CSFM magyarázata

A gyakorlatban a Strut-and-Tie (S&T) és a feszültségmező-módszerek általánosan alkalmazottak a vasalt és feszített betonszerkezetek megszakítási régióinak tervezéséhez. A Compatible Stress Field Method (CSFM) ezen klasszikus elméletek kiterjesztésével fejlesztették ki, amely magas fokú automatizálást tesz lehetővé, és összhangban van a tervezési szabvánnyal. Egyszerűsége ellenére a módszer nagyon realisztikus leírást ad a betonszerkezet viselkedéséről mind a teherbírási határállapotban (ULS), mind a használhatósági határállapotban (SLS). A CSFM az IDEA StatiCa Detail-ban van implementálva. 

1. ábra  a) Nyílásokkal ellátott fal b) Nyírófal c) Kivágott végű és nyílásokkal ellátott gerenda d) Hídpillér e) Híd rekeszfal 

A betonszerkezetek keresztmetszetének tervezésére vonatkozó szabványos eljárások alkalmazhatók azokon a részeken, ahol a síkbeli alakváltozás-eloszlás Bernoulli–Navier-hipotézise érvényes (B-régió). Azokat a helyeket, ahol ez a hipotézis nem alkalmazható, megszakítási régióknak (D-régióknak) nevezzük. Ezek közé tartoznak a szerkezet azon részei, ahol koncentrált terhek lépnek fel, vagy ahol a keresztmetszet hirtelen megváltozik, mint például a kivágott végek (1c. ábra), mélygerendák, nyílásokkal ellátott falak (1a., 1b. ábra), illetve konzolok és cölöpfejek. A hídépítés területén ilyenek például a pillérfejek (1d. ábra), a rekeszfalak (1e. ábra), az eltérítők stb.

1. Strut and Tie módszer

Az S&T modell meghatározásának alapfeltevése, hogy a beton húzószilárdsága elhanyagolt. Egy egyszerű rácsmodell nyomásban és húzásban dolgozó elemekből áll, amelyek az ULS viselkedést reprezentálják. Általánosságban ez nem összetett feladat, és egy tapasztalt mérnök számára az alapvető S&T modell (2a. ábra) meghatározása nem jelent problémát. Azonban még ennél az alapfeladatnál is a modell szabványnak megfelelő helyes értékelése fáradságos, manuális és iteratív folyamat lehet.

2. ábra a) S&T modell 1. lehetőség b) S&T modell 2. lehetőség c) S&T modell lehetőség 

A húzott elemeket, a csomóponti területeket és a nyomott rudakban ébredő keresztirányú húzó alakváltozásokat értékelni kell. Ha a modell nem felel meg az ellenőrzésen, az S&T geometriáját módosítani kell, vagy más S&T modellt kell választani (2b., 2c. ábra). Ez gyakran oda vezet, hogy a statikus mérnök az S&T modell geometriáját csak egyszer választja meg, és csak a vasalást értékeli. Ez lényeges hibához vezethet. A modell megválasztása mindig tapasztalat kérdése. Összetettebb szerkezeti részletek esetén egy olyan S&T kiválasztása, amely kellőképpen illeszkedik a szerkezet tényleges viselkedéséhez, nem biztos, hogy olyan egyszerű, mint a fenti esetben. Az S&T módszer ráadásul kizárólag a teherbírási határállapotok tervezésére alkalmas. Nem teszi lehetővé a használhatósági határállapotok (alakváltozás, repedés) tervezését, amelyek kritikus szempontok, különösen a kiemelkedő fontosságú szerkezeteknél, mivel közvetlenül befolyásolják a szerkezet élettartamát.

2. Compatible Stress Field Method - CSFM

A CSFM egy modern nemlineáris módszer a D-régiók és olyan elemek analíziséhez, amelyek viselkedése síkbeli feszültségállapotra egyszerűsíthető, azaz 2D modellel kezelhető.  Ugyanakkor még mindig a szabványok alapvető és biztonságos feltevésén alapul: a beton nem vesz fel húzást, és minden húzóerőt a vasalásnak kell átvennie. A Compatible Stress Field Method (CSFM) az S&T és a feszültségmező-módszerek továbbfejlesztése, amely kiküszöböli a fent említett fő hátrányaikat: a modellválasztás bizonytalanságait, az automatizálás nehézségét és a használhatósági határállapotok értékelésének képtelenségét.

3. ábra a) Síkbeli alakváltozás b) Főfeszültség c) CSFM

A CSFM elvét egy vasalt betonszerkezet alapvető síkbeli elemének síkbeli feszültségállapotán lehet szemléltetni. A 3a. ábra az összes rugalmassági és szilárdságtani tankönyvből ismert alapvető 2D elemet mutatja síkbeli feszültségállapotban. Ez a szerkezet egy pontjában ébredő feszültség, amelyet például a végeselem-módszer (FEM) segítségével végzett lineáris rugalmas analízissel kapunk. Az elemet vízszintes normálfeszültség σ_x, függőleges normálfeszültség σ_z és nyírófeszültség τ_xz terheli. Ezekből a feszültségekből meghatározhatók az ún. főfeszültségek és a θ szöggel meghatározott irányuk (3b. ábra). Az elemet ekkor az σ₁ főhúzófeszültség és az σ₂ főnyomófeszültség terheli.

