Essais de flexion quatre points sur poutres en T

Introduction 

Cette section analyse une investigation expérimentale portant sur des essais de flexion quatre points réalisés sur des poutres en T par Leonhardt et Walther (1963). Cette campagne expérimentale comprenait 18 essais effectués sur des poutres en béton armé de géométrie constante et avec des dispositions de ferraillage variables pour les étriers. Les éprouvettes TA9, TA10, TA11 et TA12 (avec des étriers verticaux et des quantités de ferraillage variables 6. VALIDATION EXPÉRIMENTALE | 105) ont été choisies pour la comparaison avec les résultats obtenus par le CSFM, car elles couvrent une large gamme de modes de rupture, du cisaillement à la flexion.

Définition des modes de rupture

Afin de comparer les modes de rupture observés dans les expériences avec ceux prédits par le CSFM, les modes de rupture sont classés comme suit : flexion (F), cisaillement (S) et ancrage (A). Il convient de noter qu'aucune des expériences couvertes dans ce chapitre n'a présenté de rupture d'ancrage. Le tableau 6.1 définit différents sous-types de rupture selon que les ruptures par flexion et par cisaillement sont déclenchées par la rupture du béton ou du ferraillage. Bien que la plastification du ferraillage ne représente pas une rupture matérielle, celle-ci est incluse comme sous-type de rupture en combinaison avec l'écrasement du béton, en raison de l'importance de distinguer les ruptures par écrasement du béton sans plastification du ferraillage (très fragiles) de celles survenant après la plastification du ferraillage (qui peuvent présenter une certaine capacité de déformation). 

Dispositif expérimental

Toutes les poutres étudiées avaient la même géométrie et les mêmes dispositions de ferraillage, comme indiqué sur la Fig. 6.1. La portée des poutres (espacement entre les appuis) était de 3000 mm. Les semelles avaient une largeur de 960 mm et une hauteur de 80 mm. Les âmes avaient une largeur de 160 mm, et la hauteur totale des poutres était de 440 mm. Chacune des deux charges appliquées (P/2) était appliquée à une distance de 1250 mm des appuis, ce qui donnait un espacement entre les charges de 500 mm. Le ferraillage de flexion était composé de six barres d'armature de 24 mm de diamètre. Quatre barres longitudinales d'armature de 10 mm de diamètre étaient placées dans la semelle. Des étriers ouverts avec des extrémités en crochet en partie supérieure (voir Fig. 6.1a) étaient utilisés comme ferraillage de cisaillement ; ceux-ci étaient toujours placés à un espacement de s_t = 113 mm. Le seul paramètre variant entre les éprouvettes TA9, TA10, TA11 et TA12 était le diamètre (Ø_t) des étriers, ce qui conduisait à différents taux de ferraillage géométriques (ρ_t,geo) (voir Tableau 6.2).

                                                    Tableau 6.2. Paramètres pertinents des éprouvettes analysées.

                                                     1) ρ_cr calculé avec l'Éq. f ρ en considérant f_ct = 1,9 MPa

\[ρ_{\text{cr}} = \frac{f_{\text{ct}}}{f_{\text{y}} - (n-1)f_{\text{ct}}}\]

où :

• \(f_y\) - limite d'élasticité du ferraillage
• \(f_{ct}\) - résistance à la traction du béton
• \(n = \frac{E_s}{E_c}\) - coefficient d'équivalence

Propriétés des matériaux

Les propriétés des matériaux du béton et du ferraillage utilisés dans l'analyse CSFM sont résumées dans le Tableau 6.3. Le module d'élasticité (E_s), la contrainte de limite d'élasticité (f_y) et la contrainte ultime (f_t) du ferraillage ainsi que la résistance à la compression (f_c) du béton sont directement extraits du rapport expérimental (Leonhardt et Walther 1963). Ce rapport ne fournit que les relations contrainte-déformation expérimentales des barres d'armature jusqu'à une déformation de 12 ‰. La déformation ultime du ferraillage nu (ε_u) est estimée à partir des valeurs expérimentales connues (f_y, f_t et les relations contrainte-déformation incomplètes) en supposant une réponse bilinéaire. La Fig. 6.2a illustre cette estimation pour le cas de Ø_t = 12 mm. Les valeurs obtenues pour la déformation à la rupture ε_u pour tous les diamètres utilisés sont données dans le Tableau 6.3. La déformation en compression du béton à la contrainte maximale (ɛ_c0, voir Fig. 3.1c) est directement extraite de la relation contrainte-déformation expérimentale du béton (voir Fig. 6.2b)

