Der theoretische Hintergrund basiert auf der KOMPATIBLEN SPANNUNGSFELDBEMESSUNG VON BETONBAUTEILEN (Kaufmann et al., 2020)

Bemessung von Betondiskontinuitäten in IDEA StatiCa Detail

Allgemeine Einleitung für die Bemessung von Betondetails
Bewehrungsbemessung
Finite-Elemente Implementierung
   - Auflager und Komponenten zur Lastübertragung
   - Lastübertragung an getrimmten Trägerenden
   - Geometrische Bearbeitung von Querschnitten
   - Finite-Elemente-Typen
   - Vernetzung
   - Lösungsmethode und Algorithmus zur Lastkontrolle
   - Darstellung der Ergebnisse
Strukturelementnachweis in IDEA StatiCa Detail
Überprüfung der Strukturelemente nach Eurocode
   - Materialmodelle
   - Teilsicherheitsbeiwerte
   - Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit
   - Teilbelastete Flächen
   - Bemessung nach DIN EN 1992

1 Allgemein Einleitung

Die Bemessung und Bewertung von Betonelementen erfolgt normalerweise auf Abschnitts- (1D-Element) oder Punktebene (2D-Element).

Dieses Verfahren ist in allen Normen für die Tragwerksplanung beschrieben, z.B. in EN 1992-1-1, und wird in der alltäglichen Konstruktionspraxis verwendet. Es ist jedoch nicht immer bekannt oder anerkannt, dass das Verfahren nur in Bereichen akzeptabel ist, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese zur Verteilung von ebenen Dehnung gilt (als B-Bereiche bezeichnet). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht zutrifft, werden als Diskontinuität oder gestörte Regionen (D-Bereiche) bezeichnet. Beispiele für B- und D- Bereiche von 1D-Elementen sind in Abb. 1 angegeben.

Dies sind z. B. Tragende Flächen, Teile, an denen konzentrierte Lasten aufgebracht werden, Orte, an denen eine abrupte Änderung des Querschnitts auftritt, Öffnungen usw. Bei der Bemessung von Betonstrukturen treffen wir auf viele andere D- Bereiche wie Wände, Brückenquerschnitte, Konsolen usw.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}\]In der Vergangenheit wurden semi-empirische Bemessungsregeln zur Dimensionierung von Diskontinuitätsbereichen verwendet.

Glücklicherweise wurden diese Regeln in den letzten Jahrzehnten durch Fachwerkmodelle (Schlaich et al., 1987) und Spannungsfelder (Marti 1985) weitgehend abgelöst, die in aktuellen Bemessungsnormen enthalten sind und heute häufig von Tragwerksplanern verwendet werden. Diese Modelle sind mechanisch belastbare und leistungsstarke Werkzeuge. Beachten Sie, dass Spannungsfelder im Allgemeinen kontinuierlich oder diskontinuierlich sein können und dass Fachwerkmodelle ein Sonderfall für diskontinuierliche Spannungsfelder sind.

Trotz der Entwicklung der Rechenwerkzeuge in den letzten Jahrzehnten werden Fachwerkmodelle im Wesentlichen immer noch bei Handberechnungen verwendet. Ihre Anwendung für reale Strukturen ist mühsam und zeitaufwändig, da Iterationen erforderlich sind und mehrere Lastfälle berücksichtigt werden müssen. Darüber hinaus eignet sich diese Methode nicht zur Überprüfung der Kriterien für die Gebrauchstauglichkeit (Verformungen, Rissbreiten usw.).

Das Interesse von Bauingenieuren an einem zuverlässigen und schnellen Werkzeug für die Bemessung von D-Bereichen führte zur Entscheidung, die neue Methode für kompatible Spannungsfelder zu entwickeln, eine Methode zur computergestützten Bemessung von Spannungsfeldern, die die automatische Bemessung und Bewertung von zur Belastung in der Ebene unterworfenen Strukturbetonbauteilen ermöglicht.

Das kompatible Spannungsfeldmethode (Original: Compatible Stress Field Method) ist ein kontinuierliches Analyseverfahren für FE-basierte Spannungsfelder, bei dem klassische Spannungsfeldlösungen durch kinematische Überlegungen ergänzt werden, d.h. der Dehnungszustand wird in der gesamten Struktur bewertet.

Daher kann die effektive Druckfestigkeit von Beton auf der Grundlage des Zustands der Querdehnung auf ähnliche Weise automatisch berechnet werden wie bei Druckfeldanalysen, die Druckentfestigung berücksichtigen (Vecchio und Collins 1986; Kaufmann und Marti 1998) und der EPSF-Methode (Fernández) Ruiz und Muttoni 2007). Darüber hinaus berücksichtigt die CSFM Zugversteifung, die den Elementen realistische Steifigkeiten verleiht, und deckt alle Vorschriften der Bemessungsnorm (einschließlich Aspekte der Gebrauchstauglichkeit und Verformungskapazität) ab, die von früheren Ansätzen nicht konsequent berücksichtigt wurden. Die CSFM verwendet gemeinsame einachsige konstitutive Gesetze, die in Bemessungsnormen für Beton und Bewehrung vorgesehen sind. Diese sind bereits in der Entwurfsphase bekannt, wodurch die Methode der Teilsicherheitsfaktoren verwendet werden kann. Daher müssen Tragwerksplaner keine zusätzlichen, häufig willkürlichen, Materialeigenschaften ausgeben, wie sie typischerweise für nichtlineare FE-Analysen erforderlich sind, wodurch die Methode perfekt für die technische Praxis geeignet ist.

Zur Förderung der Verwendung computergestützter Spannungsfelder durch Statiker sollten diese Methoden in benutzerfreundlichen Softwareumgebungen implementiert werden.

Zu diesem Zweck wurde die CSFM in IDEA StatiCa Detail implementiert: Eine neue benutzerfreundliche kommerzielle Software, die von der ETH Zürich und dem Softwareunternehmen IDEA StatiCa im Rahmen des Projekts DR-Design Eurostars-10571 gemeinsam entwickelt wurde.

1.1     Hauptannahmen und Einschränkungen

Das CSFM geht von fiktiven, rotierenden, spannungsfreien Rissen aus, die sich ohne Schlupf öffnen (Abb. 2a), und berücksichtigt das Gleichgewicht an den Rissen zusammen mit den durchschnittlichen Dehnungen der Bewehrung. Daher berücksichtigt das Modell maximale Beton- (σ_c3r) und Bewehrungsspannungen (σ_sr) an den Rissen, während die Betonzugfestigkeit (σ_c1r = 0) vernachlässigt wird, mit Ausnahme der versteifenden Wirkung auf die Bewehrung. Durch die Berücksichtigung der Zugversteifung wird die Simulation der durchschnittlichen Bewehrungsdehnungen (ε_m) ermöglicht.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Trotz ihrer Einfachheit wurde gezeigt, dass ähnliche Annahmen genaue Vorhersagen für bewehrte Bauteile liefern, die einer Belastung in der Ebene ausgesetzt sind (Kaufmann 1998; Kaufmann und Marti 1998), wenn die Bewehrung zur Vermeidung von Sprödbrüchen bei der Rissbildung führt.

Darüber hinaus steht die Nichtberücksichtigung einer Verteilung der Zugfestigkeit von Beton zur Grenzlast im Einklang mit den Prinzipien moderner Bemessungsnormen, die größtenteils auf der Plastizitätstheorie beruhen.

Die CSFM ist jedoch nicht für schlanke Elemente ohne Querbewehrung geeignet, da relevante Mechanismen für Elemente wie Aggregatverankerungen, Restzugspannungen an der Rissspitze und Dübelwirkung - alle direkt oder indirekt von der Zugfestigkeit des Betons abhängig – außer Acht gelassen werden. Während einige Bemessungsnormen die Bemessung solcher Elemente auf der Grundlage semi-empirischer Bestimmungen erlauben, ist die CSFM nicht für diese Art von potenziell spröden Strukturen vorgesehen.

1.2     Werkstoffmodell

1.2.1    Beton

Das in der CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den Gesetzen zur einachsigen Druckkonstitution, die in den Bemessungsnormen für die Bemessung von Querschnitten vorgeschrieben sind und nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das in EN 1992-1-1 (Abb. 2c) angegebene Parabel-Rechteck-Diagramm wird in der CSFM standardmäßig verwendet. Konstrukteure können jedoch auch ein vereinfachtes, elastisches ideal plastisches Verhältnis wählen. Bei der Bewertung nach ACI 3018-04 kann nur das Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Parabel-Rechtecks verwendet werden. Wie bereits erwähnt, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt, wie dies bei der klassischen bewehrten Betonbemessung der Fall ist.

Die effektive Druckfestigkeit wird für gerissenen Beton automatisch, basierend auf der Hauptzugspannung (ε₁), mittels des Reduktionsfaktors k_c2 bewertet, wie in Abb. 2c und e gezeigt. Das implementierte Reduktionsverhältnis (Abb. 2e) ist eine Verallgemeinerung des Vorschlags der f_ib Modellnorm 2010 für Schernachweise, der einen Grenzwert von 0,65 für das maximale Verhältnis von effektiver Betonfestigkeit zu Betondruckfestigkeit enthält, der für andere Lastfälle nicht anwendbar ist.

Unter Verwendung der Standardeinstellungen berücksichtigt die aktuelle Implementierung der CSFM in IDEA StatiCa Detail kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d.h. es wird ein unendlich plastischer Zweig berücksichtigt, nachdem die Spannungsspitze erreicht ist). Diese Vereinfachung macht die Überprüfung der Verformungskapazität von Strukturen, die bei Druck versagen, nicht möglich. Ihre finale Kapazität wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zu dem in Abb. 2e definierten Faktor für gerissenen Beton (k_c2) die Zunahme der Sprödigkeit von Beton mit zunehmender Festigkeit anhand des in der f_ib Modellnorm 2010 definierten Reduktionsfaktors wie folgt berücksichtigt wird:

\[f_{ck,red} = k_c \cdot f_{ck} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wo:

k_c  – Globaler Reduktionsfaktor der Druckfestigkeit

k_c2 – Reduktionsfaktor aufgrund von Querrissen

f_ck – Charakteristische Festigkeit des Betonzylinders (in MPa zur Definition von η_fc \( \eta_{fc} \)).

1.2.2    Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe betrachtet, die typischerweise durch Bemessungsnormen (Abb. 2d) definiert sind. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich, dass die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase bekannt sind (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Eine benutzerdefinierte Spannungs-Dehnungs-Beziehung kann ebenfalls definiert werden.

Zugversteifung wird berücksichtigt, indem das Verhältnis von Eingangsspannung zu Dehnung des blanken Bewehrungsstabs bearbeitet wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) zu erfassen (Abschnitt 1.2.4).

1.2.3    Verifizierung der Verankerungslänge

Im Finite-Elemente-Modell für Lastfälle im GZT wurde ein Verbundschlupf zwischen Bewehrung und Beton eingeführt, unter Berücksichtigung des in Abb. 2f dargestellten vereinfachten konstitutiven Verhältnisses von starr zu perfekt plastisch, wobei f_bd der Bemessungswert der finalen Verbundspannung ist, die durch die Bemessungsnorm für die spezifischen Verbundbedingungen festgelegt ist.

