Base di conoscenza

Forze interne per sezioni 2D

Concrete

RCS

EN (Eurocode)

Beam

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Tradotto dall'intelligenza artificiale dall'inglese

L'input delle forze interne

L'input delle forze interne degli elementi 2D dipende dal tipo di elemento 2D:

Shell-slab – è possibile inserire forze membranali (n_x, n_y e n_xy), momenti flettenti (m_x, m_y e m_xy) e forze di taglio (v_x e v_y)
Shell- wall – è possibile inserire forze membranali (n_x, n_y e n_xy), momenti flettenti (m_x, m_y e m_xy) e forze di taglio (v_x e v_y)
Slab – è possibile inserire solo momenti flettenti (m_x, m_y e m_xy) e forze di taglio (v_x e v_y)
Wall – è possibile inserire solo forze membranali (n_x, n_y e n_xy)
Deep beam – è possibile inserire solo forze membranali (n_x, n_y e n_xy)

	Descrizione
m_x(y)	Momento flettente nella direzione dell'asse x (y). Un valore positivo causa trazione alla superficie inferiore dell'elemento 2D.
m_xy(yx)	Momento torcente attorno all'asse y (x) agente sul bordo parallelo all'asse x (y). Un valore positivo causa tensioni tangenziali di trazione alla superficie inferiore dell'elemento 2D. Poiché in ogni punto dell'elemento 2D vale il teorema dell'uguaglianza delle tensioni tangenziali orizzontali, i momenti torcenti m_xy = m_yx sono uguali in ogni punto dell'elemento 2D. Pertanto nel programma viene inserito solo il valore di m_xy.
n_x(y)	Forza normale nella direzione dell'asse x (y). Un valore positivo agisce nella direzione dell'asse x(y) e causa trazione nella sezione.
n_xy(yx)	Forza normale agente nel piano medio nella direzione dell'asse y(x) sul bordo parallelo all'asse x(y). Un valore positivo agisce nella direzione dell'asse x(y). Poiché in ogni punto dell'elemento 2D vale il teorema dell'uguaglianza delle tensioni tangenziali orizzontali, le forze normali n_xy = n_yx sono uguali in ogni punto dell'elemento 2D. Pertanto nel programma viene inserito solo il valore di n_xy.
v_x(y)	Forza di taglio agente perpendicolarmente al piano medio sul bordo parallelo all'asse x(y). Un valore positivo agisce nella direzione dell'asse z.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}\]

Per le verifiche devono essere definiti i seguenti tipi di combinazioni:

Stato limite ultimo/Accidentale – le componenti delle forze interne definite per questo tipo di combinazioni sono utilizzate per le verifiche SLU degli elementi 2D:
- Capacità N-M-M
- Risposta N-M-M
- Interazione

e la verifica delle prescrizioni costruttive

Caratteristica – le componenti delle forze interne definite per questo tipo di combinazione sono utilizzate per la verifica della limitazione delle tensioni (SLE)
Quasi-permanente – le componenti delle forze interne definite per questo tipo di combinazione sono utilizzate per la verifica dell'ampiezza delle fessure (SLE)

Nota:

Le componenti delle forze interne v_x e v_y non devono essere inserite per i tipi di combinazione Caratteristica e Quasi-permanente, poiché tali valori non vengono utilizzati nelle verifiche.

Determinazione della direzione di verifica

Per una corretta verifica dell'elemento 2D è necessario determinare la direzione di verifica. La direzione di verifica può essere inserita separatamente per ciascun tipo di combinazione, utilizzando i seguenti due metodi:

