Scheuren

De vorming van scheuren

Een kenmerkend verschijnsel van gewapend betonconstructies onder buiging of trekspanning is het optreden van scheurvorming op plaatsen waar de trekspanning in het beton de treksterkte van het beton overschrijdt. Voor de duurzaamheid van de constructie en ook voor de esthetiek van de constructie is het belangrijk ervoor te zorgen dat de gevormde scheuren zo klein mogelijk zijn. De berekening van de scheurwijdten alsmede de maximaal toegestane wijdten voor de verschillende omgevingsklassen zijn opgenomen in EN 1992-1-1, Hoofdstuk 7.3.

In de eerste stap van de berekening wordt bepaald of de doorsnede gescheurd is of niet. De scheurwijdte zelf wordt altijd berekend uit de quasi-permanente of frequente belastingscombinatie (afhankelijk van de nationale bijlage), maar de scheurvorming moet worden gecontroleerd vanuit alle opgegeven BGT-combinaties. Er kunnen zich dus twee gevallen voordoen:

• De maximale trekspanning in de betonvezels overschrijdt de treksterkte van het beton niet voor enige belastingscombinatie (quasi-permanent M_E,qp, frequent M_E,fr, of karakteristiek M_E,k), en derhalve beschouwen we de doorsnede zonder scheuren.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Als er scheuren ontstaan voor een van de combinaties (quasi-permanent, frequent of karakteristiek), d.w.z. het buigend moment dat ontstaat uit de beschouwde belastingscombinatie groter is dan het kritieke moment M_cr, is de doorsnede gescheurd vanuit die belastingscombinatie en moeten de eigenschappen van de gescheurde doorsnede en de scheurwijdte worden berekend.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   het buigend moment verkregen uit een BGT-belastingscombinatie. Dit kan dus M_E,qp, M_E,fr, of M_E,k zijn. 

f_ct,ef   .   .  de treksterkte van het beton op het beschouwde tijdstip. Als het beton ouder is dan 28 dagen, wordt een sterkte gelijk aan f_ctm aangehouden.

Berekening van de scheurwijdte

Bij een op buiging belast element wordt de scheurvorming onderverdeeld in 2 verschijnselen:

• Scheurvormingsfase (fase nummer 2 in Fig. 1)
• Gestabiliseerde scheurontwikkeling (fase nummer 3 in Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Scheurontwikkelingsfase

Dit is het beginstadium van het proces waarbij afzonderlijke scheuren nog geleidelijk verschijnen totdat het gehele trekgedeelte van de staaf wordt beïnvloed door scheuren die min of meer gelijkmatig verdeeld zijn over de lengte van de staaf. De eerste scheur ontstaat wanneer de kracht in de getrokken strook de waarde van de kritieke kracht N_r (kritieke trek kracht, zie hieronder) overschrijdt, en verdere scheuren ontwikkelen zich tot een belastingsniveau waarbij de kracht in de getrokken strook gelijk is aan ongeveer 1,3N_cr (fase nummer 2 in Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

De zich ontwikkelende scheuren worden onderverdeeld in 2 typen - primaire en secundaire scheuren. Primaire scheuren ontstaan in de trekvezel wanneer de effectieve treksterkte van het beton (f_ct,eff) wordt bereikt. Primaire scheuren vormen het eerste scheurpatroon (Fig. 2). Kortere secundaire scheuren worden vervolgens gevormd tussen de primaire scheuren (Fig. 3). Bij spanningen die overeenkomen met ongeveer 1,2 tot 1,5 σ_sr (gewoonlijk wordt een gemiddelde waarde van 1,3 σ_sr aangehouden, waarbij σ_sr de spanning in de wapening is bij de vorming van primaire scheuren in de trekzone van het beton), is ook de ontwikkeling van secundaire scheuren voltooid.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

De scheurwijdte in de scheurvormingsfase kan als volgt worden berekend:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Gestabiliseerde scheurontwikkelingsfase

Na het overschrijden van ongeveer 1,3 maal de kritieke kracht in de trekzone worden er geen nieuwe scheuren gevormd, het aantal scheuren in het element is gestabiliseerd en alleen de wijdte van de bestaande scheuren neemt toe bij verdere belasting (fase nummer 3 in Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

De scheurwijdte tijdens gestabiliseerde ontwikkeling kan worden berekend als:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Kritieke trek kracht

De berekening is gebaseerd op het Tension Chord Model (TCM). De basisoverweging is het berekenen van de uiterste capaciteit van een gewapend betonstrook gevormd door een wapeningsstaf met oppervlak A_s,eff omgeven door een effectief oppervlak van getrokken beton A_c,eff, dat in staat is de trekspanning te weerstaan totdat de treksterkte f_ct,eff wordt overschreden (normaal gesproken wordt f_ctm aangehouden). Uitgaande van een perfecte aanhechting tussen de wapening en het beton, kan worden aangenomen dat tot het optreden van de eerste scheur de vervorming van de wapening en het omringende beton identiek is. De maximale kracht in de trekstrook vlak voor de eerste scheur N_r kan dan worden bepaald:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Door de substitutie in te voeren