Dies ist ein vereinfachtes Modell mit dem alleinigen Zweck, die Verbundvorschriften gemäß den Bemessungsnormen (d.h. Verankerung der Bewehrung) zu überprüfen. Die Verringerung der Verankerungslänge bei Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann, wie in Abschnitt 3.5.3 beschrieben, berücksichtigt werden, indem am Bewehrungsende eine bestimmte Kapazität definiert wird. Es ist zu beachten, dass für die Berechnung der Zugversteifung und der Rissbreite ein anderes Modell zum Verhältnis von Verbundschubspannung zu Schlupf angenommen wird. In solchen Fällen berücksichtigt das Modell durchschnittliche Verbundschubspannungen anstelle charakteristischer Werte, um das durchschnittliche Verhalten der Elemente zu erfassen.

1.2.4    Zugversteifung

Die Implementierung von Zugversteifung unterscheidet zwischen Fällen stabilisierter und nicht stabilisierter Rissmuster. In beiden Fällen gilt der Beton vor der Belastung standardmäßig als vollständig gerissen.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Stabilisierte Rissbildung

Bei voll entwickelten Rissmustern wird die Zugversteifung mit dem Zuggurtmodell (Tension Chord Model, TCM) eingeführt (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) - Abb. 3a - von dem gezeigt wurde, dass es trotz seiner Einfachheit hervorragende Verhaltensvorhersagen liefert (Burns 2012). Die TCM geht von einem abgestuften Verhältnis von starr-perfekter plastischer Verbundschubspannung zu Schlupf, mit τ_b = τ_b0 = 2 ∙ f_ctm für σ_s ≤ f_y und τ_b = τ_b1 = f_ctm für σ_s > f_y, aus. Das Durch das Behandeln jedes Bewehrungsstabes als Zuggurt – Abb. 3b und Abb. 3a - kann die Verteilung der Verbundsschub-, Stahl- und Betonspannungen und damit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden gegebenen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder Dehnungen) an den Rissen ermittelt werden.

Bei s_r = s_r0 kann sich ein neuer Riss bilden; es bildet sich kein Riss, wenn in der Mitte zwischen zwei Rissen σ_c1 = f_ct. Folglich kann der Rissabstand um einen Faktor von 2 variieren, d.h. s_r = λ_sr0, mit l = 0,5 ... 1,0. Unter der Annahme eines bestimmten Wertes für λ kann die durchschnittliche Dehnung des Gurtes (ε_m) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d.h. Spannungen an den Rissen, σ_sr) ausgedrückt werden. Für das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die in der CSFM standardmäßig berücksichtigten blanken Bewehrungsstäbe gelten die folgenden analytischen Ausdrücke in geschlossener Form (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

wo:
E_sh – E-Modul bei Stahlentfestigung E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s – E-Modul der Bewehrung

Ø – Durchmesser des Bewehrungsstabes

s_r – Rissabstand

σ_sr – Bewehrungsspannung an den Rissen

σ_s – aktuelle Bewehrungsspannungen

f_y  - Streckgrenze der Bewehrung

Die Implementierung der CSFM von IDEA StatiCa Detail berücksichtigt bei einer computergestützten Spannungsfeldanalyse standardmäßig den durchschnittlichen Rissabstand. Der durchschnittliche Rissabstand wird als 2/3 des maximalen Rissabstands (λ = 0,67) angenommen, was den Empfehlungen auf der Grundlage von Biege- und Zugversuchen entspricht (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983).

Die Anwendung der TCM hängt vom Bewehrungsanteil ab, und daher ist die Zuordnung einer geeigneten Betonfläche, die bei Zug zwischen den Rissen wirkt, zu jedem Bewehrungsstab von entscheidender Bedeutung. Es wurde ein automatisches numerisches Verfahren entwickelt, um den entsprechenden wirksamen Bewehrungsanteil (ρ_eff = A_s/A_c,eff) für jede Konfiguration, einschließlich der Schrägbewehrung, zu definieren (Abb. 4).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Nicht-stabilisierte Rissbildung

Risse in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsanteilen < ρ_cr, d.h. der Mindestbewehrungsmenge, für die die Bewehrung die Risslast ohne Fließen tragen kann, werden entweder durch nichtmechanische Einwirkungen (z. B. Schrumpfen) oder durch das Fortschreiten kontrollierter Risse, durch andere Verstärkung, erzeugt. Der Wert dieser Mindestbewehrung wird wie folgt erhalten:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

wo:

f_y – Streckgrenze der Bewehrung

f_ct – Zugfestigkeit des Betons

n – Verhältnis der Module, n = E_s/E_c

Für konventionellen Beton und Bewehrungsstahl beträgt ρ_cr ungefähr 0,6%.

Bei Bügeln mit Bewehrungsanteil < ρ_cr wird die Rissbildung als nicht stabilisiert angesehen, und die Zugversteifung wird mit Hilfe des in Abb. 3b beschriebenen Auszugsmodells (Pull-Out Model, POM) durchgeführt. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses bei Annahme keiner mechanischen Wechselwirkung zwischen getrennten Rissen, wobei die Verformbarkeit von Beton unter Spannung vernachlässigt wird und das gleiche abgestufte Verhältnis von starr-perfekter plastischer Verbundschubspannung zu Schlupf angenommen wird, das von der TCM verwendet wird.

Dies ermöglicht es, die Dehnungsverteilung der Bewehrung (ε_s) in Rissnähe für jede maximale Stahlspannung am Riss (σ_sr) direkt aus dem Gleichgewicht zu erhalten.

Angesichts der Tatsache, dass der Rissabstand für ein nicht vollständig entwickeltes Rissmuster unbekannt ist, wird die durchschnittliche Dehnung (ε_m) für jedes Lastniveau über dem Abstand zwischen Punkten mit einem Null-Schlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab seine Zugfestigkeit (f_t) am Riss (l_ε,avg in Abb. 3b) erreicht, was zu folgenden Abhängigkeiten führt:

Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens der Verbundbewehrung, die final in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich Zugversteifung) für den häufigsten europäischen Bewehrungsstahl (B500B, mit f_t / f_y = 1,08 und ε_u = 5%) ist in Abb. 3c-d dargestellt.

Bewehrungsbemessung

Workflow und Ziele

Das Ziel der Bemessungstools für Bewehrung in der CSFM besteht darin, den Ingenieuren dabei zu helfen, den Ort und die erforderliche Betonstahlmenge effizient zu bestimmen. Bei diesem Prozess helfen dem Benutzer die folgenden Tools: lineare Berechnung, Topologie-Optimierung und Flächen-Optimierung.

1. Tools zur Betonstahlbemessung berücksichtigen vereinfachte Werkstoffmodelle im Vergleich zu den Modellen, die für die endgültige Bemessung verwendet werden. Daher sollte dieser Schritt als Vorbemessung betrachtet werden, der während des finalen Überprüfungsschritts bestätigt werden muss. Die Verwendung von verschiedenen Tools zur Bewehrungsbemessung wird anhand des in Abb. 5 gezeigten Modells dargestellt, das den Auflager eines gevouteten Trägers darstellt, der einer gleichmäßig verteilten Last ausgesetzt ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Modell zur Veranschaulichung der Verwendung der Bewehrungsentwurfswerkzeuge.}}}\]

Bewehrungsbereiche

Für Bereiche, in denen die Bewehrungsanordnung nicht im Voraus bekannt ist, stehen in der CSFM zwei Methoden zur Verfügung, mit denen der Benutzer die optimale Position der Bewehrungsstäbe bestimmen kann:

Lineare Analyse und Topologie-Optimierung. Beide Methoden bieten für einen bestimmten Lastfall einen Überblick über die Lage der Zugkräfte.

Lineare Analyse

Die lineare Analyse berücksichtigt die Eigenschaften des linearen elastischen Materials und vernachlässigt den Betonstahl. Daher ist es eine sehr schnelle Berechnung, die einen ersten Einblick in die Positionen von Zug- und Druckbereichen bietet. Ein Beispiel für eine solche Berechnung ist in Abb. 6 dargestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Ergebnisse des linearen Analysetools zur Festlegung der Bewehrungsführung}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(rot: Flächen unter Druck, blau: Flächen unter Spannung).}}}\]

Topologie-Optimierung

Die Topologie-Optimierung bzw. Fachwerkanalogie ist eine Methode, mit der die optimale Materialverteilung in einem bestimmten Volumen für eine bestimmte Lastkonfiguration ermittelt werden soll. Die in IDEA StatiCa Detail implementierte Topologie-Optimierung verwendet ein lineares Finite-Elemente-Modell. Jedes finite Element kann eine relative Dichte von 0 bis 100% haben, was jeweils die relative verwendete Materialmenge darstellt; diese Elementdichten sind im Optimierungsproblem die Optimierungsparameter. Die resultierende Materialverteilung wird für die gegebenen Lasten als optimal angesehen, wenn sie die Energie der Gesamtverformung des Systems minimiert. Per Definition ist die optimale Verteilung auch die Geometrie, die für die gegebenen Lasten die größtmögliche Steifigkeit bzw. Tragfähigkeit aufweist.

Der iterative Prozess zur Optimierung beginnt mit einer homogenen Verteilung der Dichte. Die Berechnung wird für mehrere Stücke des Gesamtvolumens (20%, 40%, 60% und 80%) durchgeführt, wodurch der Benutzer das praktischste Ergebnis aus den vorgeschlagenen auswählen kann. Die resultierende Form besteht aus einem Fachwerk mit Zug- und Druckstreben und stellt die optimale Form für die gegebenen Lastfälle dar (Abb. 7).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Ergebnisse des Entwurfswerkzeugs zur Topologieoptimierung mit 20\% und 40\% effektivem Volumen}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(rot: Flächen unter Druck, blau: Flächen unter Spannung).}}}\]

3 Finite-Elemente Implementierung

3.1     Einleitung

Die CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (2D-Finite Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-elemente, die die Bewehrung darstellen (1D-Finite Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht diffus in die konkreten 2D-Finite Elemente eingebettet, sondern ausdrücklich modelliert und mit diesen verbunden. Im Berechnungsmodell wird ein ebener Spannungszustand berücksichtigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Modelliert werden können sowohl ganze Wände und Träger als auch Details (Teile) von Trägern (isolierter Diskontinuitätsbereich, auch als zugeschnittenes Ende bezeichnet). Bei Wänden und ganzen Trägern müssen die Auflager so definiert werden, dass sich eine (äußerlich) isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Struktur ergibt. Die Lastübertragung an den zugeschnittenen Trägerenden erfolgt über eine spezielle Saint-Venant-Übertragungszone (beschrieben in Abschnitt 3.3), die eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Detailbereich gewährleistet.

3.2     Auflager und Komponenten zur Lastübertragung

Zur Modellierung der meisten Situationen während des Konstruktionsprozesses stehen in der CSFM viele Auflagertypen (Abb. 9) und Komponenten zur Lastübertragung (Abb. 10) zur Verfügung.

3.2.1   Auflager

Das Punktauflager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, um sicherzustellen, dass die Spannungen nicht in einem Punkt lokalisiert, sondern über einen größeren Bereich verteilt werden. Die erste Option ist ein verteiltes Punktauflager (Abb. 9a), das die Last an der Bauteilkante gleichmäßig über die festgelegte Breite verteilt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Various types of supports:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]

Eine Bereichslagerung dagegen (Abb. 9d) kann dagegen nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten wirksamen Radius platziert werden. Sie wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskäfig um die Bereichslagerung herum zu definieren.

Für die genauere Modellierung einiger realer Szenarien gibt es zwei weitere Optionen für Punktauflager. Zum einen gibt es ein Punktauflager mit einer Lagerplatte mit definierter Breite und Dicke (Abb. 9b). Das Material der Lagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Lagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zum anderen steht eine hängende Lagerung zur Verfügung (Abb. 9e), mit der Transportanker oder Transportbolzen modelliert werden können.

