3.1 Estados limite e cálculo da largura de fendas

Cálculo da abertura de fendas

Existem duas formas de calcular a abertura de fendas - fendilhação estabilizada e não estabilizada. De acordo com o rácio geométrico de armadura em cada parte da estrutura, é decidido qual o tipo de modelo de cálculo de fendas que será utilizado (TCM para fendilhação estabilizada e POM para modelo de fendilhação não estabilizada).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Embora o CSFM produza um resultado direto para a maioria das verificações (por exemplo, capacidade do elemento, deformações…), os resultados de abertura de fendas são calculados a partir dos resultados de deformação da armadura fornecidos diretamente pela análise de elementos finitos, seguindo a metodologia descrita na Fig. 20. É considerada uma cinemática de fenda sem escorregamento (abertura pura da fenda) (Fig. 20a), o que é consistente com as principais premissas do modelo. As direções principais das tensões e deformações definem a inclinação das fendas (θ_r = θ_s= θ_e). De acordo com a (Fig. 20b), a abertura de fenda (w) pode ser projetada na direção do varão de armadura (w_b), obtendo-se:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

onde θ_b é a inclinação do varão.

Note-se que o programa apresenta valores de θ_r e θ_b < π/2. Isto significa que a equação anterior é válida para os casos em que a armadura e a fenda atravessam quadrantes diferentes do sistema de coordenadas cartesianas, como mostrado na Fig. 20, onde a armadura atravessa os quadrantes I e III e a fenda os quadrantes II e IV. Para os casos em que a armadura e a fenda atravessam os mesmos quadrantes, a equação tem de ser modificada da seguinte forma:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

A componente w_b é calculada de forma consistente com base nos modelos de enrijecimento à tração, integrando as deformações da armadura. Nas regiões com padrões de fendilhação totalmente desenvolvidos, as deformações médias calculadas (e_m) ao longo dos varões de armadura são diretamente integradas ao longo do espaçamento entre fendas (s_r), como indicado na (Fig. 20c). Embora esta abordagem para calcular as direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, ela ainda assim fornece valores representativos que conduzem a resultados de abertura de fenda comparáveis aos valores de abertura de fenda exigidos pelas normas, na posição do varão de armadura.

São observadas situações especiais em cantos côncavos da estrutura calculada. Neste caso, o canto predefine a posição de uma única fenda que se comporta de forma não estabilizada antes de se desenvolverem fendas adjacentes adicionais. Estas fendas adicionais desenvolvem-se geralmente após o intervalo de serviço (Mata-Falcón 2015), o que justifica o cálculo das aberturas de fenda nessa região como se fossem não estabilizadas (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Enrijecimento à tração

A implementação do enrijecimento à tração distingue entre casos de padrões de fendilhação estabilizados e não estabilizados. Em ambos os casos, o betão é considerado totalmente fendilhado antes do carregamento, por defeito.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Fendilhação estabilizada

Em padrões de fendilhação totalmente desenvolvidos, o enrijecimento à tração é introduzido utilizando o Modelo de Tirante em Tração (Tension Chord Model, TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que demonstrou fornecer excelentes previsões de resposta apesar da sua simplicidade (Burns 2012). O TCM assume uma relação de tensão de aderência-escorregamento em degraus, rígida-perfeitamente plástica, com τ_b = τ_b0 =2 f_ctm para σ_s ≤ f_y e τ_b =τ_b1 = f_ctm para σ_s > f_y. Tratando cada varão de armadura como um tirante em tração ­– Fig. 22b e Fig. 22a – a distribuição da tensão de aderência, das tensões no aço e no betão e, portanto, a distribuição de deformações entre duas fendas pode ser determinada para qualquer valor dado das tensões (ou deformações) máximas do aço nas fendas.

Para s_r = s_r0, uma nova fenda pode ou não formar-se, porque no centro entre duas fendas σ_c1 = f_ct. Consequentemente, o espaçamento entre fendas pode variar por um fator de dois, ou seja, s_r = λs_r0, com l = 0.5…1.0. Assumindo um determinado valor para λ, a deformação média do tirante (ε_m) pode ser expressa em função das tensões máximas na armadura (isto é, tensões nas fendas, σ_sr). Para o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para os varões de armadura considerado por defeito no CSFM, são obtidas as seguintes expressões analíticas fechadas (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

onde:
E_sh           o módulo de endurecimento do aço E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            módulo de elasticidade da armadura,

Ø            diâmetro do varão de armadura,

s_r                espaçamento entre fendas,

σ_sr           tensões na armadura nas fendas,

σ_s            tensões reais na armadura,

f_y                tensão de cedência da armadura.

A implementação do CSFM no Idea StatiCa Detail considera, por defeito, o espaçamento médio entre fendas ao realizar a análise de campo de tensões assistida por computador. O espaçamento médio entre fendas é considerado como 2/3 do espaçamento máximo entre fendas (λ = 0.67), o que segue as recomendações feitas com base em ensaios de flexão e tração (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Deve notar-se que os cálculos de abertura de fenda consideram um espaçamento máximo entre fendas (λ = 1.0), de modo a obter valores conservadores.

A aplicação do TCM depende do rácio de armadura e, por conseguinte, a atribuição de uma área de betão apropriada, atuando em tração entre as fendas, a cada varão de armadura é crucial. Foi desenvolvido um procedimento numérico automático para definir o rácio de armadura efetivo correspondente (ρ_eff = A_s/A_c,eff) para qualquer configuração, incluindo armadura inclinada (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Fendilhação não estabilizada

As fendas existentes em regiões com rácios geométricos de armadura inferiores a ρ_cr, ou seja, a quantidade mínima de armadura para a qual a armadura é capaz de suportar a carga de fendilhação sem ceder, são geradas por ações não mecânicas (por exemplo, retração) ou pela propagação de fendas controladas por outra armadura. O valor desta armadura mínima é obtido da seguinte forma:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

onde:

f_y              tensão de cedência da armadura,

f_ct             resistência à tração do betão,

n              coeficiente de homogeneização, n = E_s / E_c .

Para betão e aço de armadura convencionais, ρ_cr corresponde a aproximadamente 0,6%.

Para estribos com rácios de armadura abaixo de ρ_cr, a fendilhação é considerada não estabilizada e o enrijecimento à tração é implementado através do Modelo de Arrancamento (Pull-Out Model, POM) descrito na Fig. 22b. Este modelo analisa o comportamento de uma única fenda, considerando que não existe interação mecânica entre fendas separadas, desprezando a deformabilidade do betão à tração e assumindo a mesma relação de tensão de aderência-escorregamento em degraus, rígida-perfeitamente plástica, utilizada pelo TCM. Isto permite obter a distribuição de deformação da armadura (ε_s) na vizinhança da fenda para qualquer tensão máxima do aço na fenda (σ_sr) diretamente por equilíbrio. Dado que o espaçamento entre fendas é desconhecido para um padrão de fendilhação não totalmente desenvolvido, a deformação média (ε_m) é calculada, para qualquer nível de carga, sobre a distância entre pontos com escorregamento nulo quando o varão de armadura atinge a sua resistência à tração (f_t) na fenda (l_ε,avg na Fig. 22b), obtendo-se as seguintes relações:

Os modelos propostos permitem calcular o comportamento da armadura aderente, que é finalmente considerado na análise. Este comportamento (incluindo o enrijecimento à tração) para o aço de armadura europeu mais comum (B500B, com f_t / f_y = 1,08 e ε_u = 5%) está ilustrado na Fig. 22c-d.