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

verkrijgen we:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Direct na de vorming van de eerste scheur wordt de volledige kracht N_r overgedragen door de wapening en kan de spanning in de wapening die door de zojuist gevormde scheur loopt worden berekend als:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Berekening van de scheurwijdte volgens EC 1992-1-1

De volgende vergelijking wordt gebruikt voor de berekening van de scheurwijdte van gewapend betonelementen:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maximale scheurafstand

ε_sm  .   .   .   .   de gemiddelde rek van de wapening uit de belastingscombinatie, inclusief de effecten van tension stiffening.

ε_cm  .   .   .   .   gemiddelde rek van het beton tussen de scheuren

Berekening van het rekverschil

Het verschil in rek van wapening en beton tussen scheuren kan worden verkregen uit de vergelijking:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   de spanning in de wapening in de scheur uit de beschouwde belastingscombinatie

k_t      .   .   .   .   een empirische coëfficiënt die rekening houdt met de gemiddelde rek, afhankelijk van de duur van de belasting. Voor kortdurende analyse kan een waarde van 0,6 worden aangehouden. Voor de langdurige analyse wordt de vermindering van de stijfheid van het samengestelde element tot ongeveer 70% in rekening gebracht, zodat de waarde 0,4 is, wat de mate van degradatie van de aanhechting tussen de wapening en het beton in de tijd omvat.

α_e     .   .   .   . de effectieve verhouding van elasticiteitsmoduli

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   effectieve wapeningsgraad

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   het effectieve oppervlak van het beton in trek rondom de wapening (bepaling van A_c,eff hieronder)

A_s,_eff .   .   .   .   het oppervlak van de aangehechte wapening gelegen in het gebied van A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   het oppervlak van voor- of nagerekte spanelementen binnen A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   de gecorrigeerde verhouding van hechtsterkte, rekening houdend met de verschillende diameters van voorspanstaal en wapeningsstaal:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . de verhouding van hechtsterkte van voorspanstaal en wapeningsstaal (Tabel 6.2)

ϕ_s   .   .  grootste staafdiameter van wapeningsstaal

ϕ_p   .   .  de diameter of equivalente diameter van voorspanstaal

Voor bundels is A_p het oppervlak van de wapening in het spanelement

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Voor enkelvoudige zevenwire strengen waarbij φ_wire de draaddiameter is

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Voor enkelvoudige driewire strengen waarbij φ_wire de draaddiameter is

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Als alleen voorspanwapening wordt gebruikt om scheurvorming te voorkomen, moet het volgende in aanmerking worden genomen.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Bij voorgespannen elementen is een minimaal oppervlak aan aangehechte wapening niet vereist, zolang onder de karakteristieke belastingscombinatie en de karakteristieke waarde van de voorspankracht de trekspanning in elke vezel niet groter is dan de treksterkte van het beton, f_ct,eff. (zie EN 1992-1-1 par. 7.3.2 voor meer details)

Het effectieve oppervlak van beton in trek

Een belangrijke maar tegelijkertijd de meest gecompliceerde stap van de berekening is het bepalen van het effectieve oppervlak van het getrokken beton rondom de wapening. Zowel de Eurocode als de Model Code beschouwen eenvoudige belastingsgevallen, waarbij het gewapend betonelement wordt belast door enkelvoudige buiging of trek. De waarde van de effectieve hoogte wordt bepaald als:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Gewoonlijk is de waarde h_c,eff = 2,5(h-d) maatgevend. Voor getrokken elementen is de bovengrens h/2, terwijl voor gebogen elementen dit (h-x)/3 is. Het oppervlak A_c,eff wordt echter ook begrensd door de breedte bepaald uit vergelijking 5(c+ϕ/2). Als de onderlinge afstand van de wapeningsstaven groter is dan 5(c+ϕ/2), wordt het effectieve oppervlak van het getrokken beton met breedte 5(c+ϕ/2) beschouwd voor de afzonderlijke staven.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maximale scheurafstand

Bij de berekening van de maximale scheurafstand s_r,max kunnen twee gevallen optreden:

• De hartafstand van de aangehechte wapening overschrijdt een afstand van 5(c+ϕ/2) niet - Fig. 9a
• De hartafstand van de aangehechte wapening is groter dan 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

De berekening van de maximale scheurafstand s_r,max voor het geval dat de hartafstand van de wapening de waarde 5(c+ϕ/2) niet overschrijdt is als volgt gedefinieerd:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   waarde van de betondekking in mm. Omdat de dekking kan verschillen voor de randwapening ten opzichte van zowel de horizontale als verticale randen, wordt aanbevolen de maximale gevonden dekking voor de beschouwde wapening aan te houden.

