Bilgi tabanı

2B kesitler için iç kuvvetler

Concrete

RCS

EN (Eurocode)

Beam

Bu makale aynı zamanda şu dillerde de mevcuttur:

İngilizceden yapay zeka tarafından çevrildi

İç kuvvetlerin girişi

2B elemanların iç kuvvetlerinin girişi, 2B eleman tipine bağlıdır:

Kabuk-döşeme – membran kuvvetleri (n_x, n_y ve n_xy), eğilme momentleri (m_x, m_y ve m_xy) ve kesme kuvvetleri (v_x ve v_y) girilebilir
Kabuk-duvar – membran kuvvetleri (n_x, n_y ve n_xy), eğilme momentleri (m_x, m_y ve m_xy) ve kesme kuvvetleri (v_x ve v_y) girilebilir
Döşeme – yalnızca eğilme momentleri (m_x, m_y ve m_xy) ve kesme kuvvetleri (v_x ve v_y) girilebilir
Duvar – yalnızca membran kuvvetleri (n_x, n_y ve n_xy) girilebilir
Derin kiriş – yalnızca membran kuvvetleri (n_x, n_y ve n_xy) girilebilir

	Açıklama
m_x(y)	x (y) ekseni doğrultusundaki eğilme momenti. Pozitif değer, 2B elemanın alt yüzeyinde çekmeye neden olur.
m_xy(yx)	x (y) eksenine paralel kenarda y (x) ekseni etrafında burulma momenti. Pozitif değer, 2B elemanın alt yüzeyinde çekme kayma gerilmesine neden olur. 2B eleman teoreminin her noktasında yatay kayma gerilmelerinin eşitliği geçerli olduğundan, burulma momentleri m_xy = m_yx de 2B elemanın her noktasında eşittir. Bu nedenle programa yalnızca m_xydeğeri girilir.
n_x(y)	x (y) ekseni doğrultusundaki normal kuvvet. Pozitif değer x(y) ekseni doğrultusunda etki eder ve kesitte çekmeye neden olur.
n_xy(yx)	x(y) eksenine paralel kenarda y(x) ekseni doğrultusunda orta düzlemde etki eden normal kuvvet. Pozitif değer x(y) ekseni doğrultusunda etki eder. 2B eleman teoreminin her noktasında yatay kayma gerilmelerinin eşitliği geçerli olduğundan, normal kuvvetler n_xy = n_yx de 2B elemanın her noktasında eşittir. Bu nedenle programa yalnızca n_xydeğeri girilir.
v_x(y)	x(y) eksenine paralel kenarda orta düzleme dik etki eden kesme kuvveti. Pozitif değer z ekseni doğrultusunda etki eder.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Sign convention of internal forces}}}\]

Kontroller için aşağıdaki kombinasyon tipleri tanımlanmalıdır:

Taşıma gücü sınır durumu/Kaza – bu kombinasyon tipi için tanımlanan iç kuvvet bileşenleri, 2B elemanların ULS kontrollerinde kullanılır:
- Kapasite N-M-M
- Tepki N-M-M
- Etkileşim

ve yapım detayı hükümlerinin kontrolü

Karakteristik – bu kombinasyon tipi için tanımlanan iç kuvvet bileşenleri, gerilme sınırlaması kontrolünde (SLS) kullanılır
Yarı-kalıcı – bu kombinasyon tipi için tanımlanan iç kuvvet bileşenleri, çatlak genişliği kontrolünde (SLS) kullanılır

Not:

v_x ve v_y iç kuvvet bileşenlerinin Karakteristik ve Yarı-kalıcı kombinasyon tipleri için girilmesi zorunlu değildir; çünkü bu değerler kontrollerde kullanılmaz.

