Fisuras

La formación de fisuras

Una característica de las estructuras de hormigón armado sometidas a flexión o tracción es la aparición de fisuras en los puntos donde la tensión de tracción en el hormigón supera la resistencia a tracción del hormigón. Para la durabilidad de la estructura y también para la estética de la misma, es importante garantizar que las fisuras resultantes sean lo más pequeñas posible. El cálculo de las anchuras de fisura, así como las anchuras máximas permitidas para las diferentes clases de exposición, se recogen en EN 1992-1-1, Capítulo 7.3.

En el primer paso del cálculo, se determina si la sección transversal está fisurada o no. La anchura de fisura en sí siempre se calcula a partir de la combinación de carga cuasipermanente o frecuente (según el anejo nacional), pero la formación de fisuras debe verificarse a partir de todas las combinaciones ELS especificadas. Por tanto, pueden darse dos casos:

• La tensión de tracción máxima en las fibras de hormigón no superará la resistencia a tracción del hormigón para ninguna combinación de carga (cuasipermanente M_E,qp, frecuente M_E,fr, o característica M_E,k), y por tanto se considera la sección transversal sin fisuras.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Si se desarrollan fisuras para alguna de las combinaciones (cuasipermanente, frecuente o característica), es decir, el momento flector desarrollado a partir de la combinación de carga considerada es mayor que el momento crítico M_cr, la sección transversal está fisurada para esa combinación de carga, y deben calcularse las características de la sección transversal fisurada y la anchura de fisura.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   el momento flector obtenido de alguna combinación de carga ELS. Por tanto, puede ser M_E,qp, M_E,fr, o M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  la resistencia a tracción del hormigón en el instante considerado. Si el hormigón tiene más de 28 días, se considera una resistencia igual a f_ctm.

Cálculo de la anchura de fisura

En un elemento cargado a flexión, la formación de fisuras se divide en 2 fenómenos:

• Fase de formación de fisuras (etapa número 2 en la Fig. 1)
• Desarrollo estabilizado de fisuras (etapa número 3 en la Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Etapa de desarrollo de fisuras

Esta es la parte inicial del proceso en la que las fisuras individuales siguen apareciendo gradualmente hasta que toda la zona traccionada del elemento está afectada por fisuras aproximadamente distribuidas de forma uniforme a lo largo de la longitud del elemento. La primera fisura se forma cuando la fuerza en la banda traccionada supera el valor de la fuerza crítica N_r (fuerza de tracción crítica, véase más adelante), y se desarrollan nuevas fisuras hasta un nivel de carga que ejerce una fuerza en la banda traccionada igual a aproximadamente 1,3N_cr (fase número 2 en la Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Las fisuras que se desarrollan se dividen en 2 tipos: fisuras primarias y secundarias. Las fisuras primarias se producen en las fibras traccionadas cuando se alcanza la resistencia a tracción efectiva del hormigón (f_ct,eff). Las fisuras primarias representan el primer patrón de fisuras (Fig. 2). A continuación, se forman fisuras secundarias más cortas entre las fisuras primarias (Fig. 3). Para tensiones correspondientes a aproximadamente 1,2 a 1,5 σ_sr (normalmente se considera un valor medio de 1,3 σ_sr, donde σ_sr es la tensión en la armadura en el momento de la formación de las fisuras primarias en la zona traccionada del hormigón), el desarrollo de las fisuras secundarias también queda completado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

La anchura de fisura en la etapa de formación de fisuras puede calcularse de la siguiente manera:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Etapa de fisuración estabilizada

Tras superar aproximadamente 1,3 veces la fuerza crítica en la zona traccionada, no se forman nuevas fisuras, el número de fisuras en el elemento se estabiliza, y solo la anchura de las fisuras existentes aumenta con la carga adicional (etapa número 3 en la Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

La anchura de fisura durante el desarrollo estable puede calcularse como:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Fuerza de tracción crítica

El cálculo se basa en el Modelo de Banda Traccionada (TCM). La consideración básica es calcular la capacidad última de una banda de hormigón armado formada por una barra de armadura de área A_s,eff rodeada por un área efectiva de hormigón traccionado A_c,eff, que es capaz de resistir la tensión de tracción hasta que se supera la resistencia a tracción f_ct,eff (normalmente se considera f_ctm). Asumiendo una adherencia perfecta entre la armadura y el hormigón, se puede considerar que hasta que se produce la primera fisura, la deformación de la armadura y del hormigón circundante es idéntica. Entonces la fuerza máxima en la banda traccionada justo antes de la primera fisura N_r puede determinarse:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Introduciendo la sustitución

