CSFM uitgelegd

In de praktijk worden de Staafwerk (S&T) en Spanningsveldmethoden standaard gebruikt voor het ontwerpen van D-gebieden in gewapende en voorgespannen betonconstructies. De Compatible Stress Field Method (CSFM) is ontwikkeld door deze klassieke theorieën uit te breiden, waardoor een hoge mate van automatisering mogelijk is en de methode consistent is met de ontwerpnorm. Ondanks de eenvoud ervan geeft de methode een zeer realistische beschrijving van het gedrag van een betonconstructie, zowel in de uiterste grenstoestand (UGT) als in de bruikbaarheidsgrenstoestand (BGT). De CSFM is geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail. 

Fig. 1  a) Wand met openingen b) Afschuifwand c) Ligger met tandopleggingen en openingen d) Brugpijler e) Brugdiafragma 

Standaardprocedures voor het ontwerpen van doorsneden van betonconstructies zijn van toepassing op delen waar de Bernoulli-Navier hypothese van vlakke rekverdelingen geldt (B-gebied). De plaatsen waar deze hypothese niet van toepassing is, worden discontinuïteitsgebieden (D-gebieden) genoemd. Dit zijn onder andere delen van constructies waar geconcentreerde belastingen optreden of waar een plotselinge verandering in doorsnede optreedt, zoals tandopleggingen (Fig. 1c), gedrongen liggers, wanden met openingen (Fig. 1a, 1b), of consoles en paalkoppen. Op het gebied van brugtechniek zijn dit bijvoorbeeld pijlerkoppen (Fig. 1d), diafragma's (Fig. 1e), deviators, enz.

1. Staafwerk methode

De basisaanname bij het definiëren van een S&T-model is dat de treksterkte van beton wordt verwaarloosd. Een eenvoudig vakwerkmodel bestaat uit elementen die werken op druk en trek, en het UGT-gedrag weergeven. In het algemeen is dit geen complex probleem, en het definiëren van een basis S&T-model (Fig. 2a) zou voor een ervaren ingenieur geen probleem moeten zijn. Echter, zelfs voor deze basistaken kan de correcte beoordeling van het model in overeenstemming met de ontwerpnorm een tijdrovend, handmatig en iteratief proces zijn.

Fig. 2 a) S&T-model optie 1 b) S&T-model optie 2 c) S&T-model optie 

Trekstaven, knooppuntgebieden en dwarse trekrekken in drukdiagonalen moeten worden beoordeeld. Als het model de normtoetsing niet doorstaat, moet de S&T-geometrie worden aangepast of moet een ander S&T-model worden geselecteerd (Fig. 2b, 2c). Dit leidt er vaak toe dat de constructeur de S&T-modelgeometrie slechts eenmaal kiest en alleen de wapening beoordeelt. Dit kan leiden tot een aanzienlijke fout. De keuze van het model is altijd een kwestie van ervaring. Voor complexere constructieve details kan het kiezen van een S&T-model dat voldoende overeenkomt met het werkelijke gedrag van de constructie minder eenvoudig zijn dan in het bovenstaande geval. Bovendien is de S&T-methode uitsluitend bedoeld voor het ontwerpen van uiterste grenstoestanden. Het maakt het ontwerpen van bruikbaarheidsgrenstoestanden (vervorming, scheurvorming) niet mogelijk, wat kritische criteria zijn, met name in constructies van groot belang, omdat ze direct van invloed zijn op de levensduur van de constructie.

2. Compatible Stress Field Method - CSFM

CSFM is een moderne niet-lineaire methode voor de analyse van D-gebieden en elementen waarvan het gedrag kan worden vereenvoudigd tot vlakke spanning, d.w.z. een 2D-model.  Het is echter nog steeds gebaseerd op een fundamentele en veilige aanname van de normen: beton werkt niet op trek, en alle trek moet worden overgedragen door wapening. De Compatible Stress Field Method (CSFM) is een evolutie van de S&T- en spanningsveldmethoden, waarbij de hierboven genoemde belangrijkste nadelen worden weggenomen: onzekerheden bij de modelselectie, moeilijkheden bij automatisering en het onvermogen om bruikbaarheidsgrenstoestanden te beoordelen.

Fig. 3 a) Vlakke rek b) Hoofdspanning c) CSFM

Het principe van CSFM kan worden uitgelegd aan de hand van de vlakke spanning van het basale vlakelement van een gewapendbetonconstructie. Fig. 3a toont het basale 2D-element in vlakke spanning zoals we dat kennen uit alle leerboeken over elasticiteit en sterkte. Dit is de spanning op één punt in de constructie, verkregen bijvoorbeeld door lineair elastische analyse met de Eindige Elementen Methode (EEM). Het element is onderworpen aan een horizontale normaalkracht σ_x, een verticale normaalkracht σ_z en een schuifspanning τ_xz. Uit deze spanningen kunnen de zogenaamde hoofdspanningen en hun richting, gedefinieerd door de hoek θ, worden bepaald (Fig. 3b). Het element is dan onderworpen aan de principale trekspanning σ₁ en de principale drukspanning σ₂.