Hogyan néz ki ugyanennek az elemnek a CSFM-mel elemzett alakváltozása? Az alakváltozást a 3c. ábra mutatja. A nyomott beton a főnyomófeszültség σ₂ irányában jelenik meg, és σ_c2 feszültségű feszültségmező keletkezik. Amint fentebb említettük, az alapfeltevés az, hogy a beton nem vesz fel húzást. Ezért a keresztirányú főhúzófeszültség σ₁-et nem a beton veszi fel, és az iránnyal merőlegesen repedés keletkezik. Az σ_c1r feszültségnek tehát nullának kell lennie. Annak érdekében, hogy 2D elemünk ne menjen tönkre, minden húzófeszültséget a vasalásnak kell átvennie (a 3c. ábrán kékkel jelölve), amelynek a számítási modell részét kell képeznie. 

Ha ezt a feszültséganalízist CSFM-mel folyamatosan, a teljes megoldandó 2D régióra elvégzik, az eredmény a betonban egy folytonos nyomási mező, valamint a vasalásban húzó- és nyomófeszültségek. A CSFM feszültségmező egyszerűsített grafikus ábrázolása a 4. ábrán látható. A beton és a vasalás kihasználtságán kívül az ábra a számított σ_c2 feszültségek változó irányait is jelzi a régiók mentén.

4. ábra Az IDEA StatiCa Detail átfogó eredményei 

Egy részlet vagy szerkezet CSFM-alapú analízise a végeselem-módszeren alapul. A betont 2D falelem elemekkel, a vasalást 1D szerkezeti elem elemekkel modellezik (7. ábra). Az analízis nem egy lépésben történik, mivel nemlineáris feladatról van szó. A terheket a számítás során lépésekben alkalmazzák, és a nemlineáris egyenletrendszer megoldását a Newton–Raphson módszerrel keresik. 

A fiktív szórt repedések (ε₁ az átlagérték) a főfeszültségek irányára merőlegesen „keletkeznek", amely irány a nemlineáris számítás során változhat, ahogy az elem minden egyes teherlépcső hatására „fokozatosan reped". Összefoglalva: fiktív feszültségmentes forgó repedést vesznek figyelembe. 

A CSFM-mel végzett FEM-megoldás eredménye egy kompatibilis feszültségmező (azaz a betonban a modellben nem különálló, egymástól függetlenül ható nyomott rudak keletkeznek) és az alakváltozási állapot, amelyek folytonosak a megoldandó teljes 2D tartományban. Ez jelentős előny a klasszikus S&T megközelítésekkel szemben, és lehetővé teszi a számítási modell automatizálását és finomítását, ahogyan azt a következő bekezdések ismertetik.

5. ábra A beton nyomási lágyulásának elve

A CSFM egyszerű megfogalmazása lehetővé teszi a szabványnak megfelelő, nyomásra vonatkozó standard egytengelyű parabolikus-téglalap alakú feszültség-alakváltozás diagram alkalmazását a beton esetében. Közismert, hogy a beton nyomószilárdsága csökken, ha a betont keresztirányú repedések károsítják (5. ábra). Ez az ún. nyomási lágyulás hatás a módszerben az effektív nyomószilárdság automatikus figyelembevételével van beépítve. 

A keresztirányú húzó alakváltozások ε₁ szintje alapján meghatározásra kerül a k_c redukciós tényező, és a beton feszültség-alakváltozás diagramja módosul (5. ábra). Mivel a szerkezet teljes területén ismert az alakváltozási mező, a beton effektív nyomószilárdsága automatikusan kiszámítható az egyes szelvényekben a keresztirányú húzó alakváltozások ε₁ helyi szintjétől függően.

6. ábra A húzási merevítő hatás elve

Továbbá a CSFM figyelembe veszi a repedések közötti húzott beton vasalásra gyakorolt merevítő hatását, az ún. húzási merevítő hatást. A számítási modellben az átlagos vasalási alakváltozás ε_m kerül alkalmazásra. Ezt követően a vasalás feszültség-alakváltozás diagramja módosul (6. ábra). Ez lehetővé teszi a repedésekkel károsított vasalt betonszerkezet merevségének realisztikus ábrázolását. Ugyanakkor továbbra is igaz, hogy a beton húzószilárdsága nem járul hozzá a teherbíráshoz. A tervezés szempontjából a repedésekben ébredő maximális vasalási feszültség σ_sr a mérvadó (6. ábra).

A CSFM a tervezési szabványokban meghatározott általános egytengelyű anyagmodelleket (feszültség-alakváltozás diagramokat) alkalmaz. Az ULS értékelésére a szabványos megközelítést, a részleges biztonsági tényezők módszerét alkalmazzák. A módszer egyszerűsége alkalmassá teszi mérnöki gyakorlati alkalmazásra, és összhangban van a tervezési szabványokkal. 

