3.1 한계 상태 및 균열폭 계산

균열 폭 계산

균열 폭을 계산하는 방법에는 안정화 균열과 비안정화 균열의 두 가지가 있습니다. 구조의 각 부분에서 기하학적 철근 비율에 따라 어떤 유형의 균열 계산 모델을 사용할지 결정됩니다(안정화 균열에는 TCM, 비안정화 균열 모델에는 POM 사용).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

CSFM(적합 응력장 방법)은 대부분의 검토(예: 부재 내력, 처짐 등)에 대해 직접적인 결과를 제공하지만, 균열 폭 결과는 Fig. 20에 설명된 방법론에 따라 유한요소 해석에서 직접 제공되는 철근 변형률 결과로부터 계산됩니다. 미끄러짐이 없는 균열 운동학(순수 균열 개구)이 고려되며(Fig. 20a), 이는 모델의 주요 가정과 일치합니다. 응력 및 변형률의 주 방향이 균열의 경사를 정의합니다(θ_r = θ_s= θ_e). (Fig. 20b)에 따라, 균열 폭(w)은 철근 방향(w_b)으로 투영될 수 있으며, 다음과 같이 됩니다:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

여기서 θ_b 는 철근의 경사각입니다.

프로그램은 θ_r 및 θ_b < π/2의 값을 표시합니다. 이는 앞의 방정식이 Fig. 20에 표시된 것처럼 철근과 균열이 직교 좌표계의 서로 다른 사분면을 통과하는 경우(철근은 I사분면과 III사분면을, 균열은 II사분면과 IV사분면을 통과)에 적용됨을 의미합니다. 철근과 균열이 동일한 사분면을 통과하는 경우, 방정식은 다음과 같이 수정되어야 합니다:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

성분 w_b는 철근 변형률을 적분하여 인장 강성 효과 모델을 기반으로 일관되게 계산됩니다. 균열 패턴이 완전히 발달된 영역의 경우, 철근을 따라 계산된 평균 변형률(e_m)은 (Fig. 20c)에 표시된 것처럼 균열 간격(s_r)을 따라 직접 적분됩니다. 균열 방향을 계산하는 이 접근 방식은 실제 균열 위치와 일치하지 않지만, 철근 위치에서 규정에서 요구하는 균열 폭 값과 비교할 수 있는 균열 폭 결과로 이어지는 대표적인 값을 제공합니다.

계산된 구조의 오목한 모서리에서는 특수한 상황이 관찰됩니다. 이 경우, 모서리는 인접한 추가 균열이 발생하기 전에 비안정화 방식으로 거동하는 단일 균열의 위치를 미리 결정합니다. 이러한 추가 균열은 일반적으로 사용성 범위 이후에 발생하며(Mata-Falcón 2015), 이는 해당 영역의 균열 폭을 비안정화된 것처럼 계산하는 것을 정당화합니다(Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

인장 강성 효과

인장 강성 효과의 구현은 안정화 균열 패턴과 비안정화 균열 패턴의 경우를 구분합니다. 두 경우 모두 기본적으로 하중 재하 전에 콘크리트가 완전히 균열된 것으로 간주합니다.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

안정화 균열

완전히 발달된 균열 패턴에서 인장 강성 효과는 인장 코드 모델(TCM)(Marti et al. 1998; Alvarez 1998)을 사용하여 도입됩니다 – Fig. 22a – 이 모델은 단순함에도 불구하고 우수한 응답 예측을 제공하는 것으로 나타났습니다(Burns 2012). TCM은 σ_s ≤ f_y일 때 τ_b = τ_b0 =2 f_ctm, σ_s > f_y일 때 τ_b =τ_b1 = f_ctm인 계단형 강체-완전소성 부착 전단 응력-미끄러짐 관계를 가정합니다. 모든 철근을 인장 코드로 처리하면 – Fig. 22b 및 Fig. 22a – 균열에서의 최대 철근 응력(또는 변형률)의 임의 값에 대해 두 균열 사이의 부착 전단, 강재 및 콘크리트 응력의 분포와 변형률 분포를 결정할 수 있습니다.