Modélisation avec le CSFM

La géométrie, le ferraillage, les appuis et les conditions de chargement ont été modélisés dans le CSFM conformément au dispositif expérimental (voir Fig. 6.3a). Plusieurs calculs numériques ont été effectués en utilisant différentes valeurs pour les paramètres suivants :

• Le multiplicateur de la hauteur de semelle (MFD), qui est l'inverse de la pente considérée pour l'expansion du champ de compression dans la semelle (voir Figure 6.3) afin de tenir compte de l'effet de retard de cisaillement (voir Section 3.6.3). Le coefficient MFD a été fixé à 1,0 (valeur par défaut dans IDEA StatiCa Detail) et à 3,0 (légèrement supérieur à la recommandation du fib Model Code 2010 pour cette configuration spécifique). Ces paramètres définissent la largeur efficace de semelle (b_eff), qui donne b_eff = 350 mm et b_eff = 670 mm, respectivement (Figure 6.3b-c).
• La prise en compte ou non d'une fissuration potentiellement non stabilisée dans les étriers. Lorsqu'elle est prise en compte (par défaut), le modèle d'arrachement (Pull-Out Model, POM) définit le raidissement en traction dans les étriers dont les taux de ferraillage géométriques sont inférieurs à (ρ_cr) (Éq. (3.5)), tandis que le modèle de corde en traction (Tension Chord Model, TCM) est utilisé pour les autres barres et étriers au-dessus de (ρ_cr). Lorsqu'elle est désactivée, les modèles tiennent compte du raidissement en traction au moyen du TCM dans tous les cas.
• La taille du maillage, qui était de 5 (la valeur par défaut dans IDEA StatiCa Detail pour cet exemple particulier), 10 ou 15 éléments finis sur la hauteur de la poutre. Le maillage par défaut est très grossier pour cette géométrie (c'est-à-dire que les concepteurs doivent éviter d'utiliser moins de quatre éléments finis dans une section transversale) ; par conséquent, seuls des maillages plus fins que le maillage par défaut sont analysés dans cette étude.
• Le coefficient d'espacement des fissures (λ) a été varié pour considérer un espacement minimal (λ = 0,5), moyen (λ = 0,67, valeur par défaut) et maximal des fissures (λ = 1,0). Ce paramètre affecte le comportement de raidissement en traction des barres d'armature avec des schémas de fissuration stabilisés (voir Section 3.3.4)

Le Tableau 6.4 présente les paramètres utilisés dans chaque calcul numérique (modèle M0 à M6). M0 correspond au modèle avec les paramètres par défaut du CSFM. Comme il sera discuté dans la Section 6.2.4, la valeur par défaut du multiplicateur de la hauteur de semelle était trop conservative dans ce cas et conduisait à une réponse excessivement souple. Par conséquent, la valeur par défaut (MFD = 1 ; b_eff = 350 mm) n'a été utilisée que dans M0. Dans les autres modèles, le MFD a été fixé à 3 (b_eff = 670 mm).

Comparaison avec les résultats expérimentaux

Cette section fournit des comparaisons entre les résultats expérimentaux et les charges ultimes et modes de rupture fournis par le CSFM. Afin de vérifier également l'utilisation du CSFM pour le comportement en service, la réponse charge-déformation et les schémas de fissuration prédits par les analyses numériques sont comparés à ceux des essais. De plus, les largeurs de fissures mesurées et calculées sont comparées pour les éprouvettes TA9 et TA12, qui ont présenté respectivement des ruptures par flexion et par cisaillement.

Modes de rupture et charges ultimes

Le Tableau 6.5 résume les charges ultimes mesurées lors des essais (P_u,exp), les charges ultimes prédites par le CSFM (P_u,calc), ainsi que les modes de rupture correspondants. P désigne la force totale appliquée. Ce tableau fournit également la moyenne et le coefficient de variation (CoV) des rapports entre les charges ultimes mesurées et calculées pour chaque modèle numérique. Des rapports supérieurs à un indiquent des prédictions conservatives de la charge ultime. Comme indiqué dans le Tableau 6.5, les modes de rupture de base dans toutes les analyses CSFM concordent avec les résultats expérimentaux, mais des différences dans les sous-types de rupture sont observées dans certains cas pour l'éprouvette TA11, et dans un cas pour TA12. Les prédictions des charges ultimes données par le modèle par défaut (M0) sont très satisfaisantes, donnant des résultats légèrement conservatifs (12 % en moyenne) avec une très faible dispersion parmi les poutres analysées.