Kontrol yönünün belirlenmesi

2B elemanın doğru kontrolü için kontrol yönünün belirlenmesi gerekmektedir. Kontrol yönü, her kombinasyon tipi için ayrı ayrı, aşağıdaki iki yöntem kullanılarak girilebilir:

Kullanıcı tanımlı yön – kullanıcı, kontrol yönünü 2B elemanın düzleminde x eksenine göre bir açı olarak tanımlar. Bu seçenek, ULS kombinasyon tipi için varsayılan olarak ayarlanmıştır ve açının önceden tanımlanmış değeri 0 derecedir. Kontroller aşağıdaki yönlerde gerçekleştirilir:
- Tanımlanan yön
- Tanımlanan yöne dik yön
- Üst yüzeydeki basınç diyagonali yönü
- Alt yüzeydeki basınç diyagonali yönü
Asal gerilme yönü – kontrol yönü, 2B elemanın üst ve alt yüzeyindeki asal gerilmelerin yönü olarak otomatik hesaplanır. Bu seçenek, Karakteristik ve Yarı-kalıcı kombinasyon tipleri için varsayılan olarak ayarlanmıştır. Kontroller aşağıdaki yönlerde gerçekleştirilir:
- Alt yüzeydeki asal gerilme yönü
- Alt yüzeydeki asal gerilme yönüne dik yön
- Alt yüzeydeki basınç diyagonali yönü
- Üst yüzeydeki asal gerilme yönü
- Üst yüzeydeki asal gerilme yönüne dik yön
- Üst yüzeydeki basınç diyagonali yönü

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated internal forces in input direction by theory of Baumann}}}\]

Taşıma gücü sınır durumu için kontrol yönünün analizi

Analiz 1

Yalnızca eğilme momentleriyle yüklenen bir 2B eleman (m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m) için taşıma gücü sınır durumunda donatı açısı ve kontrol yönü açısı değiştirilerek elde edilen sonuçlar aşağıdaki grafikte gösterilmektedir:

Analizden çıkan sonuçlar:

Donatı çubukları birbirine dik ise, kontrol sonuçları farklı kontrol yönü açıları için benzerdir; tanımlanan donatı açısına bağlı değildir ve kontrolün maksimum değeri 0, 45 ve 90 derece açılar için elde edilir. Bu nedenle bu kontrol, önceden tanımlanmış 0 derecelik kontrol açısı yönünde gerçekleştirilebilir.
Donatı çubukları birbirine dik değilse, kontrol sonuçları önemli ölçüde farklılaşır ve maksimum kontrol değeri yaklaşık olarak ortalama donatı yönüne karşılık gelen yönde elde edilir. Bu nedenle, donatı çubuklarının birbirine dik olmadığı durumlarda önceden tanımlanmış kontrol yönünün değiştirilmesi veya kontrollerin birden fazla yönde gerçekleştirilmesi önerilir.

Analiz 2

Ortogonal donatı için, ULS yönetmelik kontrolünde eğilme momentlerinin değerleri ve açı değiştirilmiştir. Sonuçlar grafikte gösterilmektedir:

Analizden, farklı eğilme momenti değerleri için bile taşıma gücü sınır durumu kontrolünün maksimum değerinin 0, 45 ve 90 derecelik kontrol yönlerinde elde edildiği anlaşılmaktadır. Bu nedenle kontrol, önceden tanımlanmış 0 derecelik kontrol açısı için gerçekleştirilebilir. Benzer bir sonuç, yalnızca normal kuvvetle yüklenen veya normal kuvvet ile eğilme momentinin birlikte etkidiği 2B elemanlar için de geçerlidir.

İç kuvvetlerin kontrol yönlerine dönüştürülmesi

Tanımlanan iç kuvvetler, Baumann dönüşüm formülü kullanılarak kontrol yönlerine dönüştürülür. Bu formül, Baumann, Th. : "Zur Frage der Netzbewehrung von Flächentragwerken". In : Der Bauingenieur 47 (1972), Berlin 1975 kaynağında açıklanmaktadır. Hesap prosedürü aşağıdaki gibidir:

2B elemanın her iki yüzeyindeki normal kuvvetlerin hesabı
2B elemanın her iki yüzeyindeki asal kuvvetlerin hesabı
Her yüzey için dönüştürülmüş kuvvetlerin tanımlanan kontrol yönüne hesabı
Her yüzey için dönüştürülmüş kuvvetlerin merkeze hesabı
Kesme kuvvetlerinin tanımlanan kontrol yönüne dönüştürülmesi

2B elemanın her iki yüzeyindeki normal kuvvetlerin hesabı

Tanımlanan iç kuvvetler, aşağıdaki formüller kullanılarak her iki yüzeye dönüştürülür:

\[{{n}_{x,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{x}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{x}}}{z}\]

\[{{n}_{y,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{y}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{y}}}{z}\]

\[~~~~~{{n}_{xy,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{xy}}}{2}+\left( - \right)\frac{{{m}_{xy}}}{z}\]

