3.1 États limites et calcul de la largeur des fissures
L'évaluation de la structure à l'aide du CSFM est réalisée par deux analyses différentes : l'une pour les combinaisons de charges à l'état limite de service et l'autre pour les combinaisons à l'état limite ultime. L'analyse à l'état limite de service suppose que le comportement ultime de l'élément est satisfaisant et que les conditions de plastification du matériau ne seront pas atteintes aux niveaux de charge de service. Cette approche permet l'utilisation de modèles constitutifs simplifiés (avec une branche linéaire du diagramme contrainte-déformation du béton) pour l'analyse à l'état limite de service, afin d'améliorer la stabilité numérique et la vitesse de calcul. Il est donc recommandé d'utiliser le processus présenté ci-dessous, dans lequel l'analyse à l'état limite ultime est effectuée en premier.
Analyse à l'état limite ultime
Les différentes vérifications requises par les codes de calcul spécifiques sont évaluées sur la base des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications à l'ELU sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).
Pour s'assurer qu'un élément structurel présente un dimensionnement efficace, il est fortement recommandé d'effectuer une analyse préliminaire tenant compte des étapes suivantes :
- Choisir une sélection des combinaisons de charges les plus critiques.
- Calculer uniquement les combinaisons de charges à l'État Limite Ultime (ELU).
- Utiliser un maillage grossier (en augmentant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut dans les Paramètres (Fig. 19)).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]
Un tel modèle se calculera très rapidement, permettant aux concepteurs de vérifier le ferraillage de l'élément structurel efficacement et de relancer l'analyse jusqu'à ce que toutes les exigences de vérification soient satisfaites pour les combinaisons de charges les plus critiques. Une fois toutes les exigences de vérification de cette analyse préliminaire satisfaites, il est suggéré d'inclure l'ensemble des combinaisons de charges ultimes et d'utiliser une taille de maillage fine (la taille de maillage recommandée par le programme). L'utilisateur peut modifier la taille du maillage par le multiplicateur, qui peut prendre des valeurs de 0,5 à 5 (Fig. 19).
Les résultats et vérifications de base (contrainte, déformation et taux de travail (c'est-à-dire la valeur calculée/valeur limite issue du code), ainsi que la direction des contraintes principales dans le cas des éléments en béton) sont affichés au moyen de différents tracés où la compression est généralement représentée en rouge et la traction en bleu. Les valeurs minimales et maximales globales pour l'ensemble de la structure peuvent être mises en évidence, ainsi que les valeurs minimales et maximales pour chaque partie définie par l'utilisateur. Dans un onglet séparé du programme, des résultats avancés tels que les valeurs tensorielles, les déformations de la structure et les taux de ferraillage (effectifs et géométriques) utilisés pour le calcul du raidissement en traction des barres de ferraillage peuvent être affichés. De plus, les charges et réactions pour les combinaisons ou cas de charge sélectionnés peuvent être présentés.
Analyse à l'état limite de service
Les vérifications à l'ELS sont effectuées pour la limitation des contraintes, la largeur des fissures et les limites de déflexion. Les contraintes sont vérifiées dans les éléments en béton et en ferraillage conformément au code applicable, de manière similaire à celle spécifiée pour l'ELU.
L'analyse à l'état limite de service contient certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse à l'état limite ultime. Une adhérence parfaite est supposée, c'est-à-dire que la longueur d'ancrage n'est pas vérifiée à l'état limite de service. De plus, la branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est ignorée, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul, et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte des matériaux résultantes à l'état limite de service sont clairement inférieures à leurs points de plastification (comme requis par les normes). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour l'état limite de service ne sont valides que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.
Calcul de la largeur des fissures et raidissement en traction
Calcul de la largeur des fissures
Il existe deux méthodes de calcul des largeurs de fissures : la fissuration stabilisée et la fissuration non stabilisée. En fonction du taux de ferraillage géométrique dans chaque partie de la structure, le type de modèle de calcul des fissures est déterminé (TCM pour la fissuration stabilisée et POM pour le modèle de fissuration non stabilisée).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)
Alors que le CSFM fournit un résultat direct pour la plupart des vérifications (par exemple, la capacité de l'élément, les flèches…), les résultats de largeur de fissures sont calculés à partir des résultats de déformation du ferraillage directement fournis par l'analyse par éléments finis, selon la méthodologie décrite à la Fig. 20. Une cinématique de fissure sans glissement (ouverture pure de fissure) est considérée (Fig. 20a), ce qui est cohérent avec les hypothèses principales du modèle. Les directions principales des contraintes et des déformations définissent l'inclinaison des fissures (θr = θs= θe). D'après (Fig. 20b), la largeur de fissure (w) peut être projetée dans la direction de la barre de ferraillage (wb), ce qui conduit à :
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]
où θb est l'inclinaison de la barre.
Veuillez noter que le programme affiche des valeurs de θr et θb < π/2. Cela signifie que l'équation précédente s'applique aux cas où le ferraillage et la fissure traversent des quadrants différents du système de coordonnées cartésiennes, comme illustré à la Fig. 20, où le ferraillage traverse les quadrants I et III et la fissure les quadrants II et IV. Pour les cas où le ferraillage et la fissure traversent les mêmes quadrants, l'équation doit être modifiée comme suit :
\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]
La composante wb est calculée de manière cohérente à partir des modèles de raidissement en traction en intégrant les déformations du ferraillage. Pour les zones présentant des schémas de fissuration pleinement développés, les déformations moyennes calculées (em) le long des barres de ferraillage sont directement intégrées sur l'espacement des fissures (sr), comme indiqué à la (Fig. 20c). Bien que cette approche du calcul des directions de fissures ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives conduisant à des résultats de largeur de fissures comparables aux valeurs de largeur de fissures requises par les normes à la position de la barre de ferraillage.
