CSFM explicado

En la práctica, los métodos de Biela-y-tirante (B&T) y de Campos de Tensiones se utilizan habitualmente para diseñar regiones de discontinuidad en estructuras de hormigón armado y pretensado. El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) fue desarrollado como extensión de estas teorías clásicas, permitiendo un alto grado de automatización y siendo coherente con la normativa de cálculo. A pesar de su simplicidad, el método proporciona una descripción muy realista del comportamiento de una estructura de hormigón tanto en el estado límite último (ELU) como en el estado límite de servicio (ELS). El CSFM está implementado en IDEA StatiCa Detail. 

Fig. 1  a) Muro con aberturas b) Muro cortante c) Viga con extremos rebajados y aberturas d) Pila de puente e) Diafragma de puente 

Los procedimientos estándar para el dimensionamiento de secciones transversales de estructuras de hormigón son aplicables en las partes donde se cumple la hipótesis de Bernoulli-Navier de distribución plana de deformaciones (región B). Los lugares donde esta hipótesis no se cumple se denominan regiones de discontinuidad (regiones D). Estas incluyen partes de estructuras donde aparecen cargas concentradas o donde existe un cambio brusco de sección transversal, como extremos rebajados (Fig. 1c), vigas de gran canto, muros con aberturas (Figs. 1a, 1b), o ménsulas y encepados. En el ámbito de la ingeniería de puentes, son ejemplos los capiteles de pilas (Fig. 1d), diafragmas (Fig. 1e), desviadores, etc.

1. Método de Biela y Tirante

La hipótesis básica al definir un modelo de B&T es que se desprecia la resistencia a tracción del hormigón. Un modelo de celosía simple consta de elementos que trabajan a compresión y a tracción, representando el comportamiento en ELU. En general, no se trata de un problema complejo, y definir un modelo básico de B&T (Fig. 2a) no debería suponer dificultad para un ingeniero con experiencia. Sin embargo, incluso para esta tarea básica, la correcta verificación del modelo conforme a la normativa de cálculo puede ser un proceso tedioso, manual e iterativo.

Fig. 2 a) Opción 1 del modelo B&T b) Opción 2 del modelo B&T c) Opción del modelo B&T 

Deben verificarse los tirantes, las zonas nodales y la deformación de tracción transversal en las bielas. Si el modelo no supera la verificación, debe ajustarse la geometría del modelo B&T o seleccionarse un modelo diferente (Fig. 2b, 2c). Esto lleva con frecuencia a que el ingeniero estructural elija la geometría del modelo B&T solo una vez y verifique únicamente la armadura. Esto puede dar lugar a un error significativo. La elección del modelo es siempre una cuestión de experiencia. Para detalles estructurales más complejos, elegir un modelo B&T que se ajuste suficientemente al comportamiento real de la estructura puede no ser tan sencillo como en el caso anterior. Además, el método B&T es un método exclusivamente para el dimensionamiento en estados límite últimos. No permite el dimensionamiento de estados límite de servicio (deformación, fisuración), que son criterios críticos, especialmente en estructuras de especial importancia, ya que afectan directamente a la vida útil de la estructura.

2. Método del Campo de Tensiones Compatible - CSFM

El CSFM es un método no lineal moderno para el análisis de regiones D y elementos cuyo comportamiento puede simplificarse a tensión plana, es decir, un modelo 2D.  Sin embargo, sigue basándose en una hipótesis básica y segura de las normativas: el hormigón no trabaja a tracción, y toda la tracción debe ser absorbida por la armadura. El Método del Campo de Tensiones Compatible (CSFM) es una evolución de los métodos B&T y de campos de tensiones, eliminando sus principales inconvenientes mencionados anteriormente: incertidumbres en la selección del modelo, dificultad de automatización e incapacidad para verificar los estados límite de servicio.

Fig. 3 a) Deformación plana b) Tensión principal c) CSFM

El principio del CSFM puede explicarse a partir de la tensión plana del elemento plano básico de una estructura de hormigón armado. La Fig. 3a muestra el elemento 2D básico en tensión plana tal como se conoce en todos los libros de texto sobre elasticidad y resistencia de materiales. Esta es la tensión en un punto de la estructura, obtenida, por ejemplo, mediante análisis elástico lineal utilizando el Método de los Elementos Finitos (MEF). El elemento está sometido a una tensión normal horizontal σ_x, una tensión normal vertical σ_z y una tensión tangencial τ_xz. A partir de estas tensiones pueden determinarse las denominadas tensiones principales y su dirección definida por el ángulo θ (Fig. 3b). El elemento queda entonces sometido a la tensión principal de tracción σ₁ y a la tensión principal de compresión σ₂.