s_r = s_r0일 때, 두 균열 사이의 중앙에서 σ_c1 = f_ct이므로 새로운 균열이 형성될 수도 있고 형성되지 않을 수도 있습니다. 따라서 균열 간격은 2배의 인수로 변할 수 있으며, 즉 s_r = λs_r0, l = 0.5…1.0입니다. λ에 대한 특정 값을 가정하면, 코드의 평균 변형률(ε_m)은 최대 철근 응력(즉, 균열에서의 응력, σ_sr)의 함수로 표현될 수 있습니다. CSFM(적합 응력장 방법)에서 기본적으로 고려되는 철근 나봉에 대한 이상화된 이선형 응력-변형률 선도에 대해 다음과 같은 폐형 해석 표현식이 얻어집니다(Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

여기서:
E_sh           강재 경화 계수 E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            철근의 탄성 계수,

Ø            철근 직경,

s_r                균열 간격,

σ_sr           균열에서의 철근 응력,

σ_s            실제 철근 응력,

f_y                철근의 항복 강도.

IDEA StatiCa Detail의 CSFM(적합 응력장 방법) 구현은 컴퓨터 지원 응력장 해석을 수행할 때 기본적으로 평균 균열 간격을 고려합니다. 평균 균열 간격은 최대 균열 간격의 2/3(λ = 0.67)로 간주되며, 이는 휨 및 인장 시험을 기반으로 한 권고 사항을 따릅니다(Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). 균열 폭 계산은 보수적인 값을 얻기 위해 최대 균열 간격(λ = 1.0)을 고려한다는 점에 유의해야 합니다.

TCM의 적용은 철근 비율에 따라 달라지므로, 각 철근에 대해 균열 사이에서 인장력을 받는 적절한 콘크리트 면적을 할당하는 것이 중요합니다. 해당 유효 철근 비율(ρ_eff = A_s/A_c,eff)를 경사 철근을 포함한 모든 구성에 대해 정의하기 위한 자동 수치 절차가 개발되었습니다(Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

비안정화 균열

기하학적 철근 비율이 ρ_cr보다 낮은 영역, 즉 철근이 항복 없이 균열 하중을 지지할 수 있는 최소 철근량보다 낮은 영역에 존재하는 균열은 비역학적 작용(예: 건조 수축) 또는 다른 철근에 의해 제어되는 균열의 진전에 의해 발생합니다. 이 최소 철근량의 값은 다음과 같이 구합니다:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

여기서:

f_y              철근 항복 강도,

f_ct             콘크리트 인장 강도,

n              탄성 계수비, n = E_s / E_c .

일반적인 콘크리트 및 철근의 경우, ρ_cr은 약 0.6%입니다.

철근 비율이 ρ_cr보다 낮은 스터럽의 경우, 균열은 비안정화된 것으로 간주되며 인장 강성 효과는 Fig. 22b에 설명된 인발 모델(POM)을 통해 구현됩니다. 이 모델은 별개의 균열 사이의 역학적 상호작용이 없다고 가정하고, 인장 상태의 콘크리트 변형성을 무시하며, TCM에서 사용하는 것과 동일한 계단형 강체-완전소성 부착 전단 응력-미끄러짐 관계를 가정하여 단일 균열의 거동을 분석합니다. 이를 통해 균열 부근의 철근 변형률 분포(ε_s)를 균열에서의 임의의 최대 철근 응력(σ_sr)에 대해 평형으로부터 직접 구할 수 있습니다. 비완전 발달 균열 패턴의 경우 균열 간격을 알 수 없으므로, 평균 변형률(ε_m)은 철근이 균열에서 인장 강도(f_t)에 도달할 때 미끄러짐이 0인 점들 사이의 거리(Fig. 22b의 l_ε,avg)에 걸쳐 모든 하중 수준에 대해 계산되며, 다음과 같은 관계식이 도출됩니다:

제안된 모델은 부착 철근의 거동 계산을 가능하게 하며, 이는 최종적으로 해석에 반영됩니다. 가장 일반적인 유럽 철근(B500B, f_t / f_y = 1.08 및 ε_u = 5%)에 대한 이 거동(인장 강성 효과 포함)은 Fig. 22c-d에 나타나 있습니다.