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

se obtiene:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Justo después de la formación de la primera fisura, la fuerza total N_r es transferida por la armadura y, por tanto, la tensión en la armadura que atraviesa la fisura recién formada puede calcularse como:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Cálculo de la anchura de fisura según EC 1992-1-1

La siguiente ecuación se utiliza para calcular la anchura de las fisuras en elementos de hormigón armado:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   separación máxima de fisuras

ε_sm  .   .   .   .   la deformación media de la armadura a partir de la combinación de carga, incluyendo los efectos de la rigidización a tracción.

ε_cm  .   .   .   .   deformación media del hormigón entre fisuras

Cálculo de la diferencia de deformaciones

La diferencia en la deformación de la armadura y el hormigón entre fisuras puede obtenerse a partir de la ecuación:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   la tensión en la armadura en la fisura a partir de la combinación de carga considerada

k_t      .   .   .   .   un coeficiente empírico que tiene en cuenta la deformación media, dependiente de la duración de la carga. Puede tomar valores de 0,6 para análisis a corto plazo. Para el análisis a largo plazo, se tiene en cuenta la reducción de la rigidez del elemento compuesto a aproximadamente el 70%, por lo que su valor es 0,4, lo que incluye la tasa de degradación de la cohesión entre la armadura y el hormigón con el tiempo.

α_e     .   .   .   . la relación efectiva de módulos elásticos

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   cuantía efectiva de armadura

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   el área efectiva del hormigón traccionado que rodea la armadura (determinación de A_c,eff más adelante)

A_s,_eff .   .   .   .   el área de armadura adherida situada en la zona de A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   es el área de tendones pretesados o postesados dentro de A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   es la relación ajustada de resistencia de adherencia, teniendo en cuenta los diferentes diámetros del acero de pretensado y del acero de armadura:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . la relación de resistencia de adherencia del acero de pretensado y del acero de armadura (Tabla 6.2)

ϕ_s   .   .  diámetro mayor de barra de acero de armadura

ϕ_p   .   .  el diámetro o diámetro equivalente del acero de pretensado

Para cordones en haz, A_p es el área de armadura en el tendón

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Para torones individuales de siete alambres donde φ_wire es el diámetro del alambre

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Para torones individuales de tres alambres donde φ_wire es el diámetro del alambre

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Si solo se utiliza armadura de pretensado para evitar la fisuración, entonces debe considerarse lo siguiente.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

En elementos pretensados, no se requiere un área mínima de armadura adherida siempre que, bajo la combinación característica de carga y el valor característico de la fuerza de pretensado, la tensión de tracción en cualquier fibra no sea mayor que la resistencia a tracción del hormigón, f_ct,eff. (véase EN 1992-1-1 ap. 7.3.2 para más detalles)

El área efectiva del hormigón traccionado

Un paso importante pero a la vez el más complejo del cálculo es determinar el área efectiva del hormigón traccionado que rodea la armadura. Tanto el Eurocódigo como el Model Code consideran modos simples de carga, donde el elemento de hormigón armado está cargado por flexión uniaxial o tracción. El valor de la altura efectiva se determina como:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Normalmente, el valor h_c,eff = 2,5(h-d) es el crítico. Para elementos traccionados, el límite superior es h/2, mientras que para elementos flectados es (h-x)/3. Sin embargo, el área A_c,eff también está limitada por el ancho determinado a partir de la ecuación 5(c+ϕ/2). Si la separación entre armaduras es mayor que 5(c+ϕ/2), se considera el área efectiva del hormigón traccionado de ancho 5(c+ϕ/2) para las barras individuales.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Separación máxima de fisuras

Al calcular la separación máxima de fisuras s_r,max, pueden darse dos casos:

• La distancia axial de la armadura adherida no supera una distancia de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• La distancia axial de las armaduras adheridas es mayor que 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

El cálculo de la separación máxima de fisuras s_r,max para el caso en que las distancias axiales de las armaduras no superen el valor 5(c+ϕ/2) se define de la siguiente manera:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   valor del recubrimiento de hormigón en mm. Dado que el valor del recubrimiento puede ser diferente para la armadura de borde tanto en los bordes horizontales como verticales, se recomienda considerar el valor máximo de recubrimiento encontrado para la armadura considerada.

