CSFM magyarázata

A gyakorlatban a Strut-and-Tie (S&T) és a feszültségmező-módszerek standardként használatosak a vasbeton és feszített beton szerkezetek megszakítási régióinak tervezéséhez. A Compatible Stress Field Method (CSFM) ezeknek a klasszikus elméleteknek a kiterjesztésével fejlesztették ki, lehetővé téve a magas fokú automatizálást, és összhangban van a tervezési szabvánnyal. Egyszerűsége ellenére a módszer nagyon realisztikus leírást nyújt a betonszerkezet viselkedéséről mind a teherbírási határállapotban (ULS), mind a használhatósági határállapotban (SLS). A CSFM az IDEA StatiCa Detail-ban van implementálva. 

1. ábra  a) Nyílásokkal ellátott fal b) Nyírófalak c) Kivágott végű és nyílásokkal ellátott gerenda d) Hídpillér e) Híd rekeszfal 

A betonszerkezetek keresztmetszetének tervezésére vonatkozó szabványos eljárások azokban a részekben alkalmazhatók, ahol a Bernoulli-Navier-féle sík alakváltozás-eloszlás hipotézise érvényes (B-régió). Azokat a helyeket, ahol ez a hipotézis nem alkalmazható, megszakítási régióknak (D-régióknak) nevezzük. Ezek közé tartoznak a szerkezetek azon részei, ahol koncentrált terhelések lépnek fel, vagy ahol hirtelen keresztmetszet-változás következik be, mint például a kivágott végek (1c. ábra), mélygeredák, nyílásokkal ellátott falak (1a., 1b. ábra), vagy konzolok és cölöpfejek. A hídépítés területén ezek például pillérfejek (1d. ábra), rekeszfalak (1e. ábra), eltérítők stb.

1. Strut and Tie módszer

Az S&T modell meghatározásának alapfeltevése, hogy a beton húzószilárdsága elhanyagolt. Egy egyszerű rácsmodell nyomásban és húzásban dolgozó elemekből áll, amelyek az ULS viselkedést reprezentálják. Általánosságban ez nem összetett feladat, és egy tapasztalt mérnök számára egy alapvető S&T modell (2a. ábra) meghatározása nem jelent problémát. Azonban még ennél az alapvető feladatnál is a modell helyes értékelése a tervezési szabványnak megfelelően fáradságos, manuális és iteratív folyamat lehet.

2. ábra a) S&T modell 1. lehetőség b) S&T modell 2. lehetőség c) S&T modell 3. lehetőség 

A húzott rudakat, csomóponti területeket és a nyomott rudakban lévő keresztirányú húzási alakváltozást kell értékelni. Ha a modell nem felel meg az ellenőrzésen, az S&T geometriát módosítani kell, vagy egy másik S&T modellt kell kiválasztani (2b., 2c. ábra). Ez gyakran oda vezet, hogy a statikus mérnök az S&T modell geometriáját csak egyszer választja meg, és csak a vasalást értékeli. Ez jelentős hibához vezethet. A modell megválasztása mindig tapasztalat kérdése. Összetettebb szerkezeti részletek esetén egy olyan S&T kiválasztása, amely kellőképpen illeszkedik a szerkezet tényleges viselkedéséhez, nem biztos, hogy olyan egyszerű, mint a fenti esetben. Az S&T emellett csak a teherbírási határállapotok tervezésére szolgáló módszer. Nem teszi lehetővé a használhatósági határállapotok (alakváltozás, repedezés) tervezését, amelyek kritikus kritériumok, különösen a jelentős fontosságú szerkezeteknél, mivel közvetlenül befolyásolják a szerkezet élettartamát.

2. Compatible Stress Field Method - CSFM

A CSFM egy modern nemlineáris módszer a D-régiók és olyan elemek elemzésére, amelyek viselkedése síkfeszültségre egyszerűsíthető, azaz 2D modellre.  Azonban még mindig a szabványok egy alapvető és biztonságos feltételezésén alapul: a beton nem vesz fel húzást, és minden húzást a vasalásnak kell átvennie. A Compatible Stress Field Method (CSFM) az S&T és a feszültségmező-módszerek továbbfejlesztése, amely kiküszöböli a fent említett fő hátrányaikat: a modellválasztás bizonytalanságait, az automatizálás nehézségeit és a használhatósági határállapotok értékelésének képtelenségét.

3. ábra a) Sík alakváltozás b) Főfeszültség c) CSFM

A CSFM elvét egy vasbeton szerkezet alapvető síkbeli elemének síkfeszültségén lehet szemléltetni. A 3a. ábra az alapvető 2D elemet mutatja síkfeszültségben, ahogyan azt az összes rugalmassági és szilárdsági tankönyvből ismerjük. Ez a szerkezet egy pontjában lévő feszültség, amelyet például a végeselem-módszer (FEM) segítségével végzett lineáris rugalmas analízissel kapunk. Az elemet vízszintes normálfeszültség σ_x, függőleges normálfeszültség σ_z és nyírófeszültség τ_xz terheli. Ezekből a feszültségekből meghatározhatók az úgynevezett főfeszültségek és irányuk, amelyet a θ szög határoz meg (3b. ábra). Az elemet ekkor a σ₁ főhúzófeszültség és a σ₂ főnyomófeszültség terheli.

