Trhliny

Vznik trhlin

Charakteristickým rysem železobetonových konstrukcí namáhaných ohybem nebo tahem je vznik trhlin v místech, kde tahové napětí v betonu překročí jeho pevnost v tahu. Pro trvanlivost konstrukce i její estetiku je důležité zajistit, aby výsledné trhliny byly co nejmenší. Výpočet šířek trhlin i maximální povolené šířky pro různé třídy prostředí jsou uvedeny v EN 1992-1-1, kapitola 7.3.

V prvním kroku výpočtu se stanoví, zda je průřez roztrhaný nebo ne. Šířka trhliny se vždy počítá z kvazistálé nebo časté kombinace zatížení (v závislosti na národní příloze), avšak vznik trhlin musí být posouzen ze všech stanovených kombinací MSP. Mohou tedy nastat dva případy:

• Maximální tahové napětí v betonových vláknech nepřekročí pevnost betonu v tahu pro žádnou kombinaci zatížení (kvazistálá M_E,qp, častá M_E,fr nebo charakteristická M_E,k), a průřez tedy považujeme za neporušený trhlinami.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Pokud se trhliny vyvinou pro některou z kombinací (kvazistálou, častou nebo charakteristickou), tj. ohybový moment z uvažované kombinace zatížení je větší než kritický moment M_cr, je průřez z dané kombinace zatížení roztrhaný a je nutné vypočítat charakteristiky roztrhaného průřezu a šířku trhlin.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   ohybový moment získaný z některé kombinace zatížení MSP. Může tedy být M_E,qp, M_E,fr nebo M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  pevnost betonu v tahu v uvažovaném čase. Pokud je beton starší než 28 dní, uvažuje se pevnost rovná f_ctm.

Výpočet šířky trhlin

U prvku namáhaného ohybem se vznik trhlin rozděluje na 2 jevy:

• Fáze vzniku trhlin (fáze č. 2 na obr. 1)
• Stabilizovaný rozvoj trhlin (fáze č. 3 na obr. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Fáze rozvoje trhlin

Jedná se o počáteční část procesu, kdy se jednotlivé trhliny postupně objevují, dokud není celá tahová část prvku postižena trhlinami přibližně rovnoměrně rozloženými po délce prvku. První trhlina vzniká, když síla v tažené části překročí hodnotu kritické síly N_r (kritická tahová síla, viz níže), a další trhliny se rozvíjejí až do úrovně zatížení, při němž síla v tažené části dosahuje přibližně 1,3N_cr (fáze č. 2 na obr. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Vznikající trhliny se dělí na 2 typy – primární a sekundární. Primární trhliny vznikají v tahových vláknech při dosažení efektivní pevnosti betonu v tahu (f_ct,eff). Primární trhliny představují první vzor trhlin (obr. 2). Mezi primárními trhlinami se pak tvoří kratší sekundární trhliny (obr. 3). Při napětích odpovídajících přibližně 1,2 až 1,5 σ_sr (obvykle se uvažuje střední hodnota 1,3 σ_sr, kde σ_sr je napětí ve vyztužení při vzniku primárních trhlin v tahové zóně betonu) je rozvoj sekundárních trhlin také dokončen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Šířku trhliny ve fázi vzniku trhlin lze vypočítat takto:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Fáze stabilizovaného trhlinování

Po překročení přibližně 1,3násobku kritické síly v tahové zóně se již nevznikají nové trhliny, počet trhlin v prvku se stabilizuje a s dalším zatěžováním se zvětšuje pouze šířka stávajících trhlin (fáze č. 3 na obr. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Šířku trhliny při stabilizovaném rozvoji lze vypočítat jako:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Kritická tahová síla

Výpočet vychází z modelu tahové části (Tension Chord Model, TCM). Základní úvahou je výpočet mezní únosnosti železobetonového pásu tvořeného výztuží o ploše A_s,eff obklopenou efektivní plochou tahového betonu A_c,eff, která je schopna odolávat tahovému napětí až do překročení pevnosti v tahu f_ct,eff (obvykle se uvažuje f_ctm). Za předpokladu dokonalé soudržnosti mezi výztuží a betonem lze uvažovat, že až do vzniku první trhliny je přetvoření výztuže a okolního betonu totožné. Maximální síla v taženém pásu těsně před vznikem první trhliny N_r pak může být stanovena:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Zavedením substituce

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

dostaneme:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Těsně po vzniku první trhliny je celá síla N_r přenášena výztuží, a napětí ve výztuži procházející právě vzniklou trhlinou lze tedy vypočítat jako:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Výpočet šířky trhlin podle EC 1992-1-1

Pro výpočet šířky trhlin na železobetonových prvcích se používá následující rovnice:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maximální vzdálenost trhlin

ε_sm  .   .   .   .   průměrné přetvoření výztuže z kombinace zatížení, včetně vlivu tahového zpevnění.

