Interactie

Interactie van dwarskracht en torsie voor dwarskrachtwapening

Bepaling van de kracht in de dwarskrachtwapening ten gevolge van de dwarskracht. 

De berekening is gebaseerd op de formule voor het berekenen van de weerstand van de dwarskrachtwapening zoals gedefinieerd in EN 1992-1-1. Op basis van vergelijking 6.13 (hfdst. 6.2.3 (4)) kan de draagkracht van één beugelbeen worden afgeleid als:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van één beugelbeen dat de dwarskracht weerstaat in de beschouwde doorsnede

s .  .  .  .  . hartafstand van de dwarskrachtwapening in de richting van de longitudinale staafas 

a_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van de dwarskrachtwapening per lengte-eenheid

z .  .  .  .  . de inwendige momentarm. Voor een staaf met constante hoogte, overeenkomend met het buigend moment in het beschouwde element. Bij de dwarskrachtanalyse van gewapend beton zonder normaalkracht mag normaal gesproken de benaderende waarde z = 0,9d worden gebruikt.

f_ywd .  .  .  de rekenwaarde van de vloeigrens van de dwarskrachtwapening

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de betonnen drukdiagonaal en de staafas loodrecht op de dwarskracht

α .  .  .  .  . de hoek tussen de dwarskrachtwapening en de staafas loodrecht op de dwarskracht

β .  .  .  .  . helling van het been van de beugel ten opzichte van de resultante van de aangrijpende dwarskracht

De dwarskracht wordt gelijkmatig verdeeld over de afzonderlijke wapening die de dwarskracht weerstaat, op basis van de hoek van de wapening en de axiale stijfheid van de afzonderlijke beugelsbenen.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Verder kan de gemiddelde wapeningstrek in de richting van de resulterende dwarskracht worden afgeleid:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

De werkelijke rek van de i-de wapening kan worden berekend als:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

De trek in een bepaald been van de wapening:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Bepaling van de kracht in afzonderlijke beugelsbenen ten gevolge van torsie

De torsiestijfheid van een doorsnede kan worden berekend op basis van een dunwandige gesloten doorsnede, waarbij het evenwicht wordt gewaarborgd door een gesloten schuifstroom. Massieve doorsneden kunnen worden gemodelleerd door equivalente dunwandige doorsneden. Voor niet-massieve doorsneden mag de equivalente wanddikte de werkelijke wanddikte niet overschrijden.

De schuifstroom in de wanden van een dunwandige gesloten doorsnede ten gevolge van torsie kan worden berekend als:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

De dwarskracht in een bepaalde wand is dan:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . lengte van de hartlijn van de beschouwde wand

Dwarskracht in de lijf – de lengte van de hartlijn van het lijf kan worden vervangen door de waarde van de momentarm "z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Kracht in beugelsbenen die torsie weerstaan per meter staaflengte (per lengte-eenheid):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Ontbinding van krachten voor afzonderlijke beugelsbenen

Als voor alle beugelsbenen hetzelfde materiaal is gedefinieerd, is de resulterende spanning ten gevolge van torsie in elk beugelbeen constant. Dan geldt:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

waarbij a_sw,T het totale oppervlak is van beugelsbenen die de torsie per lengte-eenheid weerstaan.

In het geval dat afzonderlijke beugelsbenen verschillende materialen hebben, moet de axiale stijfheid van de afzonderlijke staven in rekening worden gebracht.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . aantal benen van de wapening (groepen wapening) die torsie weerstaan

F_si,T .  .  . kracht in de i-de groep wapening ten gevolge van torsie per lengte-eenheid

a_si,T .  .  . doorsnede-oppervlak van de dwarskrachtwapening die torsie weerstaat per lengte-eenheid 

E_si,T .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de groep wapening die torsie weerstaat

ε_sw,T .  .  rek in de wapening ten gevolge van torsie

De resulterende spanning in elk beugelbeen ten gevolge van de aangrijpende torsie wordt berekend als:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

V+T interactie

De berekening van de spanningen in beugelsbenen ten gevolge van dwarskracht en torsie is dan een sommatie van de spanningen ten gevolge van de afzonderlijke belastingscomponenten.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Resulterende kracht in de i-de wapening:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interactie van dwarskracht, torsie en buiging voor langswapening

Bepaling van de kracht in elke langswapening ten gevolge van de normaalkracht en het buigend moment

De RCS applicatie wordt gebruikt om de doorsnedereactie te berekenen ten gevolge van de combinatie van de normaalkracht en het buigend moment, om de spanning en rek in de afzonderlijke langsstaven en voorspanningswapening te bepalen.

