3.1 Stati limite e calcolo dell'ampiezza delle fessure

La valutazione della struttura mediante il CSFM viene eseguita con due analisi distinte: una per le combinazioni di carico agli stati limite di esercizio e una per gli stati limite ultimi. L'analisi agli stati limite di esercizio presuppone che il comportamento ultimo dell'elemento sia soddisfacente e che le condizioni di snervamento del materiale non vengano raggiunte ai livelli di carico di esercizio. Questo approccio consente l'utilizzo di modelli costitutivi semplificati (con un ramo lineare del diagramma tensione-deformazione del calcestruzzo) per l'analisi agli stati limite di esercizio, al fine di migliorare la stabilità numerica e la velocità di calcolo. Si raccomanda pertanto di adottare il flusso di lavoro presentato di seguito, in cui l'analisi allo stato limite ultimo viene eseguita come primo passo.

Analisi allo stato limite ultimo

Le diverse verifiche richieste dai codici di progettazione specifici vengono valutate sulla base dei risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche allo SLU vengono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni tangenziali di aderenza).

Per garantire un progetto efficiente dell'elemento strutturale, si raccomanda vivamente di eseguire un'analisi preliminare che tenga conto dei seguenti passaggi:

• Selezionare le combinazioni di carico più critiche.
• Calcolare solo le combinazioni di carico allo Stato Limite Ultimo (SLU).
• Utilizzare una rete grossolana (aumentando il moltiplicatore della dimensione predefinita della rete in Setup (Fig. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Tale modello verrà calcolato molto rapidamente, consentendo ai progettisti di esaminare in modo efficiente i dettagli dell'elemento strutturale e di rieseguire l'analisi fino al soddisfacimento di tutti i requisiti di verifica per le combinazioni di carico più critiche. Una volta soddisfatti tutti i requisiti di verifica di questa analisi preliminare, si suggerisce di includere le combinazioni di carico ultime complete e di utilizzare una dimensione della rete fine (la dimensione della rete raccomandata dal programma). L'utente può modificare la dimensione della rete tramite il moltiplicatore, che può assumere valori da 0,5 a 5 (Fig. 19).

I risultati e le verifiche di base (tensione, deformazione e sfruttamento (ovvero il valore calcolato/valore limite dalla norma), nonché la direzione delle tensioni principali nel caso di elementi in calcestruzzo) vengono visualizzati tramite diversi diagrammi in cui la compressione è generalmente rappresentata in rosso e la trazione in blu. I valori minimi e massimi globali per l'intera struttura possono essere evidenziati, così come i valori minimi e massimi per ogni parte definita dall'utente. In una scheda separata del programma è possibile visualizzare risultati avanzati quali i valori tensoriali, le deformazioni della struttura e i tassi di armatura (effettivi e geometrici) utilizzati per il calcolo dell'irrigidimento a trazione delle barre di armatura. Inoltre, è possibile presentare i carichi e le reazioni per le combinazioni o i casi di carico selezionati.

Analisi allo stato limite di esercizio

Le verifiche allo SLE vengono eseguite per la limitazione delle tensioni, l'ampiezza delle fessure e i limiti di deformazione. Le tensioni vengono verificate negli elementi in calcestruzzo e di armatura secondo la norma applicabile, in modo analogo a quanto specificato per lo SLU.

L'analisi agli stati limite di esercizio contiene alcune semplificazioni dei modelli costitutivi utilizzati per l'analisi allo stato limite ultimo. Si assume un'aderenza perfetta, ovvero la lunghezza di ancoraggio non viene verificata in esercizio. Inoltre, il ramo plastico della curva tensione-deformazione del calcestruzzo a compressione viene trascurato, mentre il ramo elastico è lineare e infinito. Queste semplificazioni migliorano la stabilità numerica e la velocità di calcolo e non riducono la generalità della soluzione, a condizione che i limiti di tensione dei materiali risultanti in esercizio siano chiaramente al di sotto dei loro punti di snervamento (come richiesto dalle norme). Pertanto, i modelli semplificati utilizzati per l'esercizio sono validi solo se tutti i requisiti di verifica sono soddisfatti.