Das Linienauflager (Abb. 9c) kann an einer Kante (durch Angabe ihrer Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Ebenso ist es möglich, seine Steifigkeit und/oder sein nichtlineares Verhalten festzulegen (Auflager bei Druck/Zug oder nur bei Druck).

3.2.2   Komponenten zur Lastübertragung

Das Einbringen von Lasten in die Struktur kann ebenfalls auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Punktlasten kann eine Lagerplatte (Abb. 10a) ähnlich wie ein Punktauflager verwendet werden, die die konzentrierte Last über eine Stahlplatte mit festgelegter Breite und Dicke auf eine größere Fläche verteilt. Bereichslasten (Abb. 10b und Abb. 11) werden mit einem bestimmten wirksamen Radius im Beton platziert und durch starre Elemente mit den Knoten benachbarter Bewehrungsstäbe verbunden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Various types of load transfer components:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}\]

Transportanker oder Transportdübel können durch eine Aufhängung modelliert werden (Abb. 10c). Der Anwender kann eine teilbelastete Fläche (Abb. 10d) verwenden, die eine Erhöhung der Tragfähigkeit von Druckbeton nach Eurocode ermöglicht (diese Komponente der Lastübertragung kann nicht verwendet werden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch durch Linienlasten an den Kanten belastet werden, durch allgemeine Polylinien oder durch Flächenlasten, die z.B. das Eigengewicht darstellen (Das bei der Analyse nicht automatisch berücksichtigt wird).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars; (c) load transferred through concrete.}}}\]

3.3     Lastübertragung an zugeschnittenen Trägerenenden

In vielen Fällen müssen nur einige Details (Teile) eines Bauteils modelliert werden, z.B. Trägerstütze, Öffnung in der Trägermitte usw. Dieser Ansatz kann zu Auflagerkonfigurationen führen, die in IDEA StatiCa Detail instabil, aber zulässig sind (einschließlich des Falls ohne Auflager). In solchen Fällen ist es jedoch auch erforderlich, den Abschnitt zu modellieren, der die Verbindung zum angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen an diesem Abschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z.B. beim Modellieren der Auflager von Trägern) können diese Schnittgrößen vom Programm automatisch ermittelt werden.

Zwischen dem B-Bereich und dem analysierten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Übertragungszone erstellt, um eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Bereich sicherzustellen. Die Breite der Übertragungszone wird als die Hälfte der Abschnittstiefe ermittelt. Da das einzige Ziel der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine angemessene Spannungsverteilung im Rest des Modells zu erreichen, werden bei der Überprüfung keine Ergebnisse aus diesem Bereich angezeigt, und keine Stop-Kriterien werden hier berücksichtigt.

Der Rand der Saint-Venant-Zone, der das zugeschnittene Trägerende darstellt, wird als starr modelliert, d.h. es kann sich drehen, muss jedoch eben liegen. Dies geschieht durch Verbinden aller FEM-Knoten der Kante mit einem separaten Knoten in der Trägheitsmitte des Abschnitts unter Verwendung eines Starrkörperelements (RBE2). Die Schnittgrößen des Elements können dann auf diesen Knoten angewendet werden, wie in Abb. 12.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}\]

3.4     Geometrische Bearbeitung von Querschnitten

Bei Vouten-Geometrien wird die Breite der zur Modellierung der Voute verwendeten Wandelemente im Vergleich zur ursprünglichen Breite verringert, so dass sie der doppelten Höhe plus der Dicke der angrenzenden Wand entspricht. Dies basiert auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld in einem Winkel von 45 ° von der Wand ausdehnen würde (siehe Abb. 13), so dass die zuvor erwähnte reduzierte Breite die maximale Breite wäre, die Lasten übertragen kann.

Beachten Sie, dass sich die in der CSFM implementierte Methode zur Bestimmung des wirksamen Flansches von der in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) angegebenen Methode unterscheidet. Neben der Geometrie wird der auf Eurocode basierende, wirksame Breitenflansch deutlich von den Spannweiten und Randbedingungen einer Struktur beeinflusst.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}\]

Bei in horizontaler Ebene liegenden Vouten (Abb. 14) ist jede Voute entlang ihrer Länge in fünf Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit konstanter Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}\]

3.5     Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare FEA-Modell wird durch verschiedene Typen von Finite-Elemente erzeugt, die zum Modellieren von Beton, Bewehrung und dem Verbund zwischen ihnen verwendet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mithilfe von Mehrpunktkopplungen (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige, in Bezug zum Beton, relative Position einnehmen. Soll die Überprüfung der Verankerungslänge berechnet werden, werden Verbund- und Federelemente für das Verankerungsende zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

3.5.1   Beton

Beton wird unter Verwendung der viereckigen und dreieckigen Schalenelemente CQUAD4 und CTRIA3 modelliert; diese Elemente können durch vier bzw. drei Knoten definiert sein. Es wird angenommen, dass in diesen Elementen nur ebene Spannungen vorhanden sind, d.h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt

Jedes Element hat vier oder drei Integrationspunkte, die ca. 1/4 seiner Größe haben. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₃ berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c3 und die Steifigkeiten E₁, E₂ gemäß dem festgelegten Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons in Abb. 2 ausgewertet. Es ist zu beachten, dass der Einfluss der Auswirkung der Druckentfestigung das Verhalten der Hauptdruckrichtung mit dem tatsächlichen Zustand der anderen Hauptrichtung gekoppelt wird.

3.5.2   Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch 1D-Stabelemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifheit aufweisen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbundelementen“ verbunden, die entwickelt wurden, um das Gleitverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend durch MPC-Elemente (Multi-Point Constraint) mit dem Netz, das den Beton darstellt, verbunden. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung später sichergestellt wird.

3.5.3   Überprüfung der Verankerungslänge: Verbundelemente

Die Überprüfung der Verankerungslänge erfolgt durch Implementieren der Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell. Zu diesem Zweck wurde ein Finite-Elemente-Typ „Verbund“ entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4): Es wird ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine Schersteifigkeit ungleich Null zwischen den beiden oberen und zwei unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, die die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, die Beton darstellen.

Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und unteren Knoten, δ_u, beschrieben, siehe Abb. 16.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

Der elastische Steifigkeitsmodul des Verbund-Schlupf-Verhältnisses G_b ist wie folgt definiert:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

wo:

k_g - Koeffizient abhängig von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig k_g = 0.2)

E_c – E-Modul des Betons, angenommen als E_cm

Ø – Durchmesser des Bewehrungsstabes

Zur Überprüfung der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte der finalen Verbundschubspannung f_bd verwendet, die in den jeweils ausgewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 (2015) oder ACI 318-04 angegeben sind. Die Wiederverfestigung des plastischen Zweigs wird standardmäßig mit G_b/10⁵ berechnet.

3.5.4   Verifizierung der Verankerungslänge: Federelemente

Die Einstellung von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d.h. Biegungen, Haken, Schlaufen…), die die Vorschriften der Bemessungsnormen erfüllen, ermöglicht die Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungskoeffizient“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Die verfügbaren Verankerungstypen in der CSFM umfassen einen geraden Stab (d.h. Keine Reduzierung des Ankerendes), eine Biegung, einen Haken, eine Schlaufe, einen geschweißten Querstab, einen perfekten Verbund und einen durchgehenden Stab. Diese Typen sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungskoeffizienten β in Abb. 17 und für Längsbewehrung und in Abb. 18 für Bügel dargestellt. The values of the adopted anchorage coefficients are in accordance with EN 1992-1-1. Es ist zu beachten, dass die CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen nur drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Verringerung der Verankerungslänge, (ii) eine Verringerung der Verankerungslänge um 30% bei normaler Verankerung und (iii) perfekter Verbund.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

Die beabsichtigte Reduzierung von l_b,net  entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende bei einem Prozentsatz seiner maximalen Kapazität, der durch den Koeffizienten der Verankerungsreduktion gegeben ist, wie in Abb. 19a gezeigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

Die Verringerung der Verankerungslänge ist im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende (Abb. 15) enthalten, das durch das in Abb. 19b dargestellte Werkstoffmodell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), ist definiert durch:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

wo:

β – Verankerungsfaktor, basierend auf dem Verankerungstyp

A_s – Querschnitt des Bewehrungsstabes

f_yd – Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung.

3.6     Vernetzung

Die im vorherigen Kapitel beschriebenen finiten Elemente werden intern implementiert, und das Analysemodell wird automatisch generiert, ohne dass eine erfahrene Interaktion durch den Anwender erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

3.6.1   Beton

Alle Betonbauteile sind miteinander vernetzt. Von der Anwendung wird eine empfohlene Elementgröße automatisch, basierend auf der Größe und Form der Struktur und unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabes, berechnet. Darüber hinaus garantiert die empfohlene Elementgröße, dass mindestens 4 Elemente in dünnen Teilen der Struktur. wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen zu gewährleisten. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, dieser Wert reicht jedoch aus, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Strukturen bereitzustellen. Anwender können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße auswählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße ändern.

3.6.2   Bewehrung

Die Bewehrung ist in Elemente unterteilt, die in etwa der Länge der Größe der Betonelemente entsprechen. Sobald die Bewehrungs- und Betonnetze erzeugt sind, werden sie mit Verbundelementen (GZT) oder direkt durch MPC-Elemente (GZG) verbunden, wie in Abb. 15 gezeigt.

3.6.3   Lagerplatten

Hilfsbauteile, wie Lagerplatten, sind unabhängig voneinander vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird mit 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet.  Die Knoten des Netzes für die Lagerplatte werden dann unter Verwendung von Interpolationskopplungselementen (RBE3) mit den Randknoten des Betonnetzes verbunden.

3.6.4   Lasten und Auflager

Bereichslasten und Bereichslager werden nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 20 dargestellt; daher ist es notwendig, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des wirksamen Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Linienauflager und Linienlasten werden mit RBE3-Elementen, basierend auf der festgelegten Breite oder dem festgelegten wirksamen Radius, mit den Knoten des Betonnetzes verbunden. Das Gewicht der Verbindungen ist anti- proportional zum Abstand vom Auflager- oder Lastimpuls.

3.7     Lösungsmethode und Algorithmus zur Lastkontrolle

Zur Lösung eines nichtlinearen FEM Problems wird ein vollständiger Newton-Raphson (NR) Algorithmus verwendet.The implementation is almost identical to the one presented in.

Generell konvergiert der NR-Algorithmus nicht oft, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt angewendet wird. Ein üblicher Ansatz, der auch hier verwendet wird, besteht darin, die Last nacheinander in mehreren Steigerungsstufen anzuwenden und das Ergebnis des vorherigen Laststufe zu verwenden, um die Newton-Lösung einer nachfolgenden Laststufe zu starten. Zu diesem Zweck wurde über dem Newton-Raphson ein Algorithmus zur Laststeuerung implementiert. Für den Fall, dass die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird die aktuelle Laststufe auf die Hälfte ihres Werts reduziert und die NR-Iterationen werden wiederholt.

Ein weiterer Zweck des Algorithmus zur Laststeuerung besteht darin, die kritische Last zu ermitteln, die mit bestimmten „Stop-Kriterien“ übereinstimmt - insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in den Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in den Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in den Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit der Halbierungsmethode ermittelt. Wird das Stop-Kriterium irgendwo im Modell überschritten, werden die Ergebnisse der letzten Laststufe verworfen und eine neue Steife von der halben Größe der vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last, mit einer bestimmten Fehlertoleranz, ermittelt ist.

