14-daagse proefperiode

3.1 Grenstoestanden en berekening van de scheurwijdte

ConcreteKnowledge baseDetail 2DACI (USA)EN (Eurocode)

3.1 Grenstoestanden en berekening van de scheurwijdte

Dit artikel is ook beschikbaar in

Beoordeling van de constructie met behulp van het CSFM gebeurt aan de hand van twee verschillende analyses: één voor de bruikbaarheidsgrenstoestand en één voor belastingscombinaties in de uiterste grenstoestand. Bij de analyse van de bruikbaarheidsgrenstoestand wordt ervan uitgegaan dat het gedrag van het element bij de uiterste grenstoestand voldoende is en dat de vloeicondities van het materiaal niet worden bereikt bij belastingsniveaus in de bruikbaarheidsgrenstoestand. Deze aanpak maakt het mogelijk om vereenvoudigde constitutieve modellen (met een lineair traject van het spanning-rekdiagram van beton) te gebruiken voor de bruikbaarheidsanalyse, om de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid te verbeteren. Het wordt daarom aanbevolen om de hieronder beschreven werkwijze te volgen, waarbij de analyse van de uiterste grenstoestand als eerste stap wordt uitgevoerd.

Analyse van de uiterste grenstoestand

De verschillende verificaties die door specifieke ontwerpnormen worden vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten die het model oplevert. UGT-verificaties worden uitgevoerd voor de betonsterkte, de wapeningssterkte en de verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

Om ervoor te zorgen dat een constructief element een efficiënt ontwerp heeft, wordt sterk aanbevolen om eerst een voorlopige analyse uit te voeren waarbij rekening wordt gehouden met de volgende stappen:

$Kies een selectie van de meest kritische belastingscombinaties.$
$Bereken alleen belastingscombinaties voor de uiterste grenstoestand (UGT).$
$Gebruik een grove mesh (door de vermenigvuldigingsfactor van de standaard meshgrootte in Setup te verhogen (Fig. 19)).$

\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}

Een dergelijk model wordt zeer snel berekend, waardoor ontwerpers de detaillering van het constructieve element efficiënt kunnen beoordelen en de analyse opnieuw kunnen uitvoeren totdat aan alle verificatie-eisen is voldaan voor de meest kritische belastingscombinaties. Zodra aan alle verificatie-eisen van deze voorlopige analyse is voldaan, wordt aanbevolen om de volledige set uiterste belastingscombinaties op te nemen en een fijne meshgrootte te gebruiken (de door het programma aanbevolen meshgrootte). De gebruiker kan de meshgrootte wijzigen via de vermenigvuldigingsfactor, die waarden kan aannemen van 0,5 tot 5 (Fig. 19).

De basisresultaten en verificaties (spanning, rek en benuttingsgraad (d.w.z. de berekende waarde/grenswaarde volgens de norm), evenals de richting van de hoofdspanningen bij betonelementen) worden weergegeven met behulp van verschillende plots, waarbij druk over het algemeen in rood en trek in blauw wordt weergegeven. Globale minimum- en maximumwaarden voor de gehele constructie kunnen worden gemarkeerd, evenals minimum- en maximumwaarden voor elk door de gebruiker gedefinieerd onderdeel. In een apart tabblad van het programma kunnen geavanceerde resultaten worden weergegeven, zoals tensorwaarden, vervormingen van de constructie en wapeningsverhoudingen (effectief en geometrisch) die worden gebruikt voor het berekenen van de tension stiffening van wapeningsstaven. Bovendien kunnen belastingen en reacties voor geselecteerde combinaties of belastingsgevallen worden weergegeven.

Analyse van de bruikbaarheidsgrenstoestand

BGT-beoordelingen worden uitgevoerd voor spanningsbeperking, scheurwijdte en doorbuigingslimieten. Spanningen in beton- en wapeningselementen worden gecontroleerd volgens de toepasselijke norm, op een vergelijkbare manier als beschreven voor de UGT.

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de analyse van de uiterste grenstoestand. Er wordt uitgegaan van een perfecte aanhechting, d.w.z. de verankeringslengte wordt niet geverifieerd bij de bruikbaarheidsgrenstoestand. Bovendien wordt het plastische traject van het spanning-rekdiagram van beton in druk buiten beschouwing gelaten, terwijl het elastische traject lineair en oneindig is. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid, en beperken de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende materiaalspanningslimieten bij de bruikbaarheidsgrenstoestand duidelijk onder hun vloeipunten liggen (zoals vereist door de normen). De vereenvoudigde modellen die voor de bruikbaarheidsgrenstoestand worden gebruikt, zijn daarom alleen geldig als aan alle verificatie-eisen is voldaan.