Les différences entre les analyses CSFM peuvent être facilement analysées sur la Fig. 6.4, où les rapports entre les charges ultimes expérimentales et calculées (P_u,exp/P_u,calc) sont représentés. L'augmentation de la largeur efficace de semelle depuis la valeur par défaut (MFD = 1 ; b_eff = 350 mm) dans le modèle M0 jusqu'à la valeur spécifiée par la fib (International Federation for Structural Concrete 2013) (MFD = 3 ; b_eff = 670 mm) dans le modèle M1 a conduit à une augmentation des charges ultimes (Fig. 6.4a). L'influence de la largeur de semelle était très faible dans les essais où une rupture par cisaillement s'est produite (TA11 et TA12), mais significative (jusqu'à 14 %) dans le cas de ruptures par flexion (TA9 et TA10). La prise en compte d'une largeur efficace de semelle augmentée (modèle M1) a conduit en moyenne à de meilleurs résultats qu'avec le modèle par défaut, mais au prix d'une dispersion plus grande. Par conséquent, M1 est utilisé sur la Fig. 6.4 comme modèle de référence pour les analyses comparatives suivantes.

Les résultats de la prise en compte ou non d'une fissuration potentiellement non stabilisée dans les étriers sont présentés sur la Fig. 6.4b. Ce paramètre n'a affecté les résultats que pour les éprouvettes TA11 et TA12 (TA9 et TA10 ont une grande quantité d'étriers – ρ_t,geo > ρ_cr, voir Tableau 6.2 – et par conséquent le raidissement en traction a été pris en compte en utilisant le modèle de corde en traction (TCM) indépendamment de ce paramètre). Dans le modèle numérique M1, le raidissement en traction de TA11 et TA12 a été modélisé avec le modèle d'arrachement (POM), tandis que le TCM a été utilisé dans M4. L'utilisation du POM ou du TCM a eu un faible impact sur les prédictions de résistance dans ce cas particulier (un maximum de 10 % pour TA12), car la quantité d'étriers est assez élevée dans tous les cas. La prise en compte du POM est plus pertinente lors de la modélisation d'éléments structurels avec une quantité plus faible d'étriers, comme il sera discuté dans la Section 6.4. L'influence de la taille du maillage et des paramètres d'espacement des fissures sur la charge ultime était très faible dans ce cas (les différences sont inférieures à 5 %, voir Fig. 6.4c-d).

Les Figures 6.5 à 6.8 montrent les champs de contraintes résultants et l'identification des modes de rupture. Sur les Figures 6.5a à 6.8a, les modes de rupture observés sont indiqués sur les photos des éprouvettes testées (pour TA10, l'écrasement du béton en flexion rapporté n'est pas indiqué car il n'est pas visible sur la photo). Les modes de rupture prédits par le modèle numérique M1 sont mis en évidence sur les Figures 6.5c à 6.8c, qui montrent les champs de contraintes à l'état limite ultime, incluant les contraintes principales de compression (σ_cr3) et les contraintes dans l'acier (σ_sr) aux fissures. M1 correspond aux paramètres par défaut, à l'exception de la largeur efficace de semelle, qui est basée sur le fib Model Code 2010 (International Federation for Structural Concrete 2013). Les modes de rupture prédits concordent assez bien avec les observations expérimentales, y compris leur localisation. Le modèle de la poutre TA11 est légèrement conservatif car il prédit une rupture des étriers, alors que seul leur plastification est rapportée dans les expériences. Le calcul des zones fissurées et les amplitudes des largeurs de fissures (représentées par la longueur des traits) au début de la plastification sont tracés sur les Figures 6.5b à 6.8b. Les paramètres numériques de M1 sont également utilisés dans ce cas. Les zones fissurées prédites et les orientations des fissures concordent bien avec les observations expérimentales à la rupture sur les Figures 6.5a, 6.6a, 6.7 et 6.8a.

Réponse charge-déformation

La Fig. 6.9 montre la réponse charge-déformation mesurée ainsi que les réponses calculées en utilisant les paramètres numériques par défaut (Modèle M0 avec MFD = 1 et b_eff = 350 mm) et la largeur de semelle augmentée conformément au fib Model Code 2010 (Modèle M1 avec MFD = 3 et b_eff= 670 mm). Les réponses charge-déformation prédites par les autres modèles analysés (M2 à M6) sont très similaires à celles du modèle M1 et ne sont pas présentées ici. La valeur de la charge P correspond à la force totale appliquée et u correspond à la flèche en travée (voir par ex. Fig. 6.5b). Leonhardt et Walther (1963) n'ont pas rapporté de réponses charge-déformation complètes. Par conséquent, les graphiques contiennent deux lignes horizontales grises : (i) une ligne en tirets indiquant la charge maximale pour laquelle les flèches ont été rapportées et (ii) une ligne continue indiquant la charge ultime expérimentale. 