Calcolo dell'ampiezza delle fessure e irrigidimento a trazione

Calcolo dell'ampiezza delle fessure

Esistono due metodi per il calcolo delle ampiezze delle fessure: fessurazione stabilizzata e non stabilizzata. In base al rapporto geometrico di armatura in ciascuna parte della struttura viene determinato quale tipo di modello di calcolo delle fessure verrà utilizzato (TCM per la fessurazione stabilizzata e POM per il modello di fessurazione non stabilizzata).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Mentre il CSFM fornisce un risultato diretto per la maggior parte delle verifiche (ad es. capacità dell'elemento, frecce…), i risultati dell'ampiezza delle fessure sono calcolati dai risultati delle deformazioni dell'armatura forniti direttamente dall'analisi FE seguendo la metodologia descritta nella Fig. 20. Si considera una cinematica della fessura senza scorrimento (apertura pura della fessura) (Fig. 20a), coerente con le ipotesi principali del modello. Le direzioni principali di tensioni e deformazioni definiscono l'inclinazione delle fessure (θ_r = θ_s= θ_e). Secondo la (Fig. 20b), l'ampiezza della fessura (w) può essere proiettata nella direzione della barra d'armatura (w_b), ottenendo:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

dove θ_b è l'inclinazione della barra.

Si noti che il programma visualizza i valori di θ_r e θ_b < π/2. Ciò significa che l'equazione precedente è valida per i casi in cui l'armatura e la fessura attraversano quadranti diversi del sistema di coordinate cartesiane, come mostrato nella Fig. 20, dove l'armatura attraversa il I e il III quadrante e la fessura il II e il IV. Per i casi in cui l'armatura e la fessura attraversano gli stessi quadranti, l'equazione deve essere modificata come segue:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

La componente w_b è calcolata in modo coerente sulla base dei modelli di irrigidimento a trazione integrando le deformazioni dell'armatura. Per le regioni con schemi di fessurazione completamente sviluppati, le deformazioni medie calcolate (e_m) lungo le barre d'armatura sono integrate direttamente lungo l'interasse delle fessure (s_r), come indicato nella (Fig. 20c). Sebbene questo approccio al calcolo delle direzioni delle fessure non corrisponda alla posizione reale delle fessure, fornisce comunque valori rappresentativi che portano a risultati di ampiezza delle fessure confrontabili con i valori di ampiezza delle fessure richiesti dalla normativa nella posizione della barra d'armatura.

Situazioni particolari si osservano agli angoli concavi della struttura calcolata. In questo caso, l'angolo predefinisce la posizione di una singola fessura che si comporta in modo non stabilizzato prima che si sviluppino ulteriori fessure adiacenti. Queste fessure aggiuntive si sviluppano generalmente dopo il campo di esercizio (Mata-Falcón 2015), il che giustifica il calcolo delle ampiezze delle fessure in tale regione come se fossero non stabilizzate (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Irrigidimento a trazione

L'implementazione dell'irrigidimento a trazione distingue tra casi di schemi di fessurazione stabilizzata e non stabilizzata. In entrambi i casi, il calcestruzzo è considerato completamente fessurato prima del carico per impostazione predefinita.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Fessurazione stabilizzata

In schemi di fessurazione completamente sviluppati, l'irrigidimento a trazione viene introdotto utilizzando il Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – che ha dimostrato di fornire eccellenti previsioni di risposta nonostante la sua semplicità (Burns 2012). Il TCM assume una relazione tensione di aderenza-scorrimento a gradini, rigida e perfettamente plastica, con τ_b = τ_b0 =2 f_ctm per σ_s ≤ f_y e τ_b =τ_b1 = f_ctm per σ_s > f_y. Trattando ogni barra d'armatura come un elemento di trazione ­– Fig. 22b e Fig. 22a – la distribuzione dell'aderenza, delle tensioni nell'acciaio e nel calcestruzzo e quindi la distribuzione delle deformazioni tra due fessure può essere determinata per qualsiasi valore dato delle tensioni massime nell'acciaio (o deformazioni) alle fessure.

