CSFM expliqué

En pratique, les méthodes Bielle-et-tirant (B&T) et Champs de contraintes sont couramment utilisées pour dimensionner les régions de discontinuité dans les structures en béton armé et précontraint. La Méthode du Champ de Contraintes Compatible (CSFM) a été développée en étendant ces théories classiques, permettant un haut degré d'automatisation et étant cohérente avec la norme de calcul. Malgré sa simplicité, la méthode fournit une description très réaliste du comportement d'une structure en béton aussi bien à l'état limite ultime (ELU) qu'à l'état limite de service (ELS). Le CSFM est implémenté dans IDEA StatiCa Detail. 

Fig. 1  a) Voile avec ouvertures b) Voile de cisaillement c) Poutre avec extrémités réduites et ouvertures d) Pile de pont e) Diaphragme de pont 

Les procédures standard pour le dimensionnement des sections transversales des structures en béton sont applicables dans les parties où l'hypothèse de Bernoulli-Navier de distribution plane des déformations s'applique (région B). Les zones où cette hypothèse ne s'applique pas sont appelées régions de discontinuité (régions D). Celles-ci comprennent les parties de structures où apparaissent des charges concentrées ou où il y a un changement brusque de section transversale, telles que les extrémités réduites (Fig. 1c), les poutres voiles, les voiles avec ouvertures (Figs. 1a, 1b), ou les corbeaux et les têtes de pieux. Dans le domaine du génie des ponts, il s'agit par exemple des têtes de piles (Fig. 1d), des diaphragmes (Fig. 1e), des déviateurs, etc.

1. Méthode Bielle et tirant

L'hypothèse de base lors de la définition d'un modèle B&T est que la résistance à la traction du béton est négligée. Un modèle de treillis simple est composé d'éléments travaillant en compression et en traction, représentant le comportement à l'ELU. En général, ce n'est pas un problème complexe, et la définition d'un modèle B&T de base (Fig. 2a) ne devrait pas poser de difficulté à un ingénieur expérimenté. Cependant, même pour cette tâche de base, l'évaluation correcte du modèle conformément à la norme de calcul peut être un processus fastidieux, manuel et itératif.

Fig. 2 a) Option 1 du modèle B&T b) Option 2 du modèle B&T c) Option du modèle B&T 

Les tirants, les zones nodales et les déformations de traction transversales dans les bielles doivent être vérifiés. Si le modèle ne satisfait pas la vérification normative, la géométrie du modèle B&T doit être ajustée, ou un modèle B&T différent doit être sélectionné (Fig. 2b, 2c). Cela conduit souvent l'ingénieur structure à ne choisir la géométrie du modèle B&T qu'une seule fois et à ne vérifier que le ferraillage. Cela peut entraîner une erreur substantielle. Le choix du modèle est toujours une question d'expérience. Pour des détails structurels plus complexes, choisir un modèle B&T qui correspondra suffisamment au comportement réel de la structure peut ne pas être aussi simple que dans le cas ci-dessus. De plus, la méthode B&T est une méthode uniquement pour le dimensionnement aux états limites ultimes. Elle ne permet pas le dimensionnement des états limites de service (déformation, fissuration), qui sont des critères critiques, notamment dans les structures d'importance significative, car ils impactent directement la durée de vie en service de la structure.

2. Méthode du Champ de Contraintes Compatible - CSFM

Le CSFM est une méthode non linéaire moderne pour l'analyse des régions D et des éléments dont le comportement peut être simplifié à un état de contraintes planes, c'est-à-dire un modèle 2D.  Cependant, il est toujours basé sur une hypothèse de base et sécuritaire des normes : le béton ne travaille pas en traction, et toute la traction doit être reprise par le ferraillage. La Méthode du Champ de Contraintes Compatible (CSFM) est une évolution des méthodes B&T et des champs de contraintes, supprimant leurs principaux inconvénients mentionnés ci-dessus : incertitudes dans la sélection du modèle, difficulté d'automatisation et incapacité à vérifier les états limites de service.

Fig. 3 a) Déformation plane b) Contrainte principale c) CSFM

Le principe du CSFM peut être expliqué à partir de l'état de contraintes planes de l'élément plan de base d'une structure en béton armé. La Fig. 3a montre l'élément 2D de base en état de contraintes planes tel que nous le connaissons dans tous les manuels d'élasticité et de résistance des matériaux. Il s'agit de la contrainte en un point de la structure, obtenue, par exemple, par une analyse élastique linéaire utilisant la Méthode des Éléments Finis (MEF). L'élément est soumis à une contrainte normale horizontale σ_x, une contrainte normale verticale σ_z, et une contrainte de cisaillement τ_xz. À partir de ces contraintes, les contraintes principales et leur direction définie par l'angle θ peuvent être déterminées (Fig. 3b). L'élément est alors soumis à la contrainte principale de traction σ₁ et à la contrainte principale de compression σ₂.