Une bonne concordance a été trouvée entre la réponse charge-déformation calculée et les résultats expérimentaux dans tous les essais dans la plage des données de mesure disponibles. Alors que le calcul avec les paramètres par défaut (M0) est légèrement trop souple, l'utilisation d'une hauteur de semelle augmentée (M1) fournit une excellente concordance. La comparaison des prédictions de la réponse charge-déformation montre qu'il est possible de reproduire de manière réaliste des capacités de déformation très différentes, telles qu'obtenues dans les essais en fonction de la quantité de ferraillage de cisaillement.

Largeurs de fissures sous charges de service

La Fig. 6.10a-b compare les largeurs de fissures (w) prédites par le CSFM avec les valeurs maximales rapportées par Leonhardt et Walther (1963). Deux essais avec différents modes de rupture sont étudiés dans cette comparaison : l'essai TA9 (rupture par flexion) et TA12 (rupture par cisaillement). Les largeurs de fissures ont été mesurées pour le ferraillage de flexion dans TA9 et au milieu de l'âme dans TA12 (voir Fig. 6.10c). Comme indiqué dans la Section 3.5.4, les modèles utilisés pour calculer les largeurs de fissures ne sont valables que si le ferraillage reste élastique. Par conséquent, les résultats de largeur de fissures sur la Fig. 6.10 ne sont donnés que jusqu'à la charge de plastification. Il convient de noter que la première mesure de largeur de fissure pour l'éprouvette TA12 a été effectuée après la plastification. Par conséquent, la Fig. 6.10b ne montre aucun point de mesure, seulement l'interpolation linéaire jusqu'à la première mesure. Les prédictions ont été réalisées en utilisant les modèles numériques M1, M5 et M6, qui ne diffèrent que par les coefficients d'espacement des fissures utilisés pour le calcul des largeurs de fissures : λ = 0,67 (moyen), λ = 0,5 (minimum) et λ = 1,0 (maximum).

Les résultats numériques pour TA9 prédisent très bien les largeurs de fissures de flexion mesurées (voir Fig. 6.10a). Les résultats du CSFM pour les largeurs maximales de fissures (M6 avec le coefficient d'espacement des fissures λ = 1) concordent excellemment dans ce cas avec les largeurs maximales de fissures observées. Comme prévu, une diminution du coefficient d'espacement des fissures (λ) conduit à des largeurs de fissures plus faibles. Cependant, les largeurs de fissures calculées dans les zones à fissuration non stabilisée (comme dans l'âme de TA12, voir Fig. 6.10b) sont indépendantes du coefficient d'espacement des fissures, car le calcul ne repose pas dans ce cas sur l'espacement des fissures (voir Fig. 3.10e). Les largeurs de fissures calculées dans les zones à fissuration non stabilisée doivent être interprétées comme de bonnes estimations des largeurs maximales de fissures attendues. La Fig. 6.10b montre les largeurs de fissures prédites dans l'âme de TA12, qui concordent assez bien avec les largeurs maximales de fissures mesurées. Comme déjà mentionné, seule la plage dans laquelle tout le ferraillage reste élastique est représentée, car c'est uniquement dans cette plage que le CSFM fournit des résultats appropriés de largeur de fissures.

Conclusions

Une bonne correspondance est trouvée entre les résultats du CSFM et les observations expérimentales. Les conclusions suivantes peuvent être formulées :

• L'utilisation des paramètres par défaut dans IDEA StatiCa Detail conduit à des estimations légèrement conservatives des charges ultimes, de la réponse charge-déformation et des modes de rupture.
• L'analyse de la sensibilité du modèle aux paramètres différents des valeurs par défaut montre que le paramètre le plus pertinent dans ce cas est la valeur considérée de la largeur efficace de semelle. Les concepteurs peuvent modifier la largeur par défaut en saisissant la géométrie via des modèles de voile ou de forme générale. La largeur efficace de semelle plus grande fournie par le fib Model Code 2010 conduit à des estimations très précises des charges ultimes expérimentales, des flèches et des largeurs de fissures.
• La prise en compte du raidissement en traction au moyen du modèle d'arrachement (Pull Out Model) dans la poutre avec la plus faible quantité d'étriers prédit une charge ultime qui se situe du côté sécuritaire d'environ 10 %. Lors de l'utilisation du modèle de corde en traction (Tension Chord Model), le mode de rupture expérimental ne peut pas être correctement reproduit. Cette discordance peut affecter la précision des prédictions de charge ultime, en particulier pour de faibles quantités d'étriers.
• Le coefficient d'espacement des fissures et la taille du maillage n'affectent pas significativement les charges ultimes et les modes de rupture. Le coefficient d'espacement des fissures n'a une influence significative que sur les résultats de largeur de fissures des barres d'armature pour lesquelles le modèle de corde en traction est utilisé pour le raidissement en traction.