Per s_r = s_r0, una nuova fessura può formarsi o meno poiché al centro tra due fessure σ_c1 = f_ct. Di conseguenza, l'interasse delle fessure può variare di un fattore due, ovvero s_r = λs_r0, con l = 0.5…1.0. Assumendo un certo valore per λ, la deformazione media dell'elemento di trazione (ε_m) può essere espressa come funzione delle tensioni massime nell'armatura (ovvero le tensioni alle fessure, σ_sr). Per il diagramma tensione-deformazione bilineare idealizzato per le barre d'armatura nude considerato per impostazione predefinita nel CSFM, si ottengono le seguenti espressioni analitiche in forma chiusa (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

dove:
E_sh           il modulo di incrudimento dell'acciaio E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modulo di elasticità dell'armatura,

Ø            diametro della barra d'armatura,

s_r                interasse delle fessure,

σ_sr           tensioni nell'armatura alle fessure,

σ_s            tensioni effettive nell'armatura,

f_y                tensione di snervamento dell'armatura.

L'implementazione di IDEA StatiCa Detail del CSFM considera l'interasse medio delle fessure per impostazione predefinita durante l'analisi del campo di tensioni assistita da computer. L'interasse medio delle fessure è considerato pari a 2/3 dell'interasse massimo delle fessure (λ = 0.67), in conformità con le raccomandazioni formulate sulla base di prove a flessione e trazione (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Si noti che i calcoli delle ampiezze delle fessure considerano un interasse massimo delle fessure (λ = 1.0) al fine di ottenere valori conservativi.

L'applicazione del TCM dipende dal rapporto di armatura, e quindi l'assegnazione di un'appropriata area di calcestruzzo reagente a trazione tra le fessure a ciascuna barra d'armatura è fondamentale. È stata sviluppata una procedura numerica automatica per definire il corrispondente rapporto di armatura efficace (ρ_eff = A_s/A_c,eff) per qualsiasi configurazione, inclusa l'armatura inclinata (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Fessurazione non stabilizzata

Le fessure presenti in regioni con rapporti geometrici di armatura inferiori a ρ_cr, ovvero la quantità minima di armatura per cui l'armatura è in grado di portare il carico di fessurazione senza snervare, sono generate da azioni non meccaniche (ad es. ritiro) o dalla propagazione di fessure controllate da altra armatura. Il valore di questa armatura minima si ottiene come segue:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

dove:

f_y              tensione di snervamento dell'armatura,

f_ct             resistenza a trazione del calcestruzzo,

n              rapporto modulare, n = E_s / E_c .

Per calcestruzzo e acciaio d'armatura convenzionali, ρ_cr ammonta a circa lo 0,6%.

Per le staffe con rapporti di armatura inferiori a ρ_cr, la fessurazione è considerata non stabilizzata e l'irrigidimento a trazione è implementato mediante il Pull-Out Model (POM) descritto nella Fig. 22b. Questo modello analizza il comportamento di una singola fessura considerando nessuna interazione meccanica tra fessure separate, trascurando la deformabilità del calcestruzzo a trazione e assumendo la stessa relazione tensione di aderenza-scorrimento a gradini, rigida e perfettamente plastica, utilizzata dal TCM. Ciò consente di ottenere la distribuzione delle deformazioni dell'armatura (ε_s) in prossimità della fessura per qualsiasi tensione massima nell'acciaio alla fessura (σ_sr) direttamente dall'equilibrio. Dato che l'interasse delle fessure è sconosciuto per uno schema di fessurazione non completamente sviluppato, la deformazione media (ε_m) è calcolata per qualsiasi livello di carico sulla distanza tra i punti con scorrimento nullo quando la barra d'armatura raggiunge la sua resistenza a trazione (f_t) alla fessura (l_ε,avg nella Fig. 22b), portando alle seguenti relazioni:

I modelli proposti consentono il calcolo del comportamento dell'armatura aderente, che viene infine considerato nell'analisi. Questo comportamento (incluso l'irrigidimento a trazione) per l'acciaio d'armatura europeo più comune (B500B, con f_t / f_y = 1,08 e ε_u = 5%) è illustrato nella Fig. 22c-d.