Interazione

Interazione tra forza di taglio e torsione per l'armatura a taglio

Determinazione della forza nell'armatura a taglio dovuta alla forza di taglio. 

Il calcolo si basa sulla formula per il calcolo della resistenza dell'armatura a taglio definita in EN 1992-1-1. Sulla base dell'equazione 6.13 (cap. 6.2.3 (4)) la resistenza portante di una singola branca della staffa può essere derivata come:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . area della sezione trasversale di una branca della staffa che resiste al taglio nella sezione considerata

s .  .  .  .  . interasse dell'armatura a taglio nella direzione dell'asse longitudinale dell'elemento

a_sw,V .  .  . area della sezione trasversale dell'armatura a taglio per unità di lunghezza

z .  .  .  .  . braccio interno della coppia. Per un elemento a sezione costante, corrispondente al momento flettente nell'elemento in esame. Nell'analisi a taglio del calcestruzzo armato senza forza assiale, si può normalmente utilizzare il valore approssimato z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  il valore di progetto della tensione di snervamento dell'armatura a taglio

θ .  .  .  .  . l'angolo tra il puntone compresso in calcestruzzo e l'asse dell'elemento perpendicolare alla forza di taglio

α .  .  .  .  . l'angolo tra l'armatura a taglio e l'asse dell'elemento perpendicolare alla forza di taglio

β .  .  .  .  . inclinazione della branca della staffa rispetto alla risultante della forza di taglio applicata

La forza di taglio viene ridistribuita uniformemente tra le singole armature che resistono alla forza di taglio in base all'angolo dell'armatura e alla rigidezza assiale delle singole branche delle staffe.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Inoltre, è possibile ricavare la deformazione media dell'armatura considerata nella direzione della forza di taglio risultante:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

La deformazione effettiva dell'i-esima armatura può essere calcolata come:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

La tensione in una determinata branca dell'armatura:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Determinazione della forza nella singola staffa dovuta alla torsione

La resistenza torsionale di una sezione può essere calcolata sulla base di una sezione chiusa a parete sottile, in cui l'equilibrio è soddisfatto da un flusso di taglio chiuso. Le sezioni piene possono essere modellate con sezioni equivalenti a parete sottile. Per le sezioni non piene, lo spessore equivalente della parete non deve superare lo spessore effettivo della parete.

Il flusso di taglio nelle pareti di una sezione chiusa a parete sottile dovuto alla torsione può essere calcolato come:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

La forza di taglio in una determinata parete è quindi:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . lunghezza della linea d'asse della parete considerata

Forza di taglio nell'anima - la lunghezza della linea d'asse dell'anima può essere sostituita dal valore del braccio della coppia "z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Forza nelle staffe che resistono alla torsione per metro di lunghezza dell'elemento (per unità di lunghezza):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Scomposizione delle forze per la singola staffa

Se per tutte le staffe è definito lo stesso materiale, la tensione risultante dovuta alla torsione in ciascuna branca della staffa è costante. Quindi:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

dove a_sw,T è l'area totale delle staffe che resistono alla torsione per unità di lunghezza.

Nel caso in cui le singole staffe abbiano materiali diversi, è necessario tenere conto della rigidezza assiale delle singole barre.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . numero di branche dell'armatura (gruppi di armatura) che resistono alla torsione

F_si,T .  .  . forza nell'i-esimo gruppo di armatura risultante dalla torsione per unità di lunghezza

a_si,T .  .  . area della sezione trasversale dell'armatura a taglio che resiste alla torsione per unità di lunghezza 

E_si,T .  .  . modulo di elasticità di Young dell'i-esimo gruppo di armatura che resiste alla torsione

ε_sw,T .  .  deformazione nell'armatura dovuta alla torsione

La tensione risultante in ciascuna staffa dovuta alla torsione applicata è calcolata come:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interazione V+T

Il calcolo delle tensioni nelle staffe dovute al taglio e alla torsione è quindi una sommatoria delle tensioni dovute ai singoli componenti di carico.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Forza risultante nell'i-esima armatura:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interazione tra taglio, torsione e flessione per l'armatura longitudinale

Determinazione della forza in ciascuna armatura longitudinale dovuta alla forza normale e al momento flettente

L'applicazione RCS viene utilizzata per calcolare la risposta della sezione trasversale alla combinazione di forza normale e momento flettente, al fine di determinare la tensione e la deformazione nelle singole barre longitudinali e nell'armatura da precompressione.