Für Beton wurde das Stop-Kriterium standardmäßig auf eine Druckspannung von 5% (d.h. um eine Größenordnung größer als die tatsächliche Versagensdehnung des Betons) und eine Zugspannung von 7% an den Integrationspunkten der Schalenelemente eingestellt. Unter Zug wurde der Wert so eingestellt, dass zuerst die Grenzdehnung in der Bewehrung erreicht werden kann, die normalerweise bei ca. 5% liegt, ohne die Zugversteifung zu berücksichtigen. Bei Druck wurde der Wert aus mehreren Alternativen ausgewählt, die groß genug sind, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar werden, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme bei der numerischen Stabilität zu verursachen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Für Bewehrung wird in Bezug auf Spannungen das Stop-Kriterium definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Zugkriterium der Zugfestigkeit der Bewehrung, die den Sicherheitskoeffizienten berücksichtigt.

Das Stop-Kriterium in Verbund- und Verankerungselementen ist α · δ_umax, wobei δ_umax der maximale Schlupf ist, der bei Normnachweisen verwendet wird, und α = 10.

3.8     Darstellung der Ergebnisse

Die Ergebnisse werden unabhängig voneinander für Beton und Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da eine Darstellung der Daten auf diese Weise jedoch nicht praktikabel ist, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie beispielsweise der Maximalwert der Druckspannung von benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 22). Es ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an auf Druck belasteten Bauteilkanten lokal unterschätzen kann, wenn die Größe der finiten Elemente der Tiefe der Druckzone ähnlich ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad  Concrete finite element with integration points and nodes: presentation of the results for concrete in nodes and}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{in finite elements.}}}\]

Die Ergebnisse für die finiten Elemente der Bewehrung sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert - z.B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte - für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente wie Elemente von Lagerplatten werden nur Verformungen dargestellt.

3 Finite-Elemente Implementierung

3.1     Einleitung

Die CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (2D-Finite Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-elemente, die die Bewehrung darstellen (1D-Finite Elemente). Daher ist die Bewehrung nicht diffus in die konkreten 2D-Finite Elemente eingebettet, sondern ausdrücklich modelliert und mit diesen verbunden. Im Berechnungsmodell wird ein ebener Spannungszustand berücksichtigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Modelliert werden können sowohl ganze Wände und Träger als auch Details (Teile) von Trägern (isolierter Diskontinuitätsbereich, auch als zugeschnittenes Ende bezeichnet). Bei Wänden und ganzen Trägern müssen die Auflager so definiert werden, dass sich eine (äußerlich) isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Struktur ergibt. Die Lastübertragung an den zugeschnittenen Trägerenden erfolgt über eine spezielle Saint-Venant-Übertragungszone (beschrieben in Abschnitt 3.3), die eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Detailbereich gewährleistet.

3.2     Auflager und Komponenten zur Lastübertragung

Zur Modellierung der meisten Situationen während des Konstruktionsprozesses stehen in der CSFM viele Auflagertypen (Abb. 9) und Komponenten zur Lastübertragung (Abb. 10) zur Verfügung.

3.2.1   Auflager

Das Punktauflager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, um sicherzustellen, dass die Spannungen nicht in einem Punkt lokalisiert, sondern über einen größeren Bereich verteilt werden. Die erste Option ist ein verteiltes Punktauflager (Abb. 9a), das die Last an der Bauteilkante gleichmäßig über die festgelegte Breite verteilt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Various types of supports:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}\]

Eine Bereichslagerung dagegen (Abb. 9d) kann dagegen nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten wirksamen Radius platziert werden. Sie wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskäfig um die Bereichslagerung herum zu definieren.

Für die genauere Modellierung einiger realer Szenarien gibt es zwei weitere Optionen für Punktauflager. Zum einen gibt es ein Punktauflager mit einer Lagerplatte mit definierter Breite und Dicke (Abb. 9b). Das Material der Lagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Lagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zum anderen steht eine hängende Lagerung zur Verfügung (Abb. 9e), mit der Transportanker oder Transportbolzen modelliert werden können.

Das Linienauflager (Abb. 9c) kann an einer Kante (durch Angabe ihrer Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Ebenso ist es möglich, seine Steifigkeit und/oder sein nichtlineares Verhalten festzulegen (Auflager bei Druck/Zug oder nur bei Druck).

3.2.2   Komponenten zur Lastübertragung

Das Einbringen von Lasten in die Struktur kann ebenfalls auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Punktlasten kann eine Lagerplatte (Abb. 10a) ähnlich wie ein Punktauflager verwendet werden, die die konzentrierte Last über eine Stahlplatte mit festgelegter Breite und Dicke auf eine größere Fläche verteilt. Bereichslasten (Abb. 10b und Abb. 11) werden mit einem bestimmten wirksamen Radius im Beton platziert und durch starre Elemente mit den Knoten benachbarter Bewehrungsstäbe verbunden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Various types of load transfer components:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}\]

Transportanker oder Transportdübel können durch eine Aufhängung modelliert werden (Abb. 10c). Der Anwender kann eine teilbelastete Fläche (Abb. 10d) verwenden, die eine Erhöhung der Tragfähigkeit von Druckbeton nach Eurocode ermöglicht (diese Komponente der Lastübertragung kann nicht verwendet werden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch durch Linienlasten an den Kanten belastet werden, durch allgemeine Polylinien oder durch Flächenlasten, die z.B. das Eigengewicht darstellen (Das bei der Analyse nicht automatisch berücksichtigt wird).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars; (c) load transferred through concrete.}}}\]

3.3     Lastübertragung an zugeschnittenen Trägerenenden

In vielen Fällen müssen nur einige Details (Teile) eines Bauteils modelliert werden, z.B. Trägerstütze, Öffnung in der Trägermitte usw. Dieser Ansatz kann zu Auflagerkonfigurationen führen, die in IDEA StatiCa Detail instabil, aber zulässig sind (einschließlich des Falls ohne Auflager). In solchen Fällen ist es jedoch auch erforderlich, den Abschnitt zu modellieren, der die Verbindung zum angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen an diesem Abschnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z.B. beim Modellieren der Auflager von Trägern) können diese Schnittgrößen vom Programm automatisch ermittelt werden.

Zwischen dem B-Bereich und dem analysierten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Übertragungszone erstellt, um eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Bereich sicherzustellen. Die Breite der Übertragungszone wird als die Hälfte der Abschnittstiefe ermittelt. Da das einzige Ziel der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine angemessene Spannungsverteilung im Rest des Modells zu erreichen, werden bei der Überprüfung keine Ergebnisse aus diesem Bereich angezeigt, und keine Stop-Kriterien werden hier berücksichtigt.

Der Rand der Saint-Venant-Zone, der das zugeschnittene Trägerende darstellt, wird als starr modelliert, d.h. es kann sich drehen, muss jedoch eben liegen. Dies geschieht durch Verbinden aller FEM-Knoten der Kante mit einem separaten Knoten in der Trägheitsmitte des Abschnitts unter Verwendung eines Starrkörperelements (RBE2). Die Schnittgrößen des Elements können dann auf diesen Knoten angewendet werden, wie in Abb. 12.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}\]

3.4     Geometrische Bearbeitung von Querschnitten

Bei Vouten-Geometrien wird die Breite der zur Modellierung der Voute verwendeten Wandelemente im Vergleich zur ursprünglichen Breite verringert, so dass sie der doppelten Höhe plus der Dicke der angrenzenden Wand entspricht. Dies basiert auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld in einem Winkel von 45 ° von der Wand ausdehnen würde (siehe Abb. 13), so dass die zuvor erwähnte reduzierte Breite die maximale Breite wäre, die Lasten übertragen kann.

Beachten Sie, dass sich die in der CSFM implementierte Methode zur Bestimmung des wirksamen Flansches von der in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) angegebenen Methode unterscheidet. Neben der Geometrie wird der auf Eurocode basierende, wirksame Breitenflansch deutlich von den Spannweiten und Randbedingungen einer Struktur beeinflusst.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}\]

Bei in horizontaler Ebene liegenden Vouten (Abb. 14) ist jede Voute entlang ihrer Länge in fünf Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit konstanter Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}\]

3.5     Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare FEA-Modell wird durch verschiedene Typen von Finite-Elemente erzeugt, die zum Modellieren von Beton, Bewehrung und dem Verbund zwischen ihnen verwendet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und dann mithilfe von Mehrpunktkopplungen (MPC-Elementen) miteinander verbunden. Dadurch kann die Bewehrung eine beliebige, in Bezug zum Beton, relative Position einnehmen. Soll die Überprüfung der Verankerungslänge berechnet werden, werden Verbund- und Federelemente für das Verankerungsende zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}\]

3.5.1   Beton

Beton wird unter Verwendung der viereckigen und dreieckigen Schalenelemente CQUAD4 und CTRIA3 modelliert; diese Elemente können durch vier bzw. drei Knoten definiert sein. Es wird angenommen, dass in diesen Elementen nur ebene Spannungen vorhanden sind, d.h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt

Jedes Element hat vier oder drei Integrationspunkte, die ca. 1/4 seiner Größe haben. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₃ berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c3 und die Steifigkeiten E₁, E₂ gemäß dem festgelegten Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons in Abb. 2 ausgewertet. Es ist zu beachten, dass der Einfluss der Auswirkung der Druckentfestigung das Verhalten der Hauptdruckrichtung mit dem tatsächlichen Zustand der anderen Hauptrichtung gekoppelt wird.

3.5.2   Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch 1D-Stabelemente (CROD) mit zwei Knoten modelliert, die nur eine axiale Steifheit aufweisen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbundelementen“ verbunden, die entwickelt wurden, um das Gleitverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend durch MPC-Elemente (Multi-Point Constraint) mit dem Netz, das den Beton darstellt, verbunden. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung später sichergestellt wird.

3.5.3   Überprüfung der Verankerungslänge: Verbundelemente

Die Überprüfung der Verankerungslänge erfolgt durch Implementieren der Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell. Zu diesem Zweck wurde ein Finite-Elemente-Typ „Verbund“ entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4): Es wird ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine Schersteifigkeit ungleich Null zwischen den beiden oberen und zwei unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den Elementen verbunden, die die Bewehrung darstellen, und die unteren Knoten mit denen, die Beton darstellen.

Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfes zwischen dem oberen und unteren Knoten, δ_u, beschrieben, siehe Abb. 16.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}\]

Der elastische Steifigkeitsmodul des Verbund-Schlupf-Verhältnisses G_b ist wie folgt definiert:

\[G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}\]

wo:

k_g - Koeffizient abhängig von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig k_g = 0.2)

E_c – E-Modul des Betons, angenommen als E_cm

Ø – Durchmesser des Bewehrungsstabes

Zur Überprüfung der Verankerungslänge werden die Bemessungswerte der finalen Verbundschubspannung f_bd verwendet, die in den jeweils ausgewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 (2015) oder ACI 318-04 angegeben sind. Die Wiederverfestigung des plastischen Zweigs wird standardmäßig mit G_b/10⁵ berechnet.

