Fisuras

La formación de fisuras

Una característica de las estructuras de hormigón armado sometidas a flexión o tracción es la aparición de fisuras en los puntos donde la tensión de tracción en el hormigón supera la resistencia a tracción del hormigón. Para la durabilidad de la estructura y también para la estética de la misma, es importante garantizar que las fisuras resultantes sean lo más pequeñas posible. El cálculo de las anchuras de fisura, así como las anchuras máximas permitidas para las diferentes clases de exposición, se recogen en EN 1992-1-1, Capítulo 7.3.

En el primer paso del cálculo, se determina si la sección transversal está fisurada o no. La anchura de fisura en sí siempre se calcula a partir de la combinación de carga cuasipermanente o frecuente (según el anejo nacional), pero la formación de fisuras debe comprobarse a partir de todas las combinaciones ELS especificadas. Así, pueden darse dos casos:

• La tensión de tracción máxima en las fibras de hormigón no superará la resistencia a tracción del hormigón para ninguna combinación de carga (cuasipermanente M_E,qp, frecuente M_E,fr, o característica M_E,k), y por tanto consideramos la sección transversal sin fisuras.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Si se desarrollan fisuras para alguna de las combinaciones (cuasipermanente, frecuente o característica), es decir, el momento flector desarrollado a partir de la combinación de carga considerada es mayor que el momento crítico M_cr, la sección transversal está fisurada para esa combinación de carga, y deben calcularse las características de la sección transversal fisurada y la anchura de fisura.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   el momento flector obtenido de alguna combinación de carga ELS. Por tanto, puede ser M_E,qp, M_E,fr, o M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  la resistencia a tracción del hormigón en el instante considerado. Si el hormigón tiene más de 28 días, se considera una resistencia igual a f_ctm.

Cálculo de la anchura de fisura

En un elemento cargado a flexión, la formación de fisuras se divide en 2 fenómenos:

• Fase de formación de fisuras (etapa número 2 en la Fig. 1)
• Desarrollo estabilizado de fisuras (etapa número 3 en la Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Etapas del comportamiento de la sección transversal de hormigón armado durante la carga}}}\]

Etapa de desarrollo de fisuras

Esta es la parte inicial del proceso cuando las fisuras individuales aún van apareciendo gradualmente hasta que toda la parte traccionada del elemento está afectada por fisuras aproximadamente distribuidas de forma uniforme a lo largo de la longitud del elemento. La primera fisura se forma cuando la fuerza en la banda traccionada supera el valor de la fuerza crítica N_r (fuerza de tracción crítica, véase más adelante), y se desarrollan más fisuras hasta un nivel de carga que ejerce una fuerza en la banda traccionada igual a aproximadamente 1,3N_cr (fase número 2 en la Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Deformaciones del hormigón y la armadura en el momento de la primera fisura}}}\]

Las fisuras que se desarrollan se dividen en 2 tipos: fisuras primarias y secundarias. Las fisuras primarias se producen en las fibras traccionadas cuando se alcanza la resistencia a tracción efectiva del hormigón (f_ct,eff). Las fisuras primarias representan el primer patrón de fisuras (Fig. 2). A continuación, se forman fisuras secundarias más cortas entre las fisuras primarias (Fig. 3). Para tensiones correspondientes a aproximadamente 1,2 a 1,5 σ_sr (normalmente se considera un valor medio de 1,3 σ_sr, donde σ_sr es la tensión en la armadura en la formación de fisuras primarias en la zona traccionada del hormigón), el desarrollo de fisuras secundarias también se completa.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Fisuras primarias y secundarias}}}\]

La anchura de fisura en la etapa de formación de fisuras puede calcularse de la siguiente manera:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Características de la longitud de transmisión para la primera fisura}}}\]

Etapa de fisuración estabilizada

Tras superar aproximadamente 1,3 veces la fuerza crítica en la zona traccionada, no se forman nuevas fisuras, el número de fisuras en el elemento se estabiliza, y solo la anchura de las fisuras existentes aumenta con la carga adicional (etapa número 3 en la Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Deformaciones del hormigón y la armadura en la etapa de fisuración estabilizada}}}\]

La anchura de fisura durante el desarrollo estable puede calcularse como:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Fisuración estabilizada}}}\]

