Normnachweis eines Kastenträger-Querträgers nach Eurocode
Das Verhalten von Beton-Kastenträger-Querträgern hängt von vielen Faktoren ab, wie z. B. der Anordnung der Lager, der Neigung der Seitenwand des Kastenträgerquerschnitts, dem globalen statischen System der Struktur und vielem mehr. Die Bemessung basiert auf der analytischen Methode Strebe-und-Zugband, die in den Eurocodes erwähnt wird. Diese Methode ist sehr vereinfacht und kann die Details für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit nicht nachweisen. Ziel des Artikels ist es, die Unterschiede zwischen der S&T-Methode und der physikalisch nichtlinearen Lösung auf Basis der Finite-Elemente-Berechnung des Wandmodells aufzuzeigen. Die fortschrittliche Methode CSFM (Kompatibles Spannungsfeldverfahren) ermöglicht die Berechnung und den Normnachweis der Rissbreite, der Spannungsbegrenzung und der Durchbiegung für Kurz- und Langzeiteinwirkungen.
Beschreibung des Modells
Die Analyse wird an einer Kastenträgerbrücke mit Spannweiten von 40 x 45 x 40 m durchgeführt. Die Höhe des Querträgers beträgt 3 m, seine Breite 8,5 m und seine Dicke 1,2 m. Der Querträger wird indirekt auf 0,8 m breiten Lagern gelagert, die im Modell durch Auflagerplatten dargestellt werden (Abb. 1). Das Modell wird mit Eigengewicht, zusätzlichen ständigen Lasten, dem Sekundäreffekt der Längsvorspannung und der Verkehrslast LM1 belastet.
Abb. 1 - Geometrie des Querträgers
Annahmen der Strebe-und-Zugband-Methode
Im Allgemeinen bietet die Strebe-und-Zugband-Methode ein effizientes Werkzeug für den Nachweis von Betonkonstruktionen, in denen sogenannte Diskontinuitätsbereiche vorhanden sind. Grundsätzlich wird das Strebe-und-Zugband-Modell mithilfe der linearen Analyse und der Richtung der Hauptspannungen aus den aufgebrachten Lasten erstellt. Das Modell besteht aus Streben, Knoten und Zugbändern, die anschließend nachgewiesen werden. Alle Anforderungen wie Konstruktion und Verankerungslänge der Bewehrung müssen erfüllt werden. Da die Methode auf der Theorie der Betonplastizität und dem Untergrenzentheorem basiert, ist es notwendig, die Gleichgewichtsbedingungen zwischen äußeren und inneren Kräften zu erfüllen und die Bemessungsfestigkeit der Materialien nicht zu überschreiten. Die Methode basiert auf der Annahme, dass das Versagen der Bewehrung vor dem Quetschen oder Sprödbruch des Betons eintritt. Die Gefahr dieser Methode besteht darin, dass die Verträglichkeitsbedingungen der Verformungen und eine ausreichende Duktilität der Struktur nicht erfüllt werden und auf andere Weise sichergestellt werden müssen. Aufgrund dieser Einschränkungen sind die Regeln gemäß [1] einzuhalten.
Topologie der Strebe-und-Zugband-Methode
Die Bemessung unseres Modells verwendet das durch Topologieoptimierung [2] berechnete Ergebnis, das auf dem Energieprinzip basiert, um die Materialverteilung mit minimaler potenzieller Energie zu finden. Dieser Ansatz bestimmt direkt die Form und hilft, das Modell der Strebe-und-Zugband-Analogie korrekt zu erstellen. Um eine Topologie zu erstellen, die die Auswirkungen von Querkraft und Torsion auf den Querträger erfasst, wurden zwei Modelle erstellt, die ein komplexes Modell für die Bemessung der Bewehrung und den Nachweis der Knoten bilden. Das erste Modell erfasst den Querkrafteffekt mit der Analogie bestehend aus Streben und Zugbändern (Abb. 2a). Das Modell dient der Bemessung der Bewehrung im Bereich des oberen Teils des Querträgers, wo die größten Zugdehnungen auftreten. Das zweite Modell dient zur Erfassung des Torsionseffekts, bei dem die dreieckige Strebe-und-Zugband-Form entwickelt wurde (Abb. 2b).
