3.1 États limites et calcul de l'ouverture des fissures

Calcul de l'ouverture des fissures

Il existe deux méthodes de calcul de l'ouverture des fissures - fissuration stabilisée et non stabilisée. En fonction du taux de ferraillage géométrique dans chaque partie de la structure, il est décidé quel type de modèle de calcul de fissuration sera utilisé (TCM pour la fissuration stabilisée et POM pour le modèle de fissuration non stabilisée).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Calcul de l'ouverture des fissures : (a) cinématique de fissuration considérée ; (b) projection de la cinématique de fissuration dans les directions}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{principales de l'armature ; (c) ouverture de fissure dans la direction de l'armature pour une fissuration stabilisée ; (d) cas avec}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fissuration locale non stabilisée indépendamment du taux de ferraillage ; (e) ouverture de fissure dans la direction de l'armature}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{pour une fissuration non stabilisée.}}}$

Alors que le CSFM fournit un résultat direct pour la plupart des vérifications (par ex. capacité de l'élément, flèches…), les résultats d'ouverture de fissure sont calculés à partir des résultats de déformation de l'armature directement fournis par l'analyse EF, en suivant la méthodologie décrite en Fig. 20. Une cinématique de fissuration sans glissement (ouverture pure de la fissure) est considérée (Fig. 20a), ce qui est cohérent avec les principales hypothèses du modèle. Les directions principales des contraintes et des déformations définissent l'inclinaison des fissures (θ_r = θ_s= θ_e). Selon la (Fig. 20b), l'ouverture de fissure (w) peut être projetée dans la direction de l'armature (w_b), ce qui conduit à :

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

où θ_b est l'inclinaison de la barre.

Veuillez noter que le programme affiche les valeurs de θ_r et θ_b < π/2. Cela signifie que l'équation précédente fonctionne pour les cas où l'armature et la fissure traversent des quadrants différents du système de coordonnées cartésien, comme montré en Fig. 20, où l'armature traverse les quadrants I et III et la fissure les quadrants II et IV. Pour les cas où l'armature et la fissure traversent les mêmes quadrants, l'équation doit être modifiée comme suit :

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

La composante w_b est systématiquement calculée sur la base des modèles de raidissement en traction en intégrant les déformations de l'armature. Pour les régions présentant des schémas de fissuration entièrement développés, les déformations moyennes calculées (e_m) le long des barres d'armature sont directement intégrées le long de l'espacement des fissures (s_r), comme indiqué en (Fig. 20c). Bien que cette approche de calcul des directions de fissuration ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives conduisant à des résultats d'ouverture de fissure qui peuvent être comparés aux valeurs d'ouverture de fissure requises par la norme à la position de l'armature.

Des situations particulières sont observées aux angles concaves de la structure calculée. Dans ce cas, l'angle prédéfinit la position d'une fissure unique qui se comporte de manière non stabilisée avant que des fissures adjacentes supplémentaires ne se développent. Ces fissures supplémentaires se développent généralement après le domaine de service (Mata-Falcón 2015), ce qui justifie de calculer les ouvertures de fissure dans une telle région comme si elles étaient non stabilisées (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Définition de la région aux angles concaves dans laquelle l'ouverture de fissure est calculée comme si elle était non stabilisée.}}}$$

Raidissement en traction

La mise en œuvre du raidissement en traction distingue les cas de schémas de fissuration stabilisés et non stabilisés. Dans les deux cas, le béton est considéré comme entièrement fissuré avant chargement par défaut.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modèle de raidissement en traction : (a) élément de tirant en traction pour fissuration stabilisée avec distribution du cisaillement d'adhérence,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{des contraintes dans l'acier et le béton, et des déformations de l'acier entre les fissures, en considérant un espacement moyen des fissures) ; (b) hypothèse d'arrachement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{pour la fissuration non stabilisée avec distribution du cisaillement d'adhérence et des contraintes et déformations de l'acier autour de la fissure ; (c) comportement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{résultant du tirant en traction en termes de contraintes de l'armature aux fissures et de déformations moyennes pour l'acier européen B500B ;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) détail des branches initiales de la réponse du tirant en traction.}}}$

Fissuration stabilisée

Dans les schémas de fissuration entièrement développés, le raidissement en traction est introduit à l'aide du Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998 ; Alvarez 1998) – Fig. 22a – dont il a été démontré qu'il fournit d'excellentes prédictions de réponse malgré sa simplicité (Burns 2012). Le TCM suppose une relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement en escalier, rigide-parfaitement plastique, avec τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pour σ_s ≤ f_y et τ_b =τ_b1 = f_ctm pour σ_s > f_y. En traitant chaque barre d'armature comme un tirant en traction ­– Fig. 22b et Fig. 22a – la distribution du cisaillement d'adhérence, des contraintes dans l'acier et le béton, et donc la distribution de déformation entre deux fissures, peut être déterminée pour toute valeur donnée des contraintes (ou déformations) maximales de l'acier aux fissures.