İç kuvvetlerin dönüştürülmesi için iç kuvvetlerin kol uzunluğunun (z) belirlenmesi gerekmektedir. İç kuvvetlerin kol uzunluğu, her iki yüzeyde asal momentlerin m₁ yönünde asal eğilme momenti ile yükleme altında sınır gerinim yöntemiyle belirlenir. Asal momentler sıfıra eşitse veya asal momentler yönünde denge sağlanamıyorsa, iç kuvvetlerin kol uzunluğu aşağıdaki formüle göre belirlenir:

\[z=x\cdot d\]

	Açıklama
x	İç kuvvetler kolunun hesabına ilişkin katsayı, Ulusal yönetmelik ayarlarında tanımlanmaktadır.
d	2B elemanın üst ve alt yüzeyleri için ayrı ayrı hesaplanan kesitin etkin yüksekliği. Alt yüzey için, alt yüzeydeki donatı çubuklarının ağırlık merkezinden kesitin üst kenarına olan mesafedir. Üst yüzey için, üst yüzeydeki donatı çubuklarının ağırlık merkezinden kesitin alt kenarına olan mesafedir.

Not:

İç kuvvetlerin kolu, Tepki N-M-M kontrolünde doğrulanabilir. Yalnızca eğilme momentlerinin girilmesi ve kontrol yönünün asal moment yönüne karşılık gelmesi gerekmektedir.

Aşağıdaki diyagramda, m_x = 20 kNm/m, m_y = 10 kNm/m, m_xy = 5 kNm/m eğilme momentleri için iç kuvvetlerin kol uzunluğunun doğrulaması gösterilmektedir. Asal momentlerin yönü α_m1 = 22,5 derece olarak hesaplanmış ve iç kuvvetlerin kol uzunluğunu belirlemek için kesitin tepkisi hesaplanmıştır.

Not:

İç kuvvetlerin dönüştürülmesine ilişkin kol uzunlukları ile kontrollere ilişkin kol uzunlukları farklı olabilir; çünkü dönüştürme için kullanılan iç kuvvet kolu, asal momentler yönünde asal momentlerle yüklenen bir kesit üzerinde belirlenir; kontrol için kullanılan iç kuvvet kolu ise kontrol yönünde eğilme momentleri ve normal kuvvetlerle yüklenen bir kesit üzerinde belirlenir. Tüm kombinasyon tipleri için iç kuvvet kol uzunluklarının değerleri, Kesitteki iç kuvvetler gezginindeki Dönüştürülmüş kuvvetler tablosunda gösterilmektedir.

Her iki yüzeydeki iç kuvvetlerin hesabı

2B elemanın her iki yüzeyindeki asal kuvvetler aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

\[{{n}_{1,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

\[{{n}_{2,bot\left( top \right)}}=\frac{{{n}_{x,low\left( upp \right)+}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}}}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{{\left( {{n}_{x,low\left( upp \right)-}}{{n}_{y,low\left( upp \right)}} \right)}^{2}}+4\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}\]

Asal kuvvetlerin yönü ise aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

\[{{\alpha }_{n1,low\left( upp \right)}}=0,5\cdot {{\tan }^{-1}}\left( \frac{2\cdot {{n}_{xy,low\left( upp \right)}}}{{{n}_{x,low\left( upp \right)}}-{{n}_{y,low\left( upp \right)}}} \right)\]

Not:

2B elemanın her iki yüzeyine ait asal kuvvetler ve asal kuvvetlerin yönü, tüm kombinasyon tipleri için Kesitteki iç kuvvetler gezginindeki Dönüştürülmüş kuvvetler tablosunda gösterilmektedir.

