Vérification normative d'un diaphragme de poutre caisson selon l'Eurocode
Le comportement des diaphragmes de poutres caisson en béton dépend de nombreux facteurs, tels que la disposition des appareils d'appui, l'inclinaison de la paroi latérale de la section transversale de la poutre caisson, le schéma statique global de la structure, et bien d'autres encore. La conception est basée sur la méthode analytique Bielle-et-tirant, mentionnée dans les Eurocodes. Cette méthode est très simplifiée et ne permet pas de vérifier les détails à l'état limite de service. L'objectif de l'article est de présenter les différences entre la méthode Bielle&Tirant et la solution physiquement non linéaire basée sur le calcul par éléments finis du modèle de voile. La méthode avancée CSFM (Méthode du Champ de Contraintes Compatible) permet le calcul et la vérification normative de la largeur des fissures, de la limitation des contraintes et de la flèche pour les effets à court terme et à long terme.
Description du modèle
L'analyse est réalisée sur un pont à poutre caisson de portées 40 x 45 x 40 m. La hauteur du diaphragme est de 3 m, sa largeur est de 8,5 m et son épaisseur est de 1,2 m. Le diaphragme est supporté indirectement sur des appareils d'appui de 0,8 m de large, représentés dans le modèle par des plaques d'appui (fig.1). Le modèle est chargé par le poids propre, les charges permanentes superposées, l'effet secondaire de la précontrainte longitudinale et la charge de trafic LM1.
Fig.1 - Géométrie du diaphragme
Hypothèses de la méthode Bielle-et-tirant
En général, la méthode Bielle-et-tirant constitue un outil efficace pour la vérification des structures en béton présentant des régions D. En principe, le modèle Bielle-et-tirant est élaboré à partir d'une analyse linéaire et de la direction des contraintes principales issues des charges appliquées. Le modèle est composé de bielles comprimées, de nœuds et de tirants, qui sont ensuite vérifiés. Toutes les exigences relatives aux dispositions constructives et à la longueur d'ancrage du ferraillage doivent être satisfaites. Du fait que la méthode est fondée sur la théorie de la plasticité du béton et sur le théorème de la borne inférieure, il est nécessaire de satisfaire les conditions d'équilibre entre les forces extérieures et intérieures et de ne pas dépasser la valeur de calcul de la résistance des matériaux. La méthode repose sur l'hypothèse que la rupture du ferraillage intervient avant l'écrasement ou la rupture fragile du béton. Le risque de cette méthode est que les conditions de compatibilité des déformations et la ductilité suffisante de la structure ne sont pas satisfaites et doivent être assurées d'une autre manière. En raison de ces contraintes, il est nécessaire de respecter les règles conformément à [1].
Topologie du modèle Bielle-et-tirant
La conception de notre modèle utilise le résultat calculé par optimisation topologique [2], qui est basée sur le principe énergétique pour trouver la distribution de matière avec une énergie potentielle minimale. Cette approche détermine directement la forme et aide à créer correctement le modèle d'analogie Bielle-et-tirant. Pour créer une topologie qui prend en compte les effets du cisaillement et de la torsion sur le diaphragme, deux modèles ont été réalisés, formant ensemble un modèle complexe pour la conception du ferraillage et la vérification des nœuds. Le premier modèle couvre l'effet du cisaillement avec l'analogie composée de bielles comprimées et de tirants (fig.2a). Ce modèle sert à la conception du ferraillage à proximité de la partie supérieure du diaphragme, où les plus grandes déformations de traction sont localisées. Le second modèle sert à couvrir l'effet de torsion, pour lequel une forme triangulaire de Bielle-et-tirant a été développée (fig.2b).
Fig.2 - (a) Modèle d'optimisation topologique pour l'effet de cisaillement ; (b) Modèle d'optimisation topologique pour l'effet de torsion
Fig.3 - (a) Modèle d'analyse linéaire pour l'effet de cisaillement ; (b) Modèle d'analyse linéaire pour l'effet de torsion
Résultats de la méthode Bielle-et-tirant
Les modèles dans le programme Midas Civil (fig.4) ont été chargés avec des charges extrêmes. Le ferraillage requis a été dimensionné à partir des efforts de traction et les zones des nœuds ont été vérifiées conformément à [1]. La valeur extrême de contrainte est apparue au nœud (fig.2a) sous l'appui droit, où la contrainte de compression a atteint σed = -10,1 MPa [Tab.1].