¿Cómo será la deformación del mismo elemento analizado mediante CSFM? La deformación se muestra en la Figura 3c. El hormigón comprimido aparece en la dirección de la tensión principal de compresión σ₂, generándose un campo de tensiones con tensión σ_c2. Como se ha mencionado anteriormente, la hipótesis básica es que el hormigón no trabaja a tracción. Por tanto, la tensión principal de tracción transversal σ₁ no será absorbida por el hormigón y se formará una fisura perpendicular a dicha dirección. La tensión σ_c1r debe ser por tanto nula. Para evitar el fallo del elemento 2D, toda la tensión de tracción debe ser absorbida por la armadura (indicada en azul en la Fig. 3c), que debe formar parte del modelo de cálculo. 

Si este análisis de tensiones se realiza mediante CSFM de forma continua sobre toda la región 2D a resolver, el resultado es un campo de compresión continuo en el hormigón más tensiones de tracción y compresión en la armadura. Una representación gráfica simplificada del campo de tensiones del CSFM se muestra en la Figura 4. Además de las tasas de utilización del hormigón y de la armadura, la figura también indica las direcciones variables de las tensiones calculadas σ_c2 a lo largo de las regiones.

Fig. 4 Resultados globales de IDEA StatiCa Detail 

El análisis de un detalle o estructura mediante CSFM se basa en el Método de los Elementos Finitos. El hormigón se modela mediante elementos de lámina 2D y la armadura mediante elementos de barra 1D (Fig. 7). El análisis no se realiza en un único paso, ya que se trata de un problema no lineal. Las cargas se aplican de forma incremental durante el cálculo y la solución del sistema de ecuaciones no lineal se obtiene mediante el método de Newton-Raphson. 

Las fisuras difusas ficticias (ε₁ es el valor medio) se "forman" perpendicularmente a la dirección de las tensiones principales, que pueden cambiar durante el cálculo no lineal a medida que el elemento "fisura progresivamente" con cada incremento de carga. En resumen, se considera una fisura giratoria ficticia sin tensiones. 

El resultado de la solución por MEF mediante CSFM es un campo de tensiones compatible (es decir, el hormigón no se fragmenta en bielas independientes en el modelo) y el estado de deformación, que son continuos en todo el dominio 2D resuelto. Esta es una ventaja importante frente a los enfoques clásicos de B&T y permite automatizar y refinar el modelo de cálculo, tal como se describe en los párrafos siguientes.

Fig. 5 Principio del ablandamiento a compresión del hormigón

La formulación simple del CSFM permite utilizar el diagrama tensión-deformación parabólico-rectangular uniaxial estándar para el hormigón a compresión según la normativa de cálculo. Como es bien sabido, la resistencia a compresión del hormigón disminuye cuando este está dañado por fisuras transversales (Fig. 5). Este efecto denominado ablandamiento a compresión se incluye en el método teniendo en cuenta automáticamente la resistencia a compresión efectiva del hormigón. 

En función del nivel de deformaciones de tracción transversales ε₁, se determina el factor de reducción k_c y se ajusta el diagrama tensión-deformación del hormigón (Fig. 5). Como se conoce el campo de deformaciones en toda la estructura, la resistencia a compresión efectiva del hormigón puede calcularse automáticamente en secciones individuales en función del nivel local de deformaciones de tracción transversales ε₁.

Fig. 6 Principio de la rigidización a tracción

Además, el CSFM considera el efecto de rigidización del hormigón traccionado entre fisuras sobre la armadura, denominado rigidización a tracción. En el modelo de cálculo se utiliza la deformación media de la armadura ε_m. A continuación, se modifica el diagrama tensión-deformación de la armadura (Fig. 6). Esto permite una representación realista de la rigidez de una estructura de hormigón armado dañada por fisuras. Sin embargo, sigue siendo cierto que la resistencia a tracción del hormigón no contribuye a la capacidad última. La tensión máxima en la armadura σ_sr en las fisuras es determinante para el dimensionamiento (Fig. 6).

El CSFM utiliza modelos de material uniaxiales comunes (diagramas tensión-deformación) definidos en las normativas de cálculo. El enfoque estándar, el método de los coeficientes parciales de seguridad, se utiliza para verificar el ELU. La simplicidad del método lo hace adecuado para la práctica de la ingeniería y es coherente con las normativas de cálculo. 

