Calcul de la largeur des fissures et raidissement en traction

Calcul de la largeur des fissures

Il existe deux méthodes de calcul des largeurs de fissures : la fissuration stabilisée et la fissuration non stabilisée. En fonction du taux de ferraillage géométrique dans chaque partie de la structure, le type de modèle de calcul des fissures est déterminé (TCM pour la fissuration stabilisée et POM pour le modèle de fissuration non stabilisée).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}\)\( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}\)

Alors que le CSFM fournit un résultat direct pour la plupart des vérifications (par exemple, la capacité de l'élément, les flèches…), les résultats de largeur de fissures sont calculés à partir des résultats de déformation du ferraillage directement fournis par l'analyse par éléments finis, selon la méthodologie décrite à la Fig. 20. Une cinématique de fissure sans glissement (ouverture pure de fissure) est considérée (Fig. 20a), ce qui est cohérent avec les hypothèses principales du modèle. Les directions principales des contraintes et des déformations définissent l'inclinaison des fissures (θ_r = θ_s= θ_e). D'après (Fig. 20b), la largeur de fissure (w) peut être projetée dans la direction de la barre de ferraillage (w_b), ce qui conduit à :

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}\]

où θ_b est l'inclinaison de la barre.

Veuillez noter que le programme affiche des valeurs de θ_r et θ_b < π/2. Cela signifie que l'équation précédente s'applique aux cas où le ferraillage et la fissure traversent des quadrants différents du système de coordonnées cartésiennes, comme illustré à la Fig. 20, où le ferraillage traverse les quadrants I et III et la fissure les quadrants II et IV. Pour les cas où le ferraillage et la fissure traversent les mêmes quadrants, l'équation doit être modifiée comme suit :

\[w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}\]

La composante w_b est calculée de manière cohérente à partir des modèles de raidissement en traction en intégrant les déformations du ferraillage. Pour les zones présentant des schémas de fissuration pleinement développés, les déformations moyennes calculées (e_m) le long des barres de ferraillage sont directement intégrées sur l'espacement des fissures (s_r), comme indiqué à la (Fig. 20c). Bien que cette approche du calcul des directions de fissures ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives conduisant à des résultats de largeur de fissures comparables aux valeurs de largeur de fissures requises par les normes à la position de la barre de ferraillage.

Des situations particulières sont observées aux angles rentrants de la structure calculée. Dans ce cas, l'angle prédéfinit la position d'une fissure unique qui se comporte de manière non stabilisée avant que des fissures adjacentes supplémentaires ne se développent. Ces fissures supplémentaires se développent généralement après le domaine de service (Mata-Falcón 2015), ce qui justifie le calcul des largeurs de fissures dans cette zone comme si elles étaient non stabilisées (Fig. 21).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}\]

Raidissement en traction

La mise en œuvre du raidissement en traction distingue les cas de schémas de fissuration stabilisée et non stabilisée. Dans les deux cas, le béton est considéré par défaut comme entièrement fissuré avant chargement.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}\)

Fissuration stabilisée

Pour les schémas de fissuration pleinement développés, le raidissement en traction est introduit à l'aide du Modèle de Tirant en Traction (TCM) (Marti et al. 1998 ; Alvarez 1998) – Fig. 22a – dont il a été démontré qu'il fournit d'excellentes prédictions de réponse malgré sa simplicité (Burns 2012). Le TCM suppose une relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement étagée, rigide-parfaitement plastique avec τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pour σ_s ≤ f_y et τ_b =τ_b1 = f_ctm pour σ_s > f_y. En traitant chaque barre de ferraillage comme un tirant en traction ­– Fig. 22b et Fig. 22a – la distribution des contraintes de cisaillement d'adhérence, des contraintes dans l'acier et dans le béton, et donc la distribution des déformations entre deux fissures peut être déterminée pour toute valeur donnée des contraintes maximales dans l'acier (ou des déformations) aux fissures.