Fuerza de tracción crítica

El cálculo se basa en el Modelo de Banda Traccionada (TCM). La consideración básica es calcular la capacidad última de una banda de hormigón armado formada por una barra de armadura de área A_s,eff rodeada por un área efectiva de hormigón traccionado A_c,eff, que es capaz de resistir la tensión de tracción hasta que se supera la resistencia a tracción f_ct,eff (normalmente se considera f_ctm). Asumiendo una adherencia perfecta entre la armadura y el hormigón, podemos considerar que hasta que se produce la primera fisura, la deformación de la armadura y del hormigón circundante es idéntica. Entonces la fuerza máxima en la banda traccionada justo antes de la primera fisura N_r puede determinarse:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Introduciendo la sustitución

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

obtenemos:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Justo después de la formación de la primera fisura, la fuerza total N_r es transferida por la armadura y, por tanto, la tensión en la armadura que atraviesa la fisura recién formada puede calcularse como:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Cálculo de la anchura de fisura según EC 1992-1-1

La siguiente ecuación se utiliza para calcular la anchura de las fisuras en elementos de hormigón armado:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   separación máxima de fisuras

ε_sm  .   .   .   .   la deformación media de la armadura a partir de la combinación de carga, incluyendo los efectos de la rigidización a tracción.

ε_cm  .   .   .   .   deformación media del hormigón entre fisuras

Cálculo de la diferencia de deformaciones

La diferencia en la deformación de la armadura y el hormigón entre fisuras puede obtenerse a partir de la ecuación:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   la tensión en la armadura en la fisura a partir de la combinación de carga considerada

k_t      .   .   .   .   un coeficiente empírico que tiene en cuenta la deformación media, dependiente de la duración de la carga. Puede tomar valores de 0,6 para el análisis a corto plazo. Para el análisis a largo plazo, se tiene en cuenta la reducción de la rigidez del compuesto a aproximadamente el 70%, por lo que su valor es 0,4, que incluye la tasa de degradación de la cohesión entre la armadura y el hormigón con el tiempo.

α_e     .   .   .   . la relación efectiva de módulos elásticos

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   nivel efectivo de armadura

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   el área efectiva del hormigón en tracción que rodea la armadura (determinación de A_c,eff a continuación)

A_s,_eff .   .   .   .   el área de la armadura adherida situada en el área de A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   es el área de los tendones pretensados o postensados dentro de A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   es la relación ajustada de resistencia de adherencia, teniendo en cuenta los diferentes diámetros del acero de pretensado y de la armadura:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . la relación de resistencia de adherencia del acero de pretensado y de la armadura (Tabla 6.2)

ϕ_s   .   .  diámetro mayor de barra de la armadura

ϕ_p   .   .  el diámetro o diámetro equivalente del acero de pretensado

Para haces, A_p es el área de la armadura en el tendón

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Para torones individuales de siete alambres donde φ_wire es el diámetro del alambre

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Para torones individuales de tres alambres donde φ_wire es el diámetro del alambre

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Si solo se utiliza armadura de pretensado para evitar la fisuración, entonces debe considerarse lo siguiente.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

En elementos pretensados, no se requiere un área mínima de armadura adherida siempre que, bajo la combinación característica de carga y el valor característico de la fuerza de pretensado, la tensión de tracción en cualquier fibra no sea mayor que la resistencia a tracción del hormigón, f_ct,eff. (véase EN 1992-1-1 cap. 7.3.2 para más detalles)

El área efectiva del hormigón en tracción

Un paso importante pero a la vez el más complicado del cálculo es determinar el área efectiva del hormigón traccionado que rodea la armadura. Tanto el Eurocódigo como el Model Code consideran modos simples de carga, donde el elemento de hormigón armado está cargado por flexión uniaxial o tracción. El valor de la altura efectiva se determina como:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determinación de Ac,eff para elementos en flexión (izquierda) y elementos en tracción (derecha)}}}\]

Normalmente, el valor h_c,eff = 2,5(h-d) es el crítico. Para elementos traccionados, el límite superior es h/2, mientras que para elementos en flexión es (h-x)/3. Sin embargo, el área A_c,eff también está limitada por el ancho determinado a partir de la ecuación 5(c+ϕ/2). Si la separación de las armaduras es mayor que 5(c+ϕ/2), se considera el área efectiva del hormigón traccionado de ancho 5(c+ϕ/2) para las barras individuales.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determinación de Ac,eff en función de la separación de la armadura}}}\]

Distancia máxima entre fisuras

Al calcular la distancia máxima entre fisuras s_r,max, pueden darse dos casos:

• La distancia axial de la armadura adherida no supera una distancia de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• La distancia axial de las armaduras adheridas es mayor que 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

El cálculo de la distancia máxima entre fisuras s_r,max para el caso en que las distancias axiales de las armaduras no superen el valor 5(c+ϕ/2) se define de la siguiente manera:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   valor del recubrimiento de hormigón en mm. Dado que el valor del recubrimiento puede ser diferente para la armadura de borde tanto en los bordes horizontales como verticales, se recomienda considerar el valor máximo de recubrimiento encontrado para la armadura considerada.