ε_cm  .   .   .   .   průměrné přetvoření betonu mezi trhlinami

Výpočet rozdílu přetvoření

Rozdíl přetvoření výztuže a betonu mezi trhlinami lze získat z rovnice:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   napětí ve výztuži v trhlině z uvažované kombinace zatížení

k_t      .   .   .   .   empirický součinitel zohledňující průměrné přetvoření v závislosti na době trvání zatížení. Pro krátkodobou analýzu může nabývat hodnoty 0,6. Pro dlouhodobou analýzu se uvažuje snížení tuhosti kompozitu na přibližně 70 %, takže jeho hodnota je 0,4, což zahrnuje míru degradace soudržnosti mezi výztuží a betonem v čase.

α_e     .   .   .   . efektivní poměr modulů pružnosti

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   efektivní stupeň vyztužení

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   efektivní plocha betonu v tahu obklopující vyztužení (stanovení A_c,eff níže)

A_s,_eff .   .   .   .   plocha soudržné výztuže umístěné v oblasti A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   plocha předpínacích nebo dodatečně předpínaných kabelů v oblasti A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   upravený poměr pevností soudržnosti zohledňující různé průměry předpínací a betonářské výztuže:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . poměr pevností soudržnosti předpínací a betonářské výztuže (tabulka 6.2)

ϕ_s   .   .  největší průměr prutu betonářské výztuže

ϕ_p   .   .  průměr nebo ekvivalentní průměr předpínací výztuže

Pro svazky je A_p plocha výztuže v kabelu

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Pro jednotlivá sedmidrátková lana, kde φ_wire je průměr drátu

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Pro jednotlivá třídrátková lana, kde φ_wire je průměr drátu

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Pokud se k omezení trhlin používá pouze předpínací výztuž, je nutné uvažovat následující.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

U předpjatých prvků není vyžadována minimální plocha soudržné výztuže za předpokladu, že při charakteristické kombinaci zatížení a charakteristické hodnotě předpínací síly tahové napětí v žádném vlákně nepřekročí pevnost betonu v tahu f_ct,eff. (viz EN 1992-1-1 čl. 7.3.2 pro více podrobností)

Efektivní plocha betonu v tahu

Důležitým, avšak zároveň nejsložitějším krokem výpočtu je stanovení efektivní plochy tahového betonu obklopujícího výztuž. Eurocode i Model Code uvažují jednoduché způsoby zatížení, kdy je železobetonový prvek namáhán jednoosým ohybem nebo tahem. Hodnota efektivní výšky se stanoví jako:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Obvykle je rozhodující hodnota h_c,eff = 2,5(h-d). Pro tažené prvky je horní mez h/2, zatímco pro ohýbané prvky je to (h-x)/3. Plocha A_c,eff je však také omezena šířkou stanovenou z rovnice 5(c+ϕ/2). Pokud je vzdálenost výztuží větší než 5(c+ϕ/2), uvažuje se pro jednotlivé pruty efektivní plocha taženého betonu šířky 5(c+ϕ/2).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maximální vzdálenost trhlin

Při výpočtu maximální vzdálenosti trhlin s_r,max mohou nastat dva případy:

• Osová vzdálenost soudržné výztuže nepřekračuje vzdálenost 5(c+ϕ/2) – obr. 9a
• Osová vzdálenost soudržné výztuže je větší než 5(c+ϕ/2) – obr. 9b

Výpočet maximální vzdálenosti trhlin s_r,max pro případ, kdy osové vzdálenosti výztuží nepřekračují hodnotu 5(c+ϕ/2), je definován takto:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   hodnota krytí betonu v mm. Protože hodnota krytí může být různá pro krajní výztuž k vodorovným i svislým hranám, doporučuje se uvažovat maximální nalezenou hodnotu krytí pro posuzovanou výztuž.