Pour s_r = s_r0, une nouvelle fissure peut ou non se former car au centre entre deux fissures σ_c1 = f_ct. Par conséquent, l'espacement des fissures peut varier d'un facteur deux, soit s_r = λs_r0, avec l = 0,5…1,0. En supposant une certaine valeur pour λ, la déformation moyenne du tirant (ε_m) peut être exprimée en fonction des contraintes maximales de l'armature (c.-à-d. les contraintes aux fissures, σ_sr). Pour le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé des barres d'armature nues considéré par défaut dans le CSFM, les expressions analytiques explicites suivantes sont obtenues (Marti et al. 1998) :

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

où :
E_sh           le module d'écrouissage de l'acier E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            module d'élasticité de l'armature,

Ø            diamètre de la barre d'armature,

s_r                espacement des fissures,

σ_sr           contraintes de l'armature aux fissures,

σ_s            contraintes réelles de l'armature,

f_y                limite d'élasticité de l'armature.

La mise en œuvre du CSFM dans Idea StatiCa Detail considère par défaut l'espacement moyen des fissures lors de l'analyse des champs de contraintes assistée par ordinateur. L'espacement moyen des fissures est considéré comme étant 2/3 de l'espacement maximal des fissures (λ = 0,67), ce qui suit les recommandations formulées sur la base d'essais de flexion et de traction (Broms 1965 ; Beeby 1979 ; Meier 1983). Il convient de noter que les calculs d'ouverture de fissure considèrent un espacement maximal des fissures (λ = 1,0) afin d'obtenir des valeurs conservatives.

L'application du TCM dépend du taux de ferraillage, et par conséquent l'attribution d'une surface de béton appropriée agissant en traction entre les fissures à chaque barre d'armature est cruciale. Une procédure numérique automatique a été développée pour définir le taux de ferraillage effectif correspondant (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pour toute configuration, y compris l'armature inclinée (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Surface efficace de béton en traction pour fissuration stabilisée : (a) surface maximale de béton pouvant être activée ;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) enrobage et condition de symétrie globale ; (c) surface efficace résultante.}}}$

Fissuration non stabilisée

Les fissures existant dans des régions présentant des taux de ferraillage géométrique inférieurs à ρ_cr, c'est-à-dire la quantité minimale d'armature pour laquelle l'armature est capable de reprendre la charge de fissuration sans plastifier, sont générées soit par des actions non mécaniques (par ex. le retrait), soit par la propagation de fissures contrôlées par une autre armature. La valeur de cette armature minimale est obtenue comme suit :

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

où :

f_y              limite d'élasticité de l'armature,

f_ct             résistance en traction du béton,

n              coefficient d'équivalence, n = E_s / E_c .

Pour un béton et un acier d'armature conventionnels, ρ_cr s'élève à environ 0,6 %.

Pour les étriers présentant des taux de ferraillage inférieurs à ρ_cr, la fissuration est considérée comme non stabilisée et le raidissement en traction est mis en œuvre au moyen du Pull-Out Model (POM) décrit en Fig. 22b. Ce modèle analyse le comportement d'une fissure unique en ne considérant aucune interaction mécanique entre fissures séparées, en négligeant la déformabilité du béton en traction et en supposant la même relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement en escalier, rigide-parfaitement plastique, utilisée par le TCM. Cela permet d'obtenir la distribution de déformation de l'armature (ε_s) au voisinage de la fissure pour toute contrainte maximale de l'acier à la fissure (σ_sr) directement à partir de l'équilibre. Étant donné que l'espacement des fissures est inconnu pour un schéma de fissuration non entièrement développé, la déformation moyenne (ε_m) est calculée pour tout niveau de charge sur la distance entre les points à glissement nul lorsque la barre d'armature atteint sa résistance en traction (f_t) à la fissure (l_ε,avg en Fig. 22b), ce qui conduit aux relations suivantes :

Les modèles proposés permettent le calcul du comportement de l'armature adhérente, qui est finalement pris en compte dans l'analyse. Ce comportement (incluant le raidissement en traction) pour l'acier d'armature européen le plus courant (B500B, avec f_t / f_y = 1,08 et ε_u = 5 %) est illustré en Fig. 22c-d.