ϕ     .   .   .   .   diámetro de la armadura adherida. En el caso de diferentes diámetros de armadura, el diámetro equivalente se calculará de acuerdo con la Ecuación 7.12 de EN 1992-1-1.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . es un coeficiente que tiene en cuenta las propiedades de adherencia de la armadura adherida

• k₁ = 0,8 para barras de alta adherencia
• k₁ = 1,6 para barras con superficie efectivamente lisa (p. ej. tendones de pretensado)

k₂ .   .   .   . es un coeficiente que tiene en cuenta la distribución de deformaciones

• k₂ = 1,0 para flexión
• k₂ = 0,5 para tracción pura

Para casos de tracción excéntrica o para áreas locales, deben utilizarse valores intermedios de k₂ que pueden calcularse a partir de la relación:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coeficiente que expresa la longitud del área próxima a una fisura donde se rompe la adherencia entre el hormigón y la armadura. El valor recomendado del EC básico k₃ = 3,4 puede ser modificado por el Anejo Nacional. 

k₄      .   .   .   .   coeficiente que expresa la relación entre la adherencia y la resistencia a tracción del hormigón. El valor recomendado del EC básico k4 = 0,425 puede ser ajustado por el Anejo Nacional.

El cálculo de la distancia máxima entre fisuras s_r,max para el caso en que las distancias axiales de las armaduras superen el valor 5(c+ϕ/2) se define de la siguiente manera:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Los valores de la distancia máxima entre fisuras según la ecuación

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

siempre deben ser mayores que los valores determinados por la ecuación

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

de lo contrario, se recomienda considerar la mayor distancia obtenida de las ecuaciones anteriores. La ecuación para la deformación en el hormigón/armadura no se modifica para el caso de la gran distancia axial de la armadura. En zonas con anchuras de fisura controladas, la distancia axial de las armaduras individuales no debe ser mayor que 5(c+ϕ/2).

Cálculo de la anchura de fisura implementado en RCS

Determinación del área efectiva A_c,eff

Dado que no es tan sencillo determinar qué armadura puede considerarse como armadura longitudinal resistente a la fisuración, A_c,eff se determina mediante el siguiente proceso iterativo.

• De toda la armadura que actúa en tracción, se determina el centro de la fuerza de tracción C_g,s,1. El canto útil de la armadura d es la distancia entre C_g,s y la fibra de hormigón más comprimida calculada en la dirección del momento flector resultante. Al mismo tiempo, se determinan la posición del eje neutro y la altura del área comprimida x para la sección transversal fisurada. Esto permite determinar la altura efectiva h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Excluyendo toda la armadura que se encuentra fuera de A_c,eff,1, se determina el nuevo centro de la armadura C_g,s,2, junto con el nuevo canto útil de la armadura d; la altura efectiva h_c,eff se determina de la misma manera que en el paso anterior, solo con valores de entrada modificados.

De nuevo, se comprueba que toda la armadura traccionada considerada se encuentra en A_c,eff,2. Si se cumple esta condición, la iteración puede darse por terminada y los valores de h_c,eff,2, A_c,eff,2 y A_s,eff,2 se muestran como valores resultantes en IDEA StatiCa RCS.

Posibles casos de cálculo de la anchura de fisura

En general, pueden darse tres casos al calcular las anchuras de fisura:

• La armadura traccionada se encuentra en la región A_c,eff, con la distancia axial de las armaduras individuales siendo menor que 5(c+ϕ/2). Entonces se utilizan las siguientes definiciones para el cálculo:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• La armadura traccionada se encuentra en A_c,eff, con la distancia axial de las armaduras individuales superando la distancia 5(c+ϕ/2). Entonces se utilizan las siguientes definiciones para el cálculo:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• La armadura traccionada no se encuentra en A_c,eff (esto puede deberse, por ejemplo, a un recubrimiento excesivo). 

En este caso no sería posible calcular la anchura de las fisuras. Por tanto, el cálculo de la altura efectiva h_c,eff se modifica de la siguiente manera:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Al mismo tiempo, se muestra la siguiente no conformidad:

El área efectiva del hormigón en tracción que rodea la armadura o los tendones de pretensado de canto h_c,eff, donde h_c,eff es el menor de 2,5(h – d) o h/2. Considerando el valor como (h – x)/3, la armadura queda fuera del área efectiva del hormigón en tracción, y por tanto no sería posible calcular la anchura de fisura según el apartado 7.3.4.