Interaktion

Interaktion von Querkraft und Torsion für die Querkraftbewehrung

Bestimmung der Kraft in der Querkraftbewehrung infolge Querkraft. 

Die Berechnung basiert auf der Formel zur Ermittlung des Widerstands der Querkraftbewehrung gemäß EN 1992-1-1. Auf Grundlage von Gleichung 6.13 (Abschn. 6.2.3 (4)) kann der Tragwiderstand eines Bügelschenkels abgeleitet werden als:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . Querschnittsfläche eines Bügelschenkels, der die Querkraft im betrachteten Schnitt aufnimmt

s .  .  .  .  . Abstand der Querkraftbewehrung in Richtung der Längsachse des Bauteils 

a_sw,V .  .  . Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung je Längeneinheit

z .  .  .  .  . der innere Hebelarm. Bei einem Bauteil mit konstanter Höhe entspricht er dem Biegemoment im betrachteten Element. Bei der Querkraftbemessung von Stahlbeton ohne Normalkraft darf in der Regel der Näherungswert z = 0,9d verwendet werden.

f_ywd .  .  .  der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung

θ .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Bauteilachse senkrecht zur Querkraft

α .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Querkraftbewehrung und der Bauteilachse senkrecht zur Querkraft

β .  .  .  .  . Neigung des Bügelschenkels gegenüber der Resultierenden der einwirkenden Querkraft

Die Querkraft wird gleichmäßig auf die einzelnen querkrafttragenden Bewehrungselemente verteilt, basierend auf dem Winkel der Bewehrung und der axialen Steifigkeit der einzelnen Bügelschenkel.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Daraus kann die mittlere Bewehrungsdehnung in Richtung der resultierenden Querkraft abgeleitet werden:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Die tatsächliche Dehnung der i-ten Bewehrung kann berechnet werden als:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

Die Spannung in einem bestimmten Bügelschenkel der Bewehrung:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Bestimmung der Kraft im einzelnen Bügel infolge Torsion

Der Torsionswiderstand eines Querschnitts kann auf Grundlage eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts berechnet werden, bei dem das Gleichgewicht durch einen geschlossenen Schubfluss erfüllt wird. Vollquerschnitte können durch äquivalente dünnwandige Querschnitte modelliert werden. Bei nicht massiven Querschnitten darf die äquivalente Wanddicke die tatsächliche Wanddicke nicht überschreiten.

Der Schubfluss in den Wänden eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts infolge Torsion kann berechnet werden als:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Die Querkraft in einer bestimmten Wand beträgt dann:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . Länge der Mittellinie der betrachteten Wand

Querkraft im Steg – die Länge der Stegmittellinie kann durch den Wert des Hebelarms „z" ersetzt werden.

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Kraft in den torsionsabtragenden Bügeln je einem Meter Bauteilänge (je Längeneinheit):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Zerlegung der Kräfte für den einzelnen Bügel

Wenn für alle Bügel dasselbe Material definiert ist, ist die resultierende Spannung infolge Torsion in jedem Bügelschenkel konstant. Dann gilt:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

wobei a_sw,T die Gesamtfläche der torsionsabtragenden Bügel je Längeneinheit ist.

Falls einzelne Bügel unterschiedliche Materialien aufweisen, muss die axiale Steifigkeit der einzelnen Stäbe berücksichtigt werden.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . Anzahl der Bewehrungsschenkel (Bewehrungsgruppen), die Torsion abtragen

F_si,T .  .  . Kraft in der i-ten Bewehrungsgruppe infolge Torsion je Längeneinheit

a_si,T .  .  . Querschnittsfläche der torsionsabtragenden Querkraftbewehrung je Längeneinheit 

E_si,T .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten torsionsabtragenden Bewehrungsgruppe

ε_sw,T .  .  Dehnung in der Bewehrung infolge Torsion

Die resultierende Spannung in jedem Bügel infolge der einwirkenden Torsion wird berechnet als:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

V+T Interaktion

Die Berechnung der Spannungen in den Bügeln infolge Querkraft und Torsion ergibt sich als Überlagerung der Spannungen aus den einzelnen Lastkomponenten.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Resultierende Kraft in der i-ten Bewehrung:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interaktion von Querkraft, Torsion und Biegung für die Längsbewehrung

Bestimmung der Kraft in jeder Längsbewehrung infolge Normalkraft und Biegemoment

Die Anwendung RCS wird verwendet, um die Querschnittsreaktion infolge der Kombination aus Normalkraft und Biegemoment zu berechnen und die Spannung und Dehnung in den einzelnen Längsstäben und der Spannbewehrung zu ermitteln.