3.5.4   Verifizierung der Verankerungslänge: Federelemente

Die Einstellung von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d.h. Biegungen, Haken, Schlaufen…), die die Vorschriften der Bemessungsnormen erfüllen, ermöglicht die Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungskoeffizient“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

\[l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}\]

Die verfügbaren Verankerungstypen in der CSFM umfassen einen geraden Stab (d.h. Keine Reduzierung des Ankerendes), eine Biegung, einen Haken, eine Schlaufe, einen geschweißten Querstab, einen perfekten Verbund und einen durchgehenden Stab. Diese Typen sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungskoeffizienten β in Abb. 17 und für Längsbewehrung und in Abb. 18 für Bügel dargestellt. The values of the adopted anchorage coefficients are in accordance with EN 1992-1-1. Es ist zu beachten, dass die CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen nur drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Verringerung der Verankerungslänge, (ii) eine Verringerung der Verankerungslänge um 30% bei normaler Verankerung und (iii) perfekter Verbund.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}\]

Die beabsichtigte Reduzierung von l_b,net  entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende bei einem Prozentsatz seiner maximalen Kapazität, der durch den Koeffizienten der Verankerungsreduktion gegeben ist, wie in Abb. 19a gezeigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}\]

Die Verringerung der Verankerungslänge ist im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Stabende (Abb. 15) enthalten, das durch das in Abb. 19b dargestellte Werkstoffmodell definiert ist. Die maximale Kraft, die von dieser Feder übertragen wird (F_au), ist definiert durch:

\[F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}\]

wo:

β – Verankerungsfaktor, basierend auf dem Verankerungstyp

A_s – Querschnitt des Bewehrungsstabes

f_yd – Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung.

3.6     Vernetzung

Die im vorherigen Kapitel beschriebenen finiten Elemente werden intern implementiert, und das Analysemodell wird automatisch generiert, ohne dass eine erfahrene Interaktion durch den Anwender erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

3.6.1   Beton

Alle Betonbauteile sind miteinander vernetzt. Von der Anwendung wird eine empfohlene Elementgröße automatisch, basierend auf der Größe und Form der Struktur und unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabes, berechnet. Darüber hinaus garantiert die empfohlene Elementgröße, dass mindestens 4 Elemente in dünnen Teilen der Struktur. wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen zu gewährleisten. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, dieser Wert reicht jedoch aus, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Strukturen bereitzustellen. Anwender können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße auswählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße ändern.

3.6.2   Bewehrung

Die Bewehrung ist in Elemente unterteilt, die in etwa der Länge der Größe der Betonelemente entsprechen. Sobald die Bewehrungs- und Betonnetze erzeugt sind, werden sie mit Verbundelementen (GZT) oder direkt durch MPC-Elemente (GZG) verbunden, wie in Abb. 15 gezeigt.

3.6.3   Lagerplatten

Hilfsbauteile, wie Lagerplatten, sind unabhängig voneinander vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird mit 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet.  Die Knoten des Netzes für die Lagerplatte werden dann unter Verwendung von Interpolationskopplungselementen (RBE3) mit den Randknoten des Betonnetzes verbunden.

3.6.4   Lasten und Auflager

Bereichslasten und Bereichslager werden nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 20 dargestellt; daher ist es notwendig, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des wirksamen Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}\]

Linienauflager und Linienlasten werden mit RBE3-Elementen, basierend auf der festgelegten Breite oder dem festgelegten wirksamen Radius, mit den Knoten des Betonnetzes verbunden. Das Gewicht der Verbindungen ist anti- proportional zum Abstand vom Auflager- oder Lastimpuls.

3.7     Lösungsmethode und Algorithmus zur Lastkontrolle

Zur Lösung eines nichtlinearen FEM Problems wird ein vollständiger Newton-Raphson (NR) Algorithmus verwendet.The implementation is almost identical to the one presented in.

Generell konvergiert der NR-Algorithmus nicht oft, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt angewendet wird. Ein üblicher Ansatz, der auch hier verwendet wird, besteht darin, die Last nacheinander in mehreren Steigerungsstufen anzuwenden und das Ergebnis des vorherigen Laststufe zu verwenden, um die Newton-Lösung einer nachfolgenden Laststufe zu starten. Zu diesem Zweck wurde über dem Newton-Raphson ein Algorithmus zur Laststeuerung implementiert. Für den Fall, dass die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird die aktuelle Laststufe auf die Hälfte ihres Werts reduziert und die NR-Iterationen werden wiederholt.

Ein weiterer Zweck des Algorithmus zur Laststeuerung besteht darin, die kritische Last zu ermitteln, die mit bestimmten „Stop-Kriterien“ übereinstimmt - insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in den Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in den Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in den Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit der Halbierungsmethode ermittelt. Wird das Stop-Kriterium irgendwo im Modell überschritten, werden die Ergebnisse der letzten Laststufe verworfen und eine neue Steife von der halben Größe der vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last, mit einer bestimmten Fehlertoleranz, ermittelt ist.

Für Beton wurde das Stop-Kriterium standardmäßig auf eine Druckspannung von 5% (d.h. um eine Größenordnung größer als die tatsächliche Versagensdehnung des Betons) und eine Zugspannung von 7% an den Integrationspunkten der Schalenelemente eingestellt. Unter Zug wurde der Wert so eingestellt, dass zuerst die Grenzdehnung in der Bewehrung erreicht werden kann, die normalerweise bei ca. 5% liegt, ohne die Zugversteifung zu berücksichtigen. Bei Druck wurde der Wert aus mehreren Alternativen ausgewählt, die groß genug sind, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar werden, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme bei der numerischen Stabilität zu verursachen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}\]

Für Bewehrung wird in Bezug auf Spannungen das Stop-Kriterium definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Zugkriterium der Zugfestigkeit der Bewehrung, die den Sicherheitskoeffizienten berücksichtigt.

Das Stop-Kriterium in Verbund- und Verankerungselementen ist α · δ_umax, wobei δ_umax der maximale Schlupf ist, der bei Normnachweisen verwendet wird, und α = 10.

3.8     Darstellung der Ergebnisse

Die Ergebnisse werden unabhängig voneinander für Beton und Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da eine Darstellung der Daten auf diese Weise jedoch nicht praktikabel ist, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie beispielsweise der Maximalwert der Druckspannung von benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 22). Es ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an auf Druck belasteten Bauteilkanten lokal unterschätzen kann, wenn die Größe der finiten Elemente der Tiefe der Druckzone ähnlich ist.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad  Concrete finite element with integration points and nodes: presentation of the results for concrete in nodes and}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{in finite elements.}}}\]

Die Ergebnisse für die finiten Elemente der Bewehrung sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert - z.B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte - für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente wie Elemente von Lagerplatten werden nur Verformungen dargestellt.

Vernetzung

Die finiten Elemente werden intern implementiert und das Analysemodell wird automatisch generiert, ohne dass eine kompetente Benutzerinteraktion erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

Beton

Alle Betonbauteile sind miteinander vernetzt. Eine empfohlene Elementgröße wird automatisch von der Anwendung basierend auf der Größe und Form der Struktur und unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabs berechnet. Darüber hinaus garantiert die empfohlene Elementgröße, dass in dünnen Teilen der Struktur, wie z.B. schlanken Stützen oder dünnen Decken, mindestens 4 Elemente generiert werden, um in diesen Bereichen zuverlässige Ergebnisse zu gewährleisten. Die maximale Anzahl von Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, aber dieser Wert reicht aus, um die empfohlene Elementgröße für die meisten Bauwerke bereitzustellen. Konstrukteure können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße auswählen, indem sie den Multiplikator der Standardnetzgröße ändern.

Bewehrung

Die Bewehrung wird in Elemente unterteilt, deren Länge ungefähr der Betonelementgröße entspricht. Sobald die Bewehrungs- und Betonmatten erstellt sind, werden sie mit Verbundelementen (GZT) oder direkt durch MPC-Elemente (GZG) miteinander verbunden, wie in Abb. 15 gezeigt.

Lagerplatten

Hilfskonstruktionsteile wie Lagerplatten werden unabhängig voneinander vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird mit 2/3 der Größe der Betonelemente im Verbindungsbereich berechnet. Die Knoten des Netzes der Lagerplatte werden dann mit den Randknoten des Betonnetzes unter Verwendung von Interpolationsbeschränkungselementen (RBE3) verbunden.

Lasten und Lagerungen

Teillasten und Teilauflager sind nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 20 gezeigt. Daher ist es notwendig, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Der Anschluss an alle Knoten der Bewehrung innerhalb des wirksamen Radius wird durch RBE3-Elemente mit gleichem Gewicht sichergestellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 20\qquad  Zuordnen der Teillast zu Bewehrungsnetzen.}}}\]

Linienlager und Linienlasten werden mit RBE3-Elementen auf Basis der vorgegebenen Breite bzw. des wirksamen Radius an die Knoten des Betonnetzes angeschlossen. Das Gewicht der Verbindungen ist umgekehrt proportional zum Abstand vom Lager- oder Lastimpuls.

Präsentation der Ergebnisse

Die Ergebnisse werden unabhängig voneinander für Beton und für Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da es jedoch nicht praktikabel ist, die Daten auf diese Weise darzustellen, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie der Maximalwert der Druckspannung von benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 22). 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 22\qquad  Finites Element aus Beton mit Integrationspunkten und -knoten: Darstellung der Ergebnisse für Beton in Knoten und}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{in finiten Elementen.}}}\]

Die Ergebnisse für die finiten Elemente der Bewehrung sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert - z. B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte - für Verbundergebnisse). 

4 Verifizierung der Strukturelemente

Die Bewertung der Struktur mittels CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: Eine für Kombinationen der Gebrauchstauglichkeit, und eine für Kombinationen des Grenzzustandes der Tragfähigkeit. Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit geht davon aus, dass das Grenzverhalten des Elements ausreichend ist und die Fließbedingungen des Materials auf dem Level der Gebrauchstauglichkeit nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Werkstoffmodelle (mit einem linearen Zweig des Spannungs-Dehnungs-Diagramms des Betons) für die Analyse der Gebrauchstauglichkeit, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern. Daher wird die Verwendung des unten dargestellten Workflows empfohlen, bei dem als erster Schritt die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit durchgeführt wird.

4.1     GZT Analyse

Die Bewertung der verschiedenen Überprüfungen, die für bestimmte Bemessungsnormen erforderlich sind, erfolgt auf der Grundlage der direkten Ergebnisse des Modells. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, Bewehrungsfestigkeit und Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Um sicherzustellen, dass ein Strukturelement effizient konstruiert ist, wird dringend empfohlen, eine vorläufige Analyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:

• Auswahl der am meisten kritischen Lastkombinationen treffen
• Nur Lastkombinationen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) berechnen
• Ein grobes Netz verwenden (Erhöhen des Multiplikators der Standardnetzgröße, Abb.23

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Ein solches Modell lässt sich sehr schnell berechnen, sodass Konstrukteure die Detaillierung des Strukturelements effizient überprüfen und die Analyse erneut ausführen können, bis alle Anforderungen an die Überprüfung für die kritischsten Lastkombinationen erfüllt sind. Sind alle Anforderungen an die Überprüfung dieser vorläufigen Analyse erfüllt, wird empfohlen, die vollständigen Grenzlastkombinationen und die Verwendung einer feinen Netzgröße (vom Programm empfohlene Netzgröße) einzubeziehen. Der Anwender kann die Netzgröße durch den Multiplikator (Wert von 0,5 bis 5) ändern.

Die Basisergebnisse und Überprüfungen (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d.h. der aus der Norm berechnete Wert/Grenzwert) sowie die Richtung der Hauptspannungen bei Betonelementen) werden anhand verschiedener Diagramme angezeigt, in denen die Druckbereiche in der Regel in rot und Zugbereiche in blau dargestellt werden.