À quoi ressemblera la déformation du même élément analysé par CSFM ? La déformation est représentée à la Figure 3c. Le béton comprimé apparaît dans la direction de la contrainte principale de compression σ₂. Et un champ de contraintes avec la contrainte σ_c2 est généré. Comme mentionné ci-dessus, l'hypothèse de base est que le béton ne travaille pas en traction. Par conséquent, la contrainte principale de traction transversale σ₁ ne sera pas reprise par le béton, et une fissure se formera perpendiculairement à cette direction. La contrainte σ_c1r doit donc être nulle. Pour éviter la rupture de notre élément 2D, toute contrainte de traction doit être reprise par le ferraillage (indiqué en bleu sur la Fig. 3c), qui doit faire partie du modèle de calcul. 

Si cette analyse des contraintes est effectuée par CSFM de manière continue sur l'ensemble de la région 2D à résoudre, le résultat est un champ de compression continu dans le béton ainsi que des contraintes de traction et de compression dans le ferraillage. Une représentation graphique simplifiée du champ de contraintes CSFM est présentée à la Figure 4. En plus des taux de travail du béton et du ferraillage, la figure indique également les directions variables des contraintes calculées σ_c2 le long des régions.

Fig. 4 Résultats globaux d'IDEA StatiCa Detail 

L'analyse d'un détail ou d'une structure par CSFM est basée sur la Méthode des Éléments Finis. Le béton est modélisé à l'aide d'éléments de voile 2D, et le ferraillage à l'aide d'éléments d'élément 1D (Fig. 7). L'analyse n'est pas effectuée en une seule étape car il s'agit d'un problème non linéaire. Les charges sont appliquées par incréments lors du calcul, et la solution du système d'équations non linéaires est trouvée en utilisant la méthode de Newton-Raphson. 

Les fissures diffuses fictives (ε₁ est la valeur moyenne) se « forment » perpendiculairement à la direction des contraintes principales, qui peuvent changer au cours du calcul non linéaire à mesure que l'élément « se fissure progressivement » à chaque incrément de charge. En résumé, une fissure fictive rotative sans contrainte est considérée. 

Le résultat de la solution par MEF utilisant le CSFM est un champ de contraintes compatible (c'est-à-dire que le béton ne se fragmente pas en bielles agissant indépendamment dans le modèle) et l'état de déformation, qui sont continus dans tout le domaine 2D résolu. C'est un avantage majeur par rapport aux approches B&T classiques et permet d'automatiser et d'affiner le modèle de calcul, comme décrit dans les paragraphes suivants.

Fig. 5 Principe de l'adoucissement en compression du béton

La formulation simple du CSFM permet d'utiliser le diagramme contrainte-déformation parabolique-rectangulaire uniaxial standard pour le béton en compression conformément à la norme de calcul. Comme il est bien connu, la résistance à la compression du béton diminue lorsque le béton est endommagé par des fissures transversales (Fig. 5). Cet effet dit d'adoucissement en compression est inclus dans la méthode en prenant automatiquement en compte la résistance à la compression effective du béton. 

Sur la base du niveau des déformations de traction transversales ε₁, le facteur de réduction k_c est déterminé et le diagramme contrainte-déformation du béton est ajusté (Fig. 5). Comme le champ de déformations dans toute la structure est connu, la résistance à la compression effective du béton peut être calculée automatiquement dans les sections individuelles en fonction du niveau local des déformations de traction transversales ε₁.

Fig. 6 Principe du raidissement en traction

De plus, le CSFM prend en compte l'effet de raidissement du béton tendu entre les fissures sur le ferraillage, appelé raidissement en traction. Dans le modèle de calcul, le taux de ferraillage moyen ε_m est utilisé. Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage est alors modifié (Fig. 6). Cela permet une représentation réaliste de la rigidité d'une structure en béton armé endommagée par des fissures. Il est cependant toujours vrai que la résistance à la traction du béton ne contribue pas à la capacité ultime. La contrainte maximale dans le ferraillage σ_sr dans les fissures est déterminante pour le dimensionnement (Fig. 6).

Le CSFM utilise des modèles de matériaux uniaxiaux courants (diagrammes contrainte-déformation) définis dans les normes de calcul. L'approche standard, la méthode des coefficients partiels de sécurité, est ensuite utilisée pour vérifier l'ELU. La simplicité de la méthode la rend adaptée à la pratique de l'ingénierie et cohérente avec les normes de calcul. 

Même s'il s'agit d'une analyse par éléments finis non linéaire, l'ingénieur structure n'a pas à saisir dans le calcul des propriétés de matériaux et des caractéristiques du béton supplémentaires qui peuvent ne pas être disponibles au stade du dimensionnement et qui sont nécessaires, par exemple, pour les analyses non linéaires par éléments finis basées sur la mécanique de la rupture. Comme déjà indiqué, un avantage majeur de l'analyse CSFM, en plus des états limites ultimes, est la capacité à vérifier les états limites de service : flèches, limitations de contraintes, et en particulier, ouverture des fissures.

