La entrada de fuerzas internas
La entrada de fuerzas internas de elementos 2D depende del tipo de elemento 2D:
- Shell-slab – se pueden introducir fuerzas de membrana (nx, ny y nxy), momentos flectores (mx, my y mxy) y fuerzas cortantes (vx y vy)
- Shell- wall – se pueden introducir fuerzas de membrana (nx, ny y nxy), momentos flectores (mx, my y mxy) y fuerzas cortantes (vx y vy)
- Slab – solo se pueden introducir momentos flectores (mx, my y mxy) y fuerzas cortantes (vx y vy)
- Wall – solo se pueden introducir fuerzas de membrana (nx, ny y nxy)
- Deep beam – solo se pueden introducir fuerzas de membrana (nx, ny y nxy)
| Descripción | |
| mx(y) | Momento flector en la dirección del eje x (y). Un valor positivo provoca tracción en la superficie inferior de un elemento 2D. |
| mxy(yx) | Momento torsor respecto al eje y (x) que actúa sobre el borde paralelo al eje x (y). Un valor positivo provoca tensión cortante de tracción en la superficie inferior de un elemento 2D. Dado que en cada punto del teorema del elemento 2D es válida la igualdad de tensiones cortantes horizontales, los momentos torsores mxy = myx son iguales en cada punto del elemento 2D también. Por tanto, solo se introduce el valor de mxy en el programa. |
| nx(y) | Fuerza normal en la dirección del eje x (y). Un valor positivo actúa en la dirección del eje x(y) y provoca tracción en la sección. |
| nxy(yx) | Fuerza normal que actúa en el plano central en la dirección del eje y(x) sobre el borde paralelo al eje x(y). Un valor positivo actúa en la dirección del eje x(y). Dado que en cada punto del teorema del elemento 2D es válida la igualdad de tensiones cortantes horizontales, las fuerzas normales nxy = nyx son iguales en cada punto del elemento 2D también. Por tanto, solo se introduce el valor de nxy en el programa. |
| vx(y) | Fuerza cortante que actúa perpendicularmente al plano central sobre el borde paralelo al eje x(y). Un valor positivo actúa en la dirección del eje z. |
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}\]
Para las verificaciones deben definirse los siguientes tipos de combinaciones:
- Estado límite último/Accidental – los componentes de fuerzas internas definidos para este tipo de combinaciones se utilizan para las verificaciones ELU de elementos 2D:
- Capacidad N-M-M
- Respuesta N-M-M
- Interacción
y la verificación de las disposiciones de detallado
- Característica – los componentes de fuerzas internas definidos para este tipo de combinación se utilizan para la verificación de la limitación de tensiones (ELS)
- Cuasipermanente – los componentes de fuerzas internas definidos para este tipo de combinación se utilizan para la verificación del ancho de fisura (ELS)
| Nota: |
| No es necesario introducir los componentes de fuerzas internas vx y vy para los tipos de combinación Característica y Cuasipermanente, ya que estos valores no se utilizan en las verificaciones. |
Determinación de la dirección de verificación
La dirección de verificación debe determinarse para la correcta verificación del elemento 2D. La dirección de verificación puede introducirse para cada tipo de combinación por separado, utilizando los dos métodos siguientes:
- Dirección definida por el usuario – el usuario define la dirección de verificación como un ángulo relativo al eje x en el plano del elemento 2D. Esta opción se establece como predeterminada para el tipo de combinación ELU y el valor predefinido del ángulo es 0 grados. Las verificaciones se realizan en las siguientes direcciones:
- Dirección definida
- Dirección perpendicular a la dirección definida
- Dirección de la diagonal de compresión en la superficie superior
- Dirección de la diagonal de compresión en la superficie inferior
- Dirección de tensiones principales – la dirección de verificación se calcula automáticamente como la dirección de las tensiones principales en la superficie superior e inferior del elemento 2D. Esta opción se establece como predeterminada para los tipos de combinación Característica y Cuasipermanente. Las verificaciones se realizan en las siguientes direcciones:
- Dirección de tensiones principales en la superficie inferior
- Dirección perpendicular a la dirección de tensiones principales en la superficie inferior
- Dirección de la diagonal de compresión en la superficie inferior
- Dirección de tensiones principales en la superficie superior
- Dirección perpendicular a la dirección de tensiones principales en la superficie superior
- Dirección de la diagonal de compresión en la superficie superior
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}\]
Análisis de la dirección de verificación para el estado límite último
Análisis 1
Para un elemento 2D cargado únicamente por momentos flectores (mx = 20 kNm/m, my = 10 kNm/m, mxy = 5 kNm/m) con el ángulo de la armadura y el ángulo de la dirección de verificación modificados para el estado límite último, los resultados se muestran en el siguiente gráfico:
El análisis implica:
- Si las barras de armadura son perpendiculares entre sí, los resultados de la verificación son similares para diferentes ángulos de dirección de verificación, no dependen del ángulo de armadura definido y el valor máximo de la verificación se encuentra para ángulos de 0, 45 y 90 grados. Por tanto, esta verificación puede realizarse para una dirección predefinida de ángulo de verificación de 0 grados.