Hogyan néz ki ugyanannak az elemnek az alakváltozása CSFM-mel elemezve? Az alakváltozást a 3c. ábra mutatja. A nyomott beton a σ₂ főnyomófeszültség irányában jelenik meg. Egy σ_c2 feszültségű feszültségmező keletkezik. Ahogy fentebb említettük, az alapfeltevés az, hogy a beton nem vesz fel húzást. Ezért a keresztirányú σ₁ főhúzófeszültséget a beton nem veszi át, és az irányra merőlegesen repedés keletkezik. A σ_c1r feszültségnek tehát nullának kell lennie. Annak érdekében, hogy a 2D elemünk ne menjen tönkre, minden húzófeszültséget a vasalásnak kell átvennie (a 3c. ábrán kékkel jelölve), amelynek a számítási modell részét kell képeznie. 

Ha ezt a feszültségelemzést CSFM-mel folyamatosan az egész megoldandó 2D régióra elvégzik, az eredmény egy folytonos nyomási mező a betonban, valamint húzó- és nyomófeszültségek a vasalásban. A CSFM feszültségmező egyszerűsített grafikus ábrázolása a 4. ábrán látható. A beton és a vasalás kihasználtsági arányain kívül az ábra a számított σ_c2 feszültségek változó irányait is jelzi a régiók mentén.

4. ábra Az IDEA StatiCa Detail átfogó eredményei 

Egy részlet vagy szerkezet CSFM-mel végzett elemzése a végeselem-módszeren alapul. A betont 2D falelemsekkel, a vasalást 1D rúdelemekkel modellezik (7. ábra). Az elemzés nem egy lépésben történik, mivel nemlineáris feladatról van szó. A terheléseket a számítás során lépésekben alkalmazzák, és a nemlineáris egyenletrendszer megoldását a Newton-Raphson módszerrel keresik. 

A fiktív szórt repedések (ε₁ az átlagérték) a főfeszültségek irányára merőlegesen „keletkeznek", amely irány a nemlineáris számítás során változhat, ahogy az elem a terhelés minden egyes lépésénél „fokozatosan reped". Összefoglalva, egy fiktív feszültségmentes forgó repedést vesznek figyelembe. 

A CSFM-mel végzett végeselem-módszer megoldásának eredménye egy kompatibilis feszültségmező (azaz a beton a modellben nem törik egyedi, egymástól függetlenül ható nyomott rudakra) és az alakváltozási állapot, amelyek folytonosak az egész megoldandó 2D tartományban. Ez jelentős előny a klasszikus S&T megközelítésekkel szemben, és lehetővé teszi a számítási modell automatizálását és finomítását, ahogyan azt a következő bekezdések ismertetik.

5. ábra A nyomási lágyulás elve

A CSFM egyszerű megfogalmazása lehetővé teszi a szabványos egytengelyű parabolikus-téglalap alakú feszültség-alakváltozás diagram alkalmazását a nyomott betonra a tervezési szabvány szerint. Közismert, hogy a beton nyomószilárdsága csökken, amikor a betont keresztirányú repedések károsítják (5. ábra). Ezt az úgynevezett nyomási lágyulás hatást a módszer automatikusan figyelembe veszi a beton effektív nyomószilárdsága révén. 

A keresztirányú húzási alakváltozások ε₁ szintje alapján meghatározzák a k_c redukciós tényezőt, és módosítják a beton feszültség-alakváltozás diagramját (5. ábra). Mivel a szerkezet egészére vonatkozó alakváltozási mező ismert, a beton effektív nyomószilárdsága automatikusan kiszámítható az egyes keresztmetszetekben a helyi keresztirányú húzási alakváltozások ε₁ szintjétől függően.

6. ábra A húzási merevítő hatás elve

Továbbá a CSFM figyelembe veszi a repedések közötti húzott beton vasalásra gyakorolt merevítő hatását, az úgynevezett húzási merevítő hatást. A számítási modellben az átlagos vasalási alakváltozás ε_m kerül alkalmazásra. Ezután a vasalás feszültség-alakváltozás diagramja módosul (6. ábra). Ez lehetővé teszi a repedésekkel károsított vasbeton szerkezet merevségének realisztikus ábrázolását. Azonban még mindig igaz, hogy a beton húzószilárdsága nem járul hozzá a teherbíráshoz. A repedésekben lévő vasalás maximális feszültsége σ_sr kritikus a méretezés szempontjából (6. ábra).

A CSFM a tervezési szabványokban meghatározott általános egytengelyű anyagmodelleket (feszültség-alakváltozás diagramokat) alkalmaz. Az ULS értékelésére a szabványos megközelítést, a részleges biztonsági tényező módszerét alkalmazzák. A módszer egyszerűsége alkalmassá teszi mérnöki gyakorlati alkalmazásra, és összhangban van a tervezési szabványokkal. 

