Interactie

Interactie van dwarskracht en torsie voor dwarskrachtwapening

Bepaling van de kracht in de dwarskrachtwapening ten gevolge van de dwarskracht. 

De berekening is gebaseerd op de formule voor het berekenen van de weerstand van de dwarskrachtwapening zoals gedefinieerd in EN 1992-1-1. Op basis van vergelijking 6.13 (hfdst. 6.2.3 (4)) kan de draagkracht van één beugelbeen worden afgeleid als:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van één beugelbeen dat de afschuiving weerstaat in de beschouwde doorsnede

s .  .  .  .  . hartafstand van de dwarskrachtwapening in de richting van de langse staafas 

a_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van de dwarskrachtwapening per lengte-eenheid

z .  .  .  .  . de inwendige momentarm. Voor een staaf met constante hoogte, overeenkomend met het buigend moment in het beschouwde element. Bij de afschuivingsberekening van gewapend beton zonder normaalkracht mag de benaderingswaarde z = 0,9d normaal worden gebruikt.

f_ywd .  .  .  de rekenwaarde van de vloeigrens van de dwarskrachtwapening

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de betonnen drukdiagonaal en de staafas loodrecht op de dwarskracht

α .  .  .  .  . de hoek tussen de dwarskrachtwapening en de staafas loodrecht op de dwarskracht

β .  .  .  .  . helling van het been van de beugel ten opzichte van de resultante van de aangebrachte dwarskracht

De dwarskracht wordt gelijkmatig verdeeld over de afzonderlijke wapening die de dwarskracht weerstaat, op basis van de hoek van de wapening en de axiale stijfheid van de afzonderlijke beugelsbenen.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Verder kan de gemiddelde wapeningstrek in de richting van de resulterende dwarskracht worden afgeleid:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

De werkelijke rek van de i-de wapening kan worden berekend als:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

De trek in een bepaald been van de wapening:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Bepaling van de kracht in afzonderlijke beugels ten gevolge van torsie

De torsiestijfheid van een doorsnede kan worden berekend op basis van een dunwandige gesloten doorsnede, waarbij het evenwicht wordt voldaan door een gesloten schuifstroom. Massieve doorsneden kunnen worden gemodelleerd door equivalente dunwandige doorsneden. Voor niet-massieve doorsneden mag de equivalente wanddikte de werkelijke wanddikte niet overschrijden.

De schuifstroom in de wanden van een dunwandige gesloten doorsnede ten gevolge van torsie kan worden berekend als:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

De dwarskracht in een bepaalde wand is dan:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . lengte van de hartlijn van de beschouwde wand

Dwarskracht in de lijf - de lengte van de hartlijn van het lijf kan worden vervangen door de waarde van de momentarm "z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Kracht in beugels die torsie weerstaan per meter staaflengte (per lengte-eenheid):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Ontbinding van krachten voor afzonderlijke beugels

Als voor alle beugels hetzelfde materiaal is gedefinieerd, is de resulterende spanning ten gevolge van torsie in elk beugelbeen constant. Dan geldt:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

waarbij a_sw,T het totale oppervlak is van beugels die de torsie per lengte-eenheid weerstaan.

In het geval dat afzonderlijke beugels verschillende materialen hebben, moet de axiale stijfheid van de afzonderlijke staven in rekening worden gebracht.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . aantal benen van de wapening (groepen van wapening) die torsie weerstaan

F_si,T .  .  . kracht in de i-de groep van wapening ten gevolge van torsie per lengte-eenheid

a_si,T .  .  . doorsnede-oppervlak van de dwarskrachtwapening die torsie weerstaat per lengte-eenheid 

E_si,T .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de groep van wapening die torsie weerstaat

ε_sw,T .  .  rek in de wapening ten gevolge van torsie

De resulterende spanning in elke beugel ten gevolge van de aangebrachte torsie wordt berekend als:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

V+T interactie

De berekening van de spanningen in beugels ten gevolge van dwarskracht en torsie is dan een sommatie van de spanningen ten gevolge van de afzonderlijke belastingscomponenten.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Resulterende kracht in de i-de wapening:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interactie van afschuiving, torsie en buiging voor langse wapening

Bepaling van de kracht in elke langse wapening ten gevolge van de normaalkracht en het buigend moment

De applicatie RCS wordt gebruikt om de doorsnede-respons te berekenen ten gevolge van de combinatie van de normaalkracht en het buigend moment, om de spanning en rek in de afzonderlijke langse staven en voorspanningswapening te bepalen.

