En pratique, les méthodes Bielle-et-tirant (S&T) et des Champs de Contraintes sont couramment utilisées pour dimensionner les régions de discontinuité des structures en béton armé et en béton précontraint. La Méthode du Champ de Contraintes Compatible (CSFM) a été développée en étendant ces théories classiques. Elle permet un haut degré d'automatisation et est conforme à la norme de calcul. Malgré sa simplicité, la méthode fournit une description très réaliste de la réponse d'une structure en béton, à la fois à l'état limite ultime (ELU) et à l'état limite de service (ELS). La CSFM est implémentée dans IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Voile avec ouvertures b) Voile de contreventement c) Poutre avec extrémités réduites et ouvertures d) Pile de pont e) Entretoise de pont
Les procédures usuelles de dimensionnement des sections en béton s'appliquent dans les zones où l'hypothèse de Bernoulli-Navier de distribution plane des déformations est valide (région B). Les zones où cette hypothèse n'est pas valide sont appelées régions de discontinuité (régions D). Elles comprennent les parties de structures où apparaissent des charges concentrées ou un changement brusque de section, telles que les extrémités réduites (Fig. 1c), les poutres voiles, les voiles avec ouvertures (Fig. 1a, 1b), ou encore les corbeaux et les semelles sur pieux. Dans le domaine des ponts, il s'agit par exemple des chevêtres de piles (Fig. 1d), des entretoises (Fig. 1e), des déviateurs, etc.
1. Méthode Bielle et tirant
L'hypothèse de base pour définir un modèle S&T est que la résistance en traction du béton est négligée. Un modèle de treillis simple se compose d'éléments travaillant en compression et en traction, représentant le comportement à l'ELU. En général, ce n'est pas un problème complexe, et définir un modèle S&T de base (Fig. 2a) ne devrait pas poser de difficulté à un ingénieur expérimenté. Cependant, même pour cette tâche de base, la vérification correcte du modèle conformément à la norme de calcul peut être un processus fastidieux, manuel et itératif.
Fig. 2 a) Modèle S&T, option 1 b) Modèle S&T, option 2 c) Modèle S&T, option
Il faut vérifier les tirants, les zones nodales et la déformation transversale en traction dans les bielles. Si le modèle ne satisfait pas à la vérification, la géométrie du S&T doit être ajustée, ou un autre modèle S&T doit être choisi (Fig. 2b, 2c). Cela conduit souvent l'ingénieur structure à ne choisir qu'une seule fois la géométrie du modèle S&T et à ne vérifier que les armatures. Cela peut entraîner une erreur importante. Le choix du modèle relève toujours de l'expérience. Pour des détails structurels plus complexes, choisir un S&T qui corresponde suffisamment au comportement réel de la structure peut être moins évident que dans le cas ci-dessus. De plus, le S&T est une méthode de dimensionnement aux états limites ultimes uniquement. Elle ne permet pas le dimensionnement aux états limites de service (déformation, fissuration), qui sont des critères déterminants, en particulier pour les structures d'importance majeure, car ils influencent directement la durée de vie de la structure.
2. Méthode du Champ de Contraintes Compatible - CSFM
La CSFM est une méthode non linéaire moderne pour l'analyse des régions D et des éléments dont le comportement peut être simplifié en état plan de contraintes, c'est-à-dire un modèle 2D. Elle repose néanmoins sur une hypothèse fondamentale et sécuritaire des normes : le béton ne travaille pas en traction, et toute la traction doit être reprise par le ferraillage. La Méthode du Champ de Contraintes Compatible (CSFM) est une évolution des méthodes S&T et des champs de contraintes. Elle supprime leurs principaux inconvénients mentionnés ci-dessus : incertitudes dans le choix du modèle, difficulté d'automatisation et impossibilité de vérifier les états limites de service.
Fig. 3 a) Déformation plane b) Contrainte principale c) CSFM
Le principe de la CSFM peut être expliqué à partir de l'état plan de contraintes d'un élément plan de base d'une structure en béton armé. La Fig. 3a montre l'élément 2D de base en état plan de contraintes, tel qu'on le connaît dans tous les manuels d'élasticité et de résistance des matériaux. Il s'agit de la contrainte en un point de la structure, obtenue par exemple par une analyse linéaire élastique selon la méthode des éléments finis (MEF). L'élément est soumis à une contrainte normale horizontale σx, à une contrainte normale verticale σz et à une contrainte de cisaillement τxz. À partir de ces contraintes, on peut déterminer les contraintes principales et leur direction définie par l'angle θ (Fig. 3b). L'élément est alors soumis à la contrainte principale de traction σ1 et à la contrainte principale de compression σ2.
