3.1 Grenzzustände und Rissbreitenberechnung

Die Bewertung der Struktur mit dem CSFM erfolgt durch zwei verschiedene Analysen: eine für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit und eine für Bemessungslastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit. Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse setzt voraus, dass das Verhalten des Bauteils im Grenzzustand der Tragfähigkeit zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei Gebrauchslastniveaus nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Materialmodelle (mit einem linearen Ast des Spannung-Dehnung-Diagramms für Beton) für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse, um die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern. Daher wird empfohlen, den nachfolgend dargestellten Arbeitsablauf zu verwenden, bei dem die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit als erster Schritt durchgeführt wird.

Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit

Die verschiedenen, von spezifischen Bemessungsnormen geforderten Nachweise werden anhand der direkt vom Modell gelieferten Ergebnisse bewertet. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Um sicherzustellen, dass ein Bauteil effizient bemessen ist, wird dringend empfohlen, eine Vorabanalyse durchzuführen, die die folgenden Schritte berücksichtigt:

• Auswahl der maßgebenden Lastkombinationen.
• Berechnung ausschließlich der Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit (GZT).
• Verwendung eines groben Netzes (durch Erhöhung des Multiplikators der Standard-Netzgröße in den Einstellungen (Abb. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Ein solches Modell berechnet sehr schnell und ermöglicht es den Tragwerksplanern, die Konstruktionsdetails des Bauteils effizient zu überprüfen und die Analyse so lange erneut durchzuführen, bis alle Nachweisanforderungen für die maßgebenden Lastkombinationen erfüllt sind. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser Vorabanalyse erfüllt sind, wird empfohlen, die vollständigen Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit einzubeziehen und eine feine Netzgröße zu verwenden (die vom Programm empfohlene Netzgröße). Der Benutzer kann die Netzgröße über den Multiplikator ändern, der Werte von 0,5 bis 5 annehmen kann (Abb. 19).

Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d. h. der berechnete Wert/Grenzwert aus der Norm) sowie die Richtung der Hauptspannungen bei Betonelementen) werden mittels verschiedener Darstellungen angezeigt, wobei Druck im Allgemeinen in Rot und Zug in Blau dargestellt wird. Globale Mindest- und Höchstwerte für die gesamte Struktur können hervorgehoben werden, ebenso wie Mindest- und Höchstwerte für jeden benutzerdefinierten Teil. In einem separaten Programmreiter können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsgrade (effektiv und geometrisch), die zur Berechnung der Zugverfestigung von Bewehrungsstäben verwendet werden, angezeigt werden. Darüber hinaus können Lasten und Auflagerkräfte für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

GZG-Nachweise werden für Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzen durchgeführt. Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen gemäß der anwendbaren Norm in ähnlicher Weise wie für den GZT nachgewiesen.

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Materialmodelle, die für die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit verwendet werden. Es wird ein vollständiger Verbund angenommen, d. h. die Verankerungslänge wird im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit nicht nachgewiesen. Darüber hinaus wird der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve des Betons unter Druck vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeinheit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unterhalb ihrer Fließpunkte liegen (wie von Normen gefordert). Daher sind die vereinfachten Modelle für die Gebrauchstauglichkeit nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

Rissbreitenberechnung und Zugverfestigung

Rissbreitenberechnung

Es gibt zwei Methoden zur Berechnung von Rissbreiten – stabilisierte und nicht-stabilisierte Rissbildung. Anhand des geometrischen Bewehrungsgrads in jedem Bereich der Struktur wird entschieden, welches Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für stabilisierte Rissbildung und POM für nicht-stabilisierte Rissbildung).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Während das CSFM für die meisten Nachweise ein direktes Ergebnis liefert (z. B. Bauteilkapazität, Durchbiegungen…), werden Rissbreitenergebnisse aus den Bewehrungsdehnungsergebnissen berechnet, die direkt durch die FE-Analyse bereitgestellt werden, gemäß der in Abb. 20 beschriebenen Methodik. Es wird eine Risskinematik ohne Schlupf (reines Rissöffnen) angenommen (Abb. 20a), was mit den grundlegenden Annahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen der Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θ_r = θ_s= θ_e). Gemäß (Abb. 20b) kann die Rissbreite (w) in die Richtung des Bewehrungsstabs (w_b) projiziert werden, was zu folgendem Ausdruck führt:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

wobei θ_b die Stabneigung ist.

Bitte beachten Sie, dass das Programm Werte von θ_r und θ_b < π/2 anzeigt. Das bedeutet, dass die vorherige Gleichung für Fälle gilt, bei denen die Bewehrung und der Riss durch verschiedene Quadranten des kartesischen Koordinatensystems verlaufen, wie in Abb. 20 dargestellt, wo die Bewehrung durch den I. und III. Quadranten und der Riss durch den II. und IV. Quadranten verläuft. Für Fälle, bei denen die Bewehrung und der Riss durch dieselben Quadranten verlaufen, muss die Gleichung wie folgt angepasst werden:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Die Komponente w_b wird konsistent auf Basis der Zugverfestigungsmodelle durch Integration der Bewehrungsdehnungen berechnet. Für Bereiche mit vollständig ausgebildetem Rissbild werden die berechneten mittleren Dehnungen (e_m) entlang der Bewehrungsstäbe direkt über den Rissabstand (s_r) integriert, wie in (Abb. 20c) angegeben. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Position der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

