Fissures

Formation des fissures

Une caractéristique des structures en béton armé soumises à la flexion ou à la traction est l'apparition de fissures aux points où la contrainte de traction dans le béton dépasse la résistance à la traction du béton. Pour la durabilité de la structure ainsi que pour son aspect esthétique, il est important de s'assurer que les fissures résultantes soient aussi petites que possible. Le calcul des largeurs de fissures ainsi que les largeurs maximales admissibles pour les différentes classes d'exposition sont donnés dans l'EN 1992-1-1, Chapitre 7.3.

Dans la première étape du calcul, on détermine si la section transversale est fissurée ou non. La largeur de fissure elle-même est toujours calculée à partir de la combinaison de charges quasi-permanente ou fréquente (selon l'annexe nationale), mais la formation des fissures doit être vérifiée à partir de toutes les combinaisons ELS spécifiées. Ainsi, deux cas peuvent se présenter :

• La contrainte de traction maximale dans les fibres de béton ne dépassera la résistance à la traction du béton pour aucune combinaison de charges (quasi-permanente M_E,qp, fréquente M_E,fr, ou caractéristique M_E,k), et donc on considère la section transversale sans fissures.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Si des fissures se développent pour l'une des combinaisons (quasi-permanente, fréquente ou caractéristique), c'est-à-dire si le moment fléchissant développé à partir de la combinaison de charges considérée est supérieur au moment critique M_cr, la section transversale est fissurée pour cette combinaison de charges, et les caractéristiques de la section fissurée ainsi que la largeur de fissure doivent être calculées.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   le moment fléchissant obtenu à partir d'une combinaison de charges ELS. Il peut donc s'agir de M_E,qp, M_E,fr, ou M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  la résistance à la traction du béton au moment considéré. Si le béton a plus de 28 jours, on considère une résistance égale à f_ctm.

Calcul de la largeur de fissure

Dans un élément soumis à la flexion, la formation des fissures est divisée en 2 phénomènes :

• Phase de formation des fissures (étape numéro 2 sur la Fig. 1)
• Développement stabilisé des fissures (étape numéro 3 sur la Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Phase de développement des fissures

Il s'agit de la partie initiale du processus où des fissures individuelles apparaissent encore progressivement jusqu'à ce que toute la partie tendue de l'élément soit affectée par des fissures approximativement également réparties sur la longueur de l'élément. La première fissure se forme lorsque l'effort dans la bande tendue dépasse la valeur de l'effort critique N_r (effort de traction critique, voir ci-dessous), et d'autres fissures se développent jusqu'à un niveau de charge exerçant un effort dans la bande tendue égal à environ 1,3N_cr (phase numéro 2 sur la Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Les fissures qui se développent sont divisées en 2 types - fissures primaires et secondaires. Les fissures primaires apparaissent dans les fibres tendues lorsque la résistance à la traction effective du béton (f_ct,eff) est atteinte. Les fissures primaires représentent le premier schéma de fissuration (Fig. 2). Des fissures secondaires plus courtes se forment ensuite entre les fissures primaires (Fig. 3). Pour des contraintes correspondant à environ 1,2 à 1,5 σ_sr (généralement une valeur moyenne de 1,3 σ_sr est considérée, où σ_sr est la contrainte dans le ferraillage lors de la formation des fissures primaires dans la zone tendue du béton), le développement des fissures secondaires est également achevé.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

La largeur de fissure au stade de formation des fissures peut être calculée comme suit :

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Phase de fissuration stabilisée

Après avoir dépassé environ 1,3 fois l'effort critique dans la zone tendue, aucune nouvelle fissure ne se forme, le nombre de fissures dans l'élément est stabilisé, et seule la largeur des fissures existantes augmente avec le chargement supplémentaire (étape numéro 3 sur la Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

La largeur de fissure lors du développement stable peut être calculée comme suit :

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Effort de traction critique

Le calcul est basé sur le Modèle de Bielle de Traction (Tension Chord Model, TCM). La considération de base est de calculer la capacité ultime d'une bande en béton armé formée par une barre d'armature de section A_s,eff entourée d'une aire effective de béton tendu A_c,eff, capable de résister à la contrainte de traction jusqu'à ce que la résistance à la traction f_ct,eff soit dépassée (on considère normalement f_ctm). En supposant une adhérence parfaite entre le ferraillage et le béton, on peut considérer que jusqu'à l'apparition de la première fissure, la déformation du ferraillage et du béton environnant est identique. L'effort maximal dans la bande tendue juste avant la première fissure N_r peut alors être déterminé :

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

En introduisant la substitution

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

on obtient :

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Juste après la formation de la première fissure, l'effort total N_r est repris par le ferraillage et ainsi la contrainte dans le ferraillage traversant la fissure qui vient de se former peut être calculée comme suit :

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Calcul de la largeur de fissure selon l'EC 1992-1-1

L'équation suivante est utilisée pour calculer la largeur des fissures dans les éléments en béton armé :

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   espacement maximal des fissures

ε_sm  .   .   .   .   la déformation moyenne du ferraillage issue de la combinaison de charges, incluant les effets du raidissement en traction.