Fig.4 - (a) Efforts normaux internes sur le modèle 1D pour l'effet de cisaillement ; (b) Efforts normaux internes sur le modèle 1D pour l'effet de torsion
Tab.1 - Taux de travail extrême en compression selon la méthode Bielle-et-tirant
Méthode CSFM
La nouvelle méthode CSFM (Méthode du Champ de Contraintes Compatible) élimine les lacunes et les simplifications de l'analogie Bielle-et-tirant. La ductilité de la structure, la recherche de la géométrie correcte de l'analogie Bielle-et-tirant, tous les processus itératifs ne sont plus nécessaires, car les modèles sont résolus par éléments finis avec la méthode CSFM. Les hypothèses de l'analyse non linéaire sont basées sur des fissures fictives tournantes, où des fissures sans contrainte sont considérées sans glissement du ferraillage. L'équilibre dans les fissures est considéré conjointement avec la contrainte moyenne dans les barres de ferraillage. Le béton est négligé en traction, mais l'effet de raidissement en traction des armatures est pris en compte. Ces hypothèses permettent de calculer les fissures et le diaphragme peut être vérifié à l'état limite de service [3].
Chargement du diaphragme
Les charges sont transmises au diaphragme par la paroi de la section transversale de la poutre caisson. La quasi-totalité du cisaillement est transmise par la paroi latérale de la section transversale de la poutre caisson (fig.5a). La torsion est transmise par le flux de cisaillement dans le volume du diaphragme (fig.5b).
Fig.5 – (a) Modèle de charges de cisaillement ; (b) Modèle de charges de torsion
Comparaison des méthodes Bielle&Tirant et CSFM
La comparaison des résultats n'est possible que pour l'état limite ultime, où la contrainte extrême dans le béton (fig.6a) a été comparée aux valeurs limites. La comparaison a également été effectuée pour le ferraillage, où les déformations ont aussi été vérifiées. Elles présentent des valeurs inférieures par rapport au diagramme bilinéaire de l'acier nu en raison de l'effet de raidissement en traction [3]. Les contraintes et les déformations ont été comparées aux valeurs limites de la contrainte de calcul à la limite d'élasticité dans les armatures (Tab.2).
Fig.6 – (a) Contrainte principale dans le béton ; (b) Ferraillage / indication des armatures
Tab.2 – Comparaison des contraintes dans le béton et le ferraillage selon les méthodes Bielle&Tirant et CSFM
Les résultats de l'analyse ont montré que les contraintes dans les armatures dimensionnées sont inférieures à la contrainte de calcul à la limite d'élasticité considérée dans la méthode Bielle-et-tirant. Pour les armatures placées à proximité de la partie supérieure du diaphragme, les contraintes représentaient environ 60 % de la contrainte de calcul à la limite d'élasticité. Des différences plus importantes ont été constatées pour les armatures diagonales dimensionnées à partir du modèle de torsion (fig.4b). Les résultats de l'analyse non linéaire ont montré un taux de travail de 30 % de la contrainte de calcul à la limite d'élasticité. Les contraintes extrêmes sont apparues sur les treillis soudés (fig.7a) en raison des tractions transversales dans les bielles comprimées (fig.4a). La vérification déterminante du ferraillage concernait la contrainte d'adhérence (longueur d'ancrage) à proximité de l'appui (fig.7b).
