3.1 Stany graniczne i obliczanie szerokości rys

Ocena konstrukcji przy użyciu CSFM jest przeprowadzana za pomocą dwóch różnych analiz: jednej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym użytkowalności (SGU) i jednej dla stanu granicznego nośności (SGN). Analiza SGU zakłada, że ostateczne zachowanie elementu jest zadowalające i że warunki plastyczności materiału nie zostaną osiągnięte przy poziomach obciążeń użytkowalności. Takie podejście umożliwia stosowanie uproszczonych modeli konstytutywnych (z liniową gałęzią wykresu naprężenie-odkształcenie betonu) w analizie SGU w celu zwiększenia stabilności numerycznej i szybkości obliczeń. Dlatego zaleca się stosowanie przedstawionego poniżej toku postępowania, w którym analiza stanu granicznego nośności jest przeprowadzana jako pierwszy krok.

Analiza stanu granicznego nośności

Różne weryfikacje wymagane przez określone normy projektowania są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników dostarczanych przez model. Sprawdzenia SGN są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia ścinające przyczepności).

Aby zapewnić efektywny projekt elementu konstrukcyjnego, zdecydowanie zaleca się przeprowadzenie wstępnej analizy uwzględniającej następujące kroki:

• Wybór zestawu najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń.
• Obliczanie wyłącznie kombinacji obciążeń dla stanu granicznego nośności (SGN).
• Zastosowanie grubej siatki (poprzez zwiększenie mnożnika domyślnego rozmiaru siatki w Ustawieniach (Rys. 19)).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}\]

Taki model będzie obliczany bardzo szybko, umożliwiając projektantom efektywne sprawdzenie szczegółów elementu konstrukcyjnego i ponowne uruchamianie analizy do momentu spełnienia wszystkich wymagań weryfikacyjnych dla najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń. Po spełnieniu wszystkich wymagań weryfikacyjnych tej wstępnej analizy sugeruje się uwzględnienie pełnych kombinacji obciążeń ostatecznych oraz zastosowanie drobnej siatki (rozmiar siatki zalecany przez program). Użytkownik może zmieniać rozmiar siatki za pomocą mnożnika, który może przyjmować wartości od 0,5 do 5 (Rys. 19).

Podstawowe wyniki i weryfikacje (naprężenie, odkształcenie i stopień wykorzystania (tj. wartość obliczona/wartość graniczna z normy), a także kierunek naprężeń głównych w przypadku elementów betonowych) są wyświetlane za pomocą różnych wykresów, gdzie ściskanie jest generalnie przedstawiane kolorem czerwonym, a rozciąganie kolorem niebieskim. Globalne wartości minimalne i maksymalne dla całej konstrukcji mogą być wyróżnione, podobnie jak wartości minimalne i maksymalne dla każdej zdefiniowanej przez użytkownika części. W osobnej zakładce programu można wyświetlić zaawansowane wyniki, takie jak wartości tensorów, odkształcenia konstrukcji oraz stopnie zbrojenia (efektywne i geometryczne) stosowane do obliczania tension stiffening prętów zbrojeniowych. Ponadto można przedstawić obciążenia i reakcje dla wybranych kombinacji lub przypadków obciążeń.

Analiza stanu granicznego użytkowalności

Sprawdzenia SGU są przeprowadzane dla ograniczenia naprężeń, szerokości rys oraz ograniczeń ugięć. Naprężenia są sprawdzane w elementach betonowych i zbrojeniu zgodnie z obowiązującą normą w sposób podobny do określonego dla SGN.

Analiza SGU zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie stanu granicznego nośności. Przyjmuje się doskonałą przyczepność, tzn. długość zakotwienia nie jest weryfikowana w stanie użytkowalności. Ponadto plastyczna gałąź krzywej naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieskończona. Uproszczenia te zwiększają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń i nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe granice naprężeń materiałowych w stanie użytkowalności są wyraźnie poniżej ich punktów plastyczności (zgodnie z wymaganiami norm). Dlatego uproszczone modele stosowane dla stanu użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy wszystkie wymagania weryfikacyjne są spełnione.

