Interaction

Interaction de l'effort tranchant et de la torsion pour le ferraillage transversal

Détermination de l'effort dans le ferraillage transversal dû à l'effort tranchant. 

Le calcul est basé sur la formule de calcul de la résistance du ferraillage transversal définie dans EN 1992-1-1. D'après l'équation 6.13 (chap. 6.2.3 (4)), la résistance portante d'une branche d'étrier peut être dérivée comme suit :

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . aire de la section transversale d'une branche d'étrier résistant au cisaillement dans la section considérée

s .  .  .  .  . espacement du ferraillage transversal dans la direction de l'axe longitudinal de l'élément 

a_sw,V .  .  . aire de la section transversale du ferraillage transversal par unité de longueur

z .  .  .  .  . le bras de levier intérieur. Pour un élément de hauteur constante, correspondant au moment fléchissant dans l'élément considéré. Dans l'analyse au cisaillement du béton armé sans effort normal, la valeur approchée z = 0,9d peut normalement être utilisée.

f_ywd .  .  .  la valeur de calcul de la limite d'élasticité du ferraillage transversal

θ .  .  .  .  . l'angle entre la bielle comprimée en béton et l'axe de l'élément perpendiculaire à l'effort tranchant

α .  .  .  .  . l'angle entre le ferraillage transversal et l'axe de l'élément perpendiculaire à l'effort tranchant

β .  .  .  .  . inclinaison de la branche de l'étrier par rapport à la résultante de l'effort tranchant appliqué

L'effort tranchant est redistribué uniformément entre les ferraillages individuels résistant à l'effort tranchant en fonction de l'angle du ferraillage et de la rigidité axiale des branches d'étriers individuelles.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

De plus, la déformation moyenne du ferraillage considérée dans la direction de l'effort tranchant résultant peut être dérivée :

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

La déformation réelle du i-ème ferraillage peut être calculée comme suit :

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

La traction dans une branche donnée du ferraillage :

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Détermination de l'effort dans chaque étrier dû à la torsion

La résistance à la torsion d'une section peut être calculée sur la base d'une section fermée à paroi mince, dans laquelle l'équilibre est satisfait par un flux de cisaillement fermé. Les sections pleines peuvent être modélisées par des sections équivalentes à paroi mince. Pour les sections non pleines, l'épaisseur de paroi équivalente ne doit pas dépasser l'épaisseur de paroi réelle.

Le flux de cisaillement dans les parois d'une section fermée à paroi mince dû à la torsion peut être calculé comme suit :

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

L'effort tranchant dans une paroi particulière est alors :

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . longueur de la ligne médiane de la paroi considérée

Effort tranchant dans l'âme - la longueur de la ligne médiane de l'âme peut être substituée par la valeur du bras de levier « z ».

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Effort dans les étriers résistant à la torsion par mètre de longueur de l'élément (par unité de longueur) :

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Décomposition des efforts pour chaque étrier

Si le même matériau est défini pour tous les étriers, la contrainte résultante due à la torsion dans chaque branche d'étrier est constante. Alors :

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

où a_sw,T est l'aire totale des étriers résistant à la torsion par unité de longueur.

Dans le cas où les étriers individuels ont des matériaux différents, la rigidité axiale des barres individuelles doit être prise en compte.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . nombre de branches de ferraillage (groupes de ferraillage) résistant à la torsion

F_si,T .  .  . effort dans le i-ème groupe de ferraillage résultant de la torsion par unité de longueur

a_si,T .  .  . aire de la section transversale du ferraillage transversal résistant à la torsion par unité de longueur 

E_si,T .  .  . module d'élasticité de Young du i-ème groupe de ferraillage résistant à la torsion

ε_sw,T .  .  déformation dans le ferraillage due à la torsion

La contrainte résultante dans chaque étrier due à la torsion appliquée est calculée comme suit :

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interaction V+T

Le calcul des contraintes dans les étriers dues au cisaillement et à la torsion est alors une sommation des contraintes dues aux composantes de charge individuelles.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Effort résultant dans le i-ème ferraillage :

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interaction du cisaillement, de la torsion et de la flexion pour le ferraillage longitudinal

Détermination de l'effort dans chaque ferraillage longitudinal dû à l'effort normal et au moment fléchissant

L'application RCS est utilisée pour calculer la réponse de la section transversale due à la combinaison de l'effort normal et du moment fléchissant afin de déterminer la contrainte et la déformation dans les barres longitudinales individuelles et le ferraillage de précontrainte.