Direzione definita dall'utente – l'utente definisce la direzione di verifica come angolo rispetto all'asse x nel piano dell'elemento 2D. Questa opzione è impostata come predefinita per il tipo di combinazione SLU e il valore predefinito dell'angolo è 0 gradi. Le verifiche vengono eseguite nelle seguenti direzioni:
- Direzione definita
- Direzione perpendicolare alla direzione definita
- Direzione della diagonale compressa alla superficie superiore
- Direzione della diagonale compressa alla superficie inferiore
Direzione delle tensioni principali – la direzione di verifica viene calcolata automaticamente come direzione delle tensioni principali alla superficie superiore e inferiore dell'elemento 2D. Questa opzione è impostata come predefinita per i tipi di combinazione Caratteristica e Quasi-permanente. Le verifiche vengono eseguite nelle seguenti direzioni:
- Direzione delle tensioni principali alla superficie inferiore
- Direzione perpendicolare alla direzione delle tensioni principali alla superficie inferiore
- Direzione della diagonale compressa alla superficie inferiore
- Direzione delle tensioni principali alla superficie superiore
- Direzione perpendicolare alla direzione delle tensioni principali alla superficie superiore
- Direzione della diagonale compressa alla superficie superiore

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}\]

Analisi della direzione di verifica per lo stato limite ultimo

Analisi 1

Per un elemento 2D caricato solo da momenti flettenti (m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m) con l'angolo dell'armatura e l'angolo della direzione di verifica variati per lo stato limite ultimo, i risultati sono riportati nel seguente grafico:

L'analisi implica:

Se le barre di armatura sono perpendicolari tra loro, i risultati delle verifiche sono simili per diversi angoli della direzione di verifica, non dipendono dall'angolo di armatura definito e il valore massimo della verifica si riscontra per angoli di 0, 45 e 90 gradi. Pertanto questa verifica può essere eseguita con una direzione di verifica predefinita di 0 gradi.
Se le barre di armatura non sono perpendicolari tra loro, i risultati delle verifiche differiscono significativamente e il valore massimo della verifica si raggiunge approssimativamente nella direzione corrispondente alla direzione media dell'armatura. Pertanto si raccomanda di modificare la direzione di verifica predefinita o di eseguire le verifiche in più direzioni nei casi in cui le barre di armatura non siano perpendicolari tra loro.

Analisi 2

Per l'armatura ortogonale, i valori dei momenti flettenti e l'angolo sono stati variati per la verifica normativa SLU. I risultati sono rappresentati nel grafico:

L'analisi implica che anche per valori diversi dei momenti flettenti il valore massimo della verifica allo stato limite ultimo si riscontra per direzioni di verifica di 0, 45 e 90 gradi. Pertanto la verifica può essere eseguita con un angolo di verifica predefinito di 0 gradi. Una conclusione analoga è valida per elementi 2D caricati solo da forza normale o da forza normale combinata con momenti flettenti.

Ricalcolo delle forze interne nelle direzioni di verifica

Le forze interne definite vengono ricalcolate nelle direzioni di verifica utilizzando la formula di trasformazione di Baumann, descritta in Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. La procedura di calcolo è la seguente:

Calcolo delle forze normali su entrambe le superfici dell'elemento 2D
Calcolo delle forze principali su entrambe le superfici dell'elemento 2D
Calcolo delle forze ricalcolate per ciascuna superficie nella direzione di verifica definita
Calcolo delle forze ricalcolate per ciascuna superficie al centro
Ricalcolo delle forze di taglio nella direzione di verifica definita

Calcolo delle forze normali su entrambe le superfici dell'elemento 2D

Le forze interne definite vengono ricalcolate su entrambe le superfici utilizzando le seguenti formule:

\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]

\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]

\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]

Per il ricalcolo delle forze interne è necessario determinare il braccio delle forze interne (z). Il braccio delle forze interne è determinato dal metodo della deformazione limite al carico del momento flettente principale nelle direzioni dei momenti principali m₁ su entrambe le superfici. Se i momenti principali sono uguali a zero o se l'equilibrio non viene trovato nella direzione dei momenti principali, il braccio delle forze interne è determinato secondo la formula:

\[z=x\cdot d\]

	Descrizione
x	Il coefficiente per il calcolo del braccio delle forze interne è definito nelle impostazioni del codice nazionale.
d	L'altezza efficace della sezione trasversale calcolata separatamente per la superficie superiore e inferiore dell'elemento 2D. Per la superficie inferiore, è la distanza dal baricentro delle barre di armatura alla superficie inferiore al bordo superiore della sezione trasversale. Per la superficie superiore, è la distanza dal baricentro delle barre di armatura alla superficie superiore al bordo inferiore della sezione trasversale.