Determinazione della forza nella singola armatura longitudinale dovuta alla forza di taglio

L'incremento della forza di trazione nell'armatura longitudinale ΔF_td dovuto alla forza di taglio dipende dalla geometria del modello Puntone-e-tirante. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  incremento della forza di trazione nell'armatura longitudinale dovuto alla forza di taglio

V_ed .  .  .  . valore di progetto della forza di taglio agente nella sezione considerata

θ .  .  .  .  . l'angolo tra il puntone compresso in calcestruzzo e l'asse dell'elemento

α .  .  .  .  . l'angolo tra l'armatura a taglio e l'asse dell'elemento

Per l'armatura longitudinale situata nel corrente teso, la forza risultante F_t nell'armatura longitudinale dovuta alla combinazione N+M+V non deve essere superiore a M_Ed,max/z (dove M_Ed,max è il momento massimo lungo la trave)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

La forza ΔF_td è trasmessa da tutti i tendini aderenti e dall'armatura situata nella parte della sezione trasversale che resiste al taglio (l'anima nel caso di un profilo a I). Per sicurezza, il contributo dell'armatura da precompressione può essere considerato pari a 0. L'ipotesi di calcolo è che l'incremento della deformazione assiale delle singole armature longitudinali che resistono al taglio sia costante (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = cost.). La derivazione è valida per un diagramma di lavoro bilineare dell'armatura con ramo plastico orizzontale. Nel caso di un diagramma con ramo inclinato, il calcolo deve essere modificato.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . incremento di deformazione nell'armatura longitudinale dovuto alla forza di taglio

n_s,V .  .  .  . numero di armature longitudinali che resistono alla forza di taglio

A_sl,i,V .  .  . area dell'i-esima armatura longitudinale che resiste alla forza di taglio

E_sl,i,V .  .  . modulo di elasticità di Young dell'i-esima armatura longitudinale che resiste alla forza di taglio

n_p,V .  .  .  . numero di tendini che resistono alla forza di taglio

A_pl,i,V .  .  . area dell'i-esimo tendine che resiste alla forza di taglio

E_pl,i,V .  .  . modulo di elasticità di Young dell'i-esimo tendine che resiste alla forza di taglio

Dopo aver determinato il valore della forza ΔF_td, è possibile calcolare la deformazione media dell'armatura Δε_V.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Incremento di tensione nelle singole barre longitudinali dovuto alla forza di taglio applicata:

per barra d'armatura \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

per tendine \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Determinazione della forza in ciascuna armatura longitudinale dovuta alla torsione

È molto importante determinare l'armatura longitudinale che resiste alla torsione. Si tratta dell'armatura situata in una sezione trasversale alternativa a parete sottile efficace che resiste alla torsione.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Secondo EN 1992-1-1, devono essere soddisfatte diverse condizioni per l'armatura longitudinale resistente alla torsione:

- l'armatura deve essere distribuita uniformemente lungo la lunghezza z_i, ma nelle sezioni di piccole dimensioni l'armatura può essere concentrata negli angoli della staffa

- la distanza assiale massima dell'armatura longitudinale è 350 mm

Il contributo dell'armatura da precompressione non è considerato secondo EN 1992-1-1.

La norma EN 1992-2 stabilisce che il contributo dell'armatura da precompressione può essere considerato, ma l'incremento massimo di tensione nell'armatura da precompressione non deve superare Δσ_p ≤ 500MPa. La formula può quindi essere modificata:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Tuttavia, poiché l'incremento dell'armatura da precompressione può essere considerato, la scelta spetta all'utente. Attualmente, l'armatura da precompressione non è considerata nel calcolo. 

L'ipotesi di calcolo è che l'incremento della deformazione assiale di ciascuna armatura longitudinale che resiste al taglio sia costante (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = cost.). La derivazione è valida per un diagramma di lavoro bilineare dell'armatura con ramo plastico orizzontale. Nel caso di un diagramma con ramo crescente, il calcolo deve essere modificato.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . il valore di progetto del momento torcente applicato nella sezione considerata

θ .  .  .  .  . inclinazione delle diagonali compresse rispetto all'asse longitudinale della trave (identica a quella per la forza di taglio)

u_k .  .  .  .  perimetro dell'area A_k

A_f .  .  .  .  l'area definita dalla linea d'asse della sezione cava a parete sottile sostitutiva

n_s,T .  .  .  .numero di armature longitudinali in calcestruzzo che resistono al momento torcente

A_sl,i,T .  .  . area dell'i-esima armatura longitudinale in calcestruzzo che resiste al momento torcente

Δε_T .  .  .  .la variazione della deformazione dell'armatura longitudinale dovuta al momento torcente

Δσ_s,i,T .  .  variazione di tensione nell'i-esima armatura longitudinale dovuta al momento torcente

E_sl,i,T .  .  . modulo di elasticità dell'i-esima armatura longitudinale in calcestruzzo che resiste al momento torcente

Incremento di tensione in ciascuna armatura longitudinale dovuto al momento torcente applicato:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]