휨

단면 내력 검토 방법

1D 콘크리트 부재의 극한 한계 상태를 검토하는 데 두 가지 잘 알려진 방법을 사용할 수 있습니다. 첫 번째 방법은 상호작용 영역 또는 상호작용 다이어그램(한 방향 휨 모멘트의 경우) 형태로 단면의 극한 강도를 제공합니다. 단면 내력은 작용 내력과 한계 상태 내력의 비율로 결정할 수 있습니다. 두 번째 방법은 단면에서의 평형을 찾는 것으로, 하중을 받는 단면의 실제 거동, 응력 측면에서의 재료 활용도, 그리고 단면의 취약점에 대한 통찰을 파악합니다.

극한 한계 상태에 대한 일반 설계 가정 및 계산 가정 

1. 철근 및 콘크리트의 변형률 ε은 중립축으로부터의 거리에 직접 비례한다고 가정합니다(평면 단면은 평면을 유지).
2. 철근과 콘크리트의 상호작용은 슬립 없이 콘크리트와 철근의 상호작용으로 확보됩니다(변형률 ε은 인접한 콘크리트 섬유의 변형률과 동일).
3. 콘크리트의 인장 강도는 무시합니다(모든 인장 응력은 철근이 전달).
4. 압축 구역의 콘크리트 압축 응력은 응력-변형률 다이어그램으로부터 계산된 변형률에 따라 산정합니다.
5. 철근 응력은 응력-변형률 다이어그램의 변형률에 따라 산정합니다.
6. 극한 변형률 한계 ε_cu2(압축 하의 콘크리트에 대한 포물선-직사각형 다이어그램) 및 ε_cu3 (이선형 응력-변형률 관계)를 갖는 콘크리트 압축 변형률, [2].
7. 철근의 압축 변형률은 수평 소성 상단 분기의 경우 제한이 없으며, 경사 소성 상단 분기의 경우 변형률은 ε_ud로 제한됩니다,[2].
8. 재료 중 하나 이상의 상태가 극한 한계 변형률을 초과할 때 한계 상태로 간주합니다(εu가 제한되지 않는 경우, 압축 콘크리트가 지배).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

상호작용 다이어그램

첫 번째 옵션은 상호작용 곡면 (또는 상호작용 다이어그램)으로 단면을 검토하는 것입니다. 아래 그림의 예시에서 철근 정사각형 단면에 대한 상호작용 곡면 샘플을 통해 설명을 제공합니다. 상호작용 곡면에는 검토 단면의 극한 한계 상태를 정의하는 점들이 위치합니다. 상호작용 곡면은 재료 중 하나에서 극한 한계 변형률에 도달한 단면에서의 응력 적분으로 결정되는 점(N, My, Mz)으로부터 작성됩니다. 3D 상호작용의 경우, 곡면은 2D 상호작용 다이어그램으로부터 유도될 수 있으며, 이는 지속적으로 회전하는 중립축의 응력에 해당하는 폐곡선입니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

y축에 대해 대칭인 단면의 경우, 상호작용 다이어그램은 N-M_y 평면에 대해 대칭입니다. 마찬가지로, z축에 대해 대칭인 단면의 경우, 상호작용 다이어그램은 N-M_z 평면에 대해 대칭입니다. 단면 한쪽에만 철근이 배치된 경우 상호작용 다이어그램은 납작한 형태를 나타냅니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

극한 한계 상태를 정의하는 점들은 응력 적분으로부터 산출됩니다.  아래 그림은 극한 한계 상태에서의 변형률을 나타냅니다.

극한 한계 상태에서의 변형률 분포 ([2]에서 인용).

상호작용 다이어그램은 축력 및 휨 모멘트 하에서의 단면 파괴를 나타냅니다. [1]

2D 다이어그램 문제(상호작용 곡면 위에 놓인 폐곡선)를 고려하면, 변형률 평면이 중립축과 임계점 [y, z, ε]을 통과하며, 이를 임계점 R로 간주합니다.  점 [y, z]는 극한 한계 상태에서의 변형률 ε 값을 갖는 단면 내의 점을 정의합니다. 중립축의 경사는 2D 다이어그램의 모든 점에 대해 일정합니다.