Fig. 7 Exemple de représentation du modèle par éléments finis dans IDEA StatiCa Detail

(Fig. 7) Le modèle MEF dans le CSFM est composé de plusieurs types d'éléments finis :

• Élément 1D à rigidité axiale pour le ferraillage
• Élément isoparamétrique 2D pour le béton
• Ressorts d'extrémité pour le modèle d'ancrage du ferraillage avec traitement d'extrémité
• Élément 2D spécial pour modéliser la cohésion entre le ferraillage et le béton
• Contraintes rigides et d'interpolation (contraintes multi-points, MPC) entre les éléments de cohésion et le béton

Si le ferraillage dimensionné prévient la rupture fragile de l'élément, il a été démontré que le CSFM donne de très bonnes prédictions de la réponse et de la capacité ultime de la structure malgré la simplicité de la formulation. En d'autres termes, la méthode n'est pas adaptée, par exemple, au dimensionnement de poutres sans ferraillage transversal de cisaillement présentant un comportement potentiellement fragile. Les vérifications de la méthode, y compris les expériences, sont données dans [1]. Une description plus détaillée de la méthode dépasse le cadre de cet article et peut également être trouvée dans les Bases théoriques.

Il est clair que les principes du CSFM sont généraux et donc son application n'est pas limitée aux régions D, mais peut être utilisée pour modéliser des éléments entiers, par exemple des poutres préfabriquées, et là où l'élément peut être simplifié à un modèle plan 2D. La méthode et son implémentation dans le logiciel (IDEA StatiCa Detail) ont également été étendues, avec la possibilité de spécifier un ferraillage précontraint et post-tendu.

3. Exemple de dimensionnement d'une tête de pile

L'application pratique du CSFM est illustrée dans le dimensionnement de la tête de pile de pont à la Figure 8. Il s'agit de la deuxième pile d'un pont continu à trois travées de 30,0 m, 42,0 m et 30,0 m. La tête de la pile en béton armé est dimensionnée en béton C40/50 et son épaisseur (dans la direction longitudinale du pont) est de 2,0 m.

Fig. 8 Tête de pile : a) Dimensionnement récapitulatif ; b) Contrainte de compression dans le béton à l'ELU ; c) Contrainte de traction dans le ferraillage à l'ELU ; d) Ouverture des fissures à l'ELS

Au sommet de la tête de pile, une poutre transversale en ferraillage B500 20xϕ28+20xϕ25 - les quatre couches supérieures - a d'abord été dimensionnée. La Figure 8a montre un dimensionnement récapitulatif à l'état limite ultime, indiquant les contraintes de compression dans le béton, les directions des contraintes de compression et les contraintes dans le ferraillage. La distribution détaillée des contraintes dans le béton et le ferraillage est ensuite documentée aux Figures 8b et 8c. Le ferraillage transversal est juste en dessous de la limite d'élasticité et les contraintes dans le béton (ainsi que les déformations relatives) sont satisfaisantes à l'ELU. Cependant, le résultat du calcul de l'ouverture des fissures (Fig. 8d) montre que le dimensionnement ne satisfait pas à l'ELS : w_max = 0,36 mm > w_lim = 0,3 mm. Pour respecter l'ouverture limite des fissures, il est nécessaire d'augmenter le ferraillage de la poutre transversale à 20xϕ32+20xϕ28. Dans le cas de w_lim = 0,2 mm (par exemple, pile proche d'une route générant des embruns salins, niveau d'exposition environnemental XF2), le ferraillage de la poutre transversale devrait être augmenté jusqu'à 24xϕ32+24xϕ28.

Conclusion

Le CSFM convient à la pratique de l'ingénierie car il utilise des modèles de matériaux simples définis dans une norme de calcul. En plus des états limites ultimes, il permet également le dimensionnement des états limites de service, pour lesquels la vérification était auparavant difficile à envisager avec les modèles B&T. En implémentant la méthode dans IDEA StatiCa Detail, il est alors possible de capturer de manière réaliste la réponse de la structure et de dimensionner et vérifier efficacement et en toute sécurité les régions de discontinuité et les assemblages plus importants.

Le CSFM a été développé principalement grâce aux travaux du Professeur Walter Kaufmann, responsable de la Chaire d'ingénierie structurelle de l'École Polytechnique Fédérale de Zurich (ETH Zurich). Lui et son équipe ont également vérifié la méthode et son implémentation logicielle.

Bibliographie

[1] KAUFMANN, Walter, et al. : Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,

[2] KAUFMANN, W., MARTI, P. : Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12) : 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)

[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L. :  Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In : Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404

Auteur

Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.

IDEA StatiCa s.r.o.