Risse

Die Entstehung von Rissen

Ein charakteristisches Merkmal von Stahlbetonstruktur unter Biege- oder Zugbeanspruchung ist das Auftreten von Rissversagen an Stellen, an denen die Zugspannung im Beton die Zugfestigkeit des Betons überschreitet. Für die Dauerhaftigkeit der Struktur sowie für die Ästhetik der Struktur ist es wichtig sicherzustellen, dass die entstehenden Risse so klein wie möglich sind. Die Berechnung der Rissbreiten sowie die für die verschiedenen Expositionsklassen zulässigen Maximalbreiten sind in EN 1992-1-1, Kapitel 7.3 angegeben.

Im ersten Schritt der Berechnung wird bestimmt, ob der Querschnitt gerissen ist oder nicht. Die Rissbreite selbst wird stets aus der quasi-ständigen oder häufigen Lastkombination berechnet (abhängig vom nationalen Anhang), die Rissbildung muss jedoch aus allen angegebenen GZG-Kombinationen überprüft werden. Dabei können zwei Fälle auftreten:

• Die maximale Zugspannung in den Betonrandfasern überschreitet aus keiner Lastkombination (quasi-ständig M_E,qp, häufig M_E,fr oder charakteristisch M_E,k) die Zugfestigkeit des Betons, und daher wird der Querschnitt als ungerissen betrachtet.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Wenn für eine der Kombinationen (quasi-ständig, häufig oder charakteristisch) Risse entstehen, d. h. das aus der betrachteten Lastkombination resultierende Biegemoment größer als das kritische Moment M_cr ist, gilt der Querschnitt aus dieser Lastkombination als gerissen, und die Eigenschaften des gerissenen Querschnitts sowie die Rissbreite müssen berechnet werden.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   das Biegemoment aus einer GZG-Lastkombination. Es kann sich dabei um M_E,qp, M_E,fr oder M_E,k handeln. 

f_ct,ef   .   .  die Zugfestigkeit des Betons zum betrachteten Zeitpunkt. Ist der Beton älter als 28 Tage, wird eine Festigkeit gleich f_ctm angesetzt.

Berechnung der Rissbreite

Bei einem biegebeanspruchten Bauteil wird die Rissbildung in 2 Phänomene unterteilt:

• Rissbildungsphase (Phase Nr. 2 in Abb. 1)
• Abgeschlossenes Rissbild (Phase Nr. 3 in Abb. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Rissbildungsphase

Dies ist der anfängliche Teil des Prozesses, in dem einzelne Risse noch allmählich entstehen, bis der gesamte Zugbereich des Bauteils von Rissen betroffen ist, die annähernd gleichmäßig über die Länge des Bauteils verteilt sind. Der erste Riss entsteht, wenn die Kraft im zugbeanspruchten Streifen den Wert der kritischen Kraft N_r (kritische Zugkraft, siehe unten) überschreitet, und weitere Risse entwickeln sich bis zu einem Belastungsniveau, bei dem die Kraft im zugbeanspruchten Streifen etwa 1,3N_cr beträgt (Phase Nr. 2 in Abb. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Die entstehenden Risse werden in 2 Typen unterteilt – Primärrisse und Sekundärrisse. Primärrisse entstehen in den Zugrandfasern, wenn die effektive Zugfestigkeit des Betons (f_ct,eff) erreicht wird. Primärrisse stellen das erste Rissbild dar (Abb. 2). Kürzere Sekundärrisse bilden sich dann zwischen den Primärrissen (Abb. 3). Bei Spannungen, die etwa 1,2 bis 1,5 σ_sr entsprechen (üblicherweise wird ein Mittelwert von 1,3 σ_sr angesetzt, wobei σ_sr die Spannung in der Bewehrung bei der Bildung von Primärrissen in der Zugzone des Betons ist), ist auch die Entwicklung der Sekundärrisse abgeschlossen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Die Rissbreite in der Rissbildungsphase kann wie folgt berechnet werden:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Phase des abgeschlossenen Rissbilds

