Repedések

A repedések kialakulása

A hajlításnak vagy húzófeszültségnek kitett vasbeton szerkezetek jellemző tulajdonsága, hogy repedési tönkremenetel lép fel azokon a pontokon, ahol a betonban ébredő húzófeszültség meghaladja a beton húzószilárdságát. A szerkezet tartóssága és esztétikája szempontjából fontos, hogy a keletkező repedések a lehető legkisebbek legyenek. A repedésszélességek számítása, valamint az egyes kitettségi osztályokra megengedett maximális szélességek az EN 1992-1-1 szabvány 7.3. fejezetében találhatók.

A számítás első lépésében meghatározásra kerül, hogy a keresztmetszet repedt-e vagy sem. A repedésszélesség maga mindig a kvázi-állandó vagy a gyakori teherkombinációból számítandó (a nemzeti melléklettől függően), de a repedés kialakulását az összes megadott SLS kombinációból ellenőrizni kell. Így két eset fordulhat elő:

• A betonszálakban ébredő maximális húzófeszültség egyetlen teherkombinációból sem haladja meg a beton húzószilárdságát (kvázi-állandó M_E,qp, gyakori M_E,fr, vagy karakterisztikus M_E,k), ezért a keresztmetszetet repedésmentesnek tekintjük.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Ha bármely kombinációra (kvázi-állandó, gyakori vagy karakterisztikus) repedések alakulnak ki, azaz a vizsgált teherkombinációból adódó hajlítónyomaték nagyobb, mint a kritikus nyomaték M_cr, akkor a keresztmetszet az adott teherkombinációból repedt, és a repedt keresztmetszet jellemzőit, valamint a repedésszélességet ki kell számítani.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   valamely SLS teherkombinációból kapott hajlítónyomaték. Így lehet M_E,qp, M_E,fr, vagy M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  a beton húzószilárdsága a vizsgált időpontban. Ha a beton 28 napnál idősebb, f_ctm-mel egyenlő szilárdságot veszünk figyelembe.

Repedésszélesség számítása

Hajlítással terhelt szerkezeti elemnél a repedés kialakulása 2 jelenségre osztható:

• Repedésképződési fázis (1. ábra 2. szakasza)
• Stabilizált repedésfejlődés (1. ábra 3. szakasza)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Repedésfejlődési szakasz

Ez a folyamat kezdeti része, amikor az egyes repedések még fokozatosan jelennek meg, amíg a szerkezeti elem teljes húzott zónáját az elem hossza mentén közel egyenletesen elosztott repedések nem érintik. Az első repedés akkor keletkezik, amikor a húzott sávban ébredő erő meghaladja a kritikus erő N_r értékét (kritikus húzóerő, lásd alább), és további repedések fejlődnek ki egészen addig a terhelési szintig, amely a húzott sávban körülbelül 1,3N_cr-rel egyenlő erőt fejt ki (1. ábra 2. fázisa).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

A kialakuló repedések 2 típusra oszthatók – elsődleges és másodlagos repedések. Az elsődleges repedések a húzott szálakban keletkeznek, amikor elérik a beton effektív húzószilárdságát (f_ct,eff). Az elsődleges repedések alkotják a repedések első mintázatát (2. ábra). Ezt követően az elsődleges repedések között rövidebb másodlagos repedések alakulnak ki (3. ábra). Körülbelül 1,2–1,5 σ_sr-nek megfelelő feszültségeknél (általában 1,3 σ_sr átlagértékét veszik figyelembe, ahol σ_sr a vasalásban ébredő feszültség az elsődleges repedések kialakulásakor a beton húzott zónájában) a másodlagos repedések fejlődése is befejeződik.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

A repedésképződési szakaszban a repedésszélesség a következőképpen számítható:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Stabilizált repedési szakasz

A húzott zónában a kritikus erő körülbelül 1,3-szorosának meghaladása után új repedések már nem keletkeznek, a szerkezeti elemben lévő repedések száma stabilizálódik, és a további terhelés hatására csak a meglévő repedések szélessége növekszik (1. ábra 3. szakasza).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

A stabil fejlődési szakaszban a repedésszélesség a következőképpen számítható:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Kritikus húzóerő

A számítás a Tension Chord Model (TCM) alapján történik. Az alapgondolat egy vasbeton sáv teherbírásának meghatározása, amelyet egy A_s,eff keresztmetszetű betonacél alkot, körülvéve A_c,eff effektív húzott beton területtel, amely képes ellenállni a húzófeszültségnek egészen addig, amíg az f_ct,eff húzószilárdságot meg nem haladja (általában f_ctm-et vesszük figyelembe). Tökéletes tapadást feltételezve a vasalás és a beton között, az első repedés kialakulásáig a vasalás és a körülvevő beton alakváltozása azonosnak tekinthető. Ekkor a húzott sávban az első repedés előtt közvetlenül ébredő maximális N_r erő meghatározható:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

A következő helyettesítés bevezetésével

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

a következőt kapjuk:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Az első repedés kialakulása után az N_r teljes erőt a vasalás veszi át, így az éppen kialakult repedésen átmenő vasalásban ébredő feszültség a következőképpen számítható:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Repedésszélesség számítása EC 1992-1-1 szerint

A vasbeton szerkezeti elemek repedésszélességének számításához a következő összefüggést alkalmazzák:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maximális repedéstávolság

ε_sm  .   .   .   .   a vasalás átlagos alakváltozása a teherkombinációból, beleértve a húzási merevítő hatás hatásait.

