Tudásbázis

Belső erők 2D keresztmetszetekhez

Concrete

RCS

EN (Eurocode)

Beam

Ez a cikk más nyelveken is elérhető:

Angol nyelvről mesterséges intelligencia fordította

A belső erők bevitele

A 2D szerkezeti elemek belső erőinek bevitele a 2D elem típusától függ:

Héj-lemez – membránerők (n_x, n_y és n_xy), hajlítási nyomatékok (m_x, m_y és m_xy) és nyíróerők (v_x és v_y) adhatók meg
Héj-fal – membránerők (n_x, n_y és n_xy), hajlítási nyomatékok (m_x, m_y és m_xy) és nyíróerők (v_x és v_y) adhatók meg
Lemez – csak hajlítási nyomatékok (m_x, m_y és m_xy) és nyíróerők (v_x és v_y) adhatók meg
Fal – csak membránerők (n_x, n_y és n_xy) adhatók meg
Mélygerenda – csak membránerők (n_x, n_y és n_xy) adhatók meg

	Leírás
m_x(y)	Hajlítási nyomaték az x (y)-tengely irányában. Pozitív érték húzást okoz a 2D elem alsó felületén.
m_xy(yx)	Csavaró nyomaték az y (x)-tengely körül, az x (y)-tengellyel párhuzamos élen hat. Pozitív érték húzó nyírófeszültséget okoz a 2D elem alsó felületén. Mivel a 2D elem minden pontjában érvényes a vízszintes nyírófeszültségek egyenlőségének tétele, a csavaró nyomatékok m_xy = m_yx szintén egyenlők a 2D elem minden pontjában. Ezért a programban csak m_xyértékét kell megadni.
n_x(y)	Normálerő az x (y)-tengely irányában. Pozitív érték az x(y)-tengely irányában hat és húzást okoz a keresztmetszetben.
n_xy(yx)	Normálerő, amely a középsíkban az y(x)-tengely irányában hat az x(y)-tengellyel párhuzamos élen. Pozitív érték az x(y)-tengely irányában hat. Mivel a 2D elem minden pontjában érvényes a vízszintes nyírófeszültségek egyenlőségének tétele, az n_xy = n_yx normálerők szintén egyenlők a 2D elem minden pontjában. Ezért a programban csak n_xyértékét kell megadni.
v_x(y)	Nyíróerő, amely merőlegesen hat a középsíkra, az x(y)-tengellyel párhuzamos élen. Pozitív érték a z-tengely irányában hat.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}\]

Az ellenőrzésekhez a következő kombinációtípusokat kell meghatározni:

Teherbírási határállapot/Rendkívüli – az ehhez a kombinációtípushoz meghatározott belső erő komponenseket a 2D elemek ULS ellenőrzéséhez használják:
- Kapacitás N-M-M
- Válasz N-M-M
- Interakció

és a konstruktív előírások ellenőrzése

Karakterisztikus – az ehhez a kombinációtípushoz meghatározott belső erő komponenseket a feszültség-korlátozás ellenőrzéséhez használják (SLS)
Kvázi-állandó – az ehhez a kombinációtípushoz meghatározott belső erő komponenseket a repedésszélesség ellenőrzéséhez használják (SLS)

Megjegyzés:

A v_x és v_y belső erő komponenseket nem szükséges megadni a Karakterisztikus és Kvázi-állandó kombinációtípusoknál, mivel ezeket az értékeket az ellenőrzések során nem használják.

Az ellenőrzési irány meghatározása

A 2D elem megfelelő ellenőrzéséhez meg kell határozni az ellenőrzési irányt. Az ellenőrzési irányt minden kombinációtípushoz külön-külön lehet megadni, a következő két módszer egyikével:

Felhasználó által meghatározott irány – a felhasználó az ellenőrzési irányt a 2D elem síkjában az x-tengelyhez képest mért szögként adja meg. Ez az opció alapértelmezettként van beállítva az ULS kombinációtípusnál, és a szög előre meghatározott értéke 0 fok. Az ellenőrzések a következő irányokban végzendők:
- Meghatározott irány
- A meghatározott irányra merőleges irány
- A nyomott átló iránya a felső felületen
- A nyomott átló iránya az alsó felületen
Főfeszültségek iránya – az ellenőrzési irányt a program automatikusan számítja a 2D elem felső és alsó felületén lévő főfeszültségek iránya alapján. Ez az opció alapértelmezettként van beállítva a Karakterisztikus és Kvázi-állandó kombinációtípusoknál. Az ellenőrzések a következő irányokban végzendők:
- Főfeszültségek iránya az alsó felületen
- Az alsó felületen lévő főfeszültségek irányára merőleges irány
- A nyomott átló iránya az alsó felületen
- Főfeszültségek iránya a felső felületen
- A felső felületen lévő főfeszültségek irányára merőleges irány
- A nyomott átló iránya a felső felületen

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}\]

Az ellenőrzési irány vizsgálata teherbírási határállapotra

1. vizsgálat

Csak hajlítási nyomatékokkal terhelt 2D elemnél (m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m) a vasalás szögének és az ellenőrzési irány szögének változtatásával teherbírási határállapotra – az eredmények a következő grafikonon láthatók:

A vizsgálatból következik:

Ha a vasalási rudak egymásra merőlegesek, az ellenőrzési eredmények különböző ellenőrzési irányú szögeknél hasonlóak, nem függnek a meghatározott vasalási szögtől, és az ellenőrzés maximális értéke 0, 45 és 90 fokos szögeknél adódik. Ezért ez az ellenőrzés elvégezhető az előre meghatározott 0 fokos ellenőrzési szöggel.
Ha a vasalási rudak nem merőlegesek egymásra, az ellenőrzések eredményei jelentősen eltérnek, és a maximális ellenőrzési érték közelítőleg az átlagos vasalás irányának megfelelő irányban adódik. Ezért ajánlott az előre meghatározott ellenőrzési irányt megváltoztatni, vagy több irányban elvégezni az ellenőrzéseket, ha a vasalási rudak nem merőlegesek egymásra.

2. vizsgálat

Ortogonális vasalás esetén a hajlítási nyomatékok értékeit és a szöget változtatták meg az ULS szabványellenőrzéshez. Az eredmények a grafikonon láthatók:

A vizsgálatból következik, hogy még különböző hajlítási nyomaték értékek esetén is a teherbírási határállapot ellenőrzésének maximális értéke 0, 45 és 90 fokos ellenőrzési iránynál adódik. Ezért az ellenőrzés elvégezhető az előre meghatározott 0 fokos ellenőrzési szöggel. Hasonló következtetés érvényes a csak normálerővel terhelt, illetve normálerővel és hajlítási nyomatékkal kombináltan terhelt 2D elemekre is.

A belső erők átszámítása az ellenőrzési irányokba

A meghatározott belső erőket a Baumann-féle transzformációs képlettel számítják át az ellenőrzési irányokba, amelyet Baumann, Th. ismertet: „Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In: Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975. A számítási eljárás a következő:

Normálerők számítása a 2D elem mindkét felületén
Főerők számítása a 2D elem mindkét felületén
Az átszámított erők számítása minden felületre a meghatározott ellenőrzési irányba
Az átszámított erők számítása minden felületre a középpontra
A nyíróerők átszámítása a meghatározott ellenőrzési irányba

Normálerők számítása a 2D elem mindkét felületén

A meghatározott belső erőket a következő képletekkel számítják át mindkét felületre:

\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]

\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]

\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]

A belső erők karját (z) meg kell határozni a belső erők átszámításához. A belső erők karját a határalakváltozás módszerével határozzák meg az m₁ főnyomatékok irányában mindkét felületen a főhajlítási nyomaték szerinti terhelésnél. Ha a főnyomatékok nullával egyenlők, vagy ha a főnyomatékok irányában nem található egyensúly, a belső erők karját a következő képlet szerint határozzák meg:

\[z=x\cdot d\]

	Leírás
x	A belső erők karjának számításához szükséges együttható a nemzeti szabvány beállításaiban van meghatározva.
d	A keresztmetszet hatékony magassága, amelyet külön-külön számítanak a 2D elem felső és alsó felületére. Az alsó felületre vonatkozóan az alsó felületen lévő vasalási rudak súlypontjától a keresztmetszet felső széléig mért távolság. A felső felületre vonatkozóan a felső felületen lévő vasalási rudak súlypontjától a keresztmetszet alsó széléig mért távolság.