Nach Überschreiten von etwa dem 1,3-fachen der kritischen Kraft in der Zugzone entstehen keine neuen Risse mehr, die Anzahl der Risse im Bauteil stabilisiert sich, und mit weiterer Belastung nimmt nur noch die Breite der vorhandenen Risse zu (Phase Nr. 3 in Abb. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Die Rissbreite bei abgeschlossenem Rissbild kann wie folgt berechnet werden:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Kritische Zugkraft

Die Berechnung basiert auf dem Tension Chord Model (TCM). Die grundlegende Überlegung besteht darin, die Grenztragfähigkeit eines Stahlbetonstreifens zu berechnen, der aus einem Bewehrungsstab mit der Fläche A_s,eff besteht, der von einer effektiven Zugbetonfläche A_c,eff umgeben ist, die in der Lage ist, die Zugspannung aufzunehmen, bis die Zugfestigkeit f_ct,eff überschritten wird (normalerweise wird f_ctm angesetzt). Unter der Annahme eines vollständigen Verbunds zwischen Bewehrung und Beton kann davon ausgegangen werden, dass bis zum Auftreten des ersten Risses die Verformung der Bewehrung und des umgebenden Betons identisch ist. Die maximale Kraft im Zugstreifen unmittelbar vor dem ersten Riss N_r kann dann bestimmt werden:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Durch Einführung der Substitution

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

ergibt sich:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Unmittelbar nach der Bildung des ersten Risses wird die gesamte Kraft N_r von der Bewehrung übertragen, und die Spannung in der Bewehrung, die durch den gerade entstandenen Riss verläuft, kann wie folgt berechnet werden:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Rissbreitenberechnung nach EC 1992-1-1

Zur Berechnung der Rissbreite an Stahlbetonbauteilen wird folgende Gleichung verwendet:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maximaler Rissabstand

ε_sm  .   .   .   .   die mittlere Dehnung der Bewehrung aus der Lastkombination, einschließlich der Auswirkungen der Zugverfestigung.

ε_cm  .   .   .   .   mittlere Dehnung des Betons zwischen den Rissen

Berechnung der Dehnungsdifferenz

Die Differenz der Dehnung von Bewehrung und Beton zwischen den Rissen kann aus folgender Gleichung ermittelt werden:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   die Spannung in der Bewehrung im Riss aus der betrachteten Lastkombination

k_t      .   .   .   .   ein empirischer Koeffizient, der die mittlere Dehnung berücksichtigt und von der Lastdauer abhängt. Für die Kurzzeitanalyse kann er den Wert 0,6 annehmen. Für die Langzeitanalyse wird die Reduzierung der Steifigkeit des Verbundquerschnitts auf etwa 70 % berücksichtigt, sodass sein Wert 0,4 beträgt, was die zeitabhängige Degradation des Verbunds zwischen Bewehrung und Beton einschließt.

α_e     .   .   .   . das effektive Verhältnis der Elastizitätsmoduli

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   effektiver Bewehrungsgrad

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   die effektive Fläche des zugbeanspruchten Betons um die Bewehrung (Bestimmung von A_c,eff siehe unten)

A_s,_eff .   .   .   .   die Fläche der verbundenen Bewehrung, die sich im Bereich von A_c,_eff befindet

A_p´    .   .   .   .   ist die Fläche der vor- oder nachgespannten Spannglieder innerhalb von A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   ist das angepasste Verhältnis der Verbundfestigkeit unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Durchmesser von Spann- und Bewehrungsstahl:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . das Verhältnis der Verbundfestigkeit von Spann- und Bewehrungsstahl (Tabelle 6.2)

ϕ_s   .   .  größter Stabdurchmesser des Bewehrungsstahls

ϕ_p   .   .  der Durchmesser oder äquivalente Durchmesser des Spannstahls

Bei Bündeln ist A_p die Fläche der Bewehrung im Spannglied

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Für einzelne Sieben-Draht-Litzen, bei denen φ_wire der Drahtdurchmesser ist