Bepaling van de kracht in de afzonderlijke langse wapening ten gevolge van de dwarskracht

De toename van de trekkracht in de langse wapening ΔF_td ten gevolge van de dwarskracht is afhankelijk van de geometrie van het staafwerkmodel. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  toename van de trekkracht in de langse wapening ten gevolge van de dwarskracht

V_ed .  .  .  . rekenwaarde van de dwarskracht die aangrijpt in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de betonnen drukdiagonaal en de staafas 

α .  .  .  .  . de hoek tussen de dwarskrachtwapening en de staafas

Voor de langse wapening in de trekkoord mag de resulterende kracht F_t in de langse wapening ten gevolge van de combinatie N+M+V niet groter worden genomen dan M_Ed,max/z (waarbij M_Ed,max het maximale moment langs de ligger is)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

De kracht ΔF_td wordt overgedragen door alle gehechte voorspanningselementen en wapening die zich bevinden in het deel van de doorsnede dat de afschuiving weerstaat (het lijf in het geval van een I-profiel). Aan de veilige kant kan de bijdrage van de voorspanningswapening als 0 worden beschouwd. De aanname van de berekening is dat de toename van de axiale rek van de afzonderlijke langse wapening die de afschuiving weerstaat constant is (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair wapeningstrekdiagram met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een hellende tak moet de berekening worden aangepast.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . rektoename in de langse wapening ten gevolge van de dwarskracht

n_s,V .  .  .  . aantal langse wapeningstaven die de dwarskracht weerstaan

A_sl,i,V .  .  . oppervlak van de i-de langse wapening die de dwarskracht weerstaat

E_sl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de langse wapening die de dwarskracht weerstaat

n_p,V .  .  .  . aantal spannelementen die de dwarskracht weerstaan

A_pl,i,V .  .  . oppervlak van het i-de spanelement die de dwarskracht weerstaat

E_pl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van het i-de spanelement die de dwarskracht weerstaat

Na het bepalen van de waarde van de kracht ΔF_td kan vervolgens de gemiddelde wapeningstrek Δε_V worden berekend.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Spanningstoename in de afzonderlijke langse staven ten gevolge van de aangebrachte dwarskracht:

voor wapeningsstaal \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

voor spanelement \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Bepaling van de kracht in elke langse wapening ten gevolge van torsie

Het is zeer belangrijk om de langse wapening te bepalen die de torsie weerstaat. Dit is de wapening die zich bevindt in een torsieweerstandbiedende equivalente dunwandige doorsnede.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Volgens EN 1992-1-1 moet aan verschillende voorwaarden worden voldaan voor langse torsieweerstandbiedende wapening:

- de wapening moet gelijkmatig verdeeld zijn over de lengte z_i, maar bij kleine doorsneden mag de wapening worden geconcentreerd in de hoeken van de beugel

- de maximale hartafstand van de langse wapening is 350 mm

De bijdrage van de voorspanningswapening wordt niet in aanmerking genomen volgens EN 1992-1-1.

De norm EN 1992-2 stelt dat de bijdrage van de voorspanningswapening in aanmerking mag worden genomen, maar de maximale spanningstoename in de voorspanningswapening mag niet groter zijn dan Δσ_p ≤ 500MPa. De formule kan dan worden aangepast:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Omdat de toename van de voorspanningswapening in aanmerking kan worden genomen, is dit echter een keuze van de gebruiker. Momenteel wordt de voorspanningswapening niet meegenomen in de berekening. 

De aanname van de berekening is dat de toename van de axiale rek van elke langse afschuivingsweerstandbiedende wapening constant is (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair wapeningstrekdiagram met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een stijgende tak moet de berekening worden aangepast.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . de rekenwaarde van het torsiekoppel aangebracht in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . helling van de drukdiagonalen ten opzichte van de langse as van de ligger (identiek aan die voor de dwarskracht)

u_k .  .  .  .  omtrek van het oppervlak A_k

A_f .  .  .  .  het oppervlak gedefinieerd door de hartlijn van de vervangende holle dunwandige doorsnede

n_s,T .  .  .  .aantal langse betonwapeningsstaven die het torsiekoppel weerstaan

A_sl,i,T .  .  . oppervlak van de i-de langse betonwapening die het torsiekoppel weerstaat

Δε_T .  .  .  .de verandering in de langse wapeningstransformatie ten gevolge van het torsiekoppel

Δσ_s,i,T .  .  verandering in spanning in de i-de langse wapening ten gevolge van het torsiekoppel

E_sl,i,T .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de langse betonwapening die het torsiekoppel weerstaat

Spanningstoename in elke langse wapening ten gevolge van het aangebrachte torsiekoppel:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]