Interakce

Interakce posouvající síly a kroucení pro smykové vyztužení

Stanovení síly ve smykovém vyztužení od posouvající síly. 

Výpočet vychází ze vzorce pro výpočet únosnosti smykového vyztužení definovaného v EN 1992-1-1. Na základě rovnice 6.13 (kap. 6.2.3 (4)) lze odvodit únosnost jednoho ramene třmínku:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . průřezová plocha jednoho ramene třmínku odolávajícího smyku v uvažovaném průřezu

s .  .  .  .  . rozteč smykového vyztužení ve směru osy podélného prvku 

a_sw,V .  .  . průřezová plocha smykového vyztužení na jednotku délky

z .  .  .  .  . vnitřní rameno sil. Pro prvek s konstantní výškou odpovídá ohybovému momentu v uvažovaném místě. Při posouzení smyku železobetonového prvku bez normálové síly lze obvykle použít přibližnou hodnotu z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  návrhová mez kluzu smykového vyztužení

θ .  .  .  .  . úhel mezi tlakovou vzpěrou betonu a osou prvku kolmou na posouvající sílu

α .  .  .  .  . úhel mezi smykovým vyztužením a osou prvku kolmou na posouvající sílu

β .  .  .  .  . sklon ramene třmínku vůči výslednici působící posouvající síly

Posouvající síla je rovnoměrně rozdělena mezi jednotlivá vyztužení odolávající posouvající síle na základě úhlu vyztužení a osové tuhosti jednotlivých ramen třmínků.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Dále lze odvodit průměrné přetvoření vyztužení uvažované ve směru výsledné posouvající síly:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Skutečné přetvoření i-tého vyztužení lze vypočítat jako:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

Napětí v daném rameni vyztužení:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Stanovení síly v jednotlivém třmínku od kroucení

Torzní únosnost průřezu lze vypočítat na základě tenkostěnného uzavřeného průřezu, ve kterém je rovnováha zajištěna uzavřeným smykovým tokem. Plné průřezy lze modelovat jako ekvivalentní tenkostěnné průřezy. U neplných průřezů nesmí ekvivalentní tloušťka stěny překročit skutečnou tloušťku stěny.

Smykový tok ve stěnách tenkostěnného uzavřeného průřezu od kroucení lze vypočítat jako:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Posouvající síla v konkrétní stěně je pak:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . délka střednice uvažované stěny

Posouvající síla ve stojině – délku střednice stojiny lze nahradit hodnotou ramene sil „z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Síla v třmíncích odolávajících kroucení na jeden metr délky prvku (na jednotku délky):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Rozklad sil pro jednotlivé třmínky

Je-li pro všechny třmínky definován stejný materiál, je výsledné napětí od kroucení v každém rameni třmínku konstantní. Pak:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

kde a_sw,T je celková plocha třmínků odolávajících kroucení na jednotku délky.

V případě, že jednotlivé třmínky mají různé materiály, je nutné zohlednit osovou tuhost jednotlivých prutů.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . počet ramen vyztužení (skupin vyztužení) odolávajících kroucení

F_si,T .  .  . síla v i-té skupině vyztužení od kroucení na jednotku délky

a_si,T .  .  . průřezová plocha smykového vyztužení odolávajícího kroucení na jednotku délky 

E_si,T .  .  . Youngův modul pružnosti i-té skupiny vyztužení odolávajícího kroucení

ε_sw,T .  .  přetvoření vyztužení od kroucení

Výsledné napětí v každém třmínku od působícího kroucení se vypočítá jako:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interakce V+T

Výpočet napětí v třmíncích od smyku a kroucení je pak součtem napětí od jednotlivých složek zatížení.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Výsledná síla v i-tém vyztužení:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interakce smyku, kroucení a ohybu pro podélné vyztužení

Stanovení síly v každém podélném vyztužení od normálové síly a ohybového momentu

Aplikace RCS se používá k výpočtu odezvy průřezu od kombinace normálové síly a ohybového momentu za účelem stanovení napětí a přetvoření v jednotlivých podélných prutech a předpínací výztuži.