Abb. 2 - (a) Modell der Topologieoptimierung für den Querkrafteffekt; (b) Modell der Topologieoptimierung für den Torsionseffekt
Abb. 3 - (a) Modell der linearen Analyse für den Querkrafteffekt; (b) Modell der linearen Analyse für den Torsionseffekt
Ergebnisse der Strebe-und-Zugband-Methode
Modelle im Programm Midas Civil (Abb. 4) wurden mit Extremlasten belastet. Die erforderliche Bewehrung wurde aus den Zugkräften bemessen und die Knotenflächen wurden gemäß [1] nachgewiesen. Der Extremwert der Spannung trat am Knoten (Abb. 2a) unter dem rechten Lager auf, wo die Druckspannung σed = -10,1 MPa erreichte [Tab. 1].
Abb. 4 - (a) Axiale Schnittgrößen am 1D-Modell für den Querkrafteffekt; (b) Axiale Schnittgrößen am 1D-Modell für den Torsionseffekt
Tab. 1 - Maximale Ausnutzung auf Druck gemäß der Strebe-und-Zugband-Methode
Methode CSFM
Die neue Methode CSFM (Kompatibles Spannungsfeldverfahren) beseitigt die Mängel und Vereinfachungen der Strebe-und-Zugband-Analogie. Die Duktilität der Struktur, die Ermittlung der korrekten Geometrie der Strebe-und-Zugband-Analogie sowie alle iterativen Prozesse sind nicht mehr erforderlich, da die Modelle mittels FEA auf Basis von CSFM gelöst werden. Die Annahmen der nichtlinearen Analyse basieren auf fiktiven rotierenden Rissen, bei denen spannungsfreie Risse ohne Schlupf der Bewehrung berücksichtigt werden. Das Gleichgewicht in den Rissen wird zusammen mit der mittleren Spannung in den Bewehrungsstäben berücksichtigt. Beton wird auf Zug vernachlässigt, jedoch wird der Effekt der Zugverfestigung der Bewehrungsstäbe berücksichtigt. Diese Annahmen ermöglichen die Berechnung von Rissen, und der Querträger kann für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit nachgewiesen werden [3].
Belastung des Querträgers
Lasten werden über die Wand des Kastenträgerquerschnitts in den Querträger eingeleitet. Nahezu die gesamte Querkraft wird über die Seitenwand des Kastenträgerquerschnitts übertragen (Abb. 5a). Die Torsion wird durch den Schubfluss in das Volumen des Querträgers übertragen (Abb. 5b).
Abb. 5 – (a) Querkraftlastmodell; (b) Torsionslastmodell
Vergleich der S&T- und CSFM-Methode
Der Vergleich der Ergebnisse ist nur für den Grenzzustand der Tragfähigkeit möglich, bei dem die Extremspannung im Beton (Abb. 6a) mit den Grenzwerten verglichen wurde. Der Vergleich wurde auch für die Bewehrung durchgeführt, bei der die Dehnungen ebenfalls überprüft wurden. Diese weisen aufgrund des Effekts der Zugverfestigung [3] geringere Werte im Vergleich zum bilinearen Diagramm des nackten Stahls auf. Spannungen und Dehnungen wurden mit den Grenzwerten für die Bemessungsstreckgrenze in den Bewehrungsstäben verglichen (Tab. 2).
Abb. 6 – (a) Hauptspannung im Beton; (b) Bewehrung/Darstellung der Bewehrungsstäbe
Tab. 2 – Vergleich der S&T- und CSFM-Spannungen in Beton und Bewehrung
Die Analyseergebnisse zeigten, dass die Spannungen der bemessenen Bewehrungsstäbe geringer sind als die angesetzte Bemessungsstreckgrenze in der Strebe-und-Zugband-Methode. Für Bewehrungsstäbe im Bereich des oberen Teils des Querträgers betrugen die Spannungen etwa 60 % der Bemessungsstreckgrenze. Größere Unterschiede ergaben sich für die diagonalen Bewehrungsstäbe, die aus dem Torsionsmodell bemessen wurden (Abb. 4b). Die Ergebnisse der nichtlinearen Analyse ergaben eine Ausnutzung von 30 % der Bemessungsstreckgrenze. Extremspannungen traten in den Betonstahlmatten (Abb. 7a) aufgrund von Querzugkräften in den Streben (Abb. 4a) auf. Der maßgebende Nachweis der Bewehrung war der Verbundspannungsnachweis (Verankerungslänge) in der Nähe des Lagers (Abb. 7b).