Nota:

Il braccio delle forze interne può essere verificato nella verifica Risposta N-M-M. Devono essere inseriti solo i momenti flettenti e la direzione di verifica deve corrispondere alla direzione del momento principale.

Nel seguente diagramma è visualizzata una verifica del braccio delle forze interne per momenti flettenti m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m. La direzione dei momenti principali è stata calcolata come α_m1 = 22,5 gradi e la risposta della sezione trasversale è stata calcolata per determinare il braccio delle forze interne.

Nota:

I bracci delle forze interne per il ricalcolo delle forze interne nella direzione di verifica e i bracci delle forze interne per le verifiche possono essere diversi, poiché il braccio delle forze interne per il ricalcolo è determinato su una sezione trasversale caricata dai momenti principali nella direzione dei momenti principali, e il braccio delle forze interne per la verifica è determinato su una sezione trasversale caricata da momenti flettenti e forze normali nella direzione di verifica. I valori dei bracci delle forze interne per tutti i tipi di combinazione sono visualizzati nella tabella Forze ricalcolate nel navigatore Forze interne nella sezione.

Calcolo delle forze interne su entrambe le superfici

Le forze principali su entrambe le superfici dell'elemento 2D sono calcolate utilizzando la formula:

\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

E la direzione delle forze principali è calcolata utilizzando la formula:

\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]

Nota:

Le forze principali e la direzione delle forze principali per entrambe le superfici dell'elemento 2D sono visualizzate per tutti i tipi di combinazione nella tabella Forze ricalcolate nel navigatore Forze interne nella sezione.

Calcolo delle forze interne ricalcolate alle superfici nella direzione di verifica definita

Il ricalcolo delle forze principali nelle direzioni di verifica viene eseguito separatamente per ciascuna superficie utilizzando la formula di trasformazione di Baumann:

\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]

	Descrizione
i, j, k, i	Indice della direzione di verifica (direzione di ricalcolo delle forze interne) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Ad esempio, per la superficie inferiore e il calcolo della forza nella direzione j (angolo α₂) la formula è: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\]
\[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\]	L'angolo tra la direzione di verifica definita o la direzione del puntone compresso e la direzione delle forze principali alla superficie inferiore o superiore dell'elemento 2D. Direzione di verifica definita α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp) Dir. perpendicolare alla direzione definita α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp) Direzione di verifica per il puntone compresso α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	Direzione di verifica definita per la particolare combinazione
α₂	La direzione perpendicolare alla direzione definita, α₂= α₁ + 90 gradi
α₃	Direzione di verifica nella direzione del puntone compresso nel piano dell'elemento 2D. Questa direzione è ottimizzata per minimizzare la forza in questa direzione.

Nota:

Se la direzione di verifica è identica alla direzione delle tensioni principali, le forze nel puntone compresso sono nulle, pertanto questa direzione viene trascurata nella verifica.

La direzione del puntone compresso per tutti gli stati di tensione ad eccezione dello stato di tensione iperbolico (n_1,low(upp) > 0 e n_1,low(upp) < 0) può essere calcolata secondo la formula:

α₃ = 0,5(α₁ + α₂)

Le forze interne ricalcolate per entrambe le superfici dell'elemento 2D e tutte le direzioni di verifica inclusa la direzione del puntone compresso sono visualizzate nella tabella Forze ricalcolate

Trasformazione delle forze interne ricalcolate al baricentro della sezione trasversale

Per la verifica dell'elemento 2D, le forze superficiali in una particolare direzione devono essere ricalcolate al baricentro della sezione trasversale. Il risultato è la forza normale n_d,i e il momento flettente m_d,I agenti nel baricentro della sezione trasversale dell'elemento 2D.

m_d,i = n_lower,i·z_s,low+ n_upper,i·z_s,upp

n_d,i = n_lower,i + n_upper,i

	Descrizione
n_lower,i	Forze superficiali ricalcolate alla superficie inferiore nella i^esima direzione di verifica, quando n_lower,i = n_{surface,low,i}.
n_upper,i	Forze interne ricalcolate alla superficie superiore nella i^esima direzione di verifica, quando n_upper,i = n_{surface,upp,i}.
z_{s,low (upp)}	Distanza del baricentro del calcestruzzo compresso o del baricentro dell'armatura alla superficie inferiore (superiore), quando z = z_s,low+ z_s,upp