Détermination de l'effort dans chaque ferraillage longitudinal dû à l'effort tranchant

L'incrément de l'effort de traction dans le ferraillage longitudinal ΔF_td dû à l'effort tranchant dépend de la géométrie du modèle Bielle-et-tirant. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  incrément de l'effort de traction dans le ferraillage longitudinal dû à l'effort tranchant

V_ed .  .  .  . valeur de calcul de l'effort tranchant agissant dans la section considérée

θ .  .  .  .  . l'angle entre la bielle comprimée en béton et l'axe de l'élément 

α .  .  .  .  . l'angle entre le ferraillage transversal et l'axe de l'élément

Pour le ferraillage longitudinal situé dans la membrure tendue, l'effort résultant F_t dans le ferraillage longitudinal dû à la combinaison N+M+V ne doit pas être supérieur à M_Ed,max/z (où M_Ed,max est le moment maximal le long de la poutre)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

L'effort ΔF_td est transmis par tous les câbles de précontrainte adhérents et le ferraillage situés dans la partie de la section transversale qui résiste au cisaillement (l'âme dans le cas d'un profilé en I). Par sécurité, la contribution du ferraillage de précontrainte peut être considérée comme nulle. L'hypothèse du calcul est que l'incrément de la déformation axiale du ferraillage longitudinal individuel résistant au cisaillement est constant (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). La dérivation est valable pour un diagramme de travail bilinéaire du ferraillage avec une branche plastique horizontale. Dans le cas d'un diagramme avec une branche inclinée, le calcul doit être modifié.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . incrément de déformation dans le ferraillage longitudinal dû à l'effort tranchant

n_s,V .  .  .  . nombre de ferraillages longitudinaux résistant à l'effort tranchant

A_sl,i,V .  .  . aire du i-ème ferraillage longitudinal résistant à l'effort tranchant

E_sl,i,V .  .  . module d'élasticité de Young du i-ème ferraillage longitudinal résistant à l'effort tranchant

n_p,V .  .  .  . nombre de câbles de précontrainte résistant à l'effort tranchant

A_pl,i,V .  .  . aire du i-ème câble de précontrainte résistant à l'effort tranchant

E_pl,i,V .  .  . module d'élasticité de Young du i-ème câble de précontrainte résistant à l'effort tranchant

Après avoir déterminé la valeur de l'effort ΔF_td, la déformation moyenne du ferraillage Δε_V peut alors être calculée.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Incrément de contrainte dans les barres longitudinales individuelles dû à l'effort tranchant appliqué :

pour armature \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

pour câble de précontrainte \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Détermination de l'effort dans chaque ferraillage longitudinal dû à la torsion

Il est très important de déterminer le ferraillage longitudinal qui résiste à la torsion. Il s'agit du ferraillage situé dans une section transversale équivalente à paroi mince creuse résistant à la torsion.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Conformément à EN 1992-1-1, plusieurs conditions doivent être satisfaites pour le ferraillage longitudinal résistant à la torsion :

- le ferraillage doit être uniformément réparti sur la longueur z_i, mais dans les sections de petite dimension, le ferraillage peut être concentré aux angles de l'étrier

- la distance axiale maximale du ferraillage longitudinal est de 350 mm

La contribution du ferraillage de précontrainte n'est pas prise en compte conformément à EN 1992-1-1.

La norme EN 1992-2 stipule que la contribution du ferraillage de précontrainte peut être prise en compte, mais l'incrément de contrainte maximal dans le ferraillage de précontrainte ne doit pas dépasser Δσ_p ≤ 500MPa. La formule peut alors être modifiée :

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Cependant, bien que l'incrément du ferraillage de précontrainte puisse être pris en compte, cela reste au choix de l'utilisateur. Actuellement, le ferraillage de précontrainte n'est pas pris en compte dans le calcul. 

L'hypothèse du calcul est que l'incrément de la déformation axiale de chaque ferraillage longitudinal résistant au cisaillement est constant (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). La dérivation est valable pour un diagramme de travail bilinéaire du ferraillage avec une branche plastique horizontale. Dans le cas d'un diagramme avec une branche croissante, le calcul doit être modifié.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . la valeur de calcul du moment de torsion appliqué dans la section considérée

θ .  .  .  .  . inclinaison des diagonales comprimées par rapport à l'axe longitudinal de la poutre (identique à celle pour l'effort tranchant)

u_k .  .  .  .  périmètre de l'aire A_k

A_f .  .  .  .  l'aire définie par la ligne médiane de la section creuse équivalente à paroi mince

n_s,T .  .  .  .nombre de ferraillages longitudinaux en béton résistant au moment de torsion

A_sl,i,T .  .  . aire du i-ème ferraillage longitudinal en béton résistant au moment de torsion

Δε_T .  .  .  .la variation de la déformation du ferraillage longitudinal due au moment de torsion

Δσ_s,i,T .  .  variation de contrainte dans le i-ème ferraillage longitudinal due au moment de torsion

E_sl,i,T .  .  . module d'élasticité du i-ème ferraillage longitudinal en béton résistant au moment de torsion

Incrément de contrainte dans chaque ferraillage longitudinal dû au moment de torsion appliqué :

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]