ϕ     .   .   .   .   průměr soudržné výztuže. V případě různých průměrů výztuže se ekvivalentní průměr vypočítá v souladu s EN 1992-1-1, rovnice 7.12.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . součinitel zohledňující vlastnosti soudržnosti soudržné výztuže

• k₁ = 0,8 pro pruty s vysokou soudržností
• k₁ = 1,6 pro pruty s efektivně hladkým povrchem (např. předpínací kabely)

k₂ .   .   .   . součinitel zohledňující rozdělení přetvoření

• k₂ = 1,0 pro ohyb
• k₂ = 0,5 pro čistý tah

Pro případy excentrického tahu nebo pro lokální oblasti je třeba použít mezilehlé hodnoty k₂, které lze vypočítat ze vztahu:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  součinitel vyjadřující délku oblasti v blízkosti trhliny, kde je porušena soudržnost mezi betonem a výztuží. Doporučená hodnota základního EC k₃ = 3,4 může být upravena národní přílohou. 

k₄      .   .   .   .   součinitel vyjadřující vztah mezi pevností soudržnosti a pevností betonu v tahu. Doporučená hodnota základního EC k4 = 0,425 může být upravena národní přílohou.

Výpočet maximální vzdálenosti trhlin s_r,max pro případ, kdy osové vzdálenosti výztuží překračují hodnotu 5(c+ϕ/2), je definován takto:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Hodnoty maximální vzdálenosti trhlin podle rovnice

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

by měly být vždy větší než hodnoty stanovené rovnicí

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

v opačném případě se doporučuje uvažovat větší vzdálenost získanou z výše uvedených rovnic. Rovnice pro přetvoření betonu/výztuže se pro případ velké osové vzdálenosti výztuže nemění. V oblastech s řízenou šířkou trhlin by osová vzdálenost jednotlivých výztuží neměla být větší než 5(c+ϕ/2).

Výpočet šířky trhlin implementovaný v RCS

Stanovení efektivní plochy A_c,eff

Protože není zcela jednoznačné určit, která výztuž může být považována za podélnou výztuž odolávající trhlinám, stanovuje se A_c,eff pomocí následujícího iteračního postupu.

• Ze vší výztuže působící v tahu se stanoví těžiště tahové výztuže C_g,s,1. Účinná výška výztuže d je vzdálenost mezi C_g,s a nejvíce tlačeným betonovým vláknem, vypočtená ve směru výsledného ohybového momentu. Zároveň se stanoví poloha neutrální osy a výška tlačené oblasti x pro roztrhaný průřez. To umožňuje stanovit efektivní výšku h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Vyloučením veškeré výztuže ležící mimo A_c,eff,1 se stanoví nové těžiště výztuže C_g,s,2 spolu s novou účinnou výškou výztuže d; efektivní výška h_c,eff se stanoví stejným způsobem jako v předchozím kroku, pouze se změněnými vstupními hodnotami.

Opět se ověří, že veškerá uvažovaná tažená výztuž leží v oblasti A_c,eff,2. Pokud je tato podmínka splněna, lze iteraci ukončit a hodnoty h_c,eff,2, A_c,eff,2 a A_s,eff,2 jsou zobrazeny jako výsledné hodnoty v IDEA StatiCa RCS.

Možné případy výpočtu šířky trhlin

Při výpočtu šířky trhlin mohou obecně nastat tři případy:

• Tahová výztuž leží v oblasti A_c,eff a osová vzdálenost jednotlivých výztuží je menší než 5(c+ϕ/2). Pro výpočet se pak použijí následující vztahy:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Tahová výztuž leží v oblasti A_c,eff a osová vzdálenost jednotlivých výztuží překračuje vzdálenost 5(c+ϕ/2). Pro výpočet se pak použijí následující vztahy:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Tahová výztuž neleží v oblasti A_c,eff (to může být způsobeno například velkým krytím). 

V tomto případě by nebylo možné vypočítat šířku trhlin. Proto se výpočet efektivní výšky h_c,eff upraví takto:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Zároveň se zobrazí následující upozornění na nesoulad:

Efektivní plocha betonu v tahu obklopující výztuž nebo předpínací kabely o výšce h_c,eff, kde h_c,eff je menší z hodnot 2,5(h – d) nebo h/2. Při uvažování hodnoty (h – x)/3 leží výztuž mimo efektivní plochu betonu v tahu, a proto by nebylo možné vypočítat šířku trhlin podle článku 7.3.4.