- Si las barras de armadura no son perpendiculares entre sí, los resultados de las verificaciones difieren significativamente y el valor máximo de verificación se alcanza aproximadamente en la dirección correspondiente a la dirección de la armadura media. Por tanto, se recomienda cambiar la dirección de verificación predefinida o realizar verificaciones en más direcciones en los casos en que las barras de armadura no sean perpendiculares entre sí.
Análisis 2
Para la armadura ortogonal, se han modificado los valores de los momentos flectores y el ángulo para la verificación normativa ELU. Los resultados se representan en el gráfico:
El análisis implica que incluso para diferentes valores de momentos flectores, el valor máximo de la verificación del estado límite último se encuentra para direcciones de verificación de 0, 45 y 90 grados. Por tanto, la verificación puede realizarse para un ángulo de verificación predefinido de 0 grados. Una conclusión similar es válida para elementos 2D cargados únicamente por fuerza normal o cargados por fuerza normal combinada con momentos flectores.
Recálculo de fuerzas internas a las direcciones de verificación
Las fuerzas internas definidas se recalculan a las direcciones de verificación utilizando la fórmula de transformación de Baumann, descrita en Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". En : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. El procedimiento de cálculo es el siguiente:
- Cálculo de fuerzas normales en ambas superficies del elemento 2D
- Cálculo de fuerzas principales en ambas superficies del elemento 2D
- Cálculo de fuerzas recalculadas para cada superficie en la dirección de verificación definida
- Cálculo de fuerzas recalculadas para cada superficie hacia el centro
- Recálculo de fuerzas cortantes a la dirección de verificación definida
Cálculo de fuerzas normales en ambas superficies del elemento 2D
Las fuerzas internas definidas se recalculan a ambas superficies utilizando las siguientes fórmulas:
\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]
\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]
\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]
El brazo de palanca de las fuerzas internas (z) debe determinarse para el recálculo de las fuerzas internas. El brazo de palanca de las fuerzas internas se determina a partir del método de deformación límite bajo carga por el momento flector principal en las direcciones de los momentos principales m1 en ambas superficies. Si los momentos principales son iguales a cero o si no se encuentra el equilibrio en la dirección de los momentos principales, el brazo de palanca de las fuerzas internas se determina según la fórmula:
\[z=x\cdot d\]
| Descripción | |
| x | El coeficiente para el cálculo del brazo de las fuerzas internas se define en la configuración del código nacional. |
| d | La altura eficaz de la sección transversal calculada por separado para las superficies superior e inferior del elemento 2D. Para la superficie inferior, es la distancia desde el centroide de las barras de armadura en la superficie inferior hasta el borde superior de la sección transversal. Para la superficie superior, es la distancia desde el centroide de las barras de armadura en la superficie superior hasta el borde inferior de la sección transversal. |
| Nota: |
| El brazo de las fuerzas internas puede verificarse en la verificación Respuesta N-M-M. Solo deben introducirse los momentos flectores y la dirección de verificación debe corresponder con la dirección del momento principal. |
En el siguiente diagrama se muestra una verificación del brazo de palanca de las fuerzas internas para momentos flectores mx = 20 kNm/m, my = 10 kNm/m, mxy = 5 kNm/m. La dirección de los momentos principales se ha calculado como αm1 = 22,5 grados y la respuesta de la sección transversal se calculó para determinar el brazo de palanca de las fuerzas internas.