Es können globale Minimal- und Maximalwerte für die gesamte Struktur sowie Minimal- und Maximalwerte für jedes benutzerdefinierte Teil hervorgehoben werden. In einem separaten Tab können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsanteile (effektiv und geometrisch) angezeigt werden, die zur Berechnung der Zugversteifung der Bewehrungsstäbe verwendet werden. Darüber hinaus können Lasten und Lagerreaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

4.2     GZG Analyse

GZG Auswertungen erfolgen für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen.

Die Spannungen in Beton- und Bewehrungselementen werden gemäß der geltenden Norm auf ähnliche Weise wie für die im GZT festgelegten nachgewiesen.

Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Werkstoffmodelle, die für die finale Analyse des GZT verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund wird angenommen, d.h. die Verankerungslänge wird bei Gebrauchstauglichkeit nicht überprüft. Weiterhin wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve von Beton bei Druck nicht berücksichtigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit, verringern aber gleichzeitig nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Grenzwerte für die Materialspannung bei Erreichen der Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Streckgrenzen liegen (wie von Normen gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Anforderungen zur Überprüfung erfüllt sind.

4.2.1  Berechnung der Rissbreite

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung von Rissbreiten: stabilisierte und nicht stabilisierte Risse. Entsprechend dem geometrischen Bewehrungsanteil in jedem Teil der Struktur wird entschieden, welche Art von Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für stabilisierte Rissmodelle und POM für nicht stabilisierte Rissmodelle).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Während die CSFM für die meisten Überprüfungen (z.B. Bauteilkapazität, Durchbiegungen ...) ein direktes Ergebnis liefert, werden die Ergebnisse der Rissbreite aus den Ergebnissen der Bewehrungsdehnung berechnet, die direkt durch die FE-Analyse, gemäß der in Abb. 24 beschriebenen Methodik, bereitgestellt werden. Es wird eine Risskinematik ohne Schlupf (reine Rissöffnung) betrachtet (Abb. 24a), die mit den Hauptannahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen der Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θ_r = θ_s = θ_e). Gemäß Abb. 24b kann die Rissbreite (w) in Richtung des Bewehrungsstabs (w_b) projiziert werden, was zu folgender Definition führt:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

mit θ_b als Stabneigung.

Die Berechnung der Komponente w_b erfolgt konsistent, basierend auf den in Abschnitt 1.2.4 vorgestellten Zugversteifungsmodellen, durch Integration der Bewehrungsdehnungen. Für diese Bereiche mit voll entwickelten Rissmustern werden, wie in Abb. 24c angegeben, die berechneten durchschnittlichen Dehnungen (e_m) entlang der Bewehrungsstäbe direkt entlang des Rissabstands (s_r) integriert. Während dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Position der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Ergebnissen der Rissbreite führen, die mit den von der Norm geforderten Werten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Besondere Situationen werden an konkaven Ecken der berechneten Struktur beobachtet. In diesem Fall definiert die Ecke die Position eines einzelnen Risses, der sich nicht stabilisiert verhält, bevor sich zusätzliche benachbarte Risse entwickeln. Diese zusätzlichen Risse entstehen in der Regel nach dem Bereich der Gebrauchstauglichkeit (Mata-Falcón 2015), der die Berechnung der Rissbreiten in einem solchen Bereich rechtfertigt, als wären sie nicht stabilisiert (Abb. 25), unter Verwendung des in Abschnitt 1.2.4 dargestellten Modells.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

5 Überprüfung der Strukturelemente nach Eurocode

Die Bewertung der Struktur mittels CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: Eine für Kombinationen der Gebrauchstauglichkeit und eine für den GZT. Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit geht davon aus, dass das finale Verhalten des Elements ausreichend ist und die Fließbedingungen des Materials auf dem Lastniveau der Gebrauchstauglichkeit nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Werkstoffmodelle (mit einem linearen Zweig des Spannungs-Dehnungs-Diagramms des Betons) für die Analyse der Gebrauchstauglichkeit, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern.

5.1     Materialien

5.1.1  Beton - GZT

Das in der CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den Werkstoffgesetzen für einachsigen Druck, die in EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten, die nur von der Druckfestigkeit abhängen, vorgeschrieben sind. Das in EN 1992-1-1 (Abb. 26a) angegebene Parabel-Rechteck-Diagramm wird in der CSFM standardmäßig verwendet; Konstrukteure können jedoch auch ein vereinfachtes, elastisch ideal plastisches Verhältnis wählen (Abb. 26b). Wie es bei der Bemessung von klassischem Stahlbeton der Fall ist, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}\]

Unter Verwendung der Standardeinstellungen berücksichtigt die aktuelle Implementierung der CSFM in IDEA StatiCa Detail kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Druckbeton (d.h. nach Erreichen der Spannungsspitze wird ein plastischer Zweig mit ε_cu2 (ε_cu3) mit einem Wert von 5% berücksichtigt, während EN 1992-1-1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,35% annimmt). Diese Vereinfachung macht die Überprüfung der Verformungskapazität von Strukturen, die bei Druck versagen, nicht möglich. Ihre finale Kapazität wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zu dem in Abb. 2e definierten Faktor für gerissenen Beton (k_c2, siehe Abb. 27)) die Zunahme der Sprödigkeit von Beton mit zunehmender Festigkeit anhand des in der fib Modellnorm 2010 definierten Reduktionsfaktors wie folgt berücksichtigt wird:

\[f_{cd}=\frac{f_{ck,red}}{γ_c} = \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wo:

k_c  – Globaler Reduktionsfaktor der Druckfestigkeit

k_c2 – Reduktionsfaktor aufgrund von Querrissen

f_ck – Charakteristische Festigkeit des Betonzylinders (in MPa zur Definition von η_fc.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27\qquad The compression softening law.}}}\]

5.1.2  Beton - GZG

Die Analyse zur Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Werkstoffmodelle, die für die GZT Analyse verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund angenommen, d.h. die Verankerungslänge wird bei der Gebrauchstauglichkeit nicht überprüft.

Weiterhin wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve von auf Druck belastetem Beton nicht berücksichtigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Das Gesetz zur Druckentfestigung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit, verringern jedoch nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Grenzwerte für die Materialspannung bei Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Streckgrenzen liegen (wie vom Eurocode gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten, vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Anforderungen zur Überprüfung erfüllt sind.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langfristige Auswirkungen

Bei der Analyse der Gebrauchstauglichkeit werden die langfristigen Auswirkungen von Beton unter Verwendung eines wirksamen unendlichen Kriechkoeffizienten (φ, standardmäßig mit 2,5 angenommen) betrachtet, der den Sekantenmodul der Elastizität des Betons (E_cm) wie folgt bearbeitet:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

Bei der Betrachtung von langfristigen Auswirkungen wird zunächst ein Lastschritt mit allen ständigen Lasten, unter Berücksichtigung des Kriechkoeffizienten (d.h .unter Verwendung des wirksamen E-Mduls von Beton, E_c,eff) berechnet, und anschließend werden die zusätzlichen Lasten ohne den Kriechkoeffizienten berechnet (d.h. unter Verwendung von E_cm). Um kurzfristige Überprüfungen durchzuführen, wird zusätzlich eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den Kriechkoeffizienten berechnet werden. Beide Berechnungen für Langzeit- und Kurzzeitüberprüfungen sind in Abb. 28 dargestellt.

5.1.3  Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe berücksichtigt, die typischerweise durch Bemessungsnormen (Abb. 29) definiert sind. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur, dass die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase bekannt sind (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Wann immer bekannt, kann das reale Spannungs-Dehnungs-Verhältnis der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, abgeschreckt und selbsttemperiert, etc.) berücksichtigt werden. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall ist es jedoch unmöglich, den Effekt der Zugversteifung anzunehmen (eine Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). Die Verwendung des Spannungs-Dehnungs-Diagramms mit horizontalem oberem Ast ermöglicht keine Überprüfung der strukturellen Haltbarkeit. Daher ist eine manuelle Überprüfung der Standardanforderungen an die Duktilität erforderlich.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\)

Zugversteifung (Abb. 30) wird automatisch berücksichtigt, indem das Verhältnis von Eingangsspannung zu Dehnung des blanken Bewehrungsstabs bearbeitet wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) gemäß den in Abschnitt 1.2.4 dargestellten Ansätzen zu erfassen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

5.2     Sicherheitsfaktor

Die kompatible Spannungsfeldmethode entspricht modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Eigenschaften von Standardmaterialien verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Format des Teilsicherheitsfaktors ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die eingegebenen Lasten berücksichtigt und die charakteristischen Materialeigenschaften unter Verwendung der jeweiligen Sicherheitsfaktoren reduziert, die in den Bemessungsnormen, genau wie bei der herkömmlichen Betonanalyse, vorgeschrieben sind. Werte der Sicherheitsfaktoren in EN 1992-1-1 Kap. 2.4.2.4 sind standardmäßig eingestellt, der Anwender kann sie jedoch in den Einstellungen ändern (Abb. 31).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Lastsicherheitsfaktoren müssen vom Anwender in der Kombinationsregel für jede nichtlineare Lastfallkombination definiert werden (Abb. 32). Für alle in IDEA StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind die Teilsicherheitsfaktoren bereits vordefiniert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Durch die Verwendung geeigneter, benutzerdefinierter Kombinationen von Teilsicherheitsfaktoren können Anwender auch mit der CSFM unter Verwendung der Methode des globalen Tragfähigkeitsfaktors rechnen (global resistance factor method, Navrátil, et al. 2017), dieser Ansatz wird in der Bemessungspraxis jedoch kaum verwendet. Einige Richtlinien empfehlen die Verwendung der Methode des globalen Tragfähigkeitsfaktors für nichtlineare Analysen. Bei vereinfachten nichtlinearen Analysen (wie der CSFM), bei denen nur die Materialeigenschaften erforderlich sind, die bei herkömmlichen Handberechnungen verwendet werden, ist es jedoch noch wünschenswerter, das Format Teilsicherheiten zu verwenden.

5.3     GZT Analyse

Die verschiedenen, nach EN 1992-1-1 erforderlichen, Überprüfungen werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Überprüfungen für den GZT werden für Betonfestigkeit, Bewehrungsfestigkeit und Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Die Betonfestigkeit bei Druck wird als das Verhältnis von aus der FE-Analyse erhaltener, maximaler Hauptdruckspannung σ_c3 zu Grenzwert σ_c3,lim ausgewertet:

\[\frac{σ_{c3}}{σ_{c3,lim}}\]

\[σ_{c3,lim} = f_{cd} = α_{cc} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = α_{cc} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = α_{cc} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wo:

f_ck – Charakteristische Betonzylinderfestigkeit

k_c2 – Faktor für die Druckentfestigung (siehe 5.1.1)

γ_c – Teilsicherheitsfaktor für Beton, γ_c = 1,5

α_cc – Koeffizient zur Berücksichtigung von langfristigen Auswirkungen auf die Druckfestigkeit

          und von ungünstigen Auswirkungen, die sich aus der Art und Weise ergeben, wie die

          Last aufgebracht wird. Der Standardwert ist 1,0

 

Die Bewehrungsfestigkeit wird sowohl bei Zug als auch bei Druck als das Verhältnis zwischen von Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_sr zu festgelegtem Grenzwert σ_sr,lim ausgewertet:

\[\frac{σ_{sr}}{σ_{sr,lim}}\]

\(σ_{c3,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}\)

\(σ_{c3,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}\)

wo:

f_yk – Streckgrenze der Bewehrung,

k – Verhältnis von Streckgrenze f_tk zu Fließspannung,

γ_s – Teilsicherheitsfaktor für Bewehrung γ_s = 1,15.