Abb. 7 – (a) Maximale Spannung in der Bewehrung; (b) Maximale Verbundspannung in der Bewehrung
Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
Da die Strebe-und-Zugband-Methode als Plastizitätsmethode keine Rissbreiten, Spannungsbegrenzungen und Durchbiegungen berechnen kann, ist ein Vergleich zwischen CSFM und S&T nicht möglich. Die Ergebnisse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit stellen das Verhalten des Querträgers im regulären Verkehrsbetrieb dar. Rissbreiten sind während der Lebensdauer von Bauwerken und insbesondere in Diskontinuitätsbereichen von großer Bedeutung. Sie beeinflussen die Lebensdauer der gesamten Struktur maßgeblich, vor allem aufgrund der Korrosion der Bewehrung. Für das Modell des Querträgers wurden zwei Kombinationen für den Rissbreitennachweis erstellt. Die erste quasi-ständige Kombination berücksichtigt den Verkehrseffekt (LM1) nicht, im Gegensatz zur zweiten – der häufigen Kombination, die diesen Effekt berücksichtigt. Der Eurocode schreibt vor, dass der Normnachweis der Rissbreite für bewehrte Bauteile für die quasi-ständige Kombination durchzuführen ist (Abb. 8a). Die zweite Kombination wurde erstellt, um das Verhalten des Querträgers unter Verkehrseinwirkung zu untersuchen (Abb. 8b).
Abb. 8 – (a) Risse für die quasi-ständige Kombination; (b) Risse für die häufige Kombination
Tab. 3 – Vergleich der Rissbreite für die quasi-ständige und häufige Kombination
Die maximale Rissbreite befindet sich im Bereich der Querzugdehnungen in den Streben, die von den Lagern ausgehen. Es ist erkennbar, dass die Risse aufgrund des Torsionsschubflusses aus dem Verkehr stärker geneigt sind als allein durch den Schubfluss in der Seitenwand.
Schlussfolgerung
Die Strebe-und-Zugband-Methode ist ein wirklich effizientes Werkzeug in den Händen von Tragwerksplanern und bietet im Vergleich zur nichtlinearen Berechnung in der Anwendung IDEA StatiCa Detail mit der CSFM-Methode eine sichere Bemessung des Querträgers einer Kastenträgerbrücke für den Grenzzustand der Tragfähigkeit. Die nichtlineare Analyse zeigte, dass die Zugkraft in den Bewehrungsstäben an der Oberseite des Querträgers bei 60 % der Kapazität lag (Bemessungsstreckgrenze, die in der Strebe-und-Zugband-Methode verwendet wird) und die diagonale Bewehrung nur bei 30 %. Die geringere Ausnutzung ist selbstverständlich auf die Betonstahlmatten zurückzuführen, die zur komplexen Tragfähigkeit der Bewehrung beitragen. Die Betonstahlmatte ist aus konstruktiven Gründen erforderlich und wurde in der Strebe-und-Zugband-Methode nicht berücksichtigt. Es ist offensichtlich, dass die S&T-Methode eine sichere Bemessung liefert, wenn die Bewehrungsanforderungen wie die konstruktive Durchbildung gemäß [1] erfüllt werden. Aufgrund der richtigen Topologie der Fachwerkanalogie, die auf der Topologieoptimierung basierte [2], war die Lage der maximalen Spannung im Beton bei beiden Methoden identisch. Die Unterschiede zwischen den Betonachweisen gemäß S&T und CSFM betrugen etwa 13 %, wobei die höhere Ausnutzung aus der nichtlinearen Lösung resultierte. Aus Sicht des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit wurden die Rissbreiten mit der CSFM-Methode verglichen, wobei für quasi-ständige Lasten der Nachweis mit 80 % erfüllt wurde. Die häufige Kombination erfüllte den Nachweis aufgrund der Verkehrslasteinwirkung mit 163 % unter Verwendung des Grenzwerts von 0,2 mm nicht. Insgesamt lässt sich sagen, dass die Bemessung mittels S&T für einen Querträger einer Kastenträgerbrücke die Bedingungen des Grenzzustands der Tragfähigkeit und in diesem Fall auch des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit für die quasi-ständige Kombination erfüllt. Es ist wichtig zu erkennen, dass der Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit durch S&T nicht abgedeckt werden kann und mit einer anderen Methode gelöst werden muss, in unserem Fall durch CSFM (Kompatibles Spannungsfeldverfahren).
Literaturverzeichnis
[1] EN 1992-1-1 Eurocode, Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken – Teil 1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau, Europäisches Komitee für Normung, Dezember 2004–2016
[2] Mata-Falcón, J., Tran, D., T., Kaufmann, W., NAVRÁTIL, J. Computer-aided stress field analysis of discontinuity concrete regions, In: Proceedings of EURO-C 2018 Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, Austria, 2018, in print
[3] KABELÁČ J., ČÍHAL M., KONEČNÝ M., JUŘÍČEK L., VALÍČEK J. Serviceability limit state in discontinuity regions, In Sborník ke konferenci 25. Betonářské dny 2018, Czech Republic,ČBS