ε_cm  .   .   .   .   déformation moyenne du béton entre les fissures

Calcul de la différence de déformation

La différence de déformation entre le ferraillage et le béton entre les fissures peut être obtenue à partir de l'équation :

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   la contrainte dans le ferraillage au niveau de la fissure issue de la combinaison de charges considérée

k_t      .   .   .   .   un coefficient empirique tenant compte de la déformation moyenne, dépendant de la durée du chargement. Il peut prendre la valeur de 0,6 pour une analyse à court terme. Pour l'analyse à long terme, la réduction de la rigidité du composite à environ 70 % est prise en compte, sa valeur est donc de 0,4, ce qui inclut le taux de dégradation de la cohésion entre le ferraillage et le béton au cours du temps.

α_e     .   .   .   . le rapport effectif des modules d'élasticité

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   taux de ferraillage effectif

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   l'aire effective du béton tendu entourant le ferraillage (détermination de A_c,eff ci-dessous)

A_s,_eff .   .   .   .   l'aire du ferraillage adhérent situé dans la zone A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   est l'aire des câbles de précontrainte pré- ou post-tendus dans A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   est le rapport ajusté de la résistance d'adhérence, tenant compte des différents diamètres des aciers de précontrainte et d'armature :

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . le rapport de la résistance d'adhérence des aciers de précontrainte et d'armature (Tableau 6.2)

ϕ_s   .   .  le plus grand diamètre de barre du ferraillage

ϕ_p   .   .  le diamètre ou le diamètre équivalent de l'acier de précontrainte

Pour les torons groupés, A_p est l'aire du ferraillage dans le câble de précontrainte

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Pour les torons à sept fils individuels où φ_wire est le diamètre du fil

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Pour les torons à trois fils individuels où φ_wire est le diamètre du fil

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Si seul le ferraillage de précontrainte est utilisé pour prévenir la fissuration, il faut alors considérer ce qui suit.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Dans les éléments précontraints, une aire minimale de ferraillage adhérent n'est pas requise tant que, sous la combinaison de charges caractéristique et la valeur caractéristique de la force de précontrainte, la contrainte de traction dans toute fibre n'est pas supérieure à la résistance à la traction du béton, f_ct,eff. (voir EN 1992-1-1 ch. 7.3.2 pour plus de détails)

L'aire effective du béton tendu

Une étape importante mais simultanément la plus complexe du calcul est la détermination de l'aire effective du béton tendu entourant le ferraillage. L'Eurocode et le Model Code considèrent tous deux des modes de chargement simples, où l'élément en béton armé est soumis à la flexion uniaxiale ou à la traction. La valeur de la hauteur effective est déterminée comme suit :

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

En général, la valeur h_c,eff = 2,5(h-d) est déterminante. Pour les éléments tendus, la limite supérieure est h/2, tandis que pour les éléments fléchis elle est (h-x)/3. Cependant, l'aire A_c,eff est également limitée par la largeur déterminée à partir de l'équation 5(c+ϕ/2). Si l'espacement des ferraillages est supérieur à 5(c+ϕ/2), alors l'aire effective du béton tendu de largeur 5(c+ϕ/2) est considérée pour les barres individuelles.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Distance maximale entre fissures

Lors du calcul de la distance maximale entre fissures s_r,max, deux cas peuvent se présenter :

• La distance axiale du ferraillage adhérent ne dépasse pas une distance de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• La distance axiale du ferraillage adhérent est supérieure à 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

Le calcul de la distance maximale entre fissures s_r,max pour le cas où les distances axiales des ferraillages ne dépassent pas la valeur 5(c+ϕ/2) est défini comme suit :

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   valeur de l'enrobage en mm. Étant donné que la valeur de l'enrobage peut être différente pour le ferraillage de rive par rapport aux bords horizontaux et verticaux, il est recommandé de considérer la valeur maximale d'enrobage trouvée pour le ferraillage considéré.