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als das Verhältnis zwischen von durch FE-Analyse berechneter Verbundspannung τ_b und der finalen Verbundfestigkeit f_bd, gemäß EN 1992-1-1 Kap. 8.4.2, ausgewertet:

\[\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\]

\[f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}\]

wo:

 f_ctd –   Bemessungswert der Zugfestigkeit des Betons. Aufgrund der zunehmenden

            Sprödigkeit von hochfestem Beton, f_ctk, ist 0,05 auf den Wert für C60/75 begrenzt

 η₁ – Koeffizient in Bezug auf die Qualität des Verbundzustands und die Position des Stabes

          während des Betonierens (Abb. 33):

             η₁ = 1,0 wenn „gute“ Bedingungen erreicht sind

             η₁ = 0,7 für alle anderen Fälle und für Stäbe in Strukturelementen, die mit

                        Gleitformen gebaut wurden, es sei denn, es kann nachgewiesen werden, dass

                        „gute“ Verbundbedingungen vorliegen

η₂ – Bezogen auf den Stabdurchmesser:

            η₂ = 1,0 für Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 für Ø > 32 mm

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad Description of bond conditions.}}}\]

Diese Überprüfungen erfolgen in Bezug auf die entsprechenden Grenzwerte für die jeweiligen Teile der Struktur (d.h. trotz einer einzigen Klasse sowohl für Beton als auch für Bewehrungsmaterial unterscheiden sich die finalen Spannungs-Dehnungs-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund von Auswirkungen von Zugversteifung und Druckentfestigung).

5.4     Teilbelastete Flächen

Bei der Bemessung von Betonstrukturen treffen wir auf zwei große Gruppen von teilbelasteten Flächen (PLA) - die erste besteht aus Auflagern, während die andere aus Verankerungsbereichen besteht. Gemäß den derzeit geltenden Normen für die Bemessung von bewehrten Betonstrukturen (EN 1992-1-1 Kap. 6.7, siehe Abb. 34) sollten lokales Quetschen des Betons und Querzugkräfte für teilbelastete Flächen berücksichtigt werden. Für eine gleichmäßig verteilte Last auf einer Fläche A_c0 kann die Druckkapazität von Beton je nach Bemessungsverteilungsfläche A_c1 um das max. Dreifache erhöht werden (gemäß dem neuen Eurocode-Konzept ist es möglich, die Tragfähigkeit um das bis zu Siebenfache zu erhöhen).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}\]

Die teilbelastete Fläche muss ausreichend mit einer Querbewehrung verstärkt sein, um die in dem Bereich auftretenden Querzugkräfte zu übertragen. Für die Bemessung der Querbewehrung in teilbelasteten Flächen wird die Fachwerkmethode nach Eurocode verwendet. Ohne die erforderliche Querbewehrung kann eine Erhöhung der Druckkapazität des Betons nicht in Betracht gezogen werden.

Teilbelastete Flächen in der CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}\]

Mit der CSFM ist es möglich, bewehrte Betonstrukturen, unter Berücksichtigung des Einflusses der zunehmenden Druckfestigkeit von Beton in teilweise belasteten Bereichen, zu bemessen und zu bewerten. Da die CSFM ein Wandmodell (2D) ist und die teilbelasteten Fläche eine räumliche Aufgabe (3D) sind, musste eine Lösung gefunden werden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 35). Ist die Funktion „teilbelastete Flächen“ aktiviert, wird die zulässige Kegelgeometrie nach Eurocode erstellt (Abb. 34). Alle geometrischen Kollisionen werden vollständig in 3D für die festgelegte Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jeder teilbelasteten Fläche gelöst. Anschließend wird ein Rechenmodell der teilbelasteten Fläche erstellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}\]

Die Bearbeitung des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, vor allem die Abbildung von Eigenschaften auf das Finite-Elemente-Netz problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Finite-Elemente-Netz unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung ist. Für die bekannte Druckkegelgeometrie (Abb. 35 und Abb. 37) werden absolut kohärente fiktive Streben erzeugt (Abb.35 und Abb.37). Diese Streben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannungs-Dehnungs-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last über die teilbelastete Fläche allmählich in den Verteilungsbereich verteilt. Die Flächendichte der fiktiven Streben ist an jedem Teil des Kegels veränderlich und fügt einen fiktiven Betonbereich in Lastrichtung hinzu. Auf der Ebene der belasteten Fläche (A_c0) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis (mit A_real als Auflagerfläche im 2D-Computermodell) hinzugefügt, und dieser Bereich nimmt zur Bemessungsverteilungsfläche hin linear auf Null ab (A_c1). Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}\]

Die Tragfähigkeit der teilbelasteten Fläche wird entsprechend dem Verhältnis von Bemessungswert der verteilten Fläche zu belasteter Fläche gemäß EN 1992-1-1 (6.7) erhöht. Es sei daran erinnert, dass dies ein Entwurfsmodell ist, das den Spannungszustand über einen teilbelasteten Bereich, dessen tatsächlicher Fluss viel komplizierter ist, nicht genau beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit des teilbelasteten Bereichs. Desweiteren werden in diesem Bereich Querspannungen korrekt eingeführt.

5.5     GZT Analyse

Bewertungen für GZT erfolgen für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen. Spannungen in Beton- und Bewehrungselementen gemäß EN 1992-1-1 werden auf ähnliche Weise wie für den GZT überprüft.

5.5.1  Spannungsbegrenzung

Die Druckspannung im Beton muss begrenzt sein, um Längsrisse zu vermeiden. Gemäß EN 1992-1-1 Kap. 7.2 (2) können Längsrisse auftreten, wenn das Spannungsniveau bei charakteristischer Lastkombination einen Wert k₁f_ck überschreitet. Die Betonspannung bei bei Druck wird als das Verhältnis von maximaler Hauptdruckspannung σ_c3, die aus der FE-Analyse für Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit ermittelt wird, zum Grenzwert σ_c3,lim ausgewertet:

\[\frac{σ_{c3}}{σ_{c3,lim}}\]

\[σ_{c3,lim} = k_1\cdot f_{ck}\]

wo:

f_ck – Charakteristische Zylinderfestigkeit des Betons

k₁ = 0,6

Es kann davon ausgegangen werden, dass unerwünschte Risse oder Verformungen vermieden werden, wenn bei charakteristischer Lastkombination die Zugspannung in der Bewehrung den Wert von k₃f_yk nicht überschreitet (EN 1992-1-1, Kap. 7.2 (5)). Die Festigkeit der Bewehrung wird als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_sr zu angegebenem Grenzwert σ_sr,lim ausgewertet:

\[\frac{σ_{sr}}{σ_{sr,lim}}\]

\[σ_{sr,lim} =  k_3\cdot f_{yk}\]

wo:

f_yk – Streckgrenze der Bewehrung

k₃ = 0,8

5.5.2  Durchbiegung

Durchbiegungen können nur für Wände oder isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Träger bewertet werden. In diesen Fällen wird der absolute Durchbiegungswert berücksichtigt (verglichen mit dem Ausgangszustand vor dem Belasten) und der maximal zulässige Durchbiegungswert muss vom Anwender festgelegt werden. Durchbiegungen an zugeschnittenen Enden können nicht nachgewiesen werden, da es sich im Wesentlichen um instabile Strukturen handelt, bei denen das Gleichgewicht durch Hinzufügen von Endkräften erreicht wird und Durchbiegungen daher unrealistisch sind. Kurzfristige (u_z,st) oder langfristige (u_z,lt) Durchbiegungen können berechnet und mit benutzerdefinierten Grenzwerten verglichen werden:

\[\frac{u_ z}{u_{z,lim}}\]

wo:

u_z – Kurz- oder langfristige Durchbiegung, berechnet über FE Analyse

u_z,lim – Grenzwert der benutzerdefinierten Durchbiegung

5.5.3  Rissbreite

Die Berechnung der Rissbreite und Rissrichtungen erfolgt nur für ständige Lasten, entweder kurz- oder langfristig. Die Überprüfung, unter Berücksichtigung der durch den Anwender festgelegten Grenzwerte, nach Eurocode wird wie folgt dargestellt:

\[\frac{w_ z}{w_{z,lim}}\]

wo:

w – Kurz- oder langfristige Rissbreite, berechnet über FE Analyse

w_lim – Grenzwert der benutzerdefinierten Rissbreite

Wie in Abschnitt 4.2.1 dargestellt, gibt es 2 Wege zur Berechnung von Rissbreiten (stabilisierte und nicht stabilisierte Rissbildung). Im generellen Fall (stabilisierte Rissbildung) erfolgt die Berechnung der Rissbreite durch Integration der Dehnungen auf den 1D Elementen der Bewehrungsstäbe. Die Berechnung der Rissrichtung erfolgt dann von den 3 nahesten (vom Mittelpunkt des gegebenen finiten Elements (1D) der Bewehrung) Integrationspunkten der 2D Betonelemente. Auch wenn dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht mit den wirklichen Positionen der Risse übereinstimmt, gibt er jedoch representative Werte aus, die zu Ergebnissen für die Rissbreite führen, welche mit den Norm geforderten Werten für die Rissbreite, an der Position des Bewehrungsstabes, verglichen werden können.

Materialien

Beton - GZT

Das in der CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den Werkstoffgesetzen für einachsigen Druck, die in DIN EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten, die nur von der Druckfestigkeit abhängen, vorgeschrieben sind. Das in DIN EN 1992-1-1 (Abb. 26a) angegebene Parabel-Rechteck-Diagramm wird in der CSFM standardmäßig verwendet; Konstrukteure können jedoch auch ein vereinfachtes, elastisch ideal plastisches Verhältnis wählen (Abb. 26b). Wie es bei der Bemessung von klassischem Stahlbeton der Fall ist, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}\]

Unter Verwendung der Standardeinstellungen berücksichtigt die aktuelle Implementierung der CSFM in IDEA StatiCa Detail kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Druckbeton (d.h. nach Erreichen der Spannungsspitze wird ein plastischer Zweig mit ε_cu2 (ε_cu3) mit einem Wert von 5% berücksichtigt, während DIN EN 1992-1-1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,35% annimmt). Diese Vereinfachung macht die Überprüfung der Verformungskapazität von Strukturen, die bei Druck versagen, nicht möglich. Ihre finale Kapazität wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zu dem in Abb. 2e definierten Faktor für gerissenen Beton (k_c2, siehe Abb. 27)) die Zunahme der Sprödigkeit von Beton mit zunehmender Festigkeit anhand des in der fib Modellnorm 2010 definierten Reduktionsfaktors wie folgt berücksichtigt wird:

\[f_{cd}=\frac{f_{ck,red}}{γ_c} = \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

wo:

k_c  – Globaler Reduktionsfaktor der Druckfestigkeit

k_c2 – Reduktionsfaktor aufgrund von Querrissen

f_ck – Charakteristische Festigkeit des Betonzylinders (in MPa zur Definition von η_fc.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27\qquad The compression softening law.}}}\]

Beton - GZG

Die Analyse zur Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Werkstoffmodelle, die für die GZT Analyse verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund angenommen, d.h. die Verankerungslänge wird bei der Gebrauchstauglichkeit nicht überprüft.