ε_cm  .   .   .   .   a beton átlagos alakváltozása a repedések között

Az alakváltozás-különbség számítása

A vasalás és a beton alakváltozásának különbsége a repedések között a következő összefüggésből kapható:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   a vasalásban a repedésben ébredő feszültség a vizsgált teherkombinációból

k_t      .   .   .   .   empirikus együttható, amely az átlagos alakváltozást veszi figyelembe, a terhelés időtartamától függően. Rövid távú vizsgálatnál értéke 0,6. Hosszú távú vizsgálatnál a kompozit merevségének kb. 70%-ra való csökkenését veszik figyelembe, ezért értéke 0,4, amely magában foglalja a vasalás és a beton közötti tapadás időbeli romlásának mértékét.

α_e     .   .   .   . a rugalmassági modulusok effektív aránya

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   effektív vasalási arány

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   a vasalást körülvevő húzott beton effektív területe (A_c,eff meghatározása alább)

A_s,_eff .   .   .   .   az A_c,_eff területen belül elhelyezkedő tapadó vasalás területe

A_p´    .   .   .   .   az A_c,_eff területen belüli elő- vagy utófeszített feszítőkábelek területe

ξ₁  .   .   .   .   .   a tapadási szilárdság korrigált aránya, amely figyelembe veszi a feszítő- és betonacél eltérő átmérőit:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . a feszítő- és betonacél tapadási szilárdságának aránya (6.2. táblázat)

ϕ_s   .   .  a betonacél legnagyobb szálátmérője

ϕ_p   .   .  a feszítőacél átmérője vagy egyenértékű átmérője

Kötegek esetén A_p a feszítőkábelben lévő vasalás területe

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Egyszeres hétszálas pászmák esetén, ahol φ_wire a huzal átmérője

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Egyszeres háromszálas pászmák esetén, ahol φ_wire a huzal átmérője

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Ha a repedések megelőzésére csak feszítővasalást alkalmaznak, akkor a következőt kell figyelembe venni.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Feszített szerkezeti elemeknél nem szükséges minimális tapadó vasalás, amennyiben a terhelés karakterisztikus kombinációja és a feszítőerő karakterisztikus értéke esetén bármely szálban ébredő húzófeszültség nem haladja meg a beton húzószilárdságát, f_ct,eff. (részletekért lásd EN 1992-1-1 7.3.2. fejezet)

A húzott beton effektív területe

A számítás fontos, ugyanakkor legbonyolultabb lépése a vasalást körülvevő húzott beton effektív területének meghatározása. Mind az Eurocode, mind a Model Code egyszerű terhelési eseteket vesz figyelembe, ahol a vasbeton szerkezeti elemet egytengelyű hajlítás vagy húzás terheli. Az effektív magasság értéke a következőképpen határozható meg:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Általában a h_c,eff = 2,5(h-d) érték a mérvadó. Húzott elemeknél a felső korlát h/2, míg hajlított elemeknél (h-x)/3. Az A_c,eff terület azonban az 5(c+ϕ/2) összefüggésből meghatározott szélességre is korlátozott. Ha a vasalások tengelytávolsága nagyobb, mint 5(c+ϕ/2), akkor az egyes szálakhoz 5(c+ϕ/2) szélességű húzott beton effektív területét kell figyelembe venni.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maximális repedéstávolság

A maximális repedéstávolság s_r,max számításakor két eset fordulhat elő:

• A tapadó vasalás tengelytávolsága nem haladja meg az 5(c+ϕ/2) értéket – 9a. ábra
• A tapadó vasalás tengelytávolsága nagyobb, mint 5(c+ϕ/2) – 9b. ábra

A maximális repedéstávolság s_r,max számítása arra az esetre, amikor a vasalások tengelytávolsága nem haladja meg az 5(c+ϕ/2) értéket, a következőképpen definiált:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   a betonfedés értéke mm-ben. Mivel a szélső vasalás betonfedése eltérő lehet a vízszintes és a függőleges szélekhez képest, ajánlott a vizsgált vasaláshoz tartozó maximális betonfedési értéket figyelembe venni.

