Explicação do CSFM

Na prática, os métodos Escora-e-tirante (S&T) e Campos de Tensões são utilizados de forma padronizada para dimensionar regiões de descontinuidade em estruturas de betão armado e pré-esforçado. O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) foi desenvolvido como extensão destas teorias clássicas, permitindo um elevado grau de automatização e sendo consistente com as normas de dimensionamento. Apesar da sua simplicidade, o método fornece uma descrição muito realista do comportamento de uma estrutura de betão tanto no estado limite último (ULS) como no estado limite de serviço (SLS). O CSFM está implementado no IDEA StatiCa Detail. 

Fig. 1  a) Parede com aberturas b) Parede de corte c) Viga com extremidades rebaixadas e aberturas d) Pilar de ponte e) Diafragma de ponte 

Os procedimentos normalizados para o dimensionamento de secções transversais de estruturas de betão são aplicáveis nas partes onde se verifica a hipótese de Bernoulli-Navier de distribuição plana de deformações (região B). Os locais onde esta hipótese não se aplica designam-se regiões de descontinuidade (regiões D). Estas incluem partes de estruturas onde surgem cargas concentradas ou onde existe uma variação brusca da secção transversal, como extremidades rebaixadas (Fig. 1c), vigas-parede, paredes com aberturas (Figs. 1a, 1b), ou consolos e maciços de encabeçamento de estacas. No domínio da engenharia de pontes, são exemplos os capitéis de pilares (Fig. 1d), diafragmas (Fig. 1e), desviadores, etc.

1. Método Escora e tirante

O pressuposto básico na definição de um modelo S&T é que a resistência à tração do betão é desprezada. Um modelo de treliça simples é constituído por elementos que atuam em compressão e em tração, representando o comportamento no ULS. Em geral, não se trata de um problema complexo, e a definição de um modelo S&T básico (Fig. 2a) não deverá ser problemática para um engenheiro experiente. No entanto, mesmo para esta tarefa básica, a avaliação correta do modelo em conformidade com a norma de dimensionamento pode ser um processo moroso, manual e iterativo.

Fig. 2 a) Opção 1 do modelo S&T b) Opção 2 do modelo S&T c) Opção do modelo S&T 

Os tirantes, as zonas nodais e a deformação de tração transversal nas escoras devem ser verificados. Se o modelo não passar na verificação normativa, a geometria do S&T deve ser ajustada ou deve ser selecionado um modelo S&T diferente (Fig. 2b, 2c). Isto leva frequentemente a que o engenheiro estrutural escolha a geometria do modelo S&T apenas uma vez e verifique apenas a armadura. Tal pode conduzir a um erro substancial. A escolha do modelo é sempre uma questão de experiência. Para detalhes estruturais mais complexos, escolher um S&T que corresponda suficientemente ao comportamento real da estrutura pode não ser tão simples como no caso acima. Além disso, o S&T é um método destinado apenas ao dimensionamento de estados limites últimos. Não permite o dimensionamento de estados limites de serviço (deformação, fendilhação), que são critérios críticos, especialmente em estruturas de importância significativa, uma vez que influenciam diretamente a vida útil da estrutura.

2. Método do Campo de Tensões Compatível - CSFM

O CSFM é um método não linear moderno para a análise de regiões D e elementos cujo comportamento pode ser simplificado para estado plano de tensão, ou seja, um modelo 2D.  No entanto, baseia-se ainda no pressuposto básico e seguro das normas: o betão não atua em tração, e toda a tração deve ser transferida pela armadura. O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) é uma evolução dos métodos S&T e de campos de tensões, eliminando as suas principais desvantagens acima mencionadas: incertezas na seleção do modelo, dificuldade de automatização e incapacidade de verificar estados limites de serviço.

Fig. 3 a) Deformação plana b) Tensão principal c) CSFM

O princípio do CSFM pode ser explicado com base no estado plano de tensão do elemento plano básico de uma estrutura de betão armado. A Fig. 3a mostra o elemento 2D básico em estado plano de tensão, tal como é conhecido em todos os manuais de elasticidade e resistência dos materiais. Trata-se do estado de tensão num ponto da estrutura, obtido, por exemplo, por análise elástica linear recorrendo ao Método dos Elementos Finitos (MEF). O elemento está sujeito a uma tensão normal horizontal σ_x, uma tensão normal vertical σ_z e uma tensão de corte τ_xz. A partir destas tensões, podem ser determinadas as chamadas tensões principais e a sua direção definida pelo ângulo θ (Fig. 3b). O elemento fica então sujeito à tensão principal de tração σ₁ e à tensão principal de compressão σ₂.