Weiterhin wird der plastische Zweig der Spannungs-Dehnungs-Kurve von auf Druck belastetem Beton nicht berücksichtigt, während der elastische Zweig linear und unendlich ist. Das Gesetz zur Druckentfestigung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit, verringern jedoch nicht die Allgemeinheit der Lösung, solange die resultierenden Grenzwerte für die Materialspannung bei Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Streckgrenzen liegen (wie vom Eurocode gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten, vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Anforderungen zur Überprüfung erfüllt sind.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}\]

Langfristige Auswirkungen

Bei der Analyse der Gebrauchstauglichkeit werden die langfristigen Auswirkungen von Beton unter Verwendung eines wirksamen unendlichen Kriechkoeffizienten (φ, standardmäßig mit 2,5 angenommen) betrachtet, der den Sekantenmodul der Elastizität des Betons (E_cm) wie folgt bearbeitet:

\[E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}\]

Bei der Betrachtung von langfristigen Auswirkungen wird zunächst ein Lastschritt mit allen ständigen Lasten, unter Berücksichtigung des Kriechkoeffizienten (d.h .unter Verwendung des wirksamen E-Mduls von Beton, E_c,eff) berechnet, und anschließend werden die zusätzlichen Lasten ohne den Kriechkoeffizienten berechnet (d.h. unter Verwendung von E_cm). Um kurzfristige Überprüfungen durchzuführen, wird zusätzlich eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den Kriechkoeffizienten berechnet werden. Beide Berechnungen für Langzeit- und Kurzzeitüberprüfungen sind in Abb. 28 dargestellt.

Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für die blanken Bewehrungsstäbe berücksichtigt, die typischerweise durch Bemessungsnormen (Abb. 29) definiert sind. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur, dass die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase bekannt sind (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Wann immer bekannt, kann das reale Spannungs-Dehnungs-Verhältnis der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, abgeschreckt und selbsttemperiert, etc.) berücksichtigt werden. Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann vom Benutzer definiert werden. In diesem Fall ist es jedoch unmöglich, den Effekt der Zugversteifung anzunehmen (eine Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). Die Verwendung des Spannungs-Dehnungs-Diagramms mit horizontalem oberem Ast ermöglicht keine Überprüfung der strukturellen Haltbarkeit. Daher ist eine manuelle Überprüfung der Standardanforderungen an die Duktilität erforderlich.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}\)

Zugversteifung (Abb. 30) wird automatisch berücksichtigt, indem das Verhältnis von Eingangsspannung zu Dehnung des blanken Bewehrungsstabs bearbeitet wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) gemäß den in Abschnitt 1.2.4 dargestellten Ansätzen zu erfassen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}\]

Teilsicherheitsbeiwerte

Teilsicherheitsbeiwerte

Die kompatible Spannungsfeldmethode entspricht den heutigen Bemessungsnormen (Eurocode 2). Da die Berechnungsmodelle nur Eigenschaften von Standardmaterialien verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Format des Teilsicherheitsfaktors ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die eingegebenen Lasten berücksichtigt und die charakteristischen Materialeigenschaften unter Verwendung der jeweiligen Sicherheitsfaktoren reduziert, die in den Bemessungsnormen, genau wie bei der herkömmlichen Betonanalyse, vorgeschrieben sind. Werte der Sicherheitsfaktoren in EN 1992-1-1 Kap. 2.4.2.4 sind standardmäßig eingestellt, der Anwender kann sie jedoch in den Einstellungen ändern (Abb. 31).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad Die Einstellung der materiellen Sicherheitsfaktoren in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Lastsicherheitsfaktoren müssen vom Anwender in der Kombinationsregel für jede nichtlineare Lastfallkombination definiert werden (Abb. 32). Für alle in IDEA StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind die Teilsicherheitsfaktoren bereits vordefiniert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Die Einstellung der Lastteilfaktoren in Idea StatiCa Detail.}}}\]

Teilbelastete Flächen

Bei der Bemessung von Betonstrukturen treffen wir auf zwei Arten der Bemessung der Teilflächenbelastung von Betonbauteilen - die Bemessung der Betondrucktragfähigkeit und die Ermittlung der erforderlichen Betonstahlmenge. Gemäß den derzeit geltenden Normen für die Stahlbetonbemessung (DIN EN 1992-1-1 Kap. 6.7, siehe Abb. 34) sollten lokales Betonversagen und Spaltzugkräfte berücksichtigt werden. Für eine gleichmäßig verteilte Last auf einer Fläche A_c0 kann die Druckkapazität von Beton je nach Bemessungsverteilungsfläche A_c1 um das max. Dreifache erhöht werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 34\qquad Teilbelastete Flächen nach DIN EN 1992-1-1}}}\]

Die teilbelastete Fläche muss ausreichend mit einer Spaltzugbewehrung verstärkt sein, um die in dem Bereich auftretenden Querzugkräfte zu übertragen. Für die Bemessung der Spaltzugbewehrung in teilbelasteten Flächen wird die Fachwerkmethode nach Eurocode verwendet. Ohne die erforderliche Spaltzugbewehrung kann eine Erhöhung der Druckkapazität des Betons nicht in Betracht gezogen werden.

Teilbelastete Flächen in der CSFM

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 35\qquad Fiktive Streben mit Finite-Elemente-Netz aus Beton}}}\]

Mit der CSFM ist es möglich, bewehrte Betonstrukturen, unter Berücksichtigung des Einflusses der zunehmenden Druckfestigkeit von Beton in teilweise belasteten Bereichen, zu bemessen und zu bewerten. Da die CSFM ein Wandmodell (2D) ist und die teilbelasteten Fläche eine räumliche Aufgabe (3D) sind, musste eine Lösung gefunden werden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 35). Ist die Funktion „teilbelastete Flächen“ aktiviert, wird die zulässige Kegelgeometrie nach Eurocode erstellt (Abb. 34). Alle geometrischen Kollisionen werden vollständig in 3D für die festgelegte Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jeder teilbelasteten Fläche gelöst. Anschließend wird ein Rechenmodell der teilbelasteten Fläche erstellt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 36\qquad Zulässige Kegelgeometrien}}}\]

Die Bearbeitung des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, vor allem die Abbildung von Eigenschaften auf das Finite-Elemente-Netz problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Finite-Elemente-Netz unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung ist. Für die bekannte Druckkegelgeometrie (Abb. 35 und Abb. 37) werden absolut kohärente fiktive Streben erzeugt (Abb. 35 und Abb. 37). Diese Streben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannungs-Dehnungs-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last über die teilbelastete Fläche allmählich in den Verteilungsbereich verteilt. Die Flächendichte der fiktiven Streben ist an jedem Teil des Kegels veränderlich und fügt einen fiktiven Betonbereich in Lastrichtung hinzu. Auf der Ebene der belasteten Fläche (A_c0) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis \(\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}\) (mit A_real als Auflagerfläche im 2D-Computermodell) hinzugefügt, und dieser Bereich nimmt zur Bemessungsverteilungsfläche hin linear auf Null ab (A_c1). Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

\[\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 37\qquad Fiktive Verstrebungen im Berechnungsmodell}}}\]

Die Tragfähigkeit der teilbelasteten Fläche wird entsprechend dem Verhältnis von Bemessungswert der verteilten Fläche zu belasteter Fläche gemäß DIN EN 1992-1-1 (6.7) erhöht. Es sei daran erinnert, dass dies eine Annahme darstellt, welche den Spannungszustand über einen teilbelasteten Bereich, dessen tatsächlicher Fluss viel komplizierter ist, nicht genau beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit des teilbelasteten Bereichs. Des Weiteren werden in diesem Bereich Querzugspannungen korrekt eingeführt.

Quellen

ACI Committee 318. 2009a. Building Code Requirements for Structural Concrete (ACI 318-08) and Commentary. Farmington Hills, MI: American Concrete Institute.

Alvarez, Manuel. 1998. Einfluss des Verbundverhaltens auf das Verformungsvermögen von Stahlbeton. IBK Bericht 236. Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zurich, Birkhäuser Verlag.

Beeby, A. W. 1979. “The Prediction of Crack Widths in Hardened Concrete.” The Structural Engineer 57A (1): 9–17.

Broms, Bengt B. 1965. “Crack Width and Crack Spacing In Reinforced Concrete Members.” ACI Journal Proceedings 62 (10): 1237–56. https://doi.org/10.14359/7742.

Burns, C. 2012. “Serviceability Analysis of Reinforced Concrete Members Based on the Tension Chord Model.” IBK Report Nr. 342, Zurich, Switzerland: ETH Zurich.

Crisfield, M. A. 1997. Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Wiley.

European Committee for Standardization (CEN). 2015. 1 Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1:  General rules and rules for buildings. Brussels: CEN, 2005.

Fernández Ruiz, M., and A. Muttoni. 2007. “On Development of Suitable Stress Fields for Structural Concrete.” ACI Structural Journal 104 (4): 495–502.

Kaufmann, W., J. Mata-Falcón, M. Weber, T. Galkovski, D. Thong Tran, J. Kabelac, M. Konecny, J. Navratil, M. Cihal, and P. Komarkova. 2020. “Compatible Stress Field Design Of Structural Concrete. Berlin, Germany.”AZ Druck und Datentechnik GmbH, ISBN 978-3-906916-95-8.

Kaufmann, W., and P. Marti. 1998. “Structural Concrete: Cracked Membrane Model.” Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467–75. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467).

Kaufmann, W.. 1998. “Strength and Deformations of Structural Concrete Subjected to In-Plane Shear and Normal Forces.” Doctoral dissertation, Basel: Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7612-4.

Konečný, M., J. Kabeláč, and J. Navrátil. 2017. Use of Topology Optimization in Concrete Reinforcement Design. 24. Czech Concrete Days (2017). ČBS ČSSI. https://resources.ideastatica.com/Content/06_Detail/Verification/Articles/Topology_optimization_US.pdf.

Marti, P. 1985. “Truss Models in Detailing.” Concrete International 7 (12): 66–73.

Marti, P. 2013. Theory of Structures: Fundamentals, Framed Structures, Plates and Shells. First edition. Berlin, Germany: Wiley Ernst & Sohn.

http://sfx.ethz.ch/sfx_locater?sid=ALEPH:EBI01&genre=book&isbn=9783433029916.

Marti, P., M.Alvarez, W. Kaufmann, and V. Sigrist. 1998. “Tension Chord Model for Structural Concrete.” Structural Engineering International 8 (4): 287–298.

https://doi.org/10.2749/101686698780488875.

Mata-Falcón, J. 2015. “Serviceability and Ultimate Behaviour of Dapped-End Beams (In Spanish: Estudio Del Comportamiento En Servicio y Rotura de Los Apoyos a Media Madera).” PhD thesis, Valencia: Universitat Politècnica de València.

Meier, H. 1983. “Berücksichtigung Des Wirklichkeitsnahen Werkstoffverhaltens Beim Standsicherheitsnachweis Turmartiger Stahlbetonbauwerke.” Institut für Massivbau, Universität Stuttgart.

Navrátil, J., P. Ševčík, L. Michalčík, P. Foltyn, and J. Kabeláč. 2017. A Solution for Walls and Details of Concrete Structures. 24. Czech Concrete Days.

Schlaich, J., K. Schäfer, and M. Jennewein. 1987a. “Toward a Consistent Design of Structural Concrete.” PCI Journal 32 (3): 74–150.

Vecchio, F.J., and M.P. Collins. 1986. “The Modified Compression Field Theory for Reinforced Concrete Elements Subjected to Shear.” ACI Journal 83 (2): 219–31.

Anhänge zum Download

• Theoretical Background 20.pdf (PDF, 2,1 MB)