Metodo CSFM spiegato

In pratica, i metodi Puntone-e-tirante (S&T) e Stress Fields sono comunemente utilizzati per progettare le regioni di discontinuità nelle strutture in calcestruzzo armato e precompresso. Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile (CSFM) è stato sviluppato estendendo queste teorie classiche, consentendo un elevato grado di automazione ed è coerente con le norme di progettazione. Nonostante la sua semplicità, il metodo fornisce una descrizione molto realistica del comportamento di una struttura in calcestruzzo sia allo stato limite ultimo (SLU) che allo stato limite di esercizio (SLE). Il CSFM è implementato in IDEA StatiCa Detail. 

Fig. 1  a) Parete con aperture b) Parete di taglio c) Trave con estremità ribassate e aperture d) Pila da ponte e) Diaframma da ponte 

Le procedure standard per la progettazione delle sezioni trasversali delle strutture in calcestruzzo sono applicabili nelle parti in cui vale l'ipotesi di Bernoulli-Navier sulla distribuzione piana delle deformazioni (regione B). I luoghi in cui questa ipotesi non si applica sono denominati regioni di discontinuità (regioni D). Questi includono parti di strutture in cui compaiono carichi concentrati o dove si verifica un brusco cambiamento della sezione trasversale, come le estremità ribassate (Fig. 1c), le travi alte, le pareti con aperture (Figg. 1a, 1b), oppure mensole corte e platee su pali. Nel campo dell'ingegneria dei ponti, si tratta ad esempio di capitelli di pila (Fig. 1d), diaframmi (Fig. 1e), deviatori, ecc.

1. Metodo Puntone e tirante

L'ipotesi di base nella definizione di un modello S&T è che la resistenza a trazione del calcestruzzo venga trascurata. Un semplice modello reticolare è composto da elementi che lavorano a compressione e a trazione, rappresentando il comportamento allo SLU. In generale, non si tratta di un problema complesso, e la definizione di un modello S&T di base (Fig. 2a) non dovrebbe essere un problema per un ingegnere esperto. Tuttavia, anche per questo compito di base, la corretta valutazione del modello in conformità con la norma di progettazione può essere un processo tedioso, manuale e iterativo.

Fig. 2 a) Modello S&T opzione 1 b) Modello S&T opzione 2 c) Modello S&T opzione 

I tiranti, le zone nodali e la deformazione principale trasversale di trazione nei puntoni devono essere verificati. Se il modello non supera la verifica normativa, la geometria S&T deve essere modificata oppure deve essere selezionato un modello S&T diverso (Fig. 2b, 2c). Questo porta spesso l'ingegnere strutturale a scegliere la geometria del modello S&T una sola volta e a verificare solo l'armatura. Ciò può portare a un errore sostanziale. La scelta del modello è sempre una questione di esperienza. Per dettagli strutturali più complessi, scegliere un modello S&T che corrisponda sufficientemente al comportamento reale della struttura potrebbe non essere così semplice come nel caso precedente. Inoltre, il metodo S&T è un metodo per la progettazione dei soli stati limite ultimi. Non consente la progettazione degli stati limite di esercizio (deformazione, fessurazione), che sono criteri fondamentali, specialmente nelle strutture di notevole importanza, poiché influenzano direttamente la vita utile della struttura.

2. Metodo del Campo di Tensioni Compatibile - CSFM

Il CSFM è un moderno metodo non lineare per l'analisi delle regioni D e degli elementi il cui comportamento può essere semplificato a uno stato piano di tensione, ovvero un modello 2D.  Tuttavia, si basa ancora su un'ipotesi di base e cautelativa delle norme: il calcestruzzo non lavora a trazione, e tutta la trazione deve essere trasferita dall'armatura. Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile (CSFM) è un'evoluzione dei metodi S&T e del campo di tensioni, eliminando i loro principali svantaggi sopra menzionati: incertezze nella selezione del modello, difficoltà di automazione e impossibilità di verificare gli stati limite di esercizio.

Fig. 3 a) Deformazione principale b) Tensione principale c) CSFM

Il principio del CSFM può essere spiegato attraverso lo stato piano di tensione dell'elemento piano di base di una struttura in calcestruzzo armato. La Fig. 3a mostra l'elemento 2D di base in stato piano di tensione come lo conosciamo da tutti i libri di testo sull'elasticità e la resistenza dei materiali. Questa è la tensione in un punto della struttura, ottenuta, ad esempio, mediante analisi elastica lineare con il Metodo degli Elementi Finiti (MEF). L'elemento è soggetto a una tensione normale orizzontale σ_x, una tensione normale verticale σ_z e una tensione tangenziale τ_xz. Da queste tensioni si possono determinare le cosiddette tensioni principali e la loro direzione definita dall'angolo θ (Fig. 3b). L'elemento è quindi soggetto alla tensione principale di trazione σ₁ e alla tensione principale di compressione σ₂.