ϕ     .   .   .   .   a tapadó vasalás átmérője. Eltérő vasalási átmérők esetén az egyenértékű átmérőt az EN 1992-1-1 7.12. egyenlete szerint kell számítani.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . együttható, amely a tapadó vasalás tapadási tulajdonságait veszi figyelembe

• k₁ = 0,8 nagy tapadású betonacélok esetén
• k₁ = 1,6 hatékonyan sima felületű betonacélok esetén (pl. feszítőkábelek)

k₂ .   .   .   . együttható, amely az alakváltozás eloszlását veszi figyelembe

• k₂ = 1,0 hajlítás esetén
• k₂ = 0,5 tiszta húzás esetén

Excentrikus húzás vagy helyi területek esetén k₂ közbülső értékeit kell alkalmazni, amelyek a következő összefüggésből számíthatók:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  együttható, amely a repedés közelében lévő azon zóna hosszát fejezi ki, ahol a beton és a vasalás közötti tapadás megszakad. Az EC alapértelmezett k₃ = 3,4 ajánlott értékét a Nemzeti Melléklet módosíthatja. 

k₄      .   .   .   .   együttható, amely a beton tapadási és húzószilárdsága közötti összefüggést fejezi ki. Az EC alapértelmezett k4 = 0,425 ajánlott értékét a Nemzeti Melléklet módosíthatja.

A maximális repedéstávolság s_r,max számítása arra az esetre, amikor a vasalások tengelytávolsága meghaladja az 5(c+ϕ/2) értéket, a következőképpen definiált:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

A maximális repedéstávolság értékeinek az összefüggés szerint

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

mindig nagyobbnak kell lenniük a következő összefüggésből meghatározott értékeknél

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

ellenkező esetben ajánlott a fenti összefüggésekből kapott nagyobb távolságot figyelembe venni. A beton/vasalás alakváltozására vonatkozó összefüggés a vasalás nagy tengelytávolságának esetére nem módosul. A repedésszélesség-korlátozott területeken az egyes vasalások tengelytávolsága nem lehet nagyobb, mint 5(c+ϕ/2).

Repedésszélesség számítása az RCS-ben

Az A_c,eff effektív terület meghatározása

Mivel nem egyértelmű, hogy melyik vasalás tekinthető hosszirányú repedésálló vasalásnak, az A_c,eff meghatározása a következő iteratív eljárással történik.

• Az összes húzásban lévő vasalásból meghatározásra kerül a húzóerő súlypontja C_g,s,1. A vasalás effektív mélysége d a C_g,s és a legjobban nyomott betonszál közötti távolság, amelyet az eredő hajlítónyomaték irányában mérnek. Egyidejűleg meghatározásra kerül a semleges tengely helyzete és a nyomott zóna magassága x a repedt keresztmetszetre. Ez lehetővé teszi az effektív magasság h_c,eff meghatározását:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Az A_c,eff,1 területen kívül eső vasalások kizárásával meghatározásra kerül a vasalás új súlypontja C_g,s,2, valamint az új effektív mélység d; az effektív magasság h_c,eff ugyanúgy kerül meghatározásra, mint az előző lépésben, csak megváltozott bemeneti értékekkel.

Ismét ellenőrzésre kerül, hogy a vizsgált összes húzott vasalás az A_c,eff,2 területen belül helyezkedik-e el. Ha ez a feltétel teljesül, az iteráció leállítható, és a h_c,eff,2, A_c,eff,2 és A_s,eff,2 értékek eredményértékként jelennek meg az IDEA StatiCa RCS-ben.

A repedésszélesség-számítás lehetséges esetei

A repedésszélesség számításakor általában három eset fordulhat elő:

• A húzott vasalás az A_c,eff területen belül helyezkedik el, az egyes vasalások tengelytávolsága kisebb, mint 5(c+ϕ/2). Ekkor a számításhoz a következő összefüggések alkalmazandók:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• A húzott vasalás az A_c,eff területen belül helyezkedik el, az egyes vasalások tengelytávolsága meghaladja az 5(c+ϕ/2) távolságot. Ekkor a számításhoz a következő összefüggések alkalmazandók:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• A húzott vasalás nem helyezkedik el az A_c,eff területen belül (ezt okozhatja például a nagy betonfedés). 

Ebben az esetben a repedésszélesség számítása nem lenne lehetséges. Ezért az effektív magasság h_c,eff számítása a következőképpen módosul:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Egyidejűleg a következő meg nem felelés jelenik meg:

A vasalást vagy feszítőkábeleket körülvevő húzott beton effektív területe h_c,eff mélységig, ahol h_c,eff a 2,5(h – d) és h/2 közül a kisebb érték. Az (h – x)/3 értéket figyelembe véve a vasalás a húzott beton effektív területén kívül esik, ezért a repedésszélesség számítása a 7.3.4. szakasz szerint nem lenne lehetséges.