Obliczanie szerokości rys i tension stiffening

Obliczanie szerokości rys

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys – zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane. Na podstawie geometrycznego współczynnika zbrojenia w każdej części konstrukcji decyduje się, który model obliczeniowy zostanie zastosowany (TCM dla zarysowania ustabilizowanego i POM dla modelu zarysowania nieustabilizowanego).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Podczas gdy CSFM daje bezpośredni wynik dla większości weryfikacji (np. nośność elementu, ugięcia…), wyniki szerokości rys są obliczane z wyników odkształceń zbrojenia bezpośrednio dostarczanych przez analizę MES zgodnie z metodologią opisaną na Rys. 20. Przyjmuje się kinematykę rysy bez poślizgu (czyste otwieranie rysy) (Rys. 20a), co jest zgodne z głównymi założeniami modelu. Kierunki główne naprężeń i odkształceń definiują nachylenie rys (θ_r = θ_s= θ_e). Zgodnie z (Rys. 20b), szerokość rysy (w) może być rzutowana w kierunku pręta zbrojeniowego (w_b), co prowadzi do:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

gdzie θ_b jest nachyleniem pręta.

Należy zauważyć, że program wyświetla wartości θ_r i θ_b < π/2. Oznacza to, że poprzednie równanie działa dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez różne ćwiartki kartezjańskiego układu współrzędnych, jak pokazano na Rys. 20, gdzie zbrojenie przechodzi przez I. i III. ćwiartkę, a rysa przez II. i IV. Dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez te same ćwiartki, równanie należy zmodyfikować w następujący sposób:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Składowa w_b jest konsekwentnie obliczana na podstawie modeli tension stiffening poprzez całkowanie odkształceń zbrojenia. Dla obszarów z w pełni rozwiniętym schematem zarysowania, obliczone średnie odkształcenia (e_m) wzdłuż prętów zbrojeniowych są bezpośrednio całkowane wzdłuż rozstawu rys (s_r), jak wskazano na (Rys. 20c). Chociaż to podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normy w miejscu pręta zbrojeniowego.

Szczególne sytuacje obserwuje się w wklęsłych narożnikach obliczanej konstrukcji. W tym przypadku narożnik predefiniuje położenie pojedynczej rysy, która zachowuje się w sposób nieustabilizowany, zanim rozwiną się dodatkowe sąsiednie rysy. Te dodatkowe rysy rozwijają się zazwyczaj po przekroczeniu zakresu użytkowalności (Mata-Falcón 2015), co uzasadnia obliczanie szerokości rys w takim obszarze tak, jakby były nieustabilizowane (Rys. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Tension stiffening

Implementacja tension stiffening rozróżnia przypadki ustabilizowanego i nieustabilizowanego schematu zarysowania. W obu przypadkach beton jest domyślnie traktowany jako w pełni zarysowany przed obciążeniem.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Zarysowanie ustabilizowane

W w pełni rozwiniętych schematach zarysowania, tension stiffening jest wprowadzane przy użyciu modelu Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Rys. 22a – który wykazano, że daje doskonałe prognozy odpowiedzi pomimo swojej prostoty (Burns 2012). TCM zakłada stopniową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężeń stycznych przyczepności od poślizgu z τ_b = τ_b0 =2 f_ctm dla σ_s ≤ f_y i τ_b =τ_b1 = f_ctm dla σ_s > f_y. Traktując każdy pręt zbrojeniowy jako cięgno rozciągane ­– Rys. 22b i Rys. 22a – rozkład naprężeń stycznych przyczepności, naprężeń w stali i betonie, a tym samym rozkład odkształceń między dwiema rysami może być wyznaczony dla dowolnej wartości maksymalnych naprężeń w stali (lub odkształceń) w rysach.