ϕ     .   .   .   .   diamètre du ferraillage adhérent. En cas de diamètres de ferraillage différents, le diamètre équivalent doit être calculé conformément à l'équation 7.12 de l'EN 1992-1-1.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . est un coefficient qui tient compte des propriétés d'adhérence du ferraillage adhérent

• k₁ = 0,8 pour les barres à haute adhérence
• k₁ = 1,6 pour les barres à surface effectivement lisse (par exemple les câbles de précontrainte)

k₂ .   .   .   . est un coefficient qui tient compte de la distribution des déformations

• k₂ = 1,0 pour la flexion
• k₂ = 0,5 pour la traction pure

Pour les cas de traction excentrée ou pour les zones locales, des valeurs intermédiaires de k₂ doivent être utilisées, pouvant être calculées à partir de la relation :

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coefficient exprimant la longueur de la zone proche d'une fissure où l'adhérence entre le béton et le ferraillage est rompue. La valeur recommandée de base EC k₃ = 3,4 peut être modifiée par l'Annexe Nationale. 

k₄      .   .   .   .   coefficient exprimant la relation entre la résistance d'adhérence et la résistance à la traction du béton. La valeur recommandée de base EC k4 = 0,425 peut être ajustée par l'Annexe Nationale.

Le calcul de la distance maximale entre fissures s_r,max pour le cas où les distances axiales des ferraillages dépassent la valeur 5(c+ϕ/2) est défini comme suit :

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Les valeurs de la distance maximale entre fissures selon l'équation

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

doivent toujours être supérieures aux valeurs déterminées par l'équation

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

dans le cas contraire, il est recommandé de considérer la distance la plus grande obtenue à partir des équations ci-dessus. L'équation pour la déformation dans le béton/ferraillage n'est pas modifiée pour le cas de la grande distance axiale du ferraillage. Dans les zones avec des largeurs de fissures contrôlées, la distance axiale des ferraillages individuels ne doit pas être supérieure à 5(c+ϕ/2).

Calcul de la largeur de fissure implémenté dans RCS

Détermination de l'aire effective A_c,eff

Étant donné qu'il n'est pas si simple de déterminer quel ferraillage peut être considéré comme ferraillage longitudinal résistant à la fissuration, A_c,eff est déterminé en utilisant le processus itératif suivant.

• De tout le ferraillage travaillant en traction, le centre de l'effort de traction C_g,s,1 est déterminé. La hauteur utile du ferraillage d est la distance entre C_g,s et la fibre de béton la plus comprimée, calculée dans la direction du moment fléchissant résultant. En même temps, la position de l'axe neutre et la hauteur de la zone comprimée x pour la section fissurée sont déterminées. Cela permet de déterminer la hauteur effective h_c,eff :

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• En excluant tout le ferraillage situé en dehors de A_c,eff,1, le nouveau centre du ferraillage C_g,s,2 est déterminé, ainsi que la nouvelle hauteur utile du ferraillage d ; la hauteur effective h_c,eff est déterminée de la même manière qu'à l'étape précédente, uniquement avec des valeurs d'entrée modifiées.

Il est à nouveau vérifié que tout le ferraillage tendu considéré se trouve dans A_c,eff,2. Si cette condition est satisfaite, l'itération peut être arrêtée et les valeurs de h_c,eff,2, A_c,eff,2 et A_s,eff,2 sont affichées comme valeurs résultantes dans IDEA StatiCa RCS.

Cas possibles de calcul de la largeur de fissure

En général, trois cas peuvent se présenter lors du calcul des largeurs de fissures :

• Le ferraillage tendu se trouve dans la région A_c,eff, avec une distance axiale entre les ferraillages individuels inférieure à 5(c+ϕ/2). Les définitions suivantes sont alors utilisées pour le calcul :

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Le ferraillage tendu se trouve dans A_c,eff, avec une distance axiale entre les ferraillages individuels dépassant la distance 5(c+ϕ/2). Les définitions suivantes sont alors utilisées pour le calcul :

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Le ferraillage tendu ne se trouve pas dans A_c,eff (cela peut être causé, par exemple, par un enrobage important). 

Dans ce cas, il ne serait pas possible de calculer la largeur des fissures. Par conséquent, le calcul de la hauteur effective h_c,eff est modifié comme suit :

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

En même temps, la non-conformité suivante est affichée :

L'aire effective du béton tendu entourant le ferraillage ou les câbles de précontrainte de hauteur h_c,eff, où h_c,eff est la valeur minimale entre 2,5(h – d) et h/2. En considérant la valeur comme (h – x)/3, le ferraillage se trouve en dehors de l'aire effective du béton tendu, et il ne serait donc pas possible de calculer la largeur de fissure conformément à l'article 7.3.4.