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Für einzelne Drei-Draht-Litzen, bei denen φ_wire der Drahtdurchmesser ist

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Wenn zur Rissverhinderung ausschließlich Spannbewehrung verwendet wird, ist Folgendes zu berücksichtigen.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Bei vorgespannten Bauteilen ist eine Mindestfläche an verbundener Bewehrung nicht erforderlich, solange unter der charakteristischen Lastkombination und dem charakteristischen Wert der Vorspannkraft die Zugspannung in keiner Faser größer ist als die Zugfestigkeit des Betons, f_ct,eff. (siehe EN 1992-1-1 Abschn. 7.3.2 für weitere Einzelheiten)

Die effektive Fläche des zugbeanspruchten Betons

Ein wichtiger, aber gleichzeitig der schwierigste Schritt der Berechnung ist die Bestimmung der effektiven Fläche des zugbeanspruchten Betons um die Bewehrung. Sowohl der Eurocode als auch der Model Code betrachten einfache Belastungsfälle, bei denen das Stahlbetonbauteil durch einachsige Biegung oder Zug beansprucht wird. Der Wert der effektiven Höhe wird wie folgt bestimmt:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

In der Regel ist der Wert h_c,eff = 2,5(h-d) maßgebend. Für zugbeanspruchte Bauteile ist die Obergrenze h/2, während sie für biegebeanspruchte Bauteile (h-x)/3 beträgt. Die Fläche A_c,eff ist jedoch auch durch die aus Gleichung 5(c+ϕ/2) bestimmte Breite begrenzt. Wenn der Abstand der Bewehrungsstäbe größer als 5(c+ϕ/2) ist, wird für die einzelnen Stäbe die effektive Fläche des zugbeanspruchten Betons mit der Breite 5(c+ϕ/2) angesetzt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maximaler Rissabstand

Bei der Berechnung des maximalen Rissabstands s_r,max können zwei Fälle auftreten:

• Der Achsabstand der verbundenen Bewehrung überschreitet nicht den Abstand 5(c+ϕ/2) – Abb. 9a
• Der Achsabstand der verbundenen Bewehrung ist größer als 5(c+ϕ/2) – Abb. 9b

Die Berechnung des maximalen Rissabstands s_r,max für den Fall, dass die Achsabstände der Bewehrung den Wert 5(c+ϕ/2) nicht überschreiten, ist wie folgt definiert:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   Betondeckungswert in mm. Da der Betondeckungswert für die Randbewehrung zu den horizontalen und vertikalen Rändern unterschiedlich sein kann, wird empfohlen, den maximalen Betondeckungswert der betrachteten Bewehrung anzusetzen.

ϕ     .   .   .   .   Durchmesser der verbundenen Bewehrung. Bei unterschiedlichen Bewehrungsdurchmessern ist der äquivalente Durchmesser gemäß EN 1992-1-1 Gleichung 7.12 zu berechnen.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . ist ein Koeffizient, der die Verbundeigenschaften der verbundenen Bewehrung berücksichtigt

• k₁ = 0,8 für Rippenstäbe
• k₁ = 1,6 für Stäbe mit effektiv glatter Oberfläche (z. B. Spannglieder)

k₂ .   .   .   . ist ein Koeffizient, der die Dehnungsverteilung berücksichtigt

• k₂ = 1,0 für Biegung
• k₂ = 0,5 für reinen Zug

Für Fälle mit außermittiger Zugbeanspruchung oder für lokale Bereiche sollten Zwischenwerte von k₂ verwendet werden, die aus folgender Beziehung berechnet werden können:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  Koeffizient, der die Länge des Bereichs nahe eines Risses ausdrückt, in dem der Verbund zwischen Beton und Bewehrung unterbrochen ist. Der empfohlene Grundwert des EC k₃ = 3,4 kann durch den Nationalen Anhang geändert werden. 

k₄      .   .   .   .   Koeffizient, der das Verhältnis zwischen Verbund- und Zugfestigkeit des Betons ausdrückt. Der empfohlene Grundwert des EC k4 = 0,425 kann durch den Nationalen Anhang angepasst werden.