Dla s_r = s_r0, nowa rysa może lub nie może się pojawić, ponieważ w środku między dwiema rysami σ_c1 = f_ct. W konsekwencji rozstaw rys może się zmieniać o współczynnik dwa, tj. s_r = λs_r0, z l = 0,5…1,0. Przyjmując określoną wartość λ, średnie odkształcenie cięgna (ε_m) można wyrazić jako funkcję maksymalnych naprężeń zbrojenia (tj. naprężeń w rysach, σ_sr). Dla idealizowanego bilinearnego wykresu naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych przyjętego domyślnie w CSFM, uzyskuje się następujące analityczne wyrażenia w postaci zamkniętej (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

gdzie:
E_sh           moduł wzmocnienia stali E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            moduł sprężystości zbrojenia,

Ø            średnica pręta zbrojeniowego,

s_r                rozstaw rys,

σ_sr           naprężenia zbrojenia w rysach,

σ_s            rzeczywiste naprężenia zbrojenia,

f_y                granica plastyczności zbrojenia.

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail domyślnie uwzględnia średni rozstaw rys podczas komputerowej analizy pola naprężeń. Średni rozstaw rys przyjmuje się jako 2/3 maksymalnego rozstawu rys (λ = 0,67), co wynika z zaleceń opartych na badaniach zginania i rozciągania (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Należy zauważyć, że obliczenia szerokości rys uwzględniają maksymalny rozstaw rys (λ = 1,0) w celu uzyskania wartości po stronie bezpiecznej.

Zastosowanie TCM zależy od współczynnika zbrojenia, dlatego kluczowe jest przypisanie odpowiedniego obszaru betonu pracującego na rozciąganie między rysami do każdego pręta zbrojeniowego. Opracowano automatyczną procedurę numeryczną do wyznaczania odpowiedniego efektywnego współczynnika zbrojenia (ρ_eff = A_s/A_c,eff) dla dowolnej konfiguracji, w tym zbrojenia skośnego (Rys. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Zarysowanie nieustabilizowane

Rysy występujące w obszarach o geometrycznym współczynniku zbrojenia niższym niż ρ_cr, tj. minimalnej ilości zbrojenia, przy której zbrojenie jest w stanie przenieść obciążenie zarysowujące bez uplastycznienia, są generowane przez działania niemechaniczne (np. skurcz) lub postęp rys kontrolowanych przez inne zbrojenie. Wartość tego minimalnego zbrojenia jest wyznaczana w następujący sposób:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

gdzie:

f_y              granica plastyczności zbrojenia,

f_ct             wytrzymałość betonu na rozciąganie,

n              współczynnik modularny, n = E_s / E_c .

Dla typowego betonu i stali zbrojeniowej, ρ_cr wynosi około 0,6%.

Dla strzemion o współczynniku zbrojenia poniżej ρ_cr, zarysowanie jest traktowane jako nieustabilizowane, a tension stiffening jest implementowane za pomocą modelu Pull-Out Model (POM) opisanego na Rys. 22b. Model ten analizuje zachowanie pojedynczej rysy bez uwzględnienia mechanicznej interakcji między oddzielnymi rysami, pomijając odkształcalność betonu na rozciąganie i przyjmując tę samą stopniową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężeń stycznych przyczepności od poślizgu stosowaną przez TCM. Pozwala to na wyznaczenie rozkładu odkształceń zbrojenia (ε_s) w pobliżu rysy dla dowolnego maksymalnego naprężenia stali w rysie (σ_sr) bezpośrednio z równowagi. Biorąc pod uwagę fakt, że rozstaw rys jest nieznany dla nie w pełni rozwiniętego schematu zarysowania, średnie odkształcenie (ε_m) jest obliczane dla dowolnego poziomu obciążenia na odległości między punktami zerowego poślizgu, gdy pręt zbrojeniowy osiąga swoją wytrzymałość na rozciąganie (f_t) w rysie (l_ε,avg na Rys. 22b), co prowadzi do następujących zależności:

Proponowane modele umożliwiają obliczenie zachowania zakotwionego zbrojenia, które jest ostatecznie uwzględniane w analizie. To zachowanie (w tym tension stiffening) dla najczęściej stosowanej europejskiej stali zbrojeniowej (B500B, z f_t / f_y = 1,08 i ε_u = 5%) jest zilustrowane na Rys. 22c-d.