Yüzeylerdeki dönüştürülmüş iç kuvvetlerin tanımlanan kontrol yönüne hesabı

Asal kuvvetlerin kontrol yönlerine dönüştürülmesi, Baumann dönüşüm formülü kullanılarak her yüzey için ayrı ayrı gerçekleştirilir:

\[{{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}=\frac{{{n}_{1,low\left( upp \right)}}\cdot \sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)+{{n}_{2,low\left( upp \right)}}\cdot \cos \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \cos \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}} \right)}{\sin \left( {{\alpha }_{j,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{k,low\left( upp \right)}}-{{\alpha }_{i,low\left( upp \right)}} \right)}\]

	Açıklama
i, j, k, i	Kontrol yönü indisi (iç kuvvet dönüştürme yönü) i, j, k, i = 1, 2, 3, 1. Örneğin, alt yüzey için j yönündeki kuvvetin (α₂ açısı) hesabında formül şöyledir: \[{{n}_{surface,2,low}}=\frac{{{n}_{1,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{3,low}}\cdot \sin {{\alpha }_{1,low}}+{{n}_{2,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{3,low}}\cdot \cos {{\alpha }_{1,low}}}{\sin \left( {{\alpha }_{3,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)\cdot \sin \left( {{\alpha }_{1,low}}-{{\alpha }_{2,low}} \right)}\]
\[{{\alpha }_{i,j,k,low\left( upp \right)}}\]	Tanımlanan kontrol yönü veya basınç çubuğu yönü ile 2B elemanın alt veya üst yüzeyindeki asal kuvvetler yönü arasındaki açı. Tanımlanan kontrol yönü α_{1, low(upp)} = α₁ – α_low(upp) Tanımlanan yöne dik yön α_{2, low(upp)} = α₂ – α_low(upp) Basınç çubuğu için kontrol yönü α_{3, low(upp)} = α₃ – α_low(upp)
α₁	İlgili kombinasyon için tanımlanan kontrol yönü
α₂	Tanımlanan yöne dik yön, α₂= α₁ + 90 derece
α₃	2B eleman düzleminde basınç çubuğu yönündeki kontrol yönü. Bu yön, söz konusu yöndeki kuvveti en aza indirecek şekilde optimize edilir.

Not:

Kontrol yönü, Asal gerilme yönü ile aynı ise basınç çubuğundaki kuvvetler sıfırdır; dolayısıyla bu yön kontrolde dikkate alınmaz.

Hiperbolik gerilme durumu dışındaki tüm gerilme durumları için (n_1,low(upp) > 0 ve n_1,low(upp) < 0) basınç çubuğunun yönü aşağıdaki formüle göre hesaplanabilir:

α₃ = 0,5(α₁ + α₂)

2B elemanın her iki yüzeyi ve basınç çubuğu yönü dahil tüm kontrol yönleri için dönüştürülmüş iç kuvvetler Dönüştürülmüş kuvvetler tablosunda gösterilmektedir.

Dönüştürülmüş iç kuvvetlerin kesitin ağırlık merkezine taşınması

2B elemanın kontrolü için belirli bir yöndeki yüzey kuvvetlerinin kesitin ağırlık merkezine dönüştürülmesi gerekmektedir. Sonuç olarak, 2B eleman kesitinin ağırlık merkezinde etki eden n_d,i normal kuvveti ve m_d,i eğilme momenti elde edilir.

m_d,i = n_lower,i·z_s,low+ n_upper,i·z_s,upp

n_d,i = n_lower,i + n_upper,i

	Açıklama
n_lower,i	i^inci kontrol yönünde alt yüzeydeki dönüştürülmüş yüzey kuvvetleri; n_lower,i = n_{surface,low,i} olduğunda.
n_upper,i	i^inci kontrol yönünde üst yüzeydeki dönüştürülmüş iç kuvvetler; n_upper,i = n_{surface,upp,i} olduğunda.
z_{s,low (upp)}	Alt (üst) yüzeydeki sıkışmış betonun ağırlık merkezi veya donatının ağırlık merkezine olan mesafe; z = z_s,low+ z_s,upp olduğunda

Not:

Alt ve üst yüzeylerdeki basınç çubuklarının yönleri farklı ise, kuvvetlerin ağırlık merkezine dönüştürülmesi için üst yüzeydeki basınç çubuğu yönünde alt yüzeyde sanal kuvvetlerin hesaplanması ve bunun tersi de gereklidir.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Recalculated design forces}}}\]

Kesme kuvvetlerinin tanımlanan kontrol yönüne dönüştürülmesi

Kesme kuvvetleri, aşağıdaki formül kullanılarak kontrol yönüne dönüştürülür:

\[{{v}_{d,i}}={{v}_{x}}\cdot \cos ({{\alpha }_{i}})+{{v}_{y}}\cdot \sin ({{\alpha }_{i}})\]

ve maksimum kesme kuvveti şöyledir:

\[{{v}_{d,max~}}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}\]

ve şu yönde etki eder:

\[\beta ={{\tan }^{-1}}\left( \frac{{{v}_{y}}}{{{v}_{x}}} \right)\]

	Açıklama
α_i	i^inci yöndeki kontrol açısı

Not:

Görece büyük kesme kuvvetlerine sahip bir 2B elemanın kontrolünde, 2B elemanın maksimum kesme kuvveti yönünde kontrol edilmesi uygundur; bu, tanımlanan yön kontrolünün β açısına karşılık geldiği anlamına gelir.

