Metoda CSFM explicată

În practică, metodele Bielă-tiranți (S&T) și Câmpului de Tensiuni sunt utilizate în mod curent pentru proiectarea zonelor de discontinuitate în structurile din beton armat și precomprimat. Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil (CSFM) a fost dezvoltată prin extinderea acestor teorii clasice, permițând un grad ridicat de automatizare și fiind conformă cu standardul de proiectare. În ciuda simplității sale, metoda oferă o descriere foarte realistă a comportamentului unei structuri din beton atât în starea limită ultimă (SLU), cât și în starea limită de serviciu (SLS). CSFM este implementat în IDEA StatiCa Detail. 

Fig. 1  a) Perete cu goluri b) Perete de forfecare c) Grindă cu capete decupate și goluri d) Pilon de pod e) Diafragmă de pod 

Procedurile standard pentru proiectarea secțiunilor transversale ale structurilor din beton sunt aplicabile în zonele în care se aplică ipoteza Bernoulli-Navier privind distribuția plană a deformațiilor (zona B). Locurile în care această ipoteză nu se aplică sunt numite zone de discontinuitate (zone D). Acestea includ părți ale structurilor unde apar încărcări concentrate sau unde există o schimbare bruscă a secțiunii transversale, cum ar fi capetele decupate (Fig. 1c), grinzile perete, pereții cu goluri (Fig. 1a, 1b) sau consolele și radierele pe piloți. În domeniul ingineriei podurilor, acestea sunt, de exemplu, capitelurile de pilon (Fig. 1d), diafragmele (Fig. 1e), deviatorii etc.

1. Metoda Bielă-tiranți

Ipoteza de bază la definirea unui model S&T este că rezistența la întindere a betonului este neglijată. Un model simplu de grindă cu zăbrele este alcătuit din elemente care lucrează la compresiune și întindere, reprezentând comportamentul la SLU. În general, aceasta nu este o problemă complexă, iar definirea unui model S&T de bază (Fig. 2a) nu ar trebui să reprezinte o dificultate pentru un inginer cu experiență. Cu toate acestea, chiar și pentru această sarcină de bază, evaluarea corectă a modelului în conformitate cu standardul de proiectare poate fi un proces laborios, manual și iterativ.

Fig. 2 a) Varianta 1 a modelului S&T b) Varianta 2 a modelului S&T c) Varianta 3 a modelului S&T 

Tiranții, zonele nodale și deformația de întindere transversală în biele trebuie verificate. Dacă modelul nu trece verificarea conform codului, geometria S&T trebuie ajustată sau trebuie selectat un alt model S&T (Fig. 2b, 2c). Acest lucru conduce adesea la situația în care inginerul structurist alege geometria modelului S&T o singură dată și verifică doar armătura. Aceasta poate conduce la o eroare substanțială. Alegerea modelului este întotdeauna o chestiune de experiență. Pentru detalii structurale mai complexe, alegerea unui model S&T care să corespundă suficient comportamentului real al structurii poate să nu fie la fel de simplă ca în cazul de mai sus. De asemenea, S&T este o metodă destinată exclusiv proiectării la stări limită ultime. Nu permite proiectarea la stări limită de serviciu (deformații, fisurare), care sunt criterii esențiale, în special în structurile de importanță deosebită, deoarece influențează direct durata de serviciu a structurii.

2. Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil - CSFM

CSFM este o metodă neliniară modernă pentru analiza zonelor D și a elementelor al căror comportament poate fi simplificat la starea plană de tensiuni, adică un model 2D.  Cu toate acestea, se bazează în continuare pe o ipoteză de bază și sigură a standardelor: betonul nu lucrează la întindere, iar toată întinderea trebuie preluată de armătură. Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil (CSFM) reprezintă o evoluție a metodelor S&T și a câmpului de tensiuni, eliminând principalele dezavantaje menționate anterior: incertitudinile în selectarea modelului, dificultatea automatizării și imposibilitatea verificării stărilor limită de serviciu.

Fig. 3 a) Deformație plană b) Tensiune principală c) CSFM

Principiul CSFM poate fi explicat pe baza stării plane de tensiuni a elementului plan de bază al unei structuri din beton armat. Fig. 3a prezintă elementul 2D de bază în stare plană de tensiuni, așa cum îl cunoaștem din toate manualele de elasticitate și rezistența materialelor. Aceasta este tensiunea într-un punct al structurii, obținută, de exemplu, prin analiză elastică liniară utilizând metoda elementelor finite (MEF). Elementul este supus unei tensiuni normale orizontale σ_x, unei tensiuni normale verticale σ_z și unei tensiuni de forfecare τ_xz. Din aceste tensiuni pot fi determinate așa-numitele tensiuni principale și direcția lor definită de unghiul θ (Fig. 3b). Elementul este astfel supus tensiunii principale de întindere σ₁ și tensiunii principale de compresiune σ₂.