ϕ     .   .   .   .   diámetro de la armadura adherida. En el caso de diferentes diámetros de armadura, el diámetro equivalente se calculará de acuerdo con la Ecuación 7.12 de EN 1992-1-1.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . es un coeficiente que tiene en cuenta las propiedades de adherencia de la armadura adherida

• k₁ = 0,8 para barras de alta adherencia
• k₁ = 1,6 para barras con superficie efectivamente lisa (p. ej. tendones de pretensado)

k₂ .   .   .   . es un coeficiente que tiene en cuenta la distribución de deformaciones

• k₂ = 1,0 para flexión
• k₂ = 0,5 para tracción pura

Para casos de tracción excéntrica o para zonas locales, deben utilizarse valores intermedios de k₂, que pueden calcularse a partir de la relación:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coeficiente que expresa la longitud de la zona próxima a una fisura donde se ha roto la adherencia entre el hormigón y la armadura. El valor recomendado del EC básico k₃ = 3,4 puede ser modificado por el Anejo Nacional. 

k₄      .   .   .   .   coeficiente que expresa la relación entre la adherencia y la resistencia a tracción del hormigón. El valor recomendado del EC básico k4 = 0,425 puede ser ajustado por el Anejo Nacional.

El cálculo de la separación máxima de fisuras s_r,max para el caso en que las distancias axiales de las armaduras superen el valor 5(c+ϕ/2) se define de la siguiente manera:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Los valores de separación máxima de fisuras según la ecuación

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

siempre deben ser mayores que los valores determinados por la ecuación

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

en caso contrario, se recomienda considerar la mayor distancia obtenida de las ecuaciones anteriores. La ecuación para la deformación en el hormigón/armadura no se modifica para el caso de gran distancia axial entre armaduras. En zonas con anchuras de fisura controladas, la distancia axial entre armaduras individuales no debe ser mayor que 5(c+ϕ/2).

Cálculo de la anchura de fisura implementado en RCS

Determinación del área efectiva A_c,eff

Dado que no es tan sencillo determinar qué armadura puede considerarse como armadura longitudinal resistente a la fisuración, A_c,eff se determina mediante el siguiente proceso iterativo.

• De toda la armadura que trabaja a tracción, se determina el centro de la fuerza de tracción C_g,s,1. El canto útil de la armadura d es la distancia entre C_g,s y la fibra de hormigón más comprimida, calculada en la dirección del momento flector resultante. Al mismo tiempo, se determinan la posición del eje neutro y la altura de la zona comprimida x para la sección transversal fisurada. Esto permite determinar la altura efectiva h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Excluyendo toda la armadura que queda fuera de A_c,eff,1, se determina el nuevo centro de la armadura C_g,s,2, junto con el nuevo canto útil de la armadura d; la altura efectiva h_c,eff se determina de la misma manera que en el paso anterior, solo con valores de entrada modificados.

De nuevo, se comprueba que toda la armadura traccionada considerada se encuentra en A_c,eff,2. Si se cumple esta condición, la iteración puede darse por terminada y los valores de h_c,eff,2, A_c,eff,2 y A_s,eff,2 se muestran como valores resultantes en IDEA StatiCa RCS.

Posibles casos de cálculo de la anchura de fisura

En general, pueden darse tres casos al calcular las anchuras de fisura:

• La armadura traccionada se encuentra en la región A_c,eff, con la distancia axial entre armaduras individuales inferior a 5(c+ϕ/2). En ese caso se utilizan las siguientes definiciones para el cálculo:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• La armadura traccionada se encuentra en A_c,eff, con la distancia axial entre armaduras individuales superior a la distancia 5(c+ϕ/2). En ese caso se utilizan las siguientes definiciones para el cálculo:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• La armadura traccionada no se encuentra en A_c,eff (esto puede deberse, por ejemplo, a un recubrimiento excesivo). 

En este caso no sería posible calcular la anchura de las fisuras. Por tanto, el cálculo de la altura efectiva h_c,eff se modifica de la siguiente manera:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Al mismo tiempo, se muestra la siguiente no conformidad:

El área efectiva del hormigón traccionado que rodea la armadura o los tendones de pretensado de canto h_c,eff, donde h_c,eff es el menor de 2,5(h – d) o h/2. Considerando el valor como (h – x)/3, la armadura queda fuera del área efectiva del hormigón traccionado y, por tanto, no sería posible calcular la anchura de fisura según el apartado 7.3.4.