Die Berechnung des maximalen Rissabstands s_r,max für den Fall, dass die Achsabstände der Bewehrung den Wert 5(c+ϕ/2) überschreiten, ist wie folgt definiert:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Die maximalen Rissabstandswerte gemäß der Gleichung

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

sollten stets größer sein als die durch die Gleichung

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

ermittelten Werte; andernfalls wird empfohlen, den größeren Abstand aus den obigen Gleichungen anzusetzen. Die Gleichung für die Dehnung im Beton/in der Bewehrung wird für den Fall großer Achsabstände der Bewehrung nicht geändert. In Bereichen mit kontrollierten Rissbreiten sollte der Achsabstand der einzelnen Bewehrungsstäbe nicht größer als 5(c+ϕ/2) sein.

In RCS implementierte Rissbreitenberechnung

Bestimmung der effektiven Fläche A_c,eff

Da es nicht ohne Weiteres bestimmbar ist, welche Bewehrung als längsverlaufende risswiderstehende Bewehrung betrachtet werden kann, wird A_c,eff mithilfe des folgenden iterativen Verfahrens bestimmt.

• Aus der gesamten auf Zug beanspruchten Bewehrung wird der Zugkraftmittelpunkt C_g,s,1 bestimmt. Die statische Höhe der Bewehrung d ist der Abstand zwischen C_g,s und der am stärksten gedrückten Betonrandfaser, berechnet in Richtung des resultierenden Biegemoments. Gleichzeitig werden die Lage der Nulllinie und die Höhe der Druckzone x für den gerissenen Querschnitt bestimmt. Damit kann die effektive Höhe h_c,eff bestimmt werden:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Durch Ausschluss aller Bewehrungsstäbe, die außerhalb von A_c,eff,1 liegen, wird der neue Schwerpunkt der Bewehrung C_g,s,2 bestimmt, zusammen mit der neuen statischen Höhe der Bewehrung d; die effektive Höhe h_c,eff wird auf dieselbe Weise wie im vorherigen Schritt bestimmt, jedoch mit geänderten Eingangswerten.

Es wird erneut überprüft, ob die gesamte betrachtete zugbeanspruchte Bewehrung in A_c,eff,2 liegt. Ist diese Bedingung erfüllt, kann die Iteration abgebrochen werden, und die Werte h_c,eff,2, A_c,eff,2 und A_s,eff,2 werden als Ergebniswerte in IDEA StatiCa RCS angezeigt.

Mögliche Fälle der Rissbreitenberechnung

Bei der Berechnung von Rissbreiten können grundsätzlich drei Fälle auftreten:

• Die Zugbewehrung liegt im Bereich A_c,eff, wobei der Achsabstand der einzelnen Bewehrungsstäbe kleiner als 5(c+ϕ/2) ist. Dann werden für die Berechnung folgende Definitionen verwendet:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Die Zugbewehrung liegt in A_c,eff, wobei der Achsabstand der einzelnen Bewehrungsstäbe den Abstand 5(c+ϕ/2) überschreitet. Dann werden für die Berechnung folgende Definitionen verwendet:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Die Zugbewehrung liegt nicht in A_c,eff (dies kann beispielsweise durch eine große Betondeckung verursacht werden). 

In diesem Fall wäre es nicht möglich, die Rissbreite zu berechnen. Daher wird die Berechnung der effektiven Höhe h_c,eff wie folgt geändert:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Gleichzeitig wird folgende Nichtkonformität angezeigt:

Die effektive Zugbetonfläche um die Bewehrung oder Spannglieder mit der Tiefe h_c,eff, wobei h_c,eff der kleinere Wert aus 2,5(h – d) oder h/2 ist. Unter Berücksichtigung des Wertes (h – x)/3 liegt die Bewehrung außerhalb der effektiven Zugbetonfläche, sodass eine Berechnung der Rissbreite gemäß Abschnitt 7.3.4 nicht möglich wäre.