Bepaling van de kracht in de afzonderlijke langswapening ten gevolge van de dwarskracht

De toename van de trekkracht in de langswapening ΔF_td ten gevolge van de dwarskracht is afhankelijk van de geometrie van het Staafwerk model. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  toename van de trekkracht in de langswapening ten gevolge van de dwarskracht

V_ed .  .  .  . rekenwaarde van de dwarskracht die aangrijpt in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de betonnen drukdiagonaal en de staafas 

α .  .  .  .  . de hoek tussen de dwarskrachtwapening en de staafas

Voor de langswapening in de trekrand mag de resulterende kracht F_t in de langswapening ten gevolge van de combinatie N+M+V niet groter worden genomen dan M_Ed,max/z (waarbij M_Ed,max het maximale moment langs de ligger is)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

De kracht ΔF_td wordt overgedragen door alle gehechte voorspanningselementen en wapening die zich bevinden in het deel van de doorsnede dat de dwarskracht weerstaat (het lijf in het geval van een I-profiel). Aan de veilige kant kan de bijdrage van de voorspanningswapening als 0 worden beschouwd. De aanname van de berekening is dat de toename van de axiale rek van de afzonderlijke langswapening die de dwarskracht weerstaat constant is (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair wapeningstrekdiagram met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een hellende tak moet de berekening worden aangepast.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . rektoename in de langswapening ten gevolge van de dwarskracht

n_s,V .  .  .  . aantal langswapeningsstaven die de dwarskracht weerstaan

A_sl,i,V .  .  . oppervlak van de i-de langswapening die de dwarskracht weerstaat

E_sl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de langswapening die de dwarskracht weerstaat

n_p,V .  .  .  . aantal spannelementen die de dwarskracht weerstaan

A_pl,i,V .  .  . oppervlak van het i-de spanelement die de dwarskracht weerstaat

E_pl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van het i-de spanelement die de dwarskracht weerstaat

Na het bepalen van de waarde van de kracht ΔF_td kan vervolgens de gemiddelde wapeningstrek Δε_V worden berekend.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Spanningstoename in de afzonderlijke langsstaven ten gevolge van de aangrijpende dwarskracht:

voor wapeningsstaal \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

voor spanelement \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Bepaling van de kracht in elke langswapening ten gevolge van torsie

Het is zeer belangrijk om de langswapening te bepalen die de torsie weerstaat. Dit is de wapening die zich bevindt in een torsieresistente vervangende effectieve dunwandige doorsnede.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Volgens EN 1992-1-1 moet aan een aantal voorwaarden worden voldaan voor langswapening die torsie weerstaat:

- de wapening moet gelijkmatig verdeeld zijn over de lengte z_i, maar bij kleine doorsneden mag de wapening worden geconcentreerd in de hoeken van de beugel

- de maximale hartafstand van de langswapening bedraagt 350 mm

De bijdrage van de voorspanningswapening wordt niet in aanmerking genomen conform EN 1992-1-1.

De norm EN 1992-2 stelt dat de bijdrage van de voorspanningswapening in aanmerking mag worden genomen, maar de maximale spanningstoename in de voorspanningswapening mag niet groter zijn dan Δσ_p ≤ 500MPa. De formule kan dan worden aangepast:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Hoewel de toename van de voorspanningswapening in aanmerking kan worden genomen, is dit een keuze van de gebruiker. Momenteel wordt voorspanningswapening niet meegenomen in de berekening. 

De aanname van de berekening is dat de toename van de axiale rek van elke langswapening die de dwarskracht weerstaat constant is (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair wapeningstrekdiagram met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een stijgende tak moet de berekening worden aangepast.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . de rekenwaarde van het torsiekoppel dat aangrijpt in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . helling van de drukdiagonalen ten opzichte van de langsas van de ligger (identiek aan die voor de dwarskracht)

u_k .  .  .  .  omtrek van het oppervlak A_k

A_f .  .  .  .  het oppervlak begrensd door de hartlijn van de vervangende holle dunwandige doorsnede

n_s,T .  .  .  .aantal langse betonwapeningsstaven die het torsiekoppel weerstaan

A_sl,i,T .  .  . oppervlak van de i-de langse betonwapening die het torsiekoppel weerstaat

Δε_T .  .  .  .de verandering in de vervorming van de langswapening ten gevolge van het torsiekoppel

Δσ_s,i,T .  .  spanningsverandering in de i-de langswapening ten gevolge van het torsiekoppel

E_sl,i,T .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de langse betonwapening die het torsiekoppel weerstaat

Spanningstoename in elke langswapening ten gevolge van het aangrijpende torsiekoppel:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]