Annak ellenére, hogy nemlineáris végeselem-elemzésről van szó, a statikus mérnöknek nem kell további anyagtulajdonságokat és betonjellemzőket megadnia a számításhoz, amelyek esetleg a tervezési szakaszban még nem is állnak rendelkezésre, és amelyek szükségesek például a törésmechanikán alapuló nemlineáris végeselem-elemzésekhez. Ahogy már jelezték, a CSFM elemzés egyik fő előnye a teherbírási határállapotok mellett a használhatósági határállapotok értékelésének lehetősége: lehajlások, feszültségkorlátozások és különösen a repedésszélesség.

7. ábra A végeselem-modell ábrázolásának példája az IDEA StatiCa Detail-ban

(7. ábra) A CSFM végeselem-modellje többféle végeselem-típusból áll:

• 1D elem axiális merevsége a vasaláshoz
• 2D izoparametrikus elem a betonhoz
• Végső rugók a vasalás lehorgonyzási modelljéhez végkezeléssel
• Speciális 2D elem a vasalás és a beton közötti kohézió modellezéséhez
• Merev és interpoláló kényszerfeltételek (Multi-Point Constraints, MPC) a kohéziós elemek és a beton között

Ha a tervezett vasalás megakadályozza az elem rideg tönkremenetelét, a CSFM bizonyítottan nagyon jó előrejelzést ad a szerkezet viselkedéséről és teherbírásáról a megfogalmazás egyszerűsége ellenére. Más szóval a módszer nem alkalmas például keresztirányú nyírási vasalás nélküli, potenciálisan rideg viselkedést mutató gerendák tervezéséhez. A módszer ellenőrzései, beleértve a kísérleteket is, az [1]-ben találhatók. A módszer részletesebb leírása meghaladja a cikk kereteit, és az Elméleti háttér részben is megtalálható.

Nyilvánvaló, hogy a CSFM elvei általánosak, ezért alkalmazása nem korlátozódik a D-régiókra, hanem teljes szerkezeti elemek modellezésére is használható, például előregyártott tartók esetén, ahol az elem síkbeli 2D modellre egyszerűsíthető. A módszert és szoftverben való megvalósítását (IDEA StatiCa Detail) kiterjesztették, lehetővé téve az előfeszített és utófeszített vasalás megadását is.

3. Pillérfej tervezési példa

A CSFM gyakorlati alkalmazása a 8. ábrán látható hídpillér-fej tervezésén keresztül mutatható be. Ez egy háromnyílású folytatólagos híd második pillére, amelynek nyílásai 30,0 m, 42,0 m és 30,0 m. A vasbeton pillér feje C40/50 betonból készül, vastagsága (a híd hosszirányában) 2,0 m.

8. ábra Pillérfej: a) Összefoglaló tervezés; b) Nyomófeszültség a betonban ULS-ben; c) Húzófeszültség a vasalásban ULS-ben; d) Repedésszélesség SLS-ben

A pillérfej tetején először egy B500 vasalású keresztgerenda 20xϕ28+20xϕ25 - a felső négy réteg - lett megtervezve. A 8a. ábra a teherbírási határállapotban készült összefoglaló tervet mutatja, amelyen láthatók a betonban lévő nyomófeszültségek, a nyomófeszültségek irányai és a vasalásban lévő feszültségek. A betonban és a vasalásban lévő részletesebb feszültségeloszlást a 8b. és 8c. ábrák dokumentálják. A keresztirányú vasalás éppen a folyáshatár alatt van, a betonban lévő feszültségek (és a relatív alakváltozások) is kielégítők ULS-ben. Azonban a repedésszélesség-számítás eredménye (8d. ábra) azt mutatja, hogy a terv nem felel meg SLS-ben: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. A határértéknek megfelelő repedésszélesség eléréséhez szükséges a keresztgerenda vasalásának növelése 20xϕ32+20xϕ28-ra. W_lim = 0,2 mm esetén (pl. sópermet által érintett út melletti pillér, XF2 környezeti hatásosztály), a keresztgerenda vasalását 24xϕ32+24xϕ28-ra kellene növelni.

Összefoglalás

A CSFM alkalmas mérnöki gyakorlati alkalmazásra, mivel a tervezési szabványban meghatározott egyszerű anyagmodelleket alkalmaz. A teherbírási határállapotok mellett lehetővé teszi a használhatósági határállapotok tervezését is, amelyek értékelése korábban nehezen volt elképzelhető S&T modellek alkalmazásával. A módszer IDEA StatiCa Detail-ban való megvalósításával lehetővé válik a szerkezet viselkedésének realisztikus megragadása, valamint a megszakítási régiók és nagyobb szerkezeti egységek hatékony és biztonságos tervezése és értékelése.

A CSFM-et főként Walter Kaufmann professzor, a Zürichi Szövetségi Műszaki Főiskola (ETH Zürich) Szerkezettervezési Tanszékének vezetője munkája révén fejlesztették ki. Ő és csapata ellenőrizte a módszert és annak szoftverben való megvalósítását is.

Irodalom

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Szerző

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.