Come si presenterà la deformazione dello stesso elemento analizzato con il CSFM? La deformazione è mostrata nella Figura 3c. Il calcestruzzo compresso appare nella direzione della tensione principale di compressione σ₂. E viene generato un campo di tensioni con tensione σ_c2. Come accennato in precedenza, l'ipotesi di base è che il calcestruzzo non lavori a trazione. Pertanto, la tensione principale trasversale di trazione σ₁ non sarà trasferita dal calcestruzzo, e si formerà una fessura perpendicolare alla direzione. La tensione σ_c1r deve quindi essere zero. Per evitare la rottura del nostro elemento 2D, tutta la tensione di trazione deve essere trasferita dall'armatura (indicata in blu nella Fig. 3c), che deve far parte del modello di calcolo. 

Se questa analisi delle tensioni viene eseguita con il CSFM in modo continuo sull'intera regione 2D da risolvere, il risultato è un campo di compressione continuo nel calcestruzzo più tensioni di trazione e compressione nell'armatura. Una rappresentazione grafica semplificata del campo di tensioni CSFM è mostrata nella Figura 4. Oltre ai tassi di sfruttamento del calcestruzzo e dell'armatura, la figura indica anche le direzioni variabili delle tensioni calcolate σ_c2 lungo le regioni.

Fig. 4 Risultati complessivi da IDEA StatiCa Detail 

L'analisi di un dettaglio o di una struttura mediante CSFM si basa sul Metodo degli Elementi Finiti. Il calcestruzzo è modellato con elementi parete 2D e l'armatura con elementi asta 1D (Fig. 7). L'analisi non viene eseguita in un unico passo poiché si tratta di un problema non lineare. I carichi vengono applicati in incrementi durante il calcolo e la soluzione del sistema non lineare di equazioni viene trovata con il metodo di Newton-Raphson. 

Le fessure diffuse fittizie (ε₁ è il valore medio) si "formano" perpendicolarmente alla direzione delle tensioni principali, che possono cambiare durante il calcolo non lineare man mano che l'elemento "si fessura progressivamente" a ogni incremento di carico. In sintesi, si considera una fessura rotante fittizia priva di tensioni. 

Il risultato della soluzione MEF con il CSFM è un campo di tensioni compatibile (ovvero, il calcestruzzo non si suddivide in singoli puntoni compressi che agiscono indipendentemente nel modello) e lo stato di deformazione, che sono continui nell'intero dominio 2D risolto. Questo rappresenta un notevole vantaggio rispetto agli approcci classici S&T e consente di automatizzare e affinare il modello di calcolo, come descritto nei paragrafi seguenti.

Fig. 5 Principio dell'ammorbidimento a compressione del calcestruzzo

La semplice formulazione del CSFM consente di utilizzare il diagramma tensione-deformazione parabolico-rettangolare uniassiale standard per il calcestruzzo a compressione secondo la norma di progettazione. Come è noto, la resistenza a compressione del calcestruzzo diminuisce quando il calcestruzzo è danneggiato da fessure trasversali (Fig. 5). Questo cosiddetto effetto di ammorbidimento a compressione è incluso nel metodo tenendo automaticamente conto della resistenza a compressione efficace del calcestruzzo. 

In base al livello delle deformazioni principali trasversali di trazione ε₁, viene determinato il fattore di riduzione k_c e il diagramma tensione-deformazione del calcestruzzo viene modificato (Fig. 5). Poiché il campo delle deformazioni nell'intera struttura è noto, la resistenza a compressione efficace del calcestruzzo può essere calcolata automaticamente nelle singole sezioni in funzione del livello locale delle deformazioni principali trasversali di trazione ε₁.

Fig. 6 Principio dell'irrigidimento a trazione

Inoltre, il CSFM considera l'effetto di irrigidimento del calcestruzzo teso tra le fessure sull'armatura, il cosiddetto irrigidimento a trazione. Nel modello di calcolo viene utilizzata la deformazione media dell'armatura ε_m. Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura viene quindi modificato (Fig. 6). Ciò consente una rappresentazione realistica della rigidezza di una struttura in calcestruzzo armato danneggiata dalle fessure. Rimane tuttavia valido che la resistenza a trazione del calcestruzzo non contribuisce alla capacità ultima. La tensione massima nell'armatura σ_sr nelle fessure è determinante per la progettazione (Fig. 6).

Il CSFM utilizza modelli di materiale uniassiali comuni (diagrammi tensione-deformazione) definiti nelle norme di progettazione. L'approccio standard, il metodo dei coefficienti parziali di sicurezza, viene quindi utilizzato per la verifica allo SLU. La semplicità del metodo lo rende adatto alla pratica ingegneristica ed è coerente con le norme di progettazione. 