Como será o estado de deformação do mesmo elemento analisado pelo CSFM? A deformação é apresentada na Figura 3c. O betão comprimido surge na direção da tensão principal de compressão σ₂. É gerado um campo de tensões com tensão σ_c2. Como referido anteriormente, o pressuposto básico é que o betão não atua em tração. Por conseguinte, a tensão principal de tração transversal σ₁ não será transferida pelo betão, formando-se uma fenda perpendicular à sua direção. A tensão σ_c1r deve, portanto, ser nula. Para evitar a rotura do elemento 2D, toda a tensão de tração deve ser transferida pela armadura (indicada a azul na Fig. 3c), que deve fazer parte do modelo de cálculo. 

Se esta análise de tensões for realizada com o CSFM de forma contínua em toda a região 2D a resolver, o resultado é um campo de compressão contínuo no betão, acrescido de tensões de tração e compressão na armadura. Uma representação gráfica simplificada do campo de tensões do CSFM é apresentada na Figura 4. Para além das taxas de utilização do betão e da armadura, a figura indica também as direções variáveis das tensões calculadas σ_c2 ao longo das regiões.

Fig. 4 Resultados globais do IDEA StatiCa Detail 

A análise de um detalhe ou estrutura com o CSFM baseia-se no Método dos Elementos Finitos. O betão é modelado com elementos de parede 2D e a armadura com elementos de barra 1D (Fig. 7). A análise não é realizada num único passo, uma vez que se trata de um problema não linear. As cargas são aplicadas de forma incremental durante o cálculo, e a solução do sistema de equações não lineares é encontrada pelo método de Newton-Raphson. 

As fendas distribuídas fictícias (ε₁ é o valor médio) formam-se perpendicularmente à direção das tensões principais, que podem variar durante o cálculo não linear à medida que o elemento "fendilha progressivamente" a cada incremento de carga. Em resumo, considera-se uma fenda rotativa fictícia sem tensões. 

O resultado da solução pelo MEF com o CSFM é um campo de tensões compatível (ou seja, o betão não se fragmenta em escoras independentes no modelo) e o estado de deformação, que são contínuos em todo o domínio 2D a resolver. Esta é uma vantagem significativa em relação às abordagens clássicas S&T e permite automatizar e refinar o modelo de cálculo, conforme descrito nos parágrafos seguintes.

Fig. 5 Princípio do amolecimento à compressão do betão

A formulação simples do CSFM permite utilizar o diagrama tensão-deformação parabólico-retangular uniaxial normalizado para o betão em compressão, de acordo com a norma de dimensionamento. Como é bem conhecido, a resistência à compressão do betão diminui quando este é danificado por fendas transversais (Fig. 5). Este efeito de amolecimento à compressão é incluído no método tendo automaticamente em conta a resistência à compressão efetiva do betão. 

Com base no nível das deformações de tração transversais ε₁, o fator de redução k_c é determinado e o diagrama tensão-deformação do betão é ajustado (Fig. 5). Uma vez que o campo de deformações em toda a estrutura é conhecido, a resistência à compressão efetiva do betão pode ser calculada automaticamente em secções individuais em função do nível local das deformações de tração transversais ε₁.

Fig. 6 Princípio do enrijecimento à tração

Além disso, o CSFM considera o efeito de enrijecimento do betão tracionado entre fendas sobre a armadura, designado por enrijecimento à tração. No modelo de cálculo, utiliza-se a deformação média da armadura ε_m. O diagrama tensão-deformação da armadura é então modificado (Fig. 6). Isto permite uma representação realista da rigidez de uma estrutura de betão armado danificada por fendas. No entanto, continua a ser verdade que a resistência à tração do betão não contribui para a capacidade última. A tensão máxima na armadura σ_sr nas fendas é determinante para o dimensionamento (Fig. 6).

O CSFM utiliza modelos de material uniaxiais comuns (diagramas tensão-deformação) definidos nas normas de dimensionamento. A abordagem normalizada, o método dos coeficientes parciais de segurança, é então utilizada para verificar o ULS. A simplicidade do método torna-o adequado para a prática de engenharia e é consistente com as normas de dimensionamento. 