콘크리트의 압축 응력이 설계에 지배적인 경우, 점 R은 가장 먼 압축 콘크리트 섬유 또는 한계점 C에 해당합니다. 그러나 이는 단면이 하나의 콘크리트 종류로만 구성된 경우에만 적용할 수 있으며, 혼합 단면에는 적용되지 않습니다.   

철근의 인장 응력이 설계에 지배적인 경우(하나 이상의 철근에서 극한 한계 상태의 변형률 ε_ud가 초과된 경우), 주어진 변형률 평면에 대해 다른 어떤 철근에서도 ε_ud 가 초과되지 않는 조건이 충족되어야 합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

위의 그림은 다이어그램이 두 부분으로 나뉠 수 있음을 보여줍니다: 인장력에 의해 파괴가 발생하는 부분과 압축력에 의해 파괴되는 부분. 한계점은 위의 경우에 해당하며, 변형률 평면의 극단적인 경사도 확인할 수 있습니다. 상호작용 다이어그램을 작성할 때 단면의 평면 변형률 경사는 이 범위 내에서 변화하며, 점 R을 찾습니다(위 참조). 그렇게 정의된 평면을 기반으로 극한 한계 상태에서의 응력을 구하기 위해 적분을 수행합니다.

축력 및 휨 모멘트를 받는 단면 검토

축력 및 휨 모멘트를 받는 단면의 검토는 검토 대상 응력 조합(N_d, M_yd, M_zd)이 상호작용 영역의 내부 또는 표면에 위치함을 증명하는 것입니다. 이를 위해 다양한 방법을 사용할 수 있습니다. 다음 예시는 N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm의 힘을 받는 직사각형 단면의 검토를 보여줍니다.

NuMuMu 방법

단면의 저항을 정의하기 위해 상호작용 곡면이 형성될 때까지 모든 내력 성분이 비례적으로 변화한다고 가정합니다(축력의 편심은 일정하게 유지). 관련 내력의 변화는 좌표계의 원점(0,0,0)과 내력(N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z)으로 정의된 점을 연결하는 직선을 따라 이동하는 것으로 해석할 수 있습니다. 이 직선과 상호작용 곡면의 두 교점은 극한 한계 상태에서의 두 가지 내력 집합을 나타냅니다. 각 교점에서 프로그램은 한계 상태에서의 세 가지 힘을 결정합니다: 설계 축력 저항 N_Rd 및 이에 대응하는 설계 저항 모멘트 M_Rdy, M_Rdz.

NuMM 방법 

단면의 저항을 정의하기 위해 상호작용 곡면이 형성될 때까지 축력은 일정하게 유지(작용 설계 축력과 동일)하고 휨 모멘트는 비례적으로 변화한다고 가정합니다. 관련 내력의 변화는 점(N_Ed,0,0)과 작용 내력(N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z)으로 정의된 점을 연결하는 직선을 따라 수평 평면 내에서 이동하는 것으로 해석할 수 있습니다. 이 직선과 상호작용 곡면의 두 교점은 극한 한계 상태에서의 두 가지 내력 집합을 나타냅니다. 각 교점에서 프로그램은 한계 상태에서의 세 가지 힘을 결정합니다: 설계 저항 모멘트 M_Rdy, M_Rdz 및 (이에 대응하는) 작용 설계 축력 N_Ed.