Bestimmung der Kraft in der einzelnen Längsbewehrung infolge Querkraft

Der Zuwachs der Zugkraft in der Längsbewehrung ΔF_td infolge der Querkraft hängt von der Geometrie des Strebe-und-Zugband-Modells ab. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  Zuwachs der Zugkraft in der Längsbewehrung infolge der Querkraft

V_ed .  .  .  . Bemessungswert der im betrachteten Schnitt wirkenden Querkraft

θ .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Bauteilachse 

α .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Querkraftbewehrung und der Bauteilachse

Für die im Zuggurt befindliche Längsbewehrung darf die resultierende Kraft F_t in der Längsbewehrung infolge der Kombination N+M+V nicht größer sein als M_Ed,max/z (wobei M_Ed,max das maximale Moment entlang des Trägers ist)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

Die Kraft ΔF_td wird von allen verbundenen Spanngliedern und der Bewehrung übertragen, die sich in dem Teil des Querschnitts befinden, der die Querkraft aufnimmt (der Steg bei einem I-Profil). Auf der sicheren Seite liegend kann der Beitrag der Spannbewehrung mit 0 angesetzt werden. Die Berechnungsannahme lautet, dass der Zuwachs der axialen Dehnung der einzelnen querkrafttragenden Längsbewehrung konstant ist (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Die Herleitung gilt für ein bilineares Bewehrungsarbeitsdiagramm mit einem horizontalen plastischen Ast. Bei einem Diagramm mit einem geneigten Ast muss die Berechnung angepasst werden.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . Dehnungszuwachs in der Längsbewehrung infolge der Querkraft

n_s,V .  .  .  . Anzahl der querkrafttragenden Längsbewehrungen

A_sl,i,V .  .  . Fläche der i-ten querkrafttragenden Längsbewehrung

E_sl,i,V .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten querkrafttragenden Längsbewehrung

n_p,V .  .  .  . Anzahl der querkrafttragenden Spannglieder

A_pl,i,V .  .  . Fläche des i-ten querkrafttragenden Spannglieds

E_pl,i,V .  .  . Elastizitätsmodul des i-ten querkrafttragenden Spannglieds

Nach der Bestimmung des Kraftwerts ΔF_td kann die mittlere Bewehrungsdehnung Δε_V berechnet werden.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Spannungszuwachs in den einzelnen Längsstäben infolge der einwirkenden Querkraft:

für Bewehrungsstäbe \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

für Spannglieder \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Bestimmung der Kraft in jeder Längsbewehrung infolge Torsion

Es ist sehr wichtig, die Längsbewehrung zu bestimmen, die die Torsion aufnimmt. Dies ist die Bewehrung, die sich in einem torsionsabtragenden äquivalenten dünnwandigen Querschnitt befindet.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Gemäß EN 1992-1-1 müssen für die torsionsabtragenden Längsbewehrungen mehrere Bedingungen erfüllt sein:

- die Bewehrung sollte gleichmäßig über die Länge z_i verteilt sein; bei kleinen Querschnitten darf die Bewehrung jedoch in den Ecken des Bügels konzentriert werden

- der maximale Achsabstand der Längsbewehrung beträgt 350 mm

Der Beitrag der Spannbewehrung wird gemäß EN 1992-1-1 nicht berücksichtigt.

Die Norm EN 1992-2 gibt an, dass der Beitrag der Spannbewehrung berücksichtigt werden darf, jedoch darf der maximale Spannungszuwachs in der Spannbewehrung Δσ_p ≤ 500 MPa nicht überschreiten. Die Formel kann dann wie folgt angepasst werden:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Da der Zuwachs der Spannbewehrung berücksichtigt werden kann, liegt dies jedoch im Ermessen des Anwenders. Derzeit wird die Spannbewehrung in der Berechnung nicht berücksichtigt. 

Die Berechnungsannahme lautet, dass der Zuwachs der axialen Dehnung jeder querkrafttragenden Längsbewehrung konstant ist (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Die Herleitung gilt für ein bilineares Bewehrungsarbeitsdiagramm mit einem horizontalen plastischen Ast. Bei einem Diagramm mit einem ansteigenden Ast muss die Berechnung angepasst werden.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . der Bemessungswert des im betrachteten Schnitt einwirkenden Torsionsmoments

θ .  .  .  .  . Neigung der Druckdiagonalen gegenüber der Längsachse des Trägers (identisch mit der für die Querkraft)

u_k .  .  .  .  Umfang der Fläche A_k

A_f .  .  .  .  die durch die Mittellinie des Ersatz-Hohlquerschnitts definierte Fläche

n_s,T .  .  .  .Anzahl der torsionsabtragenden Längsbewehrungen aus Beton

A_sl,i,T .  .  . Fläche der i-ten torsionsabtragenden Längsbewehrung aus Beton

Δε_T .  .  .  .die Änderung der Längsbewehrungsverformung infolge des Torsionsmoments

Δσ_s,i,T .  .  Spannungsänderung in der i-ten Längsbewehrung infolge des Torsionsmoments

E_sl,i,T .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten torsionsabtragenden Längsbewehrung aus Beton

Spannungszuwachs in jeder Längsbewehrung infolge des einwirkenden Torsionsmoments:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]