Embora se trate de uma análise não linear por MEF, o engenheiro estrutural não necessita de introduzir no cálculo propriedades adicionais dos materiais e características do betão que podem nem estar disponíveis na fase de dimensionamento e que são necessárias, por exemplo, em análises não lineares por MEF baseadas na mecânica da fratura. Como já foi indicado, uma grande vantagem da análise CSFM, para além dos estados limites últimos, é a capacidade de verificar estados limites de serviço: deformações, limitações de tensão e, em particular, a largura de fenda.

Fig. 7 Exemplo de representação do modelo de elementos finitos no IDEA StatiCa Detail

(Fig. 7) O modelo MEF no CSFM é composto por vários tipos de elementos finitos:

• Elemento 1D com rigidez axial para a armadura
• Elemento isoparamétrico 2D para o betão
• Molas de extremidade para o modelo de ancoragem da armadura com tratamento de extremidade
• Elemento 2D especial para modelar a aderência entre a armadura e o betão
• Restrições rígidas e de interpolação (Multi-Point Constraints, MPC) entre os elementos de aderência e o betão

Se a armadura dimensionada impedir a rotura frágil do elemento, demonstrou-se que o CSFM fornece previsões muito boas da resposta e da capacidade última da estrutura, apesar da simplicidade da formulação. Por outras palavras, o método não é adequado, por exemplo, para o dimensionamento de vigas sem armadura de corte transversal que apresentem comportamento potencialmente frágil. As verificações do método, incluindo ensaios experimentais, são apresentadas em [1]. Uma descrição mais detalhada do método ultrapassa o âmbito deste artigo e pode também ser encontrada no Enquadramento Teórico.

É evidente que os princípios do CSFM são gerais e, por isso, a sua aplicação não se limita às regiões D, podendo ser utilizado para modelar elementos completos, como vigas pré-fabricadas, e onde o elemento pode ser simplificado para um modelo plano 2D. O método e a sua implementação em software (IDEA StatiCa Detail) foram também alargados, com a possibilidade de especificar armadura de pré-esforço e de pós-tensão.

3. Exemplo de dimensionamento de capitel de pilar

A aplicação prática do CSFM é demonstrada no dimensionamento do capitel do pilar de ponte da Figura 8. Trata-se do segundo pilar de uma ponte contínua com três vãos de 30,0 m, 42,0 m e 30,0 m. O capitel do pilar de betão armado é dimensionado em betão C40/50 e a sua espessura (na direção longitudinal da ponte) é de 2,0 m.

Fig. 8 Capitel de pilar: a) Dimensionamento resumido; b) Tensão de compressão no betão no ULS; c) Tensão de tração na armadura no ULS; d) Largura de fenda no SLS

No topo do capitel, foi primeiramente dimensionada uma viga transversal com armadura B500 20xϕ28+20xϕ25 - as quatro camadas superiores. A Figura 8a apresenta o dimensionamento resumido no estado limite último, mostrando as tensões de compressão no betão, as direções das tensões de compressão e as tensões na armadura. A distribuição de tensões mais detalhada no betão e na armadura é documentada nas Figuras 8b e 8c. A armadura transversal encontra-se ligeiramente abaixo da tensão de cedência e as tensões no betão (e as deformações relativas) são satisfatórias no ULS. No entanto, o resultado do cálculo da largura de fenda (Fig. 8d) mostra que o dimensionamento não satisfaz no SLS: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Para satisfazer a largura de fenda limite, é necessário aumentar a armadura da viga transversal para 20xϕ32+20xϕ28. No caso de w_lim = 0,2 mm (por exemplo, pilar próximo de uma via geradora de névoa salina, nível de exposição ambiental XF2), a armadura da viga transversal teria de ser aumentada para 24xϕ32+24xϕ28.

Conclusão

O CSFM é adequado para a prática de engenharia porque utiliza modelos de material simples definidos numa norma de dimensionamento. Para além dos estados limites últimos, permite também o dimensionamento de estados limites de serviço, cuja verificação era anteriormente difícil de conceber com modelos S&T. Ao implementar o método no IDEA StatiCa Detail, é possível capturar de forma realista a resposta da estrutura e dimensionar e verificar regiões de descontinuidade e conjuntos de maior dimensão de forma eficiente e segura.

O CSFM foi desenvolvido principalmente através do trabalho do Professor Walter Kaufmann, responsável pela Cátedra de Engenharia Estrutural do Instituto Federal Suíço de Tecnologia (ETH) de Zurique. Ele e a sua equipa também verificaram o método e a sua implementação em software.

Bibliografia

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Autor

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.