Annak ellenére, hogy nemlineáris FEA analízisről van szó, a statikus mérnöknek nem kell további anyagtulajdonságokat és betonjellemzőket megadnia a számításhoz, amelyek a tervezési fázisban esetleg nem is állnak rendelkezésre, és amelyek szükségesek például a törésmechanikán alapuló FEA nemlineáris analízisekhez. Amint már jelezték, a CSFM analízis egyik fő előnye a teherbírási határállapotok mellett a használhatósági határállapotok értékelésének lehetősége: alakváltozások, feszültségkorlátozások és különösen a repedésszélesség.

7. ábra A végeselem-modell ábrázolásának példája az IDEA StatiCa Detail-ban

(7. ábra) A CSFM FEM-modellje többféle végeselem-típusból áll:

• 1D elem axiális merevséggel a vasaláshoz
• 2D izoparametrikus elem a betonhoz
• Végső rugók a vasalás lehorgonyzási modelljéhez végkezeléssel
• Speciális 2D elem a vasalás és a beton közötti tapadás modellezéséhez
• Merev és interpoláló kényszerfeltételek (Multi-Point Constraints, MPC) a tapadási elemek és a beton között

Ha a tervezett vasalás megakadályozza az elem rideg tönkremenetelét, a CSFM a megfogalmazás egyszerűsége ellenére nagyon jó előrejelzést ad a szerkezet viselkedéséről és teherbírásáról. Más szóval a módszer nem alkalmas például keresztirányú nyírási vasalás nélküli gerendák tervezésére, amelyek potenciálisan rideg viselkedést mutatnak. A módszer verifikációi, beleértve a kísérleteket is, az [1] hivatkozásban találhatók. A módszer részletesebb leírása meghaladja a cikk kereteit, és szintén megtalálható az Elméleti háttér dokumentumban.

Nyilvánvaló, hogy a CSFM elvei általánosak, ezért alkalmazása nem korlátozódik a D-régiókra, hanem teljes szerkezeti elemek modellezésére is használható, például előregyártott tartók esetén, ahol az elem síkbeli 2D modellre egyszerűsíthető. A módszert és szoftverben való implementációját (IDEA StatiCa Detail) kiterjesztették, lehetővé téve az előfeszített és utófeszített vasalás megadását is.

3. Pillérfej tervezési példa

A CSFM gyakorlati alkalmazását a 8. ábrán látható hídpillér-fej tervezése szemlélteti. Ez egy háromnyílású folytatólagos híd második pillére, amelynek nyílásai 30,0 m, 42,0 m és 30,0 m. A vasalt betonpillér feje C40/50 betonból készül, vastagsága (a híd hosszirányában) 2,0 m.

8. ábra Pillérfej: a) Összefoglaló tervezés; b) Nyomófeszültség a betonban ULS-ben; c) Húzófeszültség a vasalásban ULS-ben; d) Repedésszélesség SLS-ben

A pillérfej tetején először egy B500 vasalású keresztgerendát terveztek 20xϕ28+20xϕ25 – a felső négy réteg – elrendezéssel. A 8a. ábra a teherbírási határállapotban készült összefoglaló tervezést mutatja, amelyen a betonban ébredő nyomófeszültségek, a nyomófeszültségek irányai és a vasalásban ébredő feszültségek láthatók. A betonban és a vasalásban ébredő részletesebb feszültségeloszlást a 8b. és 8c. ábrák dokumentálják. A keresztirányú vasalás éppen a folyáshatár alatt van, a betonban ébredő feszültségek (és a relatív alakváltozások) is kielégítők ULS-ben. A repedésszélesség-számítás eredménye (8d. ábra) azonban azt mutatja, hogy a tervezés SLS-ben nem teljesül: w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. A határrepedésszélesség teljesítéséhez a keresztgerenda vasalását 20xϕ32+20xϕ28-ra kell növelni. w_lim = 0,2 mm esetén (pl. sópermet hatásának kitett út melletti pillér, XF2 környezeti hatásosztály) a keresztgerenda vasalását 24xϕ32+24xϕ28-ra kellene növelni.

Összefoglalás

A CSFM alkalmas mérnöki gyakorlati alkalmazásra, mivel egyszerű, tervezési szabványban meghatározott anyagmodelleket alkalmaz. A teherbírási határállapotok mellett lehetővé teszi a használhatósági határállapotok tervezését is, amelyek értékelése korábban nehezen volt elképzelhető S&T modellek alkalmazásával. A módszer IDEA StatiCa Detail-ban való implementálásával lehetővé válik a szerkezet viselkedésének realisztikus megragadása, valamint a megszakítási régiók és nagyobb szerkezeti egységek hatékony és biztonságos tervezése és értékelése.

A CSFM-et főként Walter Kaufmann professzor, az ETH Zürich Szerkezettervezési Tanszékének vezetője és munkatársai fejlesztették ki. Ő és csapata verifikálták a módszert és annak szoftverben való implementációját is.

Irodalom

[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.:  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Szerző

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.