Fig.7 – (a) Contrainte maximale dans le ferraillage ; (b) Contrainte d'adhérence maximale dans le ferraillage
État limite de service
Étant donné que la méthode Bielle-et-tirant, en tant que méthode plastique, ne permet pas de calculer les largeurs de fissures, les limitations de contraintes et les flèches, il n'est pas possible d'effectuer une comparaison entre la méthode CSFM et la méthode Bielle&Tirant. Les résultats de l'état limite de service représentent le comportement du diaphragme lors du trafic courant. Les largeurs de fissures sont très importantes pendant la durée de vie des structures et en particulier dans les régions D. Elles influencent significativement la durée de vie de l'ensemble de la structure, principalement en raison de la corrosion du ferraillage. Deux combinaisons ont été créées pour le modèle du diaphragme afin de vérifier la largeur des fissures. La première combinaison quasi-permanente ne prend pas en compte l'effet du trafic (LM1), contrairement à la seconde – une combinaison fréquente – qui prend en compte cet effet. L'Eurocode prescrit que la vérification normative de la largeur des fissures pour les éléments en béton armé doit être effectuée pour la combinaison quasi-permanente (fig.8a). La seconde combinaison a été créée pour étudier le comportement du diaphragme sous l'effet du trafic (fig.8b).
Fig.8 – (a) Fissures pour la combinaison quasi-permanente ; (b) Fissures pour la combinaison fréquente
Tab.3 – Comparaison de la largeur des fissures pour la combinaison quasi-permanente et fréquente
La largeur maximale des fissures se situe dans la zone des déformations transversales dans les bielles comprimées menant depuis les appareils d'appui. Il est évident que les fissures sont plus inclinées en raison de l'effet du flux de cisaillement de torsion dû au trafic que du seul flux de cisaillement dans la paroi latérale.
Conclusion
La méthode Bielle-et-tirant est un outil vraiment efficace entre les mains des ingénieurs structure et offre, en comparaison avec le calcul non linéaire dans l'application IDEA StatiCa Detail utilisant la méthode CSFM, une conception sûre du diaphragme de pont à poutre caisson pour l'état limite ultime. L'analyse non linéaire a montré que la traction dans les armatures à la surface supérieure du diaphragme atteignait 60 % de sa capacité (contrainte de calcul à la limite d'élasticité utilisée dans la méthode Bielle-et-tirant) et que le ferraillage diagonal n'atteignait que 30 %. Bien entendu, le faible taux de travail est dû aux treillis soudés qui contribuent à la capacité portante complexe du ferraillage. Le treillis soudé est requis pour des raisons de dispositions constructives et n'a pas été pris en compte dans la méthode Bielle-et-tirant. Il est évident que la méthode Bielle&Tirant fournit une conception sûre lorsque les exigences de ferraillage telles que les dispositions constructives conformément à [1] sont respectées. Grâce à la topologie correcte de l'analogie de treillis basée sur l'optimisation topologique [2], l'emplacement de la contrainte maximale dans le béton était identique pour les deux méthodes. Les différences entre les vérifications dans le béton selon la méthode Bielle&Tirant et la méthode CSFM étaient d'environ 13 %, le taux de travail le plus élevé étant obtenu par la solution non linéaire. Du point de vue de l'état limite de service, les largeurs de fissures ont été comparées à l'aide de la méthode CSFM, où pour les charges quasi-permanentes, la vérification était satisfaite à 80 %. La combinaison fréquente n'a pas satisfait la vérification en raison de l'effet de la charge de trafic, avec un taux de 163 % en utilisant la valeur limite de 0,2 mm. De manière générale, on peut dire que la conception par la méthode Bielle&Tirant pour un diaphragme de pont à poutre caisson satisfait les conditions de l'état limite ultime et, dans ce cas, également de l'état limite de service pour la combinaison quasi-permanente. Il est important de réaliser que l'état limite de service ne peut pas être couvert par la méthode Bielle&Tirant et qu'il est nécessaire de le traiter par une autre méthode, dans notre cas par la méthode CSFM (Méthode du Champ de Contraintes Compatible).
Références
[1] EN 1992-1-1 Eurocode, Design of Concrete Structures – Part 1: General rules and rules for buildings, European Committee for Standardization, December 2004-2016
[2] Mata-Falcón, J., Tran, D., T., Kaufmann, W., NAVRÁTIL, J. Computer-aided stress field analysis of discontinuity concrete regions, In: Proceedings of EURO-C 2018 Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, Austria, 2018, in print
[3] KABELÁČ J., ČÍHAL M., KONEČNÝ M., JUŘÍČEK L., VALÍČEK J. Serviceability limit state in discontinuity regions, In Sborník ke konferenci 25. Betonářské dny 2018, Czech Republic,ČBS