Sebbene si tratti di un'analisi FEA non lineare, l'ingegnere strutturale non deve inserire nel calcolo ulteriori proprietà dei materiali e caratteristiche del calcestruzzo che potrebbero non essere disponibili nella fase di progettazione e che sono necessarie, ad esempio, per le analisi FEA non lineari basate sulla meccanica della frattura. Come già indicato, un importante vantaggio dell'analisi CSFM, oltre agli stati limite ultimi, è la capacità di verificare gli stati limite di esercizio: frecce, limitazioni delle tensioni e, in particolare, l'ampiezza delle fessure.

Fig. 7 Esempio di rappresentazione del modello a elementi finiti in IDEA StatiCa Detail

(Fig. 7) Il modello MEF nel CSFM è composto da diversi tipi di elementi finiti:

• Elemento 1-D con rigidezza assiale per l'armatura
• Elemento isoparametrico 2-D per il calcestruzzo
• Molle di estremità per il modello di ancoraggio dell'armatura con trattamento dell'estremità
• Elemento 2-D speciale per modellare la coesione tra armatura e calcestruzzo
• Vincoli rigidi e di interpolazione (Multi-Point Constraints, MPC) tra gli elementi di coesione e il calcestruzzo

Se l'armatura progettata previene la rottura fragile dell'elemento, è stato dimostrato che il CSFM fornisce previsioni molto accurate della risposta e della capacità ultima della struttura, nonostante la semplicità della formulazione. In altre parole, il metodo non è adatto, ad esempio, alla progettazione di travi senza armatura trasversale a taglio che presentano un comportamento potenzialmente fragile. Le verifiche del metodo, incluse le prove sperimentali, sono riportate in [1]. Una descrizione più dettagliata del metodo esula dall'ambito del presente articolo e può essere trovata anche nel Background Teorico.

È evidente che i principi del CSFM sono generali e, pertanto, la sua applicazione non è limitata alle regioni D, ma può essere utilizzata per modellare interi elementi, ad esempio travi prefabbricate, e dove l'elemento può essere semplificato a un modello planare 2D. Il metodo e la sua implementazione nel software (IDEA StatiCa Detail) sono stati anche estesi, con la possibilità di specificare armatura precompressa e post-tesa.

3. Esempio di progettazione del capitello di pila

L'applicazione pratica del CSFM è mostrata nella progettazione del capitello della pila da ponte in Figura 8. Si tratta della seconda pila di un ponte continuo con tre campate di 30,0 m, 42,0 m e 30,0 m. La testa della pila in calcestruzzo armato è progettata in calcestruzzo C40/50 e il suo spessore (nella direzione longitudinale del ponte) è di 2,0 m.

Fig. 8 Capitello di pila: a) Progettazione di sintesi; b) Tensione di compressione nel calcestruzzo allo SLU; c) Tensione di trazione nell'armatura allo SLU; d) Ampiezza delle fessure allo SLE

In cima al capitello della pila, è stata dapprima progettata una trave trasversale con armatura B500 20xϕ28+20xϕ25 - i quattro strati superiori. La Figura 8a mostra una progettazione di sintesi allo stato limite ultimo, con le tensioni di compressione nel calcestruzzo, le direzioni delle tensioni di compressione e le tensioni nell'armatura. La distribuzione più dettagliata delle tensioni nel calcestruzzo e nell'armatura è documentata nelle Figure 8b e 8c. L'armatura trasversale è appena al di sotto della tensione di snervamento e anche le tensioni nel calcestruzzo (e le relative deformazioni) sono soddisfacenti allo SLU. Tuttavia, il risultato del calcolo dell'ampiezza delle fessure (Fig. 8d) mostra che la progettazione non soddisfa lo SLE: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Per rispettare l'ampiezza limite delle fessure, è necessario aumentare l'armatura della trave trasversale a 20xϕ32+20xϕ28. Nel caso di w_lim = 0,2 mm (ad esempio, pila vicino a una strada che genera nebbia salina, livello di esposizione ambientale XF2), l'armatura della trave trasversale dovrebbe essere aumentata fino a 24xϕ32+24xϕ28.

Conclusione

Il CSFM è adatto alla pratica ingegneristica perché utilizza modelli di materiale semplici definiti in una norma di progettazione. Oltre agli stati limite ultimi, consente anche la progettazione degli stati limite di esercizio, per i quali la verifica era precedentemente difficile da immaginare utilizzando i modelli S&T. Implementando il metodo in IDEA StatiCa Detail, è quindi possibile cogliere realisticamente la risposta della struttura e progettare e verificare le regioni di discontinuità e gli assemblaggi più complessi in modo efficiente e sicuro.

Il CSFM è stato sviluppato principalmente attraverso il lavoro del Professor Walter Kaufmann, Responsabile della Cattedra di Ingegneria Strutturale del Politecnico Federale di Zurigo (ETH Zurich). Lui e il suo team hanno anche verificato il metodo e la sua implementazione software.

Bibliografia

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Autore

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.