Stanovení síly v jednotlivém podélném vyztužení od posouvající síly

Přírůstek tahové síly v podélném vyztužení ΔF_td od posouvající síly závisí na geometrii modelu vzpěra-táhlo. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  přírůstek tahové síly v podélném vyztužení od posouvající síly

V_ed .  .  .  . návrhová hodnota posouvající síly působící v uvažovaném průřezu

θ .  .  .  .  . úhel mezi tlakovou vzpěrou betonu a osou prvku 

α .  .  .  .  . úhel mezi smykovým vyztužením a osou prvku

Pro podélné vyztužení umístěné v tažené pásnici nesmí výsledná síla F_t v podélném vyztužení od kombinace N+M+V překročit hodnotu M_Ed,max/z (kde M_Ed,max je maximální moment podél nosníku)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

Síla ΔF_td je přenášena veškerou soudržnou předpínací výztuží a vyztužením umístěným v části průřezu odolávající smyku (stojina v případě I-profilu). Na straně bezpečnosti lze příspěvek předpínací výztuže uvažovat jako 0. Předpokladem výpočtu je, že přírůstek osového přetvoření jednotlivých podélných výztuží odolávajících smyku je konstantní (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = konst.). Odvození platí pro bilineární pracovní diagram vyztužení s vodorovnou plastickou větví. V případě diagramu se skloněnou větví je nutné výpočet upravit.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . přírůstek přetvoření v podélném vyztužení od posouvající síly

n_s,V .  .  .  . počet podélných výztuží odolávajících posouvající síle

A_sl,i,V .  .  . plocha i-tého podélného vyztužení odolávajícího posouvající síle

E_sl,i,V .  .  . Youngův modul pružnosti i-tého podélného vyztužení odolávajícího posouvající síle

n_p,V .  .  .  . počet kabelů odolávajících posouvající síle

A_pl,i,V .  .  . plocha i-tého kabelu odolávajícího posouvající síle

E_pl,i,V .  .  . Youngův modul pružnosti i-tého kabelu odolávajícího posouvající síle

Po stanovení hodnoty síly ΔF_td lze vypočítat průměrné přetvoření vyztužení Δε_V.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Přírůstek napětí v jednotlivých podélných prutech od působící posouvající síly:

pro prut výztuže \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

pro kabel \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Stanovení síly v každém podélném vyztužení od kroucení

Je velmi důležité určit podélné vyztužení odolávající kroucení. Jedná se o vyztužení umístěné v náhradním efektivním tenkostěnném průřezu odolávajícím kroucení.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Podle EN 1992-1-1 musí být pro podélné vyztužení odolávající kroucení splněno několik podmínek:

- vyztužení by mělo být rovnoměrně rozloženo po délce z_i, avšak v malých průřezech může být vyztužení soustředěno v rozích třmínku

- maximální osová vzdálenost podélného vyztužení je 350 mm

Příspěvek předpínací výztuže se podle EN 1992-1-1 neuvažuje.

Norma EN 1992-2 uvádí, že příspěvek předpínací výztuže lze uvažovat, avšak maximální přírůstek napětí v předpínací výztuži nesmí překročit Δσ_p ≤ 500 MPa. Vzorec lze pak upravit:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Přírůstek předpínací výztuže lze sice uvažovat, avšak záleží na volbě uživatele. V současné době předpínací výztuž ve výpočtu uvažována není. 

Předpokladem výpočtu je, že přírůstek osového přetvoření každého podélného vyztužení odolávajícího smyku je konstantní (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = konst.). Odvození platí pro bilineární pracovní diagram vyztužení s vodorovnou plastickou větví. V případě diagramu se vzestupnou větví je nutné výpočet upravit.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . návrhová hodnota krouticího momentu působícího v uvažovaném průřezu

θ .  .  .  .  . sklon tlakových diagonál vůči podélné ose nosníku (shodný s hodnotou pro posouvající sílu)

u_k .  .  .  .  obvod plochy A_k

A_f .  .  .  .  plocha definovaná střednicí náhradního dutého tenkostěnného průřezu

n_s,T .  .  .  .počet podélných betonářských výztuží odolávajících kroucení

A_sl,i,T .  .  . plocha i-té podélné betonářské výztuže odolávající kroucení

Δε_T .  .  .  .změna přetvoření podélného vyztužení od krouticího momentu

Δσ_s,i,T .  .  změna napětí v i-tém podélném vyztužení od krouticího momentu

E_sl,i,T .  .  . modul pružnosti i-té podélné betonářské výztuže odolávající kroucení

Přírůstek napětí v každém podélném vyztužení od působícího krouticího momentu:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]