비틀림

계산 가정

비틀림을 받는 철근콘크리트 단면의 거동은 균열 발생 전과 후의 두 가지 범주로 나눌 수 있습니다. 균열 발생 전에는 단면이 탄성 재료로 거동합니다. 비틀림 응력은 다음 식으로 표현할 수 있습니다.  

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

여기서 W_t는 비틀림에 대한 단면 계수입니다.

주 인장 비틀림 응력에 의한 무근 부재의 균열은 극한 한계 상태에 해당합니다. 비틀림을 받는 철근콘크리트 단면의 거동은 아래 그림과 같이 얇은 벽 폐단면을 기반으로 설명할 수 있습니다. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

계산 절차

비틀림에 대한 철근콘크리트 규정 검토 과정은 전단력 검토와 매우 유사합니다. 먼저 콘크리트 저항을 검토합니다. 콘크리트 검토가 만족되면 철근은 상세 규정을 사용하여 설계할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우에는 계산을 통해 철근과 압축 사재의 저항을 검증해야 합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

저항

비틀림을 받는 얇은 벽 단면의 벽체에서 전단 흐름은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

얇은 벽 단면의 벽체에서 전단력은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

여기서 

τ          벽체의 전단 흐름,

t_ef         유효 벽 두께,

z           벽체의 측면 길이,

T_Ed       비틀림 모멘트,

A_k        내부 중공 영역을 포함하여 연결 벽체의 중심선으로 둘러싸인 면적.

비틀림 균열 모멘트는 이전 식에 f_ctd를 대입하여 결정할 수 있습니다. 이를 통해 비틀림 철근이 없는 경우의 비틀림 저항에 대한 식을 얻습니다.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

여기서  f_ctd       콘크리트의 설계 축 인장 강도

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

비틀림 철근이 있는 부재의 저항은 트러스 유추법을 기반으로 하는 압축 콘크리트 사재의 저항으로 구성됩니다. 사재의 압축 응력은 고려 중인 벽면에서 얇은 벽 단면의 벽체 전단력을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

σ_c=σ_cwf_cd 및 T_Ed=T_Rd,max를 대입하고 T_Rd,max를 표현하면 압축 사재 저항에 대한 식을 얻습니다.

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

여기서  

ν          = 0,6 (f_ck ≤ 60MPa인 경우) 또는 f_ck > 60MPa인 경우

α_cw       압축 현재의 압축 응력 상태를 고려하는 계수

f_cd        콘크리트 압축 강도의 설계값

비틀림을 받는 전단 철근 저항은 다시 압축 사재의 응력을 기반으로 합니다. 스터럽 힘은 해당 스터럽 선에 대응하는 면적에서 압축 사재의 응력과 같습니다. 즉,

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

T_Ed=T_Rd,s를 대입하고 T_Rd,s를 표현하면 다음 식을 얻습니다:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

종방향 철근과 전단 철근의 양을 알고 있으면 다음 식으로 각도 θ를 정의할 수 있습니다.

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

T_Rd,s에 대입하면 다음을 얻습니다.

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

여기서

A_sw      전단 철근 면적

s           전단 철근 스터럽의 간격

f_ywd      전단 철근의 유효 설계 강도

A_sl       종방향 철근 면적

u_k         단면의 외부 둘레

f_ywd      종방향 철근의 유효 설계 강도

종방향 철근의 힘은 순수 비틀림 모멘트를 받는 단면의 벽체에서 전단력으로부터 다음과 같이 도출할 수 있습니다:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

그 힘을 종방향으로 변환하면 다음을 얻습니다:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

각도 θ의 허용 범위는 전단력 검토와 유사하게 1 < cot θ < 2,5입니다. 저항 간의 관계는 아래 그림에서 확인할 수 있습니다. 이 다이어그램은 각도 θ가 증가함에 따라 저항 T_Rd,max는 증가하고, 저항 T_Rd.s는 감소하며, 저항 T_Rd,c는 트러스 유추법에 기반하지 않으므로 일정하게 유지됨을 보여줍니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

비틀림에 대한 단면 특성 계산

비틀림에 대한 단면 검토를 위해서는 소위 등가 얇은 벽 폐단면을 설정해야 합니다. 등가 얇은 벽 단면의 치수를 결정할 때 직사각형 형상을 가정합니다. 직사각형의 실제 면적은 A = b×h이고 직사각형의 둘레는 u =2 (b +h)입니다. 이 두 식을 사용하여 원래 단면의 등가 얇은 직사각형 형상의 면적과 둘레를 구할 수 있습니다. 두 개의 미지수를 가진 두 방정식을 풀면 다음을 얻습니다:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

유효 단면의 벽 두께는 둘레와 단면 면적으로부터 다음과 같이 정의할 수 있습니다:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

그러면 유효 단면의 중심선으로 정의되는 면적과 둘레는 다음과 같습니다:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

이 방법의 문제점은 전체 면적과 둘레를 사용하여 치수를 계산할 때(이 플레이트를 포함하여) 넓은 플레이트를 가진 T형 단면의 경우입니다. 향후 버전의 IDEA RCS 프로그램에서는 비틀림 검토에 사용될 가장 큰 단면 부분의 선택이 가능하게 될 것입니다.