À quoi ressemblera la déformation du même élément analysé par la CSFM ? La déformation est représentée sur la Figure 3c. Le béton comprimé apparaît dans la direction de la contrainte principale de compression σ2. Un champ de contraintes avec la contrainte σc2 est alors généré. Comme mentionné ci-dessus, l'hypothèse de base est que le béton ne travaille pas en traction. Par conséquent, la contrainte principale transversale de traction σ1 ne sera pas reprise par le béton, et une fissure se formera perpendiculairement à cette direction. La contrainte σc1r doit donc être nulle. Pour éviter la ruine de notre élément 2D, toute la contrainte de traction doit être reprise par le ferraillage (indiqué en bleu sur la Fig. 3c), qui doit faire partie du modèle de calcul.
Si cette analyse des contraintes est réalisée par la CSFM de manière continue sur toute la région 2D à résoudre, le résultat est un champ de compression continu dans le béton, ainsi que des contraintes de traction et de compression dans le ferraillage. Une représentation graphique simplifiée du champ de contraintes de la CSFM est présentée sur la Figure 4. Outre les taux de travail du béton et du ferraillage, la figure indique également les directions variables des contraintes σc2 calculées le long des régions.
Fig. 4 Résultats globaux issus d'IDEA StatiCa Detail
L'analyse d'un détail ou d'une structure par la CSFM repose sur la méthode des éléments finis. Le béton est modélisé par des éléments voiles 2D, et le ferraillage par des éléments 1D (Fig. 7). L'analyse n'est pas réalisée en une seule étape, car il s'agit d'un problème non linéaire. Les charges sont appliquées par incréments au cours du calcul, et la solution du système d'équations non linéaires est obtenue par la méthode de Newton-Raphson.
Les fissures fictives réparties (ε1 est la valeur moyenne) se « forment » perpendiculairement à la direction des contraintes principales, qui peut évoluer au cours du calcul non linéaire, l'élément se « fissurant progressivement » à chaque incrément de charge. En résumé, on considère une fissure tournante fictive exempte de contraintes.
Le résultat de la résolution par éléments finis avec la CSFM est un champ de contraintes compatible (c'est-à-dire que, dans le modèle, le béton ne se décompose pas en bielles individuelles agissant indépendamment) ainsi qu'un état de déformation, tous deux continus sur l'ensemble du domaine 2D résolu. C'est un avantage majeur par rapport aux approches S&T classiques, qui permet d'automatiser et d'affiner le modèle de calcul, comme décrit dans les paragraphes suivants.
Fig. 5 Principe de l'adoucissement du béton
La formulation simple de la CSFM permet d'utiliser le diagramme contrainte-déformation uniaxial parabole-rectangle usuel pour le béton en compression, conformément à la norme de calcul. Comme chacun sait, la résistance en compression du béton diminue lorsque celui-ci est endommagé par des fissures transversales (Fig. 5). Cet effet, appelé adoucissement en compression , est intégré dans la méthode par la prise en compte automatique de la résistance effective en compression du béton.
En fonction du niveau des déformations transversales de traction ε1, le coefficient de réduction kc est déterminé et le diagramme contrainte-déformation du béton est ajusté (Fig. 5). Le champ de déformations étant connu dans toute la structure, la résistance effective en compression du béton peut être calculée automatiquement dans chaque section, en fonction du niveau local des déformations transversales de traction ε1.
Fig. 6 Principe du raidissement en traction
Par ailleurs, la CSFM prend en compte l'effet de raidissement du béton tendu entre les fissures sur le ferraillage, appelé raidissement en traction. Dans le modèle de calcul, le taux de ferraillage moyen εm est utilisé. Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage est alors modifié (Fig. 6). Cela permet une représentation réaliste de la rigidité d'une structure en béton armé endommagée par la fissuration. Il reste toutefois vrai que la résistance en traction du béton ne contribue pas à la capacité ultime. La contrainte maximale dans le ferraillage σsr au droit des fissures est déterminante pour le dimensionnement (Fig. 6).
La CSFM utilise des modèles de matériaux uniaxiaux usuels (diagrammes contrainte-déformation) définis dans les normes de calcul. L'approche habituelle, la méthode des coefficients partiels de sécurité, est ensuite utilisée pour vérifier l'ELU. La simplicité de la méthode la rend adaptée à la pratique de l'ingénieur et conforme aux normes de calcul.