Berekening van scheurwijdte en tension stiffening

Berekening van scheurwijdte

Er zijn twee manieren om scheurwijdtes te berekenen - gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming. Aan de hand van de geometrische wapeningsverhouding in elk deel van de constructie wordt bepaald welk type scheurberekeningsmodel wordt gebruikt (TCM voor gestabiliseerde scheurvorming en POM voor het niet-gestabiliseerde scheurvormingsmodel).

\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}

Terwijl het CSFM voor de meeste verificaties (bijv. staafcapaciteit, doorbuigingen\dots) een direct resultaat oplevert, worden de scheurwijdteresultaten berekend op basis van de wapeningsrekresultaten die rechtstreeks door de EEM-analyse worden geleverd, volgens de methodiek beschreven in Fig. 20. Er wordt een scheurkinematica zonder slip (zuivere scheuropening) beschouwd (Fig. 20a), wat consistent is met de belangrijkste aannames van het model. De hoofdrichtingen van spanningen en rekken bepalen de hellingshoek van de scheuren (θ r = θ s = θ e). Volgens (Fig. 20b) kan de scheurwijdte (w) worden geprojecteerd in de richting van de wapeningsstaaf (w b), wat leidt tot:

w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}

waarbij θ b de hellingshoek van de staaf is.

Merk op dat het programma waarden van θ r en θ b < π/2 weergeeft. Dit betekent dat de voorgaande vergelijking werkt voor gevallen waarin de wapening en de scheur door verschillende kwadranten van het cartesische coördinatensysteem lopen, zoals getoond in Fig. 20, waarbij de wapening door het I. en III. kwadrant loopt en de scheur door het II. en IV. Voor gevallen waarin de wapening en de scheur door dezelfde kwadranten lopen, moet de vergelijking als volgt worden aangepast:

w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}

De component w b wordt consistent berekend op basis van de tension stiffening-modellen door de wapeningsrekken te integreren. Voor de gebieden met volledig ontwikkelde scheurpatronen worden de berekende gemiddelde rekken (e m) langs de wapeningsstaven direct geïntegreerd over de scheurafstand (s r), zoals aangegeven in (Fig. 20c). Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert deze toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die vergeleken kunnen worden met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaaf.

Speciale situaties worden waargenomen bij concave hoeken van de berekende constructie. In dit geval bepaalt de hoek vooraf de positie van een enkele scheur die zich op een niet-gestabiliseerde manier gedraagt voordat er aanvullende aangrenzende scheuren ontstaan. Deze aanvullende scheuren ontstaan doorgaans pas na het bruikbaarheidsbereik (Mata-Falcón 2015), wat rechtvaardigt dat de scheurwijdtes in een dergelijk gebied worden berekend alsof ze niet-gestabiliseerd zijn (Fig. 21).

\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}

Tension stiffening

De implementatie van tension stiffening maakt onderscheid tussen gevallen van gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurpatronen. In beide gevallen wordt het beton standaard beschouwd als volledig gescheurd vóór belasting.

\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}

Gestabiliseerde scheurvorming

Bij volledig ontwikkelde scheurpatronen wordt tension stiffening geïntroduceerd met behulp van het Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) - Fig. 22a - waarvan is aangetoond dat het, ondanks de eenvoud ervan, uitstekende voorspellingen van het gedrag oplevert (Burns 2012). Het TCM gaat uit van een getrapte, star-perfect plastische relatie tussen de aanhechtingsschuifspanning en de slip, met τ b = τ b 0 =2 f ctm voor σ s \leq f y en τ b =τ b 1 = f ctm voor σ s > f y . Door elke wapeningsstaaf te behandelen als een trekstaaf (tension chord) - Fig. 22b en Fig. 22a - kan de verdeling van de aanhechtingsschuifspanning, de staal- en betonspanningen en dus de rekverdeling tussen twee scheuren worden bepaald voor elke gegeven waarde van de maximale staalspanningen (of rekken) bij de scheuren.