Pour s_r = s_r0, une nouvelle fissure peut ou non se former car au centre entre deux fissures σ_c1 = f_ct. Par conséquent, l'espacement des fissures peut varier d'un facteur deux, c'est-à-dire s_r = λs_r0, avec l = 0,5…1,0. En supposant une certaine valeur de λ, la déformation moyenne du tirant (ε_m) peut être exprimée en fonction des contraintes maximales dans le ferraillage (c'est-à-dire les contraintes aux fissures, σ_sr). Pour le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé des barres nues considéré par défaut dans le CSFM, les expressions analytiques fermées suivantes sont obtenues (Marti et al. 1998) :

\[\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y\]

\[{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)\]

\[ \varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}\]

\[\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t\]

où :
E_sh           le module d'écrouissage de l'acier E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            module d'élasticité du ferraillage,

Ø            diamètre de la barre de ferraillage,

s_r                espacement des fissures,

σ_sr           contraintes dans le ferraillage aux fissures,

σ_s            contraintes réelles dans le ferraillage,

f_y                limite d'élasticité du ferraillage.

La mise en œuvre du CSFM dans IDEA StatiCa Detail considère par défaut l'espacement moyen des fissures lors de l'analyse du champ de contraintes assistée par ordinateur. L'espacement moyen des fissures est considéré comme égal à 2/3 de l'espacement maximal des fissures (λ = 0,67), conformément aux recommandations formulées sur la base d'essais de flexion et de traction (Broms 1965 ; Beeby 1979 ; Meier 1983). Il convient de noter que les calculs de largeur de fissures considèrent un espacement maximal des fissures (λ = 1,0) afin d'obtenir des valeurs conservatives.

L'application du TCM dépend du taux de ferraillage, et donc l'attribution d'une aire de béton appropriée travaillant en traction entre les fissures à chaque barre de ferraillage est cruciale. Une procédure numérique automatique a été développée pour définir le taux de ferraillage effectif correspondant (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pour toute configuration, y compris le ferraillage incliné (Fig. 23).

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}\)

Fissuration non stabilisée

Les fissures présentes dans les zones dont le taux de ferraillage géométrique est inférieur à ρ_cr, c'est-à-dire la quantité minimale de ferraillage pour laquelle le ferraillage est capable de reprendre la charge de fissuration sans plastification, sont générées soit par des actions non mécaniques (par exemple le retrait), soit par la propagation de fissures contrôlées par d'autres ferraillages. La valeur de ce ferraillage minimal est obtenue comme suit :

\[{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}\]

où :

f_y              limite d'élasticité du ferraillage,

f_ct             résistance à la traction du béton,

n              rapport d'équivalence, n = E_s / E_c .

Pour le béton et l'acier de ferraillage courants, ρ_cr est d'environ 0,6 %.

Pour les étriers dont le taux de ferraillage est inférieur à ρ_cr, la fissuration est considérée comme non stabilisée et le raidissement en traction est mis en œuvre au moyen du Modèle d'Arrachement (POM) décrit à la Fig. 22b. Ce modèle analyse le comportement d'une fissure unique en ne considérant aucune interaction mécanique entre les fissures séparées, en négligeant la déformabilité du béton en traction et en supposant la même relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement étagée, rigide-parfaitement plastique utilisée par le TCM. Cela permet d'obtenir la distribution des déformations du ferraillage (ε_s) au voisinage de la fissure pour toute contrainte maximale dans l'acier à la fissure (σ_sr) directement par équilibre. Étant donné que l'espacement des fissures est inconnu pour un schéma de fissuration non pleinement développé, la déformation moyenne (ε_m) est calculée pour tout niveau de charge sur la distance entre les points à glissement nul lorsque la barre de ferraillage atteint sa résistance à la traction (f_t) à la fissure (l_ε,avg à la Fig. 22b), conduisant aux relations suivantes :

Les modèles proposés permettent le calcul du comportement du ferraillage adhérent, qui est finalement pris en compte dans l'analyse. Ce comportement (incluant le raidissement en traction) pour l'acier de ferraillage européen le plus courant (B500B, avec f_t / f_y = 1,08 et ε_u = 5 %) est illustré aux Fig. 22c-d.