Des situations particulières sont observées aux angles rentrants de la structure calculée. Dans ce cas, l'angle prédéfinit la position d'une fissure unique qui se comporte de manière non stabilisée avant que des fissures adjacentes supplémentaires ne se développent. Ces fissures supplémentaires se développent généralement après le domaine de service (Mata-Falcón 2015), ce qui justifie le calcul des largeurs de fissures dans cette zone comme si elles étaient non stabilisées (Fig. 21).
\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]
Raidissement en traction
La mise en œuvre du raidissement en traction distingue les cas de schémas de fissuration stabilisée et non stabilisée. Dans les deux cas, le béton est considéré par défaut comme entièrement fissuré avant chargement.
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)
Fissuration stabilisée
Pour les schémas de fissuration pleinement développés, le raidissement en traction est introduit à l'aide du Modèle de Tirant en Traction (TCM) (Marti et al. 1998 ; Alvarez 1998) – Fig. 22a – dont il a été démontré qu'il fournit d'excellentes prédictions de réponse malgré sa simplicité (Burns 2012). Le TCM suppose une relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement étagée, rigide-parfaitement plastique avec τb = τb0 =2 fctm pour σs ≤ fy et τb =τb1 = fctm pour σs > fy. En traitant chaque barre de ferraillage comme un tirant en traction – Fig. 22b et Fig. 22a – la distribution des contraintes de cisaillement d'adhérence, des contraintes dans l'acier et dans le béton, et donc la distribution des déformations entre deux fissures peut être déterminée pour toute valeur donnée des contraintes maximales dans l'acier (ou des déformations) aux fissures.
Pour sr = sr0, une nouvelle fissure peut ou non se former car au centre entre deux fissures σc1 = fct. Par conséquent, l'espacement des fissures peut varier d'un facteur deux, c'est-à-dire sr = λsr0, avec l = 0,5…1,0. En supposant une certaine valeur de λ, la déformation moyenne du tirant (εm) peut être exprimée en fonction des contraintes maximales dans le ferraillage (c'est-à-dire les contraintes aux fissures, σsr). Pour le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé des barres nues considéré par défaut dans le CSFM, les expressions analytiques fermées suivantes sont obtenues (Marti et al. 1998) :
\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]
\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]
\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]
\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]
où :
Esh le module d'écrouissage de l'acier Esh = (ft – fy)/(εu – fy /Es) ,
Es module d'élasticité du ferraillage,
Ø diamètre de la barre de ferraillage,
sr espacement des fissures,
σsr contraintes dans le ferraillage aux fissures,
σs contraintes réelles dans le ferraillage,
fy limite d'élasticité du ferraillage.
La mise en œuvre du CSFM dans IDEA StatiCa Detail considère par défaut l'espacement moyen des fissures lors de l'analyse du champ de contraintes assistée par ordinateur. L'espacement moyen des fissures est considéré comme égal à 2/3 de l'espacement maximal des fissures (λ = 0,67), conformément aux recommandations formulées sur la base d'essais de flexion et de traction (Broms 1965 ; Beeby 1979 ; Meier 1983). Il convient de noter que les calculs de largeur de fissures considèrent un espacement maximal des fissures (λ = 1,0) afin d'obtenir des valeurs conservatives.
L'application du TCM dépend du taux de ferraillage, et donc l'attribution d'une aire de béton appropriée travaillant en traction entre les fissures à chaque barre de ferraillage est cruciale. Une procédure numérique automatique a été développée pour définir le taux de ferraillage effectif correspondant (ρeff = As/Ac,eff) pour toute configuration, y compris le ferraillage incliné (Fig. 23).
\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)
Fissuration non stabilisée
Les fissures présentes dans les zones dont le taux de ferraillage géométrique est inférieur à ρcr, c'est-à-dire la quantité minimale de ferraillage pour laquelle le ferraillage est capable de reprendre la charge de fissuration sans plastification, sont générées soit par des actions non mécaniques (par exemple le retrait), soit par la propagation de fissures contrôlées par d'autres ferraillages. La valeur de ce ferraillage minimal est obtenue comme suit :
\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]
où :
fy limite d'élasticité du ferraillage,
fct résistance à la traction du béton,
n rapport d'équivalence, n = Es / Ec .
Pour le béton et l'acier de ferraillage courants, ρcr est d'environ 0,6 %.
Pour les étriers dont le taux de ferraillage est inférieur à ρcr, la fissuration est considérée comme non stabilisée et le raidissement en traction est mis en œuvre au moyen du Modèle d'Arrachement (POM) décrit à la Fig. 22b. Ce modèle analyse le comportement d'une fissure unique en ne considérant aucune interaction mécanique entre les fissures séparées, en négligeant la déformabilité du béton en traction et en supposant la même relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement étagée, rigide-parfaitement plastique utilisée par le TCM. Cela permet d'obtenir la distribution des déformations du ferraillage (εs) au voisinage de la fissure pour toute contrainte maximale dans l'acier à la fissure (σsr) directement par équilibre. Étant donné que l'espacement des fissures est inconnu pour un schéma de fissuration non pleinement développé, la déformation moyenne (εm) est calculée pour tout niveau de charge sur la distance entre les points à glissement nul lorsque la barre de ferraillage atteint sa résistance à la traction (ft) à la fissure (lε,avg à la Fig. 22b), conduisant aux relations suivantes :
Les modèles proposés permettent le calcul du comportement du ferraillage adhérent, qui est finalement pris en compte dans l'analyse. Ce comportement (incluant le raidissement en traction) pour l'acier de ferraillage européen le plus courant (B500B, avec ft / fy = 1,08 et εu = 5 %) est illustré aux Fig. 22c-d.