| Nota: |
| Los brazos de palanca de las fuerzas internas para el recálculo de las fuerzas internas en la dirección de verificación y los brazos de palanca de las fuerzas internas para las verificaciones pueden ser diferentes, porque el brazo de palanca de las fuerzas internas para el recálculo se determina en una sección transversal cargada por momentos principales en la dirección de los momentos principales, y el brazo de palanca de las fuerzas internas para la verificación se determina en una sección transversal cargada por momentos flectores y fuerzas normales en la dirección de verificación. Los valores de los brazos de palanca de las fuerzas internas para todos los tipos de combinación se muestran en la tabla Fuerzas recalculadas en el navegador Fuerzas internas en la sección. |
Cálculo de las fuerzas internas en ambas superficies
Las fuerzas principales en ambas superficies del elemento 2D se calculan mediante la fórmula:
\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]
\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]
Y la dirección de las fuerzas principales se calcula mediante la fórmula:
\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]
| Nota: |
| Las fuerzas principales y la dirección de las fuerzas principales para ambas superficies del elemento 2D se muestran para todos los tipos de combinación en la tabla Fuerzas recalculadas en el navegador Fuerzas internas en la sección. |
Cálculo de las fuerzas internas recalculadas en las superficies a la dirección de verificación definida
El recálculo de las fuerzas principales a las direcciones de verificación se realiza por separado para cada superficie utilizando la fórmula de transformación de Baumann:
\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]
| Descripción | |
| i, j, k, i | Índice de la dirección de verificación (dirección de recálculo de fuerzas internas) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Por ejemplo, para la superficie inferior y el cálculo de la fuerza en la dirección j (ángulo α2), la fórmula es: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\] |
| \[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\] | El ángulo entre la dirección de verificación definida o la dirección de la biela comprimida y la dirección de las fuerzas principales en la superficie inferior o superior del elemento 2D. Dirección de verificación definida α1, low(upp) = α1 – α low(upp) Dir. perpendicular a la dirección definida α2, low(upp) = α2 – α low(upp) La dirección de verificación para la biela comprimida α3, low(upp) = α3 – α low(upp) |
| α1 | Dirección de verificación definida para la combinación particular |
| α2 | La dirección perpendicular a la dirección definida, α2 = α1 + 90 grados |
| α3 | Verificar la dirección en la dirección de la biela comprimida en el plano del elemento 2D. Esta dirección se optimiza para minimizar la fuerza en esta dirección. |
| Nota: |
Si la dirección de verificación es idéntica a la dirección de tensiones principales, las fuerzas en la biela comprimida son cero, por lo que esta dirección se omite en la verificación La dirección de la biela comprimida para todos los estados de tensión excepto el estado de tensión hiperbólico (n1,low(upp) > 0 y n1,low(upp) < 0) puede calcularse según la fórmula: α3 = 0,5(α1 + α2) Las fuerzas internas recalculadas para ambas superficies del elemento 2D y todas las direcciones de verificación, incluida la dirección de la biela comprimida, se muestran en la tabla Fuerzas recalculadas |
Transformación de las fuerzas internas recalculadas al centroide de la sección transversal
Para la verificación del elemento 2D, las fuerzas superficiales en una dirección particular deben recalcularse al centroide de la sección transversal. El resultado es la fuerza normal nd,i y el momento flector md,I que actúan en el centroide de la sección transversal del elemento 2D.
