Hajlítás

Keresztmetszeti teherbírás-ellenőrzési módszerek

Két jól ismert módszer alkalmazható az 1D vasbeton szerkezeti elemek végső határállapotának ellenőrzésére. Az első módszer a keresztmetszeti végső teherbírást interakciós felület vagy interakciós diagram formájában adja meg (egyirányú hajlítónyomaték esetén). A keresztmetszeti teherbírás meghatározható a ható belső erők és a határállapoti erők arányaként. A második módszer a keresztmetszetben fennálló egyensúly meghatározása, amelynek során a terhelt keresztmetszet tényleges viselkedését, az anyagok feszültség szerinti kihasználtságát és a keresztmetszet gyenge pontjait vizsgáljuk.

Általános tervezési feltételezések és számítási feltételezések a végső határállapotra vonatkozóan 

1. A vasalásban és a betonban keletkező ε alakváltozás feltételezhetően egyenesen arányos a semleges tengelytől mért távolsággal (a sík keresztmetszetek síkok maradnak).
2. A vasalás és a beton együttműködése csúszás nélküli tapadással biztosított (az ε alakváltozás a szomszédos betonszálak alakváltozásával megegyezik).
3. A beton húzószilárdságát elhanyagoljuk (az összes húzófeszültséget a vasalás veszi fel).
4. A nyomott zónában a beton nyomófeszültségeit a feszültség-alakváltozás diagramból számított alakváltozás alapján határozzuk meg.
5. A vasalás feszültségeit a feszültség-alakváltozás diagramból számított alakváltozás alapján határozzuk meg.
6. A beton nyomási alakváltozása az ε_cu2 végső alakváltozási határértékkel (nyomott beton parabola-téglalap diagramja) és ε_cu3 (kétlineáris feszültség-alakváltozás összefüggés) értékekkel korlátozott, [2].
7. A vasalás nyomási alakváltozása vízszintes képlékeny felső ág esetén nem korlátozott, ferde képlékeny felső ág esetén az alakváltozás ε_ud értékre korlátozott,[2].
8. Határállapot akkor áll fenn, ha legalább az egyik anyag állapota meghaladja a végső határállapoti alakváltozást (ha εu nem korlátozott, a nyomott beton az irányadó).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interakciós diagram

Az első lehetőség a keresztmetszet ellenőrzése interakciós felülettel (vagy interakciós diagrammal). A magyarázat az alábbi ábrán látható példán alapul, amely egy vasalt négyzetes keresztmetszet interakciós felületét mutatja be. Az interakciós felületen elhelyezkedő pontok a vizsgált keresztmetszet végső határállapotát határozzák meg. Az interakciós felületet az (N, My, Mz) pontokból rajzoljuk meg, amelyeket a keresztmetszetben végzett feszültségintegrálással határozunk meg, és amelyekben az egyik anyag elérte a végső határállapoti alakváltozást. A 3D interakciós felület a 2D interakciós diagramból vezethető le, amely egy zárt görbe, amely a folyamatosan forgatott semleges tengelyhez tartozó feszültségállapotnak felel meg.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Az y-tengelyre szimmetrikus keresztmetszet esetén az interakciós diagram szimmetrikus az N-M_y síkra. Hasonlóképpen, a z-tengelyre szimmetrikus keresztmetszet esetén az interakciós diagram szimmetrikus az N-M_z síkra. Az egyoldalasan vasalt keresztmetszet lapított alakú interakciós diagramot eredményez.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

A végső határállapotot meghatározó pontokat feszültségintegrálással kapjuk meg.  Az alábbi ábra a végső határállapotbeli alakváltozást mutatja be.

Alakváltozás-eloszlások a végső határállapotban (forrás: [2]).

Az interakciós diagram a keresztmetszet tönkremenetelét mutatja normálerő és hajlítónyomatékok hatására. [1]

A 2D diagram (az interakciós felületen fekvő zárt görbe) vizsgálatakor megállapítható, hogy az alakváltozási sík átmegy a semleges tengelyen és a kritikus ponton [y, z, ε], amelyet R kritikus pontnak tekintünk.  Az [y, z] pont a keresztmetszet egy pontját jelöli, ahol az ε alakváltozás értéke a végső határállapotban adott. A semleges tengely dőlésszöge a 2D diagram összes pontjára állandó.

Ha a betonban keletkező nyomófeszültség az irányadó a méretezés szempontjából, az R pont a legtávolabbi nyomott betonszálhoz vagy a C határponthoz esik. Ez azonban csak akkor alkalmazható, ha a keresztmetszet egyféle betonból készül – nem vegyes keresztmetszet esetén.   

Ha a vasalásban keletkező húzófeszültség az irányadó a méretezés szempontjából (az ε_ud alakváltozás egy vagy több rúdban meghaladja a végső határállapoti értéket), teljesíteni kell azt a feltételt, hogy az adott alakváltozási síkban az ε_ud értéke egyetlen más rúdban sem haladható meg.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

A fenti ábra azt mutatja, hogy a diagram két részre osztható: az a rész, ahol a tönkremenetelt a húzóerő okozza, és az a rész, amely nyomóerő hatására megy tönkre. A határpontok a fenti esetnek felelnek meg, ahol az alakváltozási sík szélső dőlésszöge is látható. Az interakciós diagram megrajzolásakor a keresztmetszet síkbeli alakváltozásának dőlésszöge ebben az intervallumban változik, miközben az R pontot keressük (lásd fent). Az így meghatározott sík alapján elvégezzük az integrálást, hogy megkapjuk a végső határállapotbeli feszültséget.