Megjegyzés:

A belső erők karja ellenőrizhető a Válasz N-M-M ellenőrzésben. Csak a hajlítási nyomatékokat kell megadni, és az ellenőrzési iránynak meg kell egyeznie a főnyomaték irányával.

A következő diagramon a belső erők karjának ellenőrzése látható m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m hajlítási nyomatékok esetén. A főnyomatékok irányát α_m1 = 22,5 fokként számították ki, és a keresztmetszet válaszát a belső erők karjának meghatározásához számították.

Megjegyzés:

A belső erők átszámításához használt belső erő karok és az ellenőrzésekhez használt belső erő karok eltérhetnek egymástól, mivel az átszámításhoz használt belső erő kart a főnyomatékok irányában főnyomatékokkal terhelt keresztmetszetből határozzák meg, az ellenőrzéshez használt belső erő kart pedig az ellenőrzési irányban hajlítási nyomatékokkal és normálerőkkel terhelt keresztmetszetből. Az összes kombinációtípushoz tartozó belső erő karok értékei az Átszámított erők táblázatban jelennek meg a Belső erők a keresztmetszetben navigátorban.

A belső erők számítása mindkét felületen

A 2D elem mindkét felületén a főerőket a következő képlettel számítják:

\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

A főerők iránya a következő képlettel számítható:

\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]

Megjegyzés:

A 2D elem mindkét felületének főerői és a főerők iránya az összes kombinációtípushoz megjelennek az Átszámított erők táblázatban a Belső erők a keresztmetszetben navigátorban.

Az átszámított belső erők számítása a felületeken a meghatározott ellenőrzési irányba

A főerők ellenőrzési irányokba való átszámítása minden felületre külön-külön, a Baumann-féle transzformációs képlettel történik:

\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]

	Leírás
i, j, k, i	Az ellenőrzési irány indexe (belső erők átszámítási iránya) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Pl. az alsó felületre és a j-irányú erő számítására (α₂ szög) a képlet: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\]
\[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\]	A meghatározott ellenőrzési irány vagy a nyomott rúd iránya és a 2D elem alsó vagy felső felületén lévő főerők iránya közötti szög. Meghatározott ellenőrzési irány α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp) A meghatározott irányra merőleges irány α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp) A nyomott rúd ellenőrzési iránya α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	Az adott kombináció meghatározott ellenőrzési iránya
α₂	A meghatározott irányra merőleges irány, α₂= α₁ + 90 fok
α₃	Az ellenőrzési irány a 2D elem síkjában lévő nyomott rúd irányában. Ezt az irányt úgy optimalizálják, hogy minimalizálják az ebben az irányban ható erőt.

Megjegyzés:

Ha az ellenőrzési irány megegyezik a főfeszültségek irányával, a nyomott rúdban lévő erők nullák, ezért ezt az irányt az ellenőrzés során figyelmen kívül hagyják.

A nyomott rúd iránya az összes feszültségi állapotra, kivéve a hiperbolikus feszültségi állapotot (n_1,low(upp) > 0 és n_1,low(upp) < 0), a következő képlettel számítható:

α₃ = 0,5(α₁ + α₂)

A 2D elem mindkét felületére és az összes ellenőrzési irányra – beleértve a nyomott rúd irányát is – átszámított belső erők az Átszámított erők táblázatban jelennek meg.

Az átszámított belső erők transzformációja a keresztmetszet súlypontjába

A 2D elem ellenőrzéséhez az adott irányban lévő felületi erőket a keresztmetszet súlypontjába kell átszámítani. Az eredmény az n_d,i normálerő és az m_d,i hajlítási nyomaték, amelyek a 2D elem keresztmetszetének súlypontjában hatnak.

m_d,i = n_lower,i·z_s,low+ n_upper,i·z_s,upp

n_d,i = n_lower,i + n_upper,i

	Leírás
n_lower,i	Az alsó felületen átszámított felületi erők az i^th ellenőrzési irányban, ahol n_lower,i = n_{surface,low,i}.
n_upper,i	A felső felületen átszámított belső erők az i^th ellenőrzési irányban, ahol n_upper,i = n_{surface,upp,i}.
z_{s,low (upp)}	A nyomott beton súlypontjának vagy az alsó (felső) felületen lévő vasalás súlypontjának távolsága, ahol z = z_s,low+ z_s,upp