Nota:

Se le direzioni dei puntoni compressi alla superficie inferiore e superiore sono diverse, per il ricalcolo delle forze al baricentro è necessario calcolare forze virtuali alla superficie inferiore nella direzione del puntone compresso alla superficie superiore e viceversa.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}\]

Ricalcolo delle forze di taglio nella direzione di verifica definita

Le forze di taglio vengono ricalcolate nella direzione di verifica utilizzando la formula:

\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]

e la forza di taglio massima è:

\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]

e agisce nella direzione

\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]

	Descrizione
α_i	Angolo di verifica nella i^esima direzione

Nota:

Quando si verifica un elemento 2D con forze di taglio relativamente elevate, è opportuno verificare l'elemento 2D nella direzione della forza di taglio massima, il che significa che la direzione di verifica definita corrisponde all'angolo β

Confronto del ricalcolo delle forze interne con vari metodi

Ricalcolo delle forze secondo EN 1992-1-1

Il metodo descritto in EN 1992-1-1 è utilizzato in diversi programmi e nella pratica per calcolare le forze interne di progetto. EN 1992-1-1 tiene conto solo delle direzioni di armatura perpendicolari. Il calcolo delle forze di dimensionamento con l'influenza del momento torcente è descritto nel seguente diagramma di flusso, dove m_y³ m_x. Un diagramma simile può essere creato per i momenti m_y < m_x

	Descrizione
m_xd+,m_xd-	Momento flettente di dimensionamento nella direzione dell'asse x per la progettazione e la verifica dell'armatura alla superficie inferiore (-) o superiore (+)
m_yd+ m_yd-	Momento flettente di dimensionamento nella direzione dell'asse y per la progettazione e la verifica dell'armatura alla superficie inferiore (-) o superiore (+)
m_cd+,m_cd-	Momento flettente di dimensionamento nel puntone compresso in calcestruzzo alla superficie inferiore (-) o superiore (+), che deve essere assorbito dal calcestruzzo

I valori delle forze di dimensionamento ricalcolate per il tipo di elemento = Slab, calcolati con il metodo descritto nella EN, sono riportati nella seguente tabella:

In IDEA StatiCa RCS i valori dei momenti alla superficie superiore e inferiore non sono visualizzati, ma vengono visualizzati i valori delle forze normali su entrambe le superfici e i valori dei momenti ricalcolati al baricentro della sezione trasversale.

I momenti alle superfici inferiore e superiore possono essere calcolati utilizzando le forze superficiali, visualizzate nell'output numerico, mediante la formula:

\[{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z\]

I valori delle forze superficiali e dei momenti ricalcolati sono riportati nelle seguenti tabelle:

Le tabelle mostrano che i momenti alle superfici della soletta calcolati in IDEA Concrete e calcolati secondo il metodo descritto nella EN corrispondono solo a una superficie. Questa differenza è causata da una diversa ottimizzazione del puntone compresso in calcestruzzo. Il metodo utilizzato in IDEA StatiCa RCS ricerca l'angolo del puntone compresso alla forza minima nel puntone. Il metodo descritto nella EN ricerca la somma minima delle forze negative da tutte le direzioni.

Confronto del calcolo delle forze interne con i programmi RFEM e SCIA Engineer

Per confrontare i risultati delle forze interne ricalcolate nei programmi IDEA Concrete, RFEM e SCIA Engineer (SEN) è stato preparato un semplice modello di soletta di dimensioni 6 m x 4 m e spessore 200 mm. La soletta è vincolata con un appoggio lineare ai bordi e caricata con un carico uniforme di 10 kN/m².

Per semplificare la presentazione vengono visualizzati solo i valori delle forze interne ricalcolate in una sezione longitudinale. La distanza della sezione dal bordo della soletta è 1,5 m. Le forze interne calcolate nel programma RFEM sono state utilizzate come valori di input per IDEA Concrete.