Výpočet šířky trhlin a tahové zpevnění

Výpočet šířky trhlin

Existují dva způsoby výpočtu šířky trhlin – stabilizované a nestabilizované trhliny. Na základě geometrického stupně vyztužení v každé části konstrukce se rozhoduje, který typ modelu výpočtu trhlin bude použit (TCM pro stabilizované trhliny a POM pro nestabilizované trhliny).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Zatímco CSFM poskytuje přímý výsledek pro většinu posouzení (např. únosnost prvku, průhyby…), výsledky šířky trhlin jsou vypočítány z výsledků přetvoření výztuže přímo poskytnutých analýzou MKP podle metodiky popsané na Obr. 20. Uvažuje se kinematika trhliny bez skluzu (čisté otevírání trhliny) (Obr. 20a), což je v souladu s hlavními předpoklady modelu. Hlavní směry napětí a přetvoření definují sklon trhlin (θ_r = θ_s= θ_e). Podle (Obr. 20b) lze šířku trhliny (w) promítnout do směru prutu výztuže (w_b), což vede k:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

kde θ_b je sklon prutu výztuže.

Upozorňujeme, že program zobrazuje hodnoty θ_r a θ_b < π/2. To znamená, že předchozí rovnice platí pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí různými kvadranty kartézského souřadnicového systému, jak je znázorněno na Obr. 20, kde výztuž prochází I. a III. kvadrantem a trhlina II. a IV. kvadrantem. Pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí stejnými kvadranty, je nutné rovnici upravit takto:

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

Složka w_b je konzistentně vypočítána na základě modelů tahového zpevnění integrací přetvoření výztuže. Pro oblasti s plně rozvinutým vzorem trhlin jsou vypočítaná průměrná přetvoření (e_m) podél prutů výztuže přímo integrována podél rozteče trhlin (s_r), jak je uvedeno na (Obr. 20c). Přestože tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné poloze trhlin, stále poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin, jež lze porovnat s hodnotami šířky trhlin požadovanými normou v místě prutu výztuže.

Zvláštní situace nastávají v konkávních rozích posuzované konstrukce. V tomto případě roh předurčuje polohu jediné trhliny, která se chová nestabilizovaným způsobem, dokud se nevyvinou další sousední trhliny. Tyto další trhliny se obecně vyvíjejí až po překročení provozního rozsahu (Mata-Falcón 2015), což odůvodňuje výpočet šířky trhlin v takové oblasti jako nestabilizovaných (Obr. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Tahové zpevnění

Implementace tahového zpevnění rozlišuje mezi případy stabilizovaného a nestabilizovaného vzoru trhlin. V obou případech se beton standardně považuje za plně popraskany před zatížením.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Stabilizované trhliny

U plně rozvinutých vzorů trhlin je tahové zpevnění zavedeno pomocí modelu tahového táhla (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Obr. 22a – u kterého bylo prokázáno, že navzdory své jednoduchosti poskytuje vynikající předpovědi odezvy (Burns 2012). TCM předpokládá stupňovitý, tuhý-dokonale plastický vztah smykového napětí soudržnosti a skluzu s τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pro σ_s ≤ f_y a τ_b =τ_b1 = f_ctm pro σ_s > f_y. Při uvažování každého prutu výztuže jako tahového táhla ­– Obr. 22b a Obr. 22a – lze pro libovolnou danou hodnotu maximálního napětí oceli (nebo přetvoření) v trhlinách stanovit rozložení smykového napětí soudržnosti, napětí oceli a betonu, a tedy rozložení přetvoření mezi dvěma trhlinami.

Pro s_r = s_r0 může nebo nemusí vzniknout nová trhlina, protože ve středu mezi dvěma trhlinami platí σ_c1 = f_ct. V důsledku toho se rozteč trhlin může lišit o faktor dva, tj. s_r = λs_r0, kde l = 0,5…1,0. Při předpokladu určité hodnoty λ lze průměrné přetvoření táhla (ε_m) vyjádřit jako funkci maximálního napětí výztuže (tj. napětí v trhlinách, σ_sr). Pro idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření pro holé pruty výztuže uvažované standardně v CSFM jsou získány následující analytické výrazy v uzavřeném tvaru (Marti et al. 1998):

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

kde:
E_sh           modul zpevnění oceli E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modul pružnosti výztuže,

Ø            průměr prutu výztuže,

s_r                rozteč trhlin,

σ_sr           napětí výztuže v trhlinách,

σ_s            skutečné napětí výztuže,

f_y                mez kluzu výztuže.

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail standardně uvažuje průměrnou rozteč trhlin při provádění počítačové analýzy napěťových polí. Průměrná rozteč trhlin je uvažována jako 2/3 maximální rozteče trhlin (λ = 0,67), což vychází z doporučení na základě zkoušek ohybem a tahem (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Je třeba poznamenat, že výpočty šířky trhlin uvažují maximální rozteč trhlin (λ = 1,0) za účelem získání konzervativních hodnot.

Použití TCM závisí na stupni vyztužení, a proto je klíčové přiřazení odpovídající plochy betonu působícího v tahu mezi trhlinami ke každému prutu výztuže. Byl vyvinut automatický numerický postup pro definování odpovídajícího efektivního stupně vyztužení (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pro libovolnou konfiguraci, včetně šikmého vyztužení (Obr. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Nestabilizované trhliny

Trhliny vyskytující se v oblastech s geometrickým stupněm vyztužení nižším než ρ_cr, tj. minimálním množstvím výztuže, při kterém je výztuž schopna přenést zatížení při vzniku trhliny bez dosažení meze kluzu, jsou způsobeny buď nemechanickými účinky (např. smršťováním) nebo šířením trhlin řízených jinou výztuží. Hodnota tohoto minimálního vyztužení se získá takto:

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

kde:

f_y              mez kluzu výztuže,

f_ct             pevnost betonu v tahu,

n              modulový poměr, n = E_s / E_c .

Pro běžný beton a betonářskou ocel činí ρ_cr přibližně 0,6 %.

Pro třmínky se stupněm vyztužení nižším než ρ_cr je trhlina považována za nestabilizovanou a tahové zpevnění je implementováno pomocí modelu vytažení (POM) popsaného na Obr. 22b. Tento model analyzuje chování jediné trhliny bez uvažování mechanické interakce mezi jednotlivými trhlinami, zanedbává deformovatelnost betonu v tahu a předpokládá stejný stupňovitý, tuhý-dokonale plastický vztah smykového napětí soudržnosti a skluzu používaný TCM. To umožňuje získat rozložení přetvoření výztuže (ε_s) v okolí trhliny pro libovolné maximální napětí oceli v trhlině (σ_sr) přímo z podmínek rovnováhy. Vzhledem k tomu, že rozteč trhlin je pro neúplně rozvinutý vzor trhlin neznámá, je průměrné přetvoření (ε_m) vypočítáno pro libovolnou úroveň zatížení na vzdálenosti mezi body s nulovým skluzem, kdy prut výztuže dosahuje své pevnosti v tahu (f_t) v trhlině (l_ε,avg na Obr. 22b), což vede k následujícím vztahům:

Navržené modely umožňují výpočet chování soudržné výztuže, která je nakonec zohledněna v analýze. Toto chování (včetně tahového zpevnění) pro nejběžnější evropskou betonářskou ocel (B500B, s f_t / f_y = 1,08 a ε_u = 5 %) je znázorněno na Obr. 22c-d.