md,i = nlower,i·zs,low + nupper,i·zs,upp
nd,i = nlower,i + nupper,i
| Descripción | |
| nlower,i | Fuerzas superficiales recalculadas en la superficie inferior en la iª dirección de verificación, cuando nlower,i = nsurface,low,i. |
| nupper,i | Fuerzas internas recalculadas en la superficie superior en la iª dirección de verificación, cuando nupper,i = nsurface,upp,i. |
| zs,low (upp) | Distancia del centroide del hormigón comprimido o del centroide de la armadura en la superficie inferior (superior), cuando z = zs,low + zs,upp |
| Nota: |
| Si las direcciones de las bielas comprimidas en la superficie inferior y superior son diferentes, para el recálculo de las fuerzas al centroide es necesario calcular fuerzas virtuales en la superficie inferior en la dirección de la biela comprimida en la superficie superior y viceversa. |
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}\]
Recálculo de fuerzas cortantes a la dirección de verificación definida
Las fuerzas cortantes se recalculan a la dirección de verificación utilizando la fórmula:
\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]
y la fuerza cortante máxima es:
\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]
y actúa en la dirección
\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]
| Descripción | |
| αi | Verificar el ángulo en la iª dirección |
| Nota: |
| Al verificar un elemento 2D con fuerzas cortantes relativamente grandes, es conveniente verificar el elemento 2D en la dirección de la fuerza cortante máxima, lo que significa que la verificación de dirección definida corresponde al ángulo β |
Comparación del recálculo de fuerzas internas utilizando varios métodos
Recálculo de fuerzas según EN 1992-1-1
El método descrito en EN 1992-1-1 se utiliza en varios programas y en la práctica para calcular las fuerzas internas de cálculo. EN 1992-1-1 tiene en cuenta únicamente las direcciones de armadura perpendiculares. El cálculo de las fuerzas de dimensionamiento con la influencia del momento torsor se describe en el siguiente diagrama de flujo, donde my³ mx. Se puede crear un diagrama similar para momentos my < mx
| Descripción | |
| mxd+, mxd- | Momento flector de dimensionamiento en la dirección del eje x para el diseño y verificación de la armadura en la superficie inferior (-) o superior (+) |
myd+ myd- | Momento flector de dimensionamiento en la dirección del eje y para el diseño y verificación de la armadura en la superficie inferior (-) o superior (+) |
| mcd+, mcd- | Momento flector de dimensionamiento en la biela comprimida de hormigón en la superficie inferior (-) o superior (+), que debe ser soportado por el hormigón |
Los valores de las fuerzas de dimensionamiento recalculadas para el tipo de elemento = Losa, calculados mediante el método descrito en EN, se muestran en la siguiente tabla:
En IDEA StatiCa RCS no se muestran los valores de los momentos en la superficie superior e inferior, sino los valores de las fuerzas normales en ambas superficies y los valores de los momentos recalculados al centroide de la sección transversal.
Los momentos en las superficies inferior y superior pueden calcularse utilizando las fuerzas superficiales, que se muestran en la salida numérica, mediante la fórmula:
\[{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z\]
Los valores de las fuerzas superficiales y los momentos recalculados se muestran en las siguientes tablas:
Las tablas muestran que los momentos en las superficies de la losa calculados en IDEA Concrete y calculados según el método descrito en EN coinciden solo en una superficie. Esta diferencia se debe a la diferente optimización de la biela de hormigón. El método utilizado en IDEA StatiCa RCS busca el ángulo de la biela comprimida con la fuerza mínima en la biela. El método descrito en EN busca una suma mínima de fuerzas negativas de todas las direcciones.
Comparación del cálculo de fuerzas internas con los programas RFEM y SCIA Engineer
Para comparar los resultados de las fuerzas internas recalculadas en los programas IDEA Concrete, RFEM y SCIA Engineer (SEN), se preparó un modelo simple de losa de dimensiones 6 m x 4 m y espesor 200 mm. La losa está apoyada con apoyo lineal en los bordes y cargada con una carga uniforme de 10 kN/m2.
Para simplificar la presentación, solo se muestran los valores de las fuerzas internas recalculadas en una sección longitudinal. La distancia de la sección al borde de la losa es de 1,5 m. Las fuerzas internas calculadas en el programa RFEM se utilizaron como valores de entrada para IDEA Concrete.
La tabla muestra una buena concordancia de las fuerzas calculadas en los programas particulares.