Cum va arăta deformația aceluiași element analizat prin CSFM? Deformația este prezentată în Figura 3c. Betonul comprimat apare în direcția tensiunii principale de compresiune σ₂. Se generează astfel un câmp de tensiuni cu tensiunea σ_c2. Așa cum s-a menționat mai sus, ipoteza de bază este că betonul nu lucrează la întindere. Prin urmare, tensiunea principală transversală de întindere σ₁ nu va fi preluată de beton, iar o fisură se va forma perpendicular pe această direcție. Tensiunea σ_c1r trebuie, prin urmare, să fie zero. Pentru a evita cedarea elementului 2D, toată tensiunea de întindere trebuie preluată de armătură (indicată cu albastru în Fig. 3c), care trebuie să facă parte din modelul de calcul. 

Dacă această analiză a tensiunilor este efectuată prin CSFM continuu pe întreaga zonă 2D care urmează a fi rezolvată, rezultatul este un câmp continuu de compresiune în beton plus tensiuni de întindere și compresiune în armătură. O reprezentare grafică simplificată a câmpului de tensiuni CSFM este prezentată în Figura 4. Pe lângă gradele de utilizare ale betonului și armăturii, figura indică și direcțiile variabile ale tensiunilor calculate σ_c2 de-a lungul zonelor.

Fig. 4 Rezultate generale din IDEA StatiCa Detail 

Analiza unui detaliu sau a unei structuri prin CSFM se bazează pe metoda elementelor finite. Betonul este modelat cu elemente de perete 2D, iar armătura cu elemente de element 1D (Fig. 7). Analiza nu se efectuează într-un singur pas, deoarece este o problemă neliniară. Încărcările sunt aplicate în incremente în timpul calculului, iar soluția sistemului neliniar de ecuații este găsită prin metoda Newton-Raphson. 

Fisurile fictive difuze (ε₁ este valoarea medie) se „formează" perpendicular pe direcția tensiunilor principale, care se poate modifica în timpul calculului neliniar pe măsură ce elementul „fisurează progresiv" la fiecare increment de încărcare. În rezumat, se consideră o fisură fictivă rotativă fără tensiuni. 

Rezultatul soluției MEF utilizând CSFM este un câmp de tensiuni compatibil (adică betonul nu se fragmentează în biele individuale care acționează independent în model) și starea de deformație, care sunt continue pe întregul domeniu 2D rezolvat. Acesta reprezintă un avantaj major față de abordările clasice S&T și permite automatizarea și rafinarea modelului de calcul, după cum este descris în paragrafele următoare.

Fig. 5 Principiul rezistenței reduse a betonului comprimat

Formularea simplă a CSFM permite utilizarea diagramei standard uniaxiale parabolice-dreptunghiulare efort-deformație pentru beton la compresiune conform standardului de proiectare. Așa cum este bine cunoscut, rezistența la compresiune a betonului scade atunci când betonul este deteriorat de fisuri transversale (Fig. 5). Acest efect de rezistență redusă a betonului comprimat este inclus în metodă prin luarea automată în considerare a rezistenței efective la compresiune a betonului. 

Pe baza nivelului deformațiilor de întindere transversale ε₁, se determină factorul de reducere k_c și diagrama efort-deformație a betonului este ajustată (Fig. 5). Deoarece câmpul de deformații din întreaga structură este cunoscut, rezistența efectivă la compresiune a betonului poate fi calculată automat în secțiuni individuale în funcție de nivelul local al deformațiilor de întindere transversale ε₁.

Fig. 6 Principiul participării betonului întins

Mai mult, CSFM ia în considerare participarea betonului întins dintre fisuri asupra armăturii, cunoscut sub denumirea de participarea betonului întins. În modelul de calcul, se utilizează deformația medie a armăturii ε_m. Diagrama efort-deformație a armăturii este apoi modificată (Fig. 6). Aceasta permite o reprezentare realistă a rigidității unei structuri din beton armat deteriorate de fisuri. Cu toate acestea, rămâne valabil că rezistența la întindere a betonului nu contribuie la capacitatea ultimă. Tensiunea maximă în armătură σ_sr în fisuri este critică pentru proiectare (Fig. 6).

CSFM utilizează modele de material uniaxiale comune (diagrame efort-deformație) definite în standardele de proiectare. Abordarea standard, metoda coeficienților parțiali de siguranță, este apoi utilizată pentru verificarea la SLU. Simplitatea metodei o face adecvată pentru practica inginerească și este conformă cu standardele de proiectare. 