Hoe ziet de rek van hetzelfde element geanalyseerd door CSFM eruit? De rek is weergegeven in Figuur 3c. Het gedrukte beton verschijnt in de richting van de principale drukspanning σ₂. En er wordt een spanningsveld met spanning σ_c2 gegenereerd. Zoals hierboven vermeld, is de basisaanname dat beton niet op trek werkt. Daarom zal de dwarse principale trekspanning σ₁ niet door het beton worden overgedragen en zal er een scheur loodrecht op de richting ontstaan. De spanning σ_c1r moet daarom nul zijn. Om het bezwijken van ons 2D-element te voorkomen, moet alle trekspanning worden overgedragen door de wapening (in blauw aangegeven in Fig. 3c), die deel moet uitmaken van het rekenmodel. 

Als deze spanningsanalyse wordt uitgevoerd met CSFM continu over het gehele 2D-gebied dat moet worden opgelost, is het resultaat een continu drukspanningsveld in beton plus trek- en drukspanningen in de wapening. Een vereenvoudigde grafische weergave van het CSFM-spanningsveld is te zien in Figuur 4. Naast de benuttingsgraden van beton en wapening geeft de figuur ook de variërende richtingen aan van de berekende spanningen σ_c2 over de gebieden.

Fig. 4 Totaalresultaten van IDEA StatiCa Detail 

De analyse van een detail of constructie met behulp van CSFM is gebaseerd op de Eindige Elementen Methode. Het beton wordt gemodelleerd met behulp van 2D-wandelementen en de wapening met behulp van 1D-staaf elementen (Fig. 7). De analyse wordt niet in één stap uitgevoerd, omdat het een niet-lineair probleem is. Belastingen worden in stappen opgebracht tijdens de berekening, en de oplossing van het niet-lineaire stelsel vergelijkingen wordt gevonden met de Newton-Raphson methode. 

De fictieve gespreide scheuren (ε₁ is de gemiddelde waarde) worden loodrecht op de richting van de hoofdspanningen "gevormd", die kunnen veranderen tijdens de niet-lineaire berekening naarmate het element "progressief scheurt" bij elke belastingsstap. Samengevat wordt een fictieve spanningsvrije roterende scheur beschouwd. 

Het resultaat van de EEM-oplossing met CSFM is een compatibel spanningsveld (d.w.z. het beton valt in het model niet uiteen in afzonderlijk werkende drukdiagonalen) en de rektoestand, die continu zijn over het gehele 2D-domein dat wordt opgelost. Dit is een groot voordeel ten opzichte van klassieke S&T-benaderingen en maakt het mogelijk het rekenmodel te automatiseren en te verfijnen, zoals beschreven in de volgende paragrafen.

Fig. 5 Principe van compression softening

De eenvoudige formulering van de CSFM maakt het mogelijk het standaard eenassig parabolisch-rechthoekig spanning-rek diagram voor beton op druk te gebruiken overeenkomstig de ontwerpnorm. Zoals bekend neemt de druksterkte van beton af wanneer het beton beschadigd is door dwarse scheuren (Fig. 5). Dit zogenaamde compression softening effect is in de methode opgenomen door automatisch rekening te houden met de effectieve druksterkte van het beton. 

Op basis van het niveau van de dwarse trekrekken ε₁ wordt de reductiefactor k_c bepaald en het spanning-rek diagram van het beton aangepast (Fig. 5). Omdat het rekverdelingspatroon door de gehele constructie bekend is, kan de effectieve druksterkte van het beton automatisch worden berekend in afzonderlijke doorsneden, afhankelijk van het lokale niveau van de dwarse trekrekken ε₁.

Fig. 6 Principe van tension stiffening

Bovendien houdt de CSFM rekening met het stiffening effect van het beton op trek tussen de scheuren op de wapening, het zogenaamde tension stiffening. In het rekenmodel wordt de gemiddelde wapeningsrek ε_m gebruikt. Vervolgens wordt het spanning-rek diagram van de wapening aangepast (Fig. 6). Dit maakt een realistische weergave mogelijk van de stijfheid van een gewapendbetonconstructie die beschadigd is door scheuren. Het blijft echter gelden dat de treksterkte van beton niet bijdraagt aan de uiterste capaciteit. De maximale spanning in de wapening σ_sr in de scheuren is maatgevend voor het ontwerp (Fig. 6).

CSFM maakt gebruik van gangbare eenassige materiaalmodellen (spanning-rek diagrammen) die zijn gedefinieerd in ontwerpnormen. De standaardbenadering, de partiële veiligheidsfactorenmethode, wordt vervolgens gebruikt om de UGT te beoordelen. De eenvoud van de methode maakt haar geschikt voor de ingenieurspraktijk en is consistent met de ontwerpnormen. 