Çeşitli yöntemler kullanılarak iç kuvvetlerin dönüştürülmesinin karşılaştırılması

EN 1992-1-1'e göre kuvvetlerin dönüştürülmesi

EN 1992-1-1'de açıklanan yöntem, tasarım iç kuvvetlerinin hesabında çeşitli programlarda ve uygulamada kullanılmaktadır. EN 1992-1-1 yalnızca dik donatı yönlerini dikkate almaktadır. Burulma momentinin etkisiyle boyutlandırma kuvvetlerinin hesabı, m_y³ m_x olduğu aşağıdaki akış şemasında açıklanmaktadır. m_y < m_x momentleri için benzer bir diyagram oluşturulabilir.

	Açıklama
m_xd+,m_xd-	Alt (-) veya üst (+) yüzeydeki donatının tasarımı ve kontrolü için x ekseni yönündeki boyutlandırma eğilme momenti
m_yd+ m_yd-	Alt (-) veya üst (+) yüzeydeki donatının tasarımı ve kontrolü için y ekseni yönündeki boyutlandırma eğilme momenti
m_cd+,m_cd-	Alt (-) veya üst (+) yüzeydeki betonarme basınç çubuğundaki boyutlandırma eğilme momenti; bu moment beton tarafından taşınmalıdır.

EN'de açıklanan yöntem kullanılarak hesaplanan, eleman tipi = Döşeme için dönüştürülmüş boyutlandırma kuvvetlerinin değerleri aşağıdaki tabloda gösterilmektedir:

IDEA StatiCa RCS'de üst ve alt yüzeylerdeki moment değerleri gösterilmez; bunun yerine her iki yüzeydeki normal kuvvet değerleri ve kesitin ağırlık merkezine dönüştürülmüş moment değerleri gösterilir.

Alt ve üst yüzeylerdeki momentler, sayısal çıktıda gösterilen yüzey kuvvetleri kullanılarak aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

\[{{m}_{surface,i,dlow\left( upp \right)}}={{n}_{surface,i,low\left( upp \right)}}\cdot z\]

Yüzey kuvvetlerinin ve dönüştürülmüş momentlerin değerleri aşağıdaki tablolarda gösterilmektedir:

Tablolar, IDEA Concrete'te hesaplanan ve EN'de açıklanan yönteme göre hesaplanan döşeme yüzeylerindeki momentlerin yalnızca bir yüzeyde örtüştüğünü göstermektedir. Bu fark, betonarme basınç çubuğunun farklı şekilde optimize edilmesinden kaynaklanmaktadır. IDEA StatiCa RCS'de kullanılan yöntem, çubukta minimum kuvvete karşılık gelen basınç çubuğu açısını arar. EN'de açıklanan yöntem ise tüm yönlerden gelen negatif kuvvetlerin minimum toplamını arar.

RFEM ve SCIA Engineer programlarıyla iç kuvvet hesabının karşılaştırılması

IDEA Concrete, RFEM ve SCIA Engineer (SEN) programlarında dönüştürülmüş iç kuvvetlerin sonuçlarını karşılaştırmak amacıyla 6 m x 4 m boyutlarında ve 200 mm kalınlığında basit bir döşeme modeli hazırlanmıştır. Döşeme, kenarlarda çizgisel mesnetlerle desteklenmekte ve 10 kN/m² tekdüze yük ile yüklenmektedir.

Sunumu basitleştirmek amacıyla yalnızca bir boyuna kesitteki dönüştürülmüş iç kuvvet değerleri gösterilmektedir. Kesitin döşeme kenarından uzaklığı 1,5 m'dir. RFEM programında hesaplanan iç kuvvetler, IDEA Concrete için giriş değerleri olarak kullanılmıştır.