Voor s r = s r 0 kan er al dan niet een nieuwe scheur ontstaan, omdat in het midden tussen twee scheuren σ c 1 = f ct . Bijgevolg kan de scheurafstand variëren met een factor twee, d.w.z. s r = λ s r 0, met l = 0,5\dots1,0. Uitgaande van een bepaalde waarde voor λ kan de gemiddelde rek van de trekstaaf (ε m) worden uitgedrukt als functie van de maximale wapeningsspanningen (d.w.z. de spanningen bij de scheuren, σ sr). Voor het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram van de blanke wapeningsstaven dat standaard in het CSFM wordt beschouwd, worden de volgende gesloten analytische uitdrukkingen verkregen (Marti et al. 1998):

\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}

\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y

{\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)

\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)

\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}

\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t

waarbij: E sh de verhardingsmodulus van het staal E sh = (f t - f y)/(ε u - f y / E s) ,

E s elasticiteitsmodulus van de wapening,

Ø diameter van de wapeningsstaaf,

s r scheurafstand,

σ sr wapeningsspanningen bij de scheuren,

σ s werkelijke wapeningsspanningen,

f y vloeigrens van de wapening.

De implementatie van het CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt standaard rekening met de gemiddelde scheurafstand bij het uitvoeren van de computerondersteunde spanningsveldanalyse. De gemiddelde scheurafstand wordt beschouwd als 2/3 van de maximale scheurafstand (λ = 0,67), wat overeenkomt met aanbevelingen die zijn gedaan op basis van buig- en trekproeven (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Er dient te worden opgemerkt dat bij de berekening van scheurwijdtes wordt uitgegaan van een maximale scheurafstand (λ = 1,0) om conservatieve waarden te verkrijgen.

De toepassing van het TCM is afhankelijk van de wapeningsverhouding, en daarom is de toewijzing van een geschikt betonoppervlak dat in trek werkt tussen de scheuren aan elke wapeningsstaaf van cruciaal belang. Er is een automatische numerieke procedure ontwikkeld om de bijbehorende effectieve wapeningsverhouding (ρ eff = A s /A c,eff) voor elke configuratie, inclusief scheve wapening (Fig. 23).

\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}

Niet-gestabiliseerde scheurvorming

Scheuren die aanwezig zijn in gebieden met geometrische wapeningsverhoudingen lager dan ρ cr, d.w.z. de minimale hoeveelheid wapening waarbij de wapening de scheurbelasting kan dragen zonder te vloeien, ontstaan door niet-mechanische invloeden (bijv. krimp) of door de voortzetting van scheuren die door andere wapening worden beheerst. De waarde van deze minimale wapening wordt als volgt bepaald:

{\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}

waarbij:

f y vloeigrens van de wapening,

f ct treksterkte van het beton,

n verhoudingsgetal (modular ratio), n = E s / E c .

Voor conventioneel beton en wapeningsstaal bedraagt ρ cr ongeveer 0,6%.

Voor beugels met wapeningsverhoudingen onder ρ cr wordt de scheurvorming beschouwd als niet-gestabiliseerd en wordt tension stiffening geïmplementeerd door middel van het Pull-Out Model (POM), beschreven in Fig. 22b. Dit model analyseert het gedrag van een enkele scheur zonder mechanische interactie tussen afzonderlijke scheuren, waarbij de vervormbaarheid van het beton in trek wordt verwaarloosd en dezelfde getrapte, star-perfect plastische relatie tussen aanhechtingsschuifspanning en slip wordt aangenomen als bij het TCM. Hierdoor kan de wapeningsrekverdeling (ε s) in de omgeving van de scheur rechtstreeks uit evenwicht worden bepaald voor elke maximale staalspanning bij de scheur (σ sr). Aangezien de scheurafstand onbekend is voor een niet volledig ontwikkeld scheurpatroon, wordt de gemiddelde rek (ε m) voor elk belastingsniveau berekend over de afstand tussen punten met nulslip wanneer de wapeningsstaaf zijn treksterkte (f t) bereikt bij de scheur (l ε, avg in Fig. 22b), wat leidt tot de volgende relaties:

De voorgestelde modellen maken het mogelijk het gedrag van verankerde wapening te berekenen, wat uiteindelijk in de analyse wordt meegenomen. Dit gedrag (inclusief tension stiffening) voor het meest voorkomende Europese wapeningsstaal (B500B, met f t / f y = 1,08 en ε u = 5%) wordt geïllustreerd in Fig. 22c-d.