NMuMu 방법 

단면의 저항을 정의하기 위해 상호작용 곡면이 형성될 때까지 축력은 일정하게 유지(작용 설계 축력과 동일)하고 휨 모멘트는 비례적으로 변화한다고 가정합니다. 관련 내력의 변화는 점(N_Ed,0,0)과 작용 내력(N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z)으로 정의된 점을 연결하는 직선을 따라 수평 평면 내에서 이동하는 것으로 해석할 수 있습니다. 이 직선과 상호작용 곡면의 두 교점은 극한 한계 상태에서의 두 가지 내력 집합을 나타냅니다. 각 교점에서 프로그램은 한계 상태에서의 세 가지 힘을 결정합니다: 설계 저항 모멘트 M_Rdy, M_Rdz, 및 (이에 대응하는) 작용 설계 축력 N_Ed.

단면 응답 산정

단면을 검토하는 또 다른 방법은 단면 응답(즉, 작용 내력으로부터의 변형률 및 응력 분포)을 산정하는 것입니다. 이 방법은 한계 변형 방법으로도 알려져 있습니다. 각 섬유(평면 휨의 경우 각 층)에서의 작용 응력 수준과 각 철근봉에서의 응력은 재료의 응력-변형률 다이어그램의 변형률에 따라 계산됩니다.
단면 응답 산정은 [6]에 명시된 수치 방법을 사용하여 계산됩니다. 원리는 전달되지 않은 힘의 불균형 성분에 의해 단면에 점진적으로 하중을 증가시키는 것입니다. 이는 응력-변형률 다이어그램을 사용하여 단면에 걸쳐 응력을 적분함으로써 산출됩니다. 응력-변형률 다이어그램에서 변형률에 대한 응력값을 찾을 수 있는 경우, 아래 그림 (a) 참조, 선형 탄성 재료를 가정하면 계산된 응력은 정확합니다. 경우 (b)와 (c)에서는 선형 계산에 의한 응력이 비현실적인 값에 도달하며, 일부 (b) 또는 전체 값 (c)이 재료에 의해 전달될 수 없습니다. 전달되지 않은 응력을 적분하면 전달되지 않은 내력을 얻을 수 있으며, 그 합력은 변동 하중의 내력에 추가되어야 합니다. 

응력-변형률 다이어그램에서 전달되지 않은 응력. [4]

전달되지 않은 내력. [4]

이 계산 방법은 단면 면적에 걸쳐 응력을 적분하고 단면에서의 평형 방정식의 비선형 해석을 위해 수치 방법의 사용이 필요합니다. 반복 계산은 수렴 기준이 충족될 때 종료됩니다.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

여기서 

F_e 는 단면 하중,

F_i 는 단면 응답(변형률 평면을 기반으로 계산된 내력)입니다.

a가 근사값이고 b가 정확한(참) 값인 경우, 절대 편차는 다음 식으로 표현됩니다.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

상대 편차는 다음 식으로 표현됩니다:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

대부분의 프로그램에서 이러한 수렴 기준을 설정할 수 있습니다(기본값은 상대 오차 1%, 축력의 절대 오차 100 N, 모멘트의 절대 오차 100 Nm). 

따라서 N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm을 입력값으로 하고 반복 계산 후 적분된 내력이 N = - 0.07 kN, My = 100.5 kNm, Mz = 0.02 kNm인 경우, 평가는 다음과 같습니다. N과 Mz가 0임을 고려하여 절대 편차로 비교할 수 있습니다:

축력 값 100N> | 70 | N
휨 모멘트 Mz 값 100Nm> | 20 | Nm
휨 모멘트 My 값

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

응답에 의한 단면 검토

단면에서 평형을 찾는 경우, 평면 변형률이 알려져 있습니다. 평면 변형률로부터 단면의 어느 위치에서든 변형률을 계산할 수 있으며, 이후 재료의 응력-변형률 다이어그램을 사용하여 철근봉, 단면 또는 그 부분에서의 응력 또는 내력을 계산할 수 있습니다. 계산된 응력 및 변형률 값은 사용된 재료의 응력-변형률 다이어그램으로부터 얻은 한계 변형률 값과 비교합니다.
이 방법의 장점은 단면에 작용하는 내력에 대한 단면의 응력 및 변형률 값의 완전한 정보를 얻을 수 있다는 것입니다.