An konkaven Ecken der berechneten Struktur werden besondere Situationen beobachtet. In diesem Fall legt die Ecke die Position eines einzelnen Risses fest, der sich vor der Entstehung weiterer benachbarter Risse nicht-stabilisiert verhält. Diese zusätzlichen Risse entstehen im Allgemeinen nach dem Gebrauchstauglichkeitsbereich (Mata-Falcón 2015), was es rechtfertigt, die Rissbreiten in einem solchen Bereich so zu berechnen, als wären sie nicht-stabilisiert (Abb. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Zugverfestigung

Die Implementierung der Zugverfestigung unterscheidet zwischen stabilisierten und nicht-stabilisierten Rissbildern. In beiden Fällen wird der Beton standardmäßig als vor der Belastung vollständig gerissen angenommen.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Stabilisierte Rissbildung

Bei vollständig ausgebildeten Rissbildern wird die Zugverfestigung mithilfe des Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Abb. 22a – eingeführt, das trotz seiner Einfachheit hervorragende Vorhersagen des Tragverhaltens liefert (Burns 2012). Das TCM setzt eine gestufte, starr-ideal-plastische Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung mit τ_b = τ_b0 =2 f_ctm für σ_s ≤ f_y und τ_b =τ_b1 = f_ctm für σ_s > f_y voraus. Indem jeder Bewehrungsstab als Zugstab behandelt wird – Abb. 22b und Abb. 22a – kann die Verteilung der Verbundschubspannungen, der Stahl- und Betonspannungen und damit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden gegebenen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder -dehnungen) an den Rissen bestimmt werden.

Für s_r = s_r0 kann ein neuer Riss entstehen oder auch nicht, da in der Mitte zwischen zwei Rissen σ_c1 = f_ct gilt. Folglich kann der Rissabstand um den Faktor zwei variieren, d. h. s_r = λs_r0, mit l = 0,5…1,0. Unter Annahme eines bestimmten Wertes für λ kann die mittlere Dehnung des Zugstabs (ε_m) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d. h. Spannungen an den Rissen, σ_sr) ausgedrückt werden. Für das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrungsstäbe, das standardmäßig im CSFM verwendet wird, ergeben sich folgende geschlossene analytische Ausdrücke (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

wobei:
E_sh           der Verfestigungsmodul des Stahls E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            Elastizitätsmodul der Bewehrung,

Ø            Durchmesser des Bewehrungsstabs,

s_r                Rissabstand,

σ_sr           Bewehrungsspannungen an den Rissen,

σ_s            tatsächliche Bewehrungsspannungen,

f_y                Streckgrenze der Bewehrung.

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail verwendet standardmäßig den mittleren Rissabstand bei der computergestützten Spannungsfeldanalyse. Der mittlere Rissabstand wird als 2/3 des maximalen Rissabstands angenommen (λ = 0,67), was den Empfehlungen auf Basis von Biege- und Zugversuchen folgt (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Es ist zu beachten, dass bei der Berechnung der Rissbreiten ein maximaler Rissabstand (λ = 1,0) verwendet wird, um konservative Werte zu erhalten.

Die Anwendung des TCM hängt vom Bewehrungsgrad ab, daher ist die Zuordnung einer geeigneten, zwischen den Rissen auf Zug beanspruchten Betonfläche zu jedem Bewehrungsstab entscheidend. Ein automatisches numerisches Verfahren wurde entwickelt, um den entsprechenden effektiven Bewehrungsgrad (ρ_eff = A_s/A_c,eff) für jede Konfiguration, einschließlich schräger Bewehrung, zu definieren (Abb. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Nicht-stabilisierte Rissbildung

Risse in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr, d. h. dem Mindestbewehrungsgrad, bei dem die Bewehrung die Risslast ohne Fließen aufnehmen kann, entstehen entweder durch nicht-mechanische Einwirkungen (z. B. Schwinden) oder durch das Fortschreiten von Rissen, die durch andere Bewehrung kontrolliert werden. Der Wert dieser Mindestbewehrung ergibt sich wie folgt:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

wobei:

f_y              Streckgrenze der Bewehrung,

f_ct             Betonzugfestigkeit,

n              Verhältnis der Elastizitätsmoduli, n = E_s / E_c .

Für üblichen Beton und Bewehrungsstahl beträgt ρ_cr etwa 0,6 %.

Für Bügel mit Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr wird die Rissbildung als nicht-stabilisiert betrachtet, und die Zugverfestigung wird mithilfe des Pull-Out-Modells (POM) implementiert, das in Abb. 22b beschrieben ist. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses ohne mechanische Wechselwirkung zwischen separaten Rissen, vernachlässigt die Verformbarkeit des Betons auf Zug und setzt dieselbe gestufte, starr-ideal-plastische Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung voraus, die auch im TCM verwendet wird. Dies ermöglicht es, die Bewehrungsdehnungsverteilung (ε_s) in der Umgebung des Risses für jede maximale Stahlspannung am Riss (σ_sr) direkt aus dem Gleichgewicht zu bestimmen. Da der Rissabstand bei einem nicht vollständig ausgebildeten Rissbild unbekannt ist, wird die mittlere Dehnung (ε_m) für jeden Lastzustand über den Abstand zwischen den Punkten mit null Schlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab seine Zugfestigkeit (f_t) am Riss erreicht (l_ε,avg in Abb. 22b), was zu folgenden Beziehungen führt:

Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens von verbundbewehrten Stäben, das schließlich in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich Zugverfestigung) für den gebräuchlichsten europäischen Bewehrungsstahl (B500B, mit f_t / f_y = 1,08 und ε_u = 5 %) ist in Abb. 22c-d dargestellt.