Chiar dacă este o analiză neliniară prin MEF, inginerul structurist nu trebuie să introducă în calcul proprietăți suplimentare ale materialelor și caracteristici ale betonului care pot să nu fie disponibile în faza de proiectare și care sunt necesare, de exemplu, în analizele neliniare MEF bazate pe mecanica fracturii. Așa cum s-a indicat deja, un avantaj major al analizei CSFM, pe lângă stările limită ultime, este capacitatea de a verifica stările limită de serviciu: deformații, limitări ale tensiunilor și, în special, deschiderea fisurilor.

Fig. 7 Exemplu de reprezentare a modelului de elemente finite în IDEA StatiCa Detail

(Fig. 7) Modelul MEF în CSFM este compus din mai multe tipuri de elemente finite:

• Element 1-D cu rigiditate axială pentru armătură
• Element izoparametric 2-D pentru beton
• Arcuri de capăt pentru modelul de ancoraj al armăturii cu tratament la capăt
• Element special 2-D pentru modelarea aderenței dintre armătură și beton
• Constrângeri rigide și de interpolare (Constrângeri Multi-Punct, MPC) între elementele de aderență și beton

Dacă armătura proiectată previne cedarea fragilă a elementului, s-a demonstrat că CSFM oferă predicții foarte bune ale răspunsului și capacității ultime a structurii, în ciuda simplității formulării. Cu alte cuvinte, metoda nu este adecvată, de exemplu, pentru proiectarea grinzilor fără armătură transversală de forfecare, care prezintă un comportament potențial fragil. Verificările metodei, inclusiv experimentele, sunt prezentate în [1]. O descriere mai detaliată a metodei depășește scopul acestui articol și poate fi găsită și în Baza Teoretică.

Este evident că principiile CSFM sunt generale și, prin urmare, aplicarea sa nu se limitează la zonele D, ci poate fi utilizată pentru modelarea unor elemente întregi, de exemplu grinzi prefabricate, și acolo unde elementul poate fi simplificat la un model plan 2D. Metoda și implementarea sa în software (IDEA StatiCa Detail) au fost, de asemenea, extinse, cu posibilitatea de a specifica armătură pretensionată și post-tensionată.

3. Exemplu de proiectare a capitelului de pilon

Aplicarea practică a CSFM este prezentată în proiectarea capitelului pilonului de pod din Figura 8. Acesta este al doilea pilon al unui pod continuu cu trei deschideri de 30,0 m, 42,0 m și 30,0 m. Capul pilonului din beton armat este proiectat în beton C40/50, iar grosimea sa (în direcția longitudinală a podului) este de 2,0 m.

Fig. 8 Capitel de pilon: a) Proiectare de ansamblu; b) Tensiunea de compresiune în beton la SLU; c) Tensiunea de întindere în armătură la SLU; d) Deschiderea fisurilor la SLS

La partea superioară a capitelului de pilon, a fost proiectată mai întâi o grindă transversală cu armătură B500 20xϕ28+20xϕ25 - primele patru straturi superioare. Figura 8a prezintă proiectarea de ansamblu la starea limită ultimă, indicând tensiunile de compresiune în beton, direcțiile tensiunilor de compresiune și tensiunile în armătură. Distribuția mai detaliată a tensiunilor în beton și armătură este documentată în Figurile 8b și 8c. Armătura transversală se află chiar sub limita de curgere, iar tensiunile în beton (și deformațiile relative) sunt satisfăcătoare la SLU. Cu toate acestea, rezultatul calculului deschiderii fisurilor (Fig. 8d) arată că proiectarea nu satisface condiția la SLS: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Pentru a respecta deschiderea limită a fisurilor, este necesară creșterea armăturii grinzii transversale la 20xϕ32+20xϕ28. În cazul w_lim = 0,2 mm (de exemplu, pilon în apropierea unui drum care generează spray salin, nivelul de influență al mediului XF2), armătura grinzii transversale ar trebui mărită chiar până la 24xϕ32+24xϕ28.

Concluzie

CSFM este adecvat pentru practica inginerească deoarece utilizează modele de material simple definite în standardul de proiectare. Pe lângă stările limită ultime, permite și proiectarea la stări limită de serviciu, pentru care verificarea era anterior dificil de realizat prin utilizarea modelelor S&T. Prin implementarea metodei în IDEA StatiCa Detail, este posibilă captarea realistă a răspunsului structurii și proiectarea și verificarea eficientă și sigură a zonelor de discontinuitate și a ansamblurilor mai mari.

CSFM a fost dezvoltat în principal prin activitatea Profesorului Walter Kaufmann, Șeful Catedrei de Inginerie Structurală de la Institutul Federal Elvețian de Tehnologie (ETH) Zurich. El și echipa sa au verificat, de asemenea, metoda și implementarea sa în software.

Bibliografie

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Autor

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.