3.1 Mezní stavy a výpočet šířky trhlin

Výpočet šířky trhlin

Existují dva způsoby výpočtu šířky trhlin – stabilizované a nestabilizované trhliny. Podle geometrického stupně vyztužení v každé části konstrukce se rozhoduje, který typ modelu pro výpočet trhlin bude použit (TCM pro stabilizované trhliny a POM pro model nestabilizovaných trhlin).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Zatímco CSFM poskytuje přímý výsledek pro většinu posouzení (např. únosnost prvku, deformace…), výsledky šířky trhlin se počítají z výsledků přetvoření výztuže přímo poskytnutých MKP analýzou podle metodiky popsané na obr. 20. Uvažuje se kinematika trhliny bez skluzu (čisté otevření trhliny) (obr. 20a), což je v souladu se základními předpoklady modelu. Hlavní směry napětí a přetvoření definují sklon trhlin (θ_r = θ_s= θ_e). Podle (obr. 20b) lze šířku trhliny (w) promítnout do směru výztužné tyče (w_b), což vede k:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

kde θ_b je sklon výztužné tyče.

Upozorňujeme, že program zobrazuje hodnoty θ_r a θ_b < π/2. To znamená, že předchozí rovnice platí pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí různými kvadranty kartézské souřadnicové soustavy, jak je uvedeno na obr. 20, kde výztuž prochází I. a III. kvadrantem a trhlina II. a IV. kvadrantem. Pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí stejnými kvadranty, musí být rovnice upravena následovně:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Složka w_b se konzistentně vypočítá na základě modelů tahového zpevnění integrací přetvoření výztuže. V oblastech s plně rozvinutým obrazcem trhlin se vypočtená průměrná přetvoření (e_m) podél výztužných tyčí přímo integrují po rozteči trhlin (s_r), jak je uvedeno na (obr. 20c). Ačkoli tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné pozici trhlin, i tak poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin, jež lze porovnat s normovými požadavky na šířku trhlin v místě výztužné tyče.

Zvláštní situace se sledují u konkávních rohů posuzované konstrukce. V tomto případě roh předurčuje pozici jediné trhliny, která se před vznikem dalších přilehlých trhlin chová nestabilizovaně. Tyto další trhliny se obecně vytvářejí až po dosažení mezního stavu použitelnosti (Mata-Falcón 2015), což opravňuje k výpočtu šířky trhlin v takové oblasti, jako by byly nestabilizované (obr. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tahové zpevnění

Implementace tahového zpevnění rozlišuje mezi případy stabilizovaného a nestabilizovaného obrazce trhlin. V obou případech je beton ve výchozím stavu uvažován jako plně porušený trhlinami ještě před zatížením.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Stabilizované trhliny

U plně rozvinutých obrazců trhlin je tahové zpevnění zavedeno pomocí modelu Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – obr. 22a – který, jak bylo prokázáno, poskytuje i přes svoji jednoduchost výborné predikce chování (Burns 2012). TCM předpokládá stupňovitý, tuze-ideálně plastický vztah smykového napětí soudržnosti a skluzu s τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pro σ_s ≤ f_y a τ_b =τ_b1 = f_ctm pro σ_s > f_y. Uvažováním každé výztužné tyče jako tahového pásu ­– obr. 22b a obr. 22a – lze určit rozdělení smykového napětí soudržnosti, napětí v oceli a betonu, a tedy i rozdělení přetvoření mezi dvěma trhlinami pro jakoukoli danou hodnotu maximálního napětí (nebo přetvoření) v oceli v trhlinách.

Pro s_r = s_r0 se může, ale nemusí vytvořit nová trhlina, protože ve středu mezi dvěma trhlinami platí σ_c1 = f_ct. V důsledku toho se rozteč trhlin může lišit faktorem dva, tj. s_r = λs_r0, s l = 0,5…1,0. Za předpokladu určité hodnoty λ lze průměrné přetvoření pásu (ε_m) vyjádřit jako funkci maximálního napětí ve výztuži (tj. napětí v trhlinách, σ_sr). Pro idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření holých výztužných tyčí, uvažovaný v CSFM ve výchozím stavu, byly odvozeny následující uzavřené analytické výrazy (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

kde:
E_sh           modul zpevnění oceli E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modul pružnosti výztuže,

Ø            průměr výztužné tyče,

s_r                rozteč trhlin,

σ_sr           napětí ve výztuži v trhlinách,

σ_s            skutečné napětí ve výztuži,

f_y                mez kluzu výztuže.

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail ve výchozím stavu uvažuje průměrnou rozteč trhlin při provádění počítačově podporované analýzy napěťových polí. Průměrná rozteč trhlin se uvažuje jako 2/3 maximální rozteče trhlin (λ = 0,67), což vychází z doporučení učiněných na základě ohybových a tahových zkoušek (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Je třeba poznamenat, že výpočty šířky trhlin uvažují maximální rozteč trhlin (λ = 1,0), aby byly získány konzervativní hodnoty.

Použití TCM závisí na stupni vyztužení, a proto je klíčové přiřazení odpovídající plochy betonu působící v tahu mezi trhlinami každé výztužné tyči. Byl vyvinut automatický numerický postup pro definování odpovídajícího efektivního stupně vyztužení (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pro jakoukoli konfiguraci, včetně kosoúhlé výztuže (obr. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nestabilizované trhliny

Trhliny vyskytující se v oblastech s geometrickým stupněm vyztužení nižším než ρ_cr, tj. minimálním množstvím výztuže, při kterém je výztuž schopna přenést zatížení způsobující vznik trhlin bez dosažení kluzu, vznikají buď nemechanickými vlivy (např. smršťováním), nebo šířením trhlin řízeným jinou výztuží. Hodnota tohoto minimálního vyztužení se získá následovně:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

kde:

f_y              mez kluzu výztuže,

f_ct             pevnost betonu v tahu,

n              modulární poměr, n = E_s / E_c .

Pro konvenční beton a výztužnou ocel je ρ_cr přibližně 0,6 %.

U třmínků se stupněm vyztužení nižším než ρ_cr se trhliny považují za nestabilizované a tahové zpevnění se zavádí pomocí modelu Pull-Out Model (POM) popsaného na obr. 22b. Tento model analyzuje chování jediné trhliny bez uvažování mechanické interakce mezi jednotlivými trhlinami, přičemž se zanedbává deformovatelnost betonu v tahu a předpokládá se stejný stupňovitý, tuze-ideálně plastický vztah smykového napětí soudržnosti a skluzu jako u TCM. To umožňuje získat rozdělení přetvoření výztuže (ε_s) v okolí trhliny pro jakékoli maximální napětí v oceli v trhlině (σ_sr) přímo z podmínek rovnováhy. S ohledem na to, že rozteč trhlin není u ne zcela rozvinutého obrazce trhlin známa, se průměrné přetvoření (ε_m) počítá pro jakoukoli úroveň zatížení na vzdálenosti mezi body s nulovým skluzem, kdy výztužná tyč v trhlině dosáhne své tahové pevnosti (f_t) (l_ε,avg na obr. 22b), což vede k následujícím vztahům:

Navržené modely umožňují stanovit chování soudržnosti výztuže, které je následně uvažováno v analýze. Toto chování (včetně tahového zpevnění) pro nejběžnější evropskou výztužnou ocel (B500B, s f_t / f_y = 1,08 a ε_u = 5 %) je znázorněno na obr. 22c-d.