Bien qu'il s'agisse d'une analyse non linéaire par éléments finis, l'ingénieur structure n'a pas à saisir dans le calcul de propriétés de matériaux et de caractéristiques du béton supplémentaires, qui peuvent ne pas être disponibles au stade du projet et qui sont nécessaires, par exemple, pour les analyses non linéaires par éléments finis fondées sur la mécanique de la rupture. Comme indiqué précédemment, un avantage majeur de l'analyse par la CSFM, en plus des états limites ultimes, est la possibilité de vérifier les états limites de service : flèches, limitations de contraintes et, en particulier, ouverture des fissures.
Fig. 7 Exemple de représentation du modèle d'éléments finis dans IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) Le modèle MEF de la CSFM est composé de plusieurs types d'éléments finis :
- élément 1D avec rigidité axiale pour le ferraillage
- élément isoparamétrique 2D pour le béton
- ressorts d'extrémité pour le modèle d'ancrage du ferraillage avec traitement d'extrémité
- élément 2D spécial pour modéliser l'adhérence entre le ferraillage et le béton
- contraintes rigides et d'interpolation (Multi-Point Constraints, MPC) entre les éléments d'adhérence et le béton
Si le ferraillage dimensionné empêche la rupture fragile de l'élément, il a été démontré que la CSFM fournit de très bonnes prévisions de la réponse et de la capacité ultime de la structure, malgré la simplicité de la formulation. En d'autres termes, la méthode ne convient pas, par exemple, au dimensionnement de poutres sans armatures transversales d'effort tranchant, qui présentent un comportement potentiellement fragile. Les vérifications de la méthode, y compris les essais expérimentaux, sont présentées dans [1]. Une description plus détaillée de la méthode dépasse le cadre de cet article et se trouve également dans les Fondements théoriques.
Il est clair que les principes de la CSFM sont généraux et que son application ne se limite donc pas aux régions D : elle peut servir à modéliser des éléments entiers, par exemple des poutres préfabriquées, lorsque l'élément peut être simplifié en un modèle plan 2D. La méthode et son implémentation logicielle (IDEA StatiCa Detail) ont également été étendues, avec la possibilité de définir des armatures de précontrainte et de post-tension.
3. Exemple de dimensionnement d'un chevêtre de pile
L'application pratique de la CSFM est illustrée par le dimensionnement du chevêtre de pile de pont de la Figure 8. Il s'agit de la deuxième pile d'un pont continu à trois travées de 30,0 m, 42,0 m et 30,0 m. La tête de la pile en béton armé est dimensionnée en béton C40/50 et son épaisseur (dans le sens longitudinal du pont) est de 2,0 m.
Fig. 8 Chevêtre de pile : a) Synthèse du dimensionnement ; b) Contrainte de compression dans le béton à l'ELU ; c) Contrainte de traction dans le ferraillage à l'ELU ; d) Ouverture des fissures à l'ELS
En partie supérieure du chevêtre, une poutre transversale avec un ferraillage B500 de 20xϕ28+20xϕ25 (les quatre lits supérieurs) a d'abord été dimensionnée. La Figure 8a présente une synthèse du dimensionnement à l'état limite ultime, avec les contraintes de compression dans le béton, leurs directions et les contraintes dans le ferraillage. La répartition plus détaillée des contraintes dans le béton et dans le ferraillage est ensuite documentée sur les Figures 8b et 8c. Le ferraillage transversal est juste en dessous de la limite d'élasticité, et les contraintes dans le béton (ainsi que les déformations relatives) sont également satisfaisantes à l'ELU. Cependant, le résultat du calcul de l'ouverture des fissures (Fig. 8d) montre que le dimensionnement n'est pas satisfaisant à l'ELS : wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Pour respecter l'ouverture limite des fissures, il est nécessaire d'augmenter le ferraillage de la traverse à 20xϕ32+20xϕ28. Dans le cas de wlim = 0,2 mm (par exemple une pile à proximité d'une route générant des embruns salins, classe d'exposition XF2), le ferraillage de la traverse devrait même être augmenté à 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusion
La CSFM convient à la pratique de l'ingénieur, car elle utilise des modèles de matériaux simples définis dans une norme de calcul. En plus des états limites ultimes, elle permet également le dimensionnement aux états limites de service, dont la vérification était auparavant difficilement envisageable avec les modèles S&T. Grâce à l'implémentation de la méthode dans IDEA StatiCa Detail, il est possible de capter de manière réaliste la réponse de la structure, ainsi que de dimensionner et de vérifier efficacement et en toute sécurité les régions de discontinuité et les ensembles de plus grande taille.
La CSFM a été développée principalement grâce aux travaux du professeur Walter Kaufmann, responsable de la chaire de structures (Structural Engineering) de l'École polytechnique fédérale de Zurich (ETH). Lui et son équipe ont également vérifié la méthode et son implémentation logicielle.
Bibliographie
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Auteur
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.