Hoewel het een niet-lineaire EEM-analyse betreft, hoeft de constructeur geen aanvullende materiaaleigenschappen en betonkarakteristieken in de berekening in te voeren die mogelijk niet eens beschikbaar zijn in de ontwerpfase en die noodzakelijk zijn voor, bijvoorbeeld, niet-lineaire EEM-analyses op basis van breukwerktuigkunde. Zoals reeds aangegeven, is een groot voordeel van CSFM-analyse, naast de uiterste grenstoestanden, de mogelijkheid om bruikbaarheidsgrenstoestanden te beoordelen: doorbuigingen, spanningsbeperkingen en met name scheurwijdte.

Fig. 7 Voorbeeld van de weergave van het eindige-elementenmodel in IDEA StatiCa Detail

(Fig. 7) Het EEM-model in CSFM is samengesteld uit verschillende typen eindige elementen:

• 1D-element met axiale stijfheid voor wapening
• 2D isoparametrisch element voor beton
• Eindveren voor het verankeringsmodel van de wapening met eindbehandeling
• Speciaal 2D-element voor het modelleren van cohesie tussen wapening en beton
• Stijve en interpolerende randvoorwaarden (Multi-Point Constraints, MPC) tussen cohesie-elementen en beton

Als de ontworpen wapening bros bezwijken van het element voorkomt, is aangetoond dat de CSFM zeer goede voorspellingen geeft van het gedrag en de uiterste capaciteit van de constructie, ondanks de eenvoud van de formulering. Met andere woorden, de methode is niet geschikt voor bijvoorbeeld het ontwerpen van liggers zonder dwarse afschuivingswapening die potentieel bros gedrag vertoont. Verificaties van de methode, inclusief experimenten, zijn gegeven in [1]. Een meer gedetailleerde beschrijving van de methode valt buiten het bestek van dit artikel en is ook te vinden in de Theoretische Achtergrond.

Het is duidelijk dat de principes van CSFM algemeen zijn en dat de toepassing ervan niet beperkt is tot D-gebieden, maar ook kan worden gebruikt voor het modelleren van volledige staven, zoals prefab liggers, en waar het element kan worden vereenvoudigd tot een vlak 2D-model. De methode en de implementatie ervan in software (IDEA StatiCa Detail) zijn ook uitgebreid met de mogelijkheid om voorgespannen en met nagerekt staal voorgespannen wapening te specificeren.

3. Voorbeeld van het ontwerp van een pijlerkop

De praktische toepassing van CSFM wordt getoond in het ontwerp van de brugpijlerkop in Figuur 8. Dit is de tweede pijler van een doorgaande brug met drie overspanningen van 30,0 m, 42,0 m en 30,0 m. De kop van de gewapendbetonnen pijler is ontworpen in C40/50 beton en de dikte ervan (in de lengterichting van de brug) is 2,0 m.

Fig. 8 Pijlerkop: a) Samenvattend ontwerp; b) Drukspanning in beton in UGT; c) Trekspanning in wapening in UGT; d) Scheurwijdte in BGT

Bovenaan de pijlerkop werd eerst een dwarsligger van B500-wapening 20xϕ28+20xϕ25 - de bovenste vier lagen - ontworpen. Figuur 8a toont een samenvattend ontwerp bij de uiterste grenstoestand, met de drukspanningen in het beton, de richtingen van de drukspanningen en de spanningen in de wapening. Een meer gedetailleerde spanningsverdeling in het beton en de wapening is vervolgens gedocumenteerd in Figuren 8b en 8c. De dwarse wapening bevindt zich net onder de vloeigrens en ook de spanningen in het beton (en de relatieve rekken) zijn bevredigend bij UGT. Het resultaat van de scheurwijdteberekening (Fig. 8d) toont echter aan dat het ontwerp niet voldoet in BGT: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Om aan de begrenzende scheurwijdte te voldoen, is het noodzakelijk de wapening van de dwarsligger te verhogen naar 20xϕ32+20xϕ28. In het geval van w_lim = 0,2 mm (bijv. pijler nabij een weg die zoutspray genereert, milieu-invloedsniveau XF2) zou de wapening van de dwarsligger zelfs moeten worden verhoogd tot 24xϕ32+24xϕ28.

Conclusie

CSFM is geschikt voor de ingenieurspraktijk omdat het gebruik maakt van eenvoudige materiaalmodellen die zijn gedefinieerd in een ontwerpnorm. Naast de uiterste grenstoestanden maakt het ook het ontwerpen van bruikbaarheidsgrenstoestanden mogelijk. Waarvoor de beoordeling voorheen moeilijk voor te stellen was bij gebruik van S&T-modellen. Door de implementatie van de methode in IDEA StatiCa Detail is het vervolgens mogelijk om het gedrag van de constructie realistisch te beschrijven en discontinuïteitsgebieden en grotere samenstellingen efficiënt en veilig te ontwerpen en te beoordelen.

De CSFM is voornamelijk ontwikkeld door het werk van Professor Walter Kaufmann, hoofd van de leerstoel Constructief Ontwerpen aan de Zwitserse Federale Technische Hogeschool (ETH) Zürich. Hij en zijn team hebben ook de methode en de software-implementatie ervan geverifieerd.

Literatuur

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Auteur

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.