Normálerőnek és hajlítónyomatéknak kitett keresztmetszet ellenőrzése

A normálerőnek és hajlítónyomatéknak kitett keresztmetszet ellenőrzése annak igazolásán alapul, hogy az ellenőrzött feszültségek (N_d, M_yd, M_zd kombináció) az interakciós felületen belül vagy azon helyezkednek el. Ezt különböző módszerekkel lehet elvégezni. Az alábbi példa egy téglalap keresztmetszet ellenőrzését mutatja be, amelyre N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm erők hatnak.

NuMuMu módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy az összes belső erőkomponens arányosan változik (a normálerő excentricitása állandó marad) mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás a koordináta-rendszer origóját (0,0,0) és a belső erők által meghatározott pontot (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési normálerő-teherbírást N_Rd és a megfelelő méretezési nyomatéki teherbírásokat M_Rdy, M_Rdz.

NuMM módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy a normálerő állandó (egyenlő a ható méretezési normálerővel), és a hajlítónyomatékok arányosan változnak mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás egy vízszintes síkban az (N_Ed,0,0) pontot és a ható belső erők által meghatározott  pontot (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési ellenálló nyomatékokat M_Rdy, M_Rdz és a (megfelelő) ható méretezési normálerőt N_Ed.

NMuMu módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy a normálerő állandó (egyenlő a ható méretezési normálerővel), és a hajlítónyomatékok arányosan változnak mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás egy vízszintes síkban az (N_Ed,0,0) pontot és a ható belső erők által meghatározott pontot (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési ellenálló nyomatékokat M_Rdy, M_Rdz, és a (megfelelő) ható méretezési normálerőt N_Ed.

A keresztmetszeti válasz meghatározása

A keresztmetszet ellenőrzésének másik lehetősége a keresztmetszeti válasz meghatározása (azaz az alakváltozás és feszültség eloszlása a ható belső erőkből). Ezt a módszert határalakváltozás módszernek is nevezik. A ható feszültségek szintje minden szálban (síkhajlítás esetén minden rétegben) és minden vasalási rúdban az anyag feszültség-alakváltozás diagramjából számított alakváltozás függvényében kerül meghatározásra.
A keresztmetszeti válasz meghatározása a [6]-ban megadott numerikus módszerrel történik. Az elv a keresztmetszet fokozatos terhelésnövelésén alapul az át nem vitt erők egyensúlyhiányos komponenseivel. Ezeket a feszültség-alakváltozás diagramok segítségével a keresztmetszeten végzett feszültségintegrálással kapjuk. Ha a feszültség értéke megtalálható az alakváltozáshoz a feszültség-alakváltozás diagramban, lásd az alábbi ábra (a) esetét, a számított feszültség helyes, lineárisan rugalmas anyagot feltételezve. A (b) és (c) esetekben a lineáris számítás szerinti feszültség irreális értékeket ér el, és a (b) rész vagy a teljes érték (c) nem vihető át az anyagon. Az át nem vitt feszültségek integrálásával megkapjuk az át nem vitt belső erőket, amelyek eredőit hozzá kell adni a változó terhek belső erőihez. 

Át nem vitt feszültségek a feszültség-alakváltozás diagramokban. [4]

Át nem vitt belső erők. [4]

Ez a számítási módszer numerikus módszerek alkalmazását igényli a feszültség keresztmetszeti területen való integrálásához és az egyensúlyi egyenletek nemlineáris analíziséhez a keresztmetszetben. Az iteráció akkor ér véget, amikor a konvergencia kritériumok teljesülnek.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

ahol 

F_e a keresztmetszeti terhelés,

F_i a keresztmetszeti válasz (az alakváltozási sík alapján számított belső erők).

Ha a a közelítő (becsült) érték és b a pontos (valódi) érték, akkor az abszolút eltérést a következő egyenlet adja meg.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

A relatív eltérést a következő képlet adja meg:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

A legtöbb programban beállíthatók ezek a konvergencia kritériumok (alapértelmezett értékek: 1% relatív hiba, 100 N, 100 Nm mint a normálerő és a nyomatékok abszolút hibája). 

Tehát ha a bemeneti értékek N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm, és az iteráció utáni integrált erők N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, az értékelés a következőképpen alakul. Figyelembe véve, hogy N és Mz értéke 0, az abszolút eltéréssel való összehasonlítás elvégezhető:

A normálerő értéke 100N> | 70 | N
Az Mz hajlítónyomaték értéke 100Nm> | 20 | Nm
Az My hajlítónyomaték értéke

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Keresztmetszet ellenőrzése a keresztmetszeti válasz alapján

A keresztmetszetben fennálló egyensúly meghatározása esetén a síkbeli alakváltozás ismert. A síkbeli alakváltozásból a keresztmetszet bármely pontján kiszámítható az alakváltozás, majd az anyagok feszültség-alakváltozás diagramjai segítségével a vasalási rudakban, a keresztmetszetben vagy annak részeiben ébredő feszültség vagy belső erők. A számított feszültség- és alakváltozás értékeket összehasonlítjuk az alkalmazott anyagok feszültség-alakváltozás diagramjaiból vett határalakváltozás értékekkel.
Ennek a módszernek az előnye, hogy teljes képet kapunk a keresztmetszetre ható belső erők által keltett feszültség- és alakváltozás értékekről a keresztmetszetben.