3.1 极限状态与裂缝宽度计算

裂缝宽度计算

裂缝宽度的计算有两种方式——稳定裂缝和非稳定裂缝。根据结构各部分的几何配筋率来决定采用哪种裂缝计算模型（稳定裂缝采用 TCM 模型，非稳定裂缝采用 POM 模型）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

CSFM（协调应力场法）对大多数验证项目（如构件承载力、挠度等）可直接给出结果，而裂缝宽度结果则按照图 20 所述方法，由有限单元法分析直接提供的钢筋应变结果计算得出。模型采用无滑移的裂缝运动学（纯裂缝张开）（图 20a），这与模型的主要假设一致。应力和应变的主方向决定了裂缝的倾角（θ_r = θ_s= θ_e）。根据图 20b，裂缝宽度（w）可投影到钢筋方向（w_b），得到：

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

其中 θ_b 为钢筋倾角。

请注意，程序显示的 θ_r 和 θ_b 值均 < π/2。这意味着上述公式适用于钢筋与裂缝分别穿过笛卡尔坐标系不同象限的情况，如图 20 所示，钢筋穿过第 I、III 象限，裂缝穿过第 II、IV 象限。对于钢筋与裂缝穿过相同象限的情况，公式需修改如下：

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

分量 w_b 基于拉力刚化模型，通过对钢筋应变积分一致计算得出。对于裂缝形态已充分发展的区域，沿钢筋计算的平均应变（e_m）直接沿裂缝间距（s_r）积分，如图 20c 所示。虽然这种计算裂缝方向的方法与裂缝实际位置不完全对应，但仍能提供具有代表性的数值，所得裂缝宽度结果可与规范要求的钢筋位置处裂缝宽度限值进行比较。

在计算结构的凹角处会出现特殊情况。此时，凹角预先确定了单条裂缝的位置，在相邻裂缝进一步发展之前，该裂缝呈非稳定状态。这些相邻裂缝通常在正常使用范围之后才会发展（Mata-Falcón 2015），因此将该区域的裂缝宽度按非稳定裂缝计算是合理的（图 21）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

拉力刚化

拉力刚化的实现区分了稳定裂缝形态和非稳定裂缝形态两种情况。在两种情况下，默认均假设混凝土在加载前已完全开裂。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

稳定裂缝

对于充分发展的裂缝形态，拉力刚化采用拉力弦模型（TCM）（Marti et al. 1998；Alvarez 1998）引入——图 22a——该模型已被证明尽管简单，却能给出优异的响应预测（Burns 2012）。TCM 假设粘结剪应力-滑移关系为阶梯形刚性完全塑性，当 σ_s ≤ f_y 时 τ_b = τ_b0 =2 f_ctm，当 σ_s > f_y 时 τ_b =τ_b1 = f_ctm。将每根钢筋视为拉力弦——图 22b 和图 22a——对于任意给定的裂缝处最大钢筋应力（或应变）值，可确定两条裂缝之间的粘结剪力、钢筋和混凝土应力分布以及应变分布。

当 s_r = s_r0 时，由于两裂缝中间处 σ_c1 = f_ct，新裂缝可能形成也可能不形成。因此，裂缝间距可能相差两倍，即 s_r = λs_r0，其中 λ = 0.5…1.0。假定 λ 的某一值，弦的平均应变（ε_m）可表示为最大钢筋应力（即裂缝处应力 σ_sr）的函数。对于 CSFM（协调应力场法）默认采用的钢筋裸筋理想化双线性应力-应变图，可得到如下封闭解析表达式（Marti et al. 1998）：

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

其中：
E_sh           钢材硬化模量 E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ，

E_s            钢筋弹性模量，

Ø            钢筋直径，

s_r                裂缝间距，

σ_sr           裂缝处钢筋应力，

σ_s            实际钢筋应力，

f_y                钢筋屈服强度。

IDEA StatiCa Detail 中 CSFM（协调应力场法）的实现在进行计算机辅助应力场分析时，默认采用平均裂缝间距。平均裂缝间距取最大裂缝间距的 2/3（λ = 0.67），这遵循了基于弯曲和拉伸试验所提出的建议（Broms 1965；Beeby 1979；Meier 1983）。需要注意的是，裂缝宽度计算采用最大裂缝间距（λ = 1.0），以获得偏于保守的结果。

TCM 的应用取决于配筋率，因此为每根钢筋合理分配裂缝间受拉混凝土面积至关重要。已开发了一套自动数值程序，用于确定相应的有效配筋率（ρ_eff = A_s/A_c,eff），适用于任意配筋构型，包括斜向钢筋（图 23）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

非稳定裂缝

几何配筋率低于 ρ_cr（即钢筋能够在不屈服的情况下承担开裂荷载所需的最小配筋率）的区域中存在的裂缝，由非力学作用（如收缩）或由其他钢筋控制的裂缝扩展所引起。该最小配筋率的值按如下公式计算：

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

其中：

f_y              钢筋屈服强度，

f_ct             混凝土抗拉强度，

n              弹性模量比，n = E_s / E_c 。

对于普通混凝土和钢筋，ρ_cr 约为 0.6%。

对于配筋率低于 ρ_cr 的箍筋，裂缝被视为非稳定裂缝，拉力刚化通过图 22b 所述的拔出模型（POM）实现。该模型分析单条裂缝的行为，不考虑独立裂缝之间的力学相互作用，忽略混凝土受拉变形，并采用与 TCM 相同的阶梯形刚性完全塑性粘结剪应力-滑移关系。这使得对于任意裂缝处最大钢筋应力（σ_sr），可直接由平衡条件得到裂缝附近的钢筋应变分布（ε_s）。由于非充分发展裂缝形态的裂缝间距未知，平均应变（ε_m）在任意荷载水平下，按钢筋在裂缝处达到抗拉强度（f_t）时零滑移点之间的距离计算（图 22b 中的 l_ε,avg），得到如下关系式：

所提出的模型可计算有粘结钢筋的行为，该行为最终在分析中加以考虑。图 22c-d 示出了最常用的欧洲钢筋（B500B，f_t / f_y = 1.08，ε_u = 5%）的该行为（包括拉力刚化）。