, az RFEM és a SCIA Engineer (SEN) programokban átszámított belső erők eredményeinek összehasonlításához egy egyszerű, 6 m x 4 m méretű és 200 mm vastagságú lemezmodellt készítettünk. A lemez szélein vonalmenti támasszal van alátámasztva, és 10 kN/m2 egyenletes terheléssel van megterhelve.
A bemutatás egyszerűsítése érdekében csak egy hosszanti keresztmetszetben lévő átszámított belső erők értékei kerülnek megjelenítésre. A keresztmetszet távolsága a lemez szélétől 1,5 m. Az RFEM programban kiszámított belső erők kerültek felhasználásra bemeneti értékként az IDEA Concrete-ben.
A táblázat az egyes programokban kiszámított erők jó egyezését mutatja.