Megjegyzés:

Ha az alsó és a felső felületen lévő nyomott rudak irányai eltérnek egymástól, az erők súlypontba való átszámításához szükséges virtuális erőket az alsó felületen a felső felület nyomott rúdjának irányában, és fordítva kell számítani.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}\]

A nyíróerők átszámítása a meghatározott ellenőrzési irányba

A nyíróerőket a következő képlettel számítják át az ellenőrzési irányba:

\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]

a maximális nyíróerő:

\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]

és a következő irányban hat:

\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]

	Leírás
α_i	Az i^th irányban lévő ellenőrzési szög

Megjegyzés:

Viszonylag nagy nyíróerőkkel terhelt 2D elem ellenőrzésekor célszerű a 2D elemet a maximális nyíróerő irányában ellenőrizni, ami azt jelenti, hogy a meghatározott irányú ellenőrzés a β szögnek felel meg.

A belső erők átszámításának összehasonlítása különböző módszerekkel

Erők átszámítása az EN 1992-1-1 szerint

Az EN 1992-1-1-ben leírt módszert számos programban és a gyakorlatban is alkalmazzák a méretezési belső erők számítására. Az EN 1992-1-1 csak egymásra merőleges vasalási irányokat vesz figyelembe. A csavaró nyomaték hatásával együtt számított méretezési erők számítása a következő folyamatábrán látható, ahol m_y³ m_x. Hasonló diagram készíthető az m_y < m_x nyomatékokra is.

	Leírás
m_xd+,m_xd-	Méretezési hajlítási nyomaték az x-tengely irányában az alsó (-) vagy felső (+) felületen lévő vasalás tervezéséhez és ellenőrzéséhez
m_yd+ m_yd-	Méretezési hajlítási nyomaték az y-tengely irányában az alsó (-) vagy felső (+) felületen lévő vasalás tervezéséhez és ellenőrzéséhez
m_cd+,m_cd-	Méretezési hajlítási nyomaték a nyomott betonrúdban az alsó (-) vagy felső (+) felületen, amelyet a betonnak kell felvennie

Az EN-ben leírt módszerrel számított, átszámított méretezési erők értékei a szerkezeti elem típusa = Lemez esetén a következő táblázatban láthatók:

Az IDEA StatiCa RCS-ben nem a felső és alsó felületen lévő nyomatékok értékei jelennek meg, hanem mindkét felületen a normálerők értékei és a keresztmetszet súlypontjára átszámított nyomatékok értékei.

Az alsó és felső felületen lévő nyomatékok a numerikus kimenetben megjelenő felületi erőkből a következő képlettel számíthatók:

\[{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z\]

A felületi erők és az átszámított nyomatékok értékei a következő táblázatokban láthatók:

A táblázatok azt mutatják, hogy az IDEA Concrete-ben számított és az EN-ben leírt módszer szerint számított lemezfelületi nyomatékok csak az egyik felületen egyeznek meg. Ez az eltérés a betonrúd eltérő optimalizálásából adódik. Az IDEA StatiCa RCS-ben alkalmazott módszer a nyomott rúdban lévő minimális erőhöz tartozó nyomott rúd szögét keresi. Az EN-ben leírt módszer az összes irányból származó negatív erők minimális összegét keresi.

A belső erők számításának összehasonlítása RFEM és SCIA Engineer programokkal

Az IDEA Concrete, RFEM és SCIA Engineer (SEN) programokban átszámított belső erők eredményeinek összehasonlításához egy egyszerű, 6 m × 4 m méretű és 200 mm vastagságú lemez modelljét készítették el. A lemezt a széleken vonalmenti támasszal támasztják alá, és 10 kN/m² egyenletes terheléssel terhelik.

Az eredmények egyszerűbb bemutatása érdekében csak egy hosszirányú metszet átszámított belső erőinek értékei jelennek meg. A metszet távolsága a lemez szélétől 1,5 m. Az RFEM programban számított belső erőket használták az IDEA Concrete bemeneti értékeiként.