ϕ     .   .   .   .   diameter van de aangehechte wapening. Bij verschillende wapeningstaven diameters moet de equivalente diameter worden berekend overeenkomstig EN 1992-1-1 vergelijking 7.12.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . is een coëfficiënt die rekening houdt met de hechtingseigenschappen van de aangehechte wapening

• k₁ = 0,8 voor staven met hoge hechting
• k₁ = 1,6 voor staven met een effectief glad oppervlak (bijv. voorspanstrengen)

k₂ .   .   .   . is een coëfficiënt die rekening houdt met de rekverdeling

• k₂ = 1,0 voor buiging
• k₂ = 0,5 voor zuivere trek

Voor gevallen van excentrische trek of voor lokale gebieden moeten tussenliggende waarden van k₂ worden gebruikt, die kunnen worden berekend uit de relatie:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coëfficiënt die de lengte uitdrukt van het gebied nabij een scheur waar de aanhechting tussen het beton en de wapening is verbroken. De aanbevolen basiswaarde EC k₃ = 3,4 kan worden gewijzigd door de Nationale Bijlage. 

k₄      .   .   .   .   coëfficiënt die de verhouding tussen de hecht- en treksterkte van beton uitdrukt. De aanbevolen basiswaarde EC k4 = 0,425 kan worden aangepast door de Nationale Bijlage.

De berekening van de maximale scheurafstand s_r,max voor het geval dat de hartafstand van de wapening de waarde 5(c+ϕ/2) overschrijdt is als volgt gedefinieerd:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Maximale scheurafstandwaarden volgens de vergelijking

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

moeten altijd groter zijn dan de waarden bepaald door de vergelijking

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

anders wordt aanbevolen de grotere afstand uit bovenstaande vergelijkingen aan te houden. De vergelijking voor de rek in het beton/de wapening wordt niet gewijzigd voor het geval van de grote hartafstand van de wapening. In gebieden met gecontroleerde scheurwijdten mag de hartafstand van afzonderlijke wapeningsstaven niet groter zijn dan 5(c+ϕ/2).

Scheurwijdteberekening geïmplementeerd in RCS

Bepaling van het effectieve oppervlak A_c,eff

Omdat het niet eenvoudig is te bepalen welke wapening als langsvormige scheurwerende wapening kan worden beschouwd, wordt A_c,eff bepaald met behulp van het volgende iteratieve proces.

• Van alle wapening die op trek werkt, wordt het trekkrachtzwaartepunt C_g,s,1 bepaald. De effectieve hoogte van de wapening d is de afstand tussen C_g,s en de meest gedrukte betonvezel, berekend in de richting van het resulterende buigend moment. Tegelijkertijd worden de positie van de neutrale lijn en de hoogte van het gedrukte gebied x voor de gescheurde doorsnede bepaald. Dit maakt het mogelijk de effectieve hoogte h_c,eff te bepalen:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Door alle wapening die buiten A_c,eff,1 valt uit te sluiten, wordt het nieuwe zwaartepunt van de wapening C_g,s,2 bepaald, samen met de nieuwe effectieve hoogte van de wapening d; de effectieve hoogte h_c,eff wordt op dezelfde wijze bepaald als in de vorige stap, maar met gewijzigde invoerwaarden.

Opnieuw wordt gecontroleerd of alle beschouwde getrokken wapening binnen A_c,eff,2 valt. Als aan deze voorwaarde is voldaan, kan de iteratie worden beëindigd en worden de waarden van h_c,eff,2, A_c,eff,2 en A_s,eff,2 weergegeven als resulterende waarden in IDEA StatiCa RCS.

Mogelijke gevallen bij de berekening van de scheurwijdte

In het algemeen kunnen er drie gevallen optreden bij de berekening van scheurwijdten:

• De trekwapening bevindt zich in het gebied A_c,eff, waarbij de hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven kleiner is dan 5(c+ϕ/2). Dan worden de volgende definities gebruikt voor de berekening:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• De trekwapening bevindt zich in A_c,eff, waarbij de hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven de afstand 5(c+ϕ/2) overschrijdt. Dan worden de volgende definities gebruikt voor de berekening:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• De trekwapening bevindt zich niet in A_c,eff (dit kan bijvoorbeeld worden veroorzaakt door een grote betondekking). 

In dit geval zou het niet mogelijk zijn de scheurwijdte te berekenen. Daarom wordt de berekening van de effectieve hoogte h_c,eff als volgt aangepast:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Tegelijkertijd wordt de volgende non-conformiteit weergegeven:

Het effectieve betonoppervlak in trek rondom de wapening of voorspanstrengen met hoogte h_c,eff, waarbij h_c,eff de kleinste is van 2,5(h – d) of h/2. Bij beschouwing van de waarde als (h – x)/3 bevindt de wapening zich buiten het effectieve oppervlak van het beton in trek, en zou het derhalve niet mogelijk zijn de scheurwijdte te berekenen overeenkomstig paragraaf 7.3.4.