Aunque se trata de un análisis no lineal por MEF, el ingeniero estructural no tiene que introducir en el cálculo propiedades adicionales del material ni características del hormigón que pueden no estar disponibles en la fase de proyecto y que son necesarias, por ejemplo, en análisis no lineales por MEF basados en mecánica de fractura. Como ya se ha indicado, una ventaja importante del análisis CSFM, además de los estados límite últimos, es la capacidad de verificar estados límite de servicio: flechas, limitaciones de tensiones y, en particular, anchura de fisura.

Fig. 7 Ejemplo de representación del modelo de elementos finitos en IDEA StatiCa Detail

(Fig. 7) El modelo MEF en CSFM está compuesto por varios tipos de elementos finitos:

• Elemento 1D con rigidez axial para la armadura
• Elemento isoparamétrico 2D para el hormigón
• Muelles en los extremos para el modelo de anclaje de la armadura con tratamiento de extremo
• Elemento 2D especial para modelar la adherencia entre la armadura y el hormigón
• Restricciones rígidas e interpolantes (restricciones multipunto, MPC) entre los elementos de adherencia y el hormigón

Si la armadura diseñada previene el fallo frágil del elemento, se ha demostrado que el CSFM proporciona muy buenas predicciones de la respuesta y la capacidad última de la estructura, a pesar de la simplicidad de la formulación. En otras palabras, el método no es adecuado, por ejemplo, para el dimensionamiento de vigas sin armadura transversal a cortante que presentan un comportamiento potencialmente frágil. Las verificaciones del método, incluidos ensayos experimentales, se recogen en [1]. Una descripción más detallada del método queda fuera del alcance de este artículo y puede encontrarse también en los Fundamentos Teóricos.

Es evidente que los principios del CSFM son generales y, por tanto, su aplicación no se limita a las regiones D, sino que puede utilizarse para modelar elementos completos, como vigas prefabricadas, y donde el elemento pueda simplificarse a un modelo plano 2D. El método y su implementación en software (IDEA StatiCa Detail) también se han ampliado con la posibilidad de especificar armadura pretensada y postensada.

3. Ejemplo de dimensionamiento de capitel de pila

La aplicación práctica del CSFM se muestra en el dimensionamiento del capitel de la pila de puente de la Figura 8. Se trata de la segunda pila de un puente continuo con tres vanos de 30,0 m, 42,0 m y 30,0 m. El cabezal de la pila de hormigón armado está dimensionado en hormigón C40/50 y su espesor (en la dirección longitudinal del puente) es de 2,0 m.

Fig. 8 Capitel de pila: a) Dimensionamiento resumen; b) Tensión de compresión en el hormigón en ELU; c) Tensión de tracción en la armadura en ELU; d) Anchura de fisura en ELS

En la parte superior del capitel de la pila, se dimensionó en primer lugar una viga transversal con armadura B500 20xϕ28+20xϕ25 — las cuatro capas superiores —. La Figura 8a muestra un dimensionamiento resumen en el estado límite último, con las tensiones de compresión en el hormigón, las direcciones de las tensiones de compresión y las tensiones en la armadura. La distribución de tensiones más detallada en el hormigón y en la armadura se documenta en las Figuras 8b y 8c. La armadura transversal se encuentra justo por debajo del límite elástico y las tensiones en el hormigón (y las deformaciones relativas) son satisfactorias en ELU. Sin embargo, el resultado del cálculo de la anchura de fisura (Fig. 8d) muestra que el dimensionamiento no satisface el ELS: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Para cumplir con la anchura de fisura límite, es necesario aumentar la armadura de la viga transversal a 20xϕ32+20xϕ28. En el caso de w_lim = 0,2 mm (por ejemplo, pila próxima a una vía que genera salpicaduras de sal, nivel de exposición ambiental XF2), la armadura de la viga transversal tendría que aumentarse incluso hasta 24xϕ32+24xϕ28.

Conclusión

El CSFM se adapta a la práctica de la ingeniería porque utiliza modelos de material simples definidos en la normativa de cálculo. Además de los estados límite últimos, también permite el dimensionamiento de los estados límite de servicio, para los cuales la verificación era anteriormente difícil de concebir con modelos B&T. Mediante la implementación del método en IDEA StatiCa Detail, es posible capturar de forma realista la respuesta de la estructura y dimensionar y verificar regiones de discontinuidad y conjuntos de mayor envergadura de manera eficiente y segura.

El CSFM fue desarrollado principalmente a través del trabajo del Profesor Walter Kaufmann, Director de la Cátedra de Ingeniería Estructural del Instituto Federal Suizo de Tecnología (ETH) de Zúrich. Él y